第二章 直线与圆的位置关系单元测试卷B（含解析）

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第2章直线与圆的位置关系单元测试卷B
　
一．选择题（共10小题，3*10=30）
1．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．已知⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
3．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OB交⊙O于点C．若OA=3，tan∠AOB=，则BC的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
5．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA的长为（　　）

A．4 B．2 C．3 D．2.5
6．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF的长度（　　）

A．随圆的大小变化而变化，但没有最值
B．最大值为4.8
C．有最小值
D．为定值
7．如图，P为半⊙O直径BA延长线上一点，PC切半⊙O于C，且PA：PC=2：3，则sin∠ACP的值为（　　）

A． B． C． D．无法确定
8．如图，圆O1与圆O2相交于A、B，过A作圆O1的切线交圆O2于C，连CB并延长交圆O1于D，连AD，AB=2，BD=3，BC=5，则AD的长为（　　）

A． B． C． D．2
9．已知直角三角形两边长x，y满足=0，则直角三角形内切圆半径为（　　）
A． B． C．或 D．
10．如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？（　　）

A．1 B．2 C．2﹣2 D．4﹣2
　
二．填空题（共10小题，3*10=30）
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则R的取值范围是　 　．

12．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°，CD是⊙O的切线：若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为　 　．

13．如图，AB是⊙O的直径，点D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C．若⊙O的半径为2，TC=，则图中阴影部分的面积是　 　．

14．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB=35°，则∠B等于　 　度．

15．如图，已知PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P=90°，PA=3，那么⊙O的半径长是　 　．

16．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为　 　．

17．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为　 　．

18．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：
①BE=DE；②∠EBD=∠EDB；③DE∥AB；④BD2=2AD?FC
其中正确的结论有　 　．（把你认为正确结论的序号全部填上）

19．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r=4，则半圆的直径AB=　 　．

20．如图，△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，⊙O为△ABC的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则⊙O的面积为　 　（结果保留π）

　
三．解答题（共4小题，40分）
21．（10分）如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q的⊙O的切线交OA的延长线于R．求证：RP=RQ．

22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB=4+，BC=2，求⊙O的半径．

23．（10分）直角坐标系中，已知A（1，0），以点A为圆心画圆，点M（4，4）在⊙A上，直线y=﹣x+b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．
（1）①填空：⊙A的半径为　 　，b=　 　．（不需写解答过程）
②判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由．
（2）若EF切⊙A于点F分别交AB和BC于G、E，且FE⊥BC，求的值．
（3）若点P在⊙A上，点Q是y轴上一点且在点C下方，当△PQM为等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标．


24．（10分）如图，P为⊙O外的一点，过点P作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C、D，且AB是⊙O的直径，已知PA=OA=4，AC=CD．
（1）求DC的长；
（2）求cosB的值．

　



参考答案与试题解析
　
1．解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选：A．
2．解：∴⊙O的半径为4cm，如果圆心O到直线l的距离为3.5cm，
∴3.5＜4，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交，
故选：A．
3．解：∵OA=3，tan∠AOB=，
∴OB=5，
∴CB=OB﹣OC=5﹣3=2，
故选：A．
4．解：如图，连接OA、OB，

∵BM是⊙O的切线，
∴∠OBM=90°，
∵∠MBA=140°，
∴∠ABO=50°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=50°，
∴∠AOB=80°，
∴∠ACB=∠AOB=40°，
故选：A．
5．解：连接DO，
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO=90°，
∵∠C=90°，
∴DO∥BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴===，
设PA=x，则=，
解得：x=4，
故PA=4．
故选：A．

6．解：由题意得，AB2=AC2+BC2，
∴△ABC为RT△，即∠C=90°，可知EF为圆的直径，
设圆与AB的切点为D，连接CD，
当CD⊥AB，即CD是圆的直径的时候，EF长度最小．
故选：C．

7．解：如图，连接BC，
由已知条件得，△PAC∽△PBC，于是==，
设AC=2k，BC=3k，由∠ACB=90°得，AB=，
∴sin∠ACP=sin∠ABC===．
故选：B．

8．解：∵AC是圆O1的切线，
∴∠CAB=∠D，
又∵∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴
∴AC2=BC?CD，
∵AB=2，BD=3，BC=5，
∴AC2=40，AC=2，
∵，
∴AD=
故选：C．
9．解：∵|x2﹣4|+=0，
∴x2﹣4=0，y2﹣6y+9=0，
解得：x=±2，y=3，
∵x、y表示直角三角形的两边长，
∴x=2，y=3，
设内切圆O的半径是R，与AC、BC、AB分别切于F、D、E，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
①AC=2，BC=3时，由勾股定理得：AB==，
由三角形的面积公式得：S△ABC=S△ACO+S△BCO+S△ABO，
∴AC×BC=AC×OF+BC×OD+AB×OE，
即2×3=2R+3R+R，
解得：R=，
②AC=2，AB=3时，由勾股定理得：BC==
由三角形的面积公式得：S△ABC=S△ACO+S△BCO+S△ABO，
∴AC×BC=AC×OF+BC×OD+AB×OE，
即2×=2R+3R+R，
解得：R=．
故选：C．

10．解：如图，

连接PF，QF，PC，QC，
∵P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心，
∴PF是∠AFC的角平分线，FQ是∠CFE的角平分线，
∴∠PFC=∠AFC=30°，∠QFC=∠CFE=30°，
∴∠PFC=∠QFC=30°，
同理，∠PCF=∠QCF
∴PQ⊥CF，
∴△PQF是等边三角形，
∴PQ=2PG；
易得△ACF≌△ECF，且内角是30°，60°，90°的三角形，
∴AC=2，AF=2，CF=2AF=4，
∴S△ACF=AF×AC=×2×2=2，
过点P作PM⊥AF，PN⊥AC，PQ交CF于G，
∵点P是△ACF的内心，
∴PM=PN=PG，
∴S△ACF=S△PAF+S△PAC+S△PCF
=AF×PM+AC×PN+CF×PG
=×2×PG+×2×PG+×4×PG
=（1++2）PG
=（3+）PG
=2，
∴PG==﹣1
∴PQ=2PG
=2（﹣1）
=2﹣2．
故选：C．
11．解：如图，
∵BC＞AC，
∴以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC，
由勾股定理知，AB==5．
∵S△ABC=AC?BC=CD?AB=×3×4=×5?CD，
∴CD=2.