第二章 直线与圆的位置关系单元测试卷A（含解析）

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第2章 直线与圆的位置关系单元测试卷A
　
一．选择题（共10小题，3*10=30）
1．已知圆O的圆心到直线L的距离为3，若圆上有且只有2个点到L的距离为2，则半径r的取值范围是（　　）
A．r=3 B．1＜r＜3 C．1＜r＜5 D．1≤r≤5
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以1为半径的圆在△ABC所在平面上运动，则这个圆与△ABC的三条边的公共点最多有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（　　）

A．2π B．4π C．2 D．4
4．如图，D为⊙O内一点，BD交⊙O于C，BA切⊙O于A，若AB=6，OD=2，DC=CB=3，则⊙O的半径为（　　）

A．3+ B．2 C． D．
5．如图，如果直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，则EF的长是（　　）

A．2 B．8 C．2 D．2
6．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（　　）

A．2 B． C． D．
7．如图，AB、CD是⊙O的两条平行弦，BE∥AC交CD于E，过A点的切线交DC延长线于P，若AC=3，则PC?CE的值是（　　）

A．18 B．6 C．6 D．9
8．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上任意一点，过A作小圆的割线AXY，若AX?AY=4，则图中圆环的面积为（　　）

A．16π B．8π C．4π D．2π
9．如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过C作CD⊥AB，垂足为D，若AD=3，BC=2，则△ABC的内切圆的面积为（　　）

A．π B．（4﹣2）π C．（）π D．2π
10．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（　　）
A． B． C． D．
　
二．填空题（共10小题，3*10=30）
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是　 　．
12．如图，A是半径为1的⊙O的外一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥AO，连结AC，则图中的阴影部分的面积等于　 　．

13．如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD，将正方形沿EC折叠，点B落在圆上的F点，则BE的长为　 　．

14．如图四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，PD切⊙O于D，与BA延长线交于P点，已知∠BCD=130°，则∠ADP=　 　．

15．如图，四边形ABCD是正方形，以BC边为直径在正方形内作半圆O，再过顶点A作半圆O的切线（切点为F）交CD边于E，则sin∠DAE=　 　．

16．如图，已知圆O内切于五边形ABCDE，切点分别是M、N、P、Q、R，且AB=5，BC=7，CD=8，DE=9，EA=4，则的值是　 　．

17．如图，PC是⊙O的切线，切点为C，PAB为⊙O的割线，交⊙O于点A、B，PC=2，PA=1，则PB的长为　 　．

18．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB=12，CD=6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP=8，∠APD=60°，则R=　 　．

19．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE=9，则△ABC的面积为　 　．

20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°，△ABC的内切圆⊙O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则∠DEF的度数为　 　°．

　
三．解答题（共4小题，40分）
21．(10分)如图，已知E为圆内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G．求证：EF=FG．

22．（10分）如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若CD=2AD，⊙O的直径为10，求AB的长．

23．（10分）等腰直角△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．现△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，同时△ABC的边长AB、BC又以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．
（1）当△ABC的边（BC边除外）与圆第一次相切时，点B移动了多少距离？
（2）若在△ABC移动的同时，⊙O也以每秒1个单位的速度向右移动，则△ABC从开始移动，到它的边与圆最后一次相切，一共经过了多少时间？
（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻，△ABC与⊙O的公共部分等于⊙O的面积？若存在，求出恰好符合条件时两个图形移动了多少时间？若不存在，请说明理由．

24．（10分）如图，由矩形ABCD的顶点D引一条直线分别交BC及AB的延长线于F，G，连接AF并延长交△BGF的外接圆于H，连接GH，BH．
（1）求证：△DFA∽△HBG；
（2）过A点引圆的切线AE，E为切点，AE=3，CF：FB=1：2，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，又知AD=6，求tan∠HBC的值．

　



参考答案与试题解析
　
1．解：以点O为圆心的圆上只有两点到直线l的距离为2，则两个交点在到直线l的距离是2的直线m上．
则直线m到圆心O的距离是：2+3=5或3﹣2=1．
圆O与直线m相交，因而该圆的半径r的取值范围是1＜r＜5．
故选：C．
2．解：如图所示：
以1为半径的圆在△ABC所在平面上运动，则这个圆与△ABC的三条边的公共点最多有4个，
故选：C．

3．解：当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，
连接O′C，O′B，O′D，OO′，
∵O′D⊥AC，
∴O′D=O′B．
∵O′C平分∠ACB，
∴∠O′CB=∠ACB=×60°=30°．
∵O′C=2O′B=2×2=4，
∴BC===2．
故选：C．


　
4．解：延长CD交⊙O于点E，过点O作OF⊥CE于点F，连接OC，
∵BA与⊙O相切，
∴由切割线定理可知：BA2=BC?BE，
∴BE=12，
∴CE=BE﹣BC=9，
∴由垂径定理可知：CF=CE=，
∴DF=CF﹣CD=，
∴由勾股定理可知：OF==，
∴由勾股定理可知：OC==，
故选：D．

5．解：连接OE和OC，且OC与EF的交点为M．
∵∠EDC=30°，
∴∠COE=60°．
∵AB与⊙O相切，
∴OC⊥AB，
又∵EF∥AB，
∴OC⊥EF，即△EOM为直角三角形．
在Rt△EOM中，EM=sin60°×OE=×2=，
∵EF=2EM，
∴EF=2．
故选：A．

6．解：线段PQ长度的最小值时，PQ为圆的直径，
如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，

∵圆F与AB相切，∴FD⊥AB，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，
∴CF+FD＞CD，且PQ为圆F的直径，
∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值，即CD为圆F的直径，
且S△ABC=BC?CA=CD?AB，
∴CD==．
故选：B．
7．解：如图，连接AD、BC．
∵AB、CD是⊙O的两条平行弦，
∴弧AC=弧BD，
∴∠BCD=∠ADC．
∵过A点的切线交DC延长线于P，
∴∠PAC=∠D，
∴∠PAC=∠BCE．
∵BE∥AC交CD于E，
∴∠PCA=∠BEC，
∴△APC∽△CBE，
∴，
又AC=BE=3，
∴PC?CE=（3）2=18．
故选：A．

8．解：过点A作圆的切线AD，切点是D，
∵AD2=AX?AY，AX?AY=4，
∴AD=2，
∴圆环的面积=πAD2=4π．
故选：C．

9．解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC，过C作CD⊥AB
∴△ADC∽△CDB
∴CD2=AD?DB
∴CD2=3DB
Rt△CDB中，CB2=CD2+DB2
∴4=3DB+DB2
解得DB=1或DB=﹣4（舍去）
∴CB=2
∴AC=2
设△ABC内切圆半径为r，内心为O，连OA、OB、OC

由面积法可知
S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB
∴
∴r==
∴内切圆半径为π（）2=（4﹣2）π
故选：B．
10．：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：
S=，
又∵r=，
∴a+b=2r+c，
将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．
又∵内切圆的面积是πr2，
∴它们的比是．
故选：B．
11．解：如图，∵BC＞AC，
∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．
根据勾股定理求得AB=5．
分两种情况：
（1）圆与AB相切时，即r=CD=3×4÷5=2.4；
（2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4．
∴3＜r≤4或r=2.4．

12．解：OB是半径，AB是切线，
∵OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴sinA==，
∴∠A=30°，
∵OC=OB，BC∥OA，
∴∠OBC=∠BOA=60°，
∴△OBC是等边三角形，
因此S阴影=S扇形CBO==．
故答案为．

13．解：如图：连接OF，OC．
在△OCF和△OCD中，
∵OF=OD，OC=OC，CF=CD，
∴△OCF≌△OCD，
∴∠OFC=∠ODC=90°，
∴CF是⊙O的切线．
∵∠CFE=∠B=90°，
∴E，F，O三点共线．
∵EF=EB，
∴在△AEO中，AO=1，AE=2﹣BE，EO=1+BE，
∴（1+BE）2=1+（2﹣BE）2，
解得：BE=．
故答案是：．

14．解：连接BD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=130°，
∴∠BAD=50°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠40°
∵PD切⊙O于D，
∴∠ADP=∠ABD=40°，
故答案为：40°．

15．解：设正方形ABCD的边长为4a，EC=x，
∵AF为半圆O的切线，
∴AF=AB=4a，EC=EF=x，
在Rt△ADE中，DE=4a﹣x，AE=4a+x，
∴AE2=AD2+DE2，即（4a+x）2=（4a）2+（4a﹣x）2，
解得x=a，
∴AE=5a，DE=3a，
在Rt△ADE中，sin∠DAE===．
故答案为．
16．


解：设AM=x，BM=y，
∵圆O内切于五边形ABCDE，
∴AM=AR，BM=BN，CN=CP，DP=DQ，EQ=ER，AR=AM，
∴BN=y，
∵AB=5，
∴x+y=5，
∵BC=7，
∴CN=CP=7﹣y，
∵CD=8，∴DQ=DP=y+1，
∵DE=9，
∴EQ=ER=8﹣y，
∵EA=4，
∴AR=AM=y﹣4，
∴y﹣4=x，
∴，
解得：，
∴AM=，MB=，
∴==；
故答案为：
17．解：由切割线定理知：PC2=PA?PB，
故PB=PC2÷PA=4÷1=4，
即PB的长为4．
18．解：由切割线定理得PB?PA=PC?PD，则有
8×20=PC（PC+6）．
解得PC=10．
在△PAC中，由PA=2PC，∠APC=60°，得∠PCA=90°．
从而AD是圆的直径．由勾股定理，得
AD2=AC2+CD2=（PA2﹣PC2）+CD2=202﹣102+62=336．
∴AD==4
∴R=AD=2．
故答案为2．
19．解：设⊙I切AC与M，切BC于N，半径为r，
则AD=AM，CM=CN=r，BD=BN，r=（AC+BC﹣AB），
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∴AD?DB=AM?BN=（AC﹣r）（BC﹣r）=[AC﹣（AC+BC﹣AB）][BC﹣（AC+BC﹣AB）]
=（AC﹣BC+AB）（AB+BC﹣AC）=（AB2﹣AC2﹣BC2+2AC?BC）=AC?BC，
由射影定理得AD?DB=DE2=81，
∴S△ABC=AC?BC=81，
故答案为：81．

20．解：连接DO，FO，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=70°
∴∠A=20°，
∵内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，
∴∠ODA=∠OFA=90°，
∴∠DOF=160°，
∴∠DEF的度数为80°．

21．解：连接EF，
∵EF∥CB，
∴∠BCD=∠FED，又∠BCD=∠BAD，
∴∠BCD=∠FED，又∠EFD=∠EFD，
∴△FED∽△FAE，
∴=，
∴EF2=FD?FA，
∵FG切圆于G，
∴GF2=FD?FA，
∴EF=FG．

22．（1）证明：连接OC．
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC．
∵CD⊥PA，
∴∠ADC=∠OCD=90°，
即 CD⊥OC，点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：过O作OM⊥AB于M．
即∠OMA=90°，
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，
∴四边形DMOC是矩形，
∴OC=DM，OM=CD．
∵CD=2AD，
∴设AD=x，则DC=OM=2x，AM=DM﹣DA=5﹣x，
∵在Rt△AMO中，∠AMO=90°，根据勾股定理得：AO2=AM2+OM2．
∴52=（5﹣x）2+（2x）2，
解得 x1=0（不合题意，舍去），x2=2．
则 AM=DM﹣DA=5﹣x=3，
∵OM⊥AB，
∴AB=2AM=6．

23．

解：（1）设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，
交B′C′于F．
设⊙O与直线l切于点D，连OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l．
由切线长定理可知C’E=C′D，设C′D=x，则C′E=x，易知C′F=x．
∴x+x=1，
∴x=﹣1，
∴CC’=5﹣1﹣（﹣1）=5﹣．
∴点C运动的时间为（5﹣）÷（2+0.5）=2﹣．
∴点B运动的距离为（2﹣）×2=4﹣．

（2）∵△ABC与⊙O从开始运动到最后一次相切时，是AB与圆相切，且圆在AB的左侧，故路程差为6，速度差为1，
∴从开始运动到最后一次相切的时间为6秒．

（3）∵△ABC与⊙O从开始运动到第二次相切时，路程差为4，速度差为1，
∴从开始运动到第二次相切的时间为4秒，此时△ABC移至△A″B″C″处，
A″B″=1+4×=3．
连接B”O并延长交A″C″于点P，易证B″P⊥A″C″，且OP=﹣=＜1．
∴此时⊙O与A″C″相交，
∴不存在．
24．证明：（1）∵∠HBG=∠HFG，∠HFG=∠AFD，
∴∠HBG=∠AFD．
∵∠BHG=∠BFG=∠CFD=∠ADG，
∴△DFA∽△HBG．（4分）

（2）∵CD∥AB，CD=AB，
∴．
即AG=3AB．
∵AE为⊙O的切线，
∴AE2=AB?AG．
∴AB=3．（8分）

（3）∵AD=BC=6，CF：FB=1：2，
∴CF=2，BF=4．
∵∠ABC=90°，
∴AF=．
∵AE2=AF?AH，
∴AH=FH=AH﹣AF=．
∴FH=AH﹣AF=．
∵∠FBG=90°，FG=，
∵FG为圆的直径，
∴HG=．
∴tan∠HGF==．
∵∠HBC=∠HGF
∴tan∠HBC=（12分）

　










































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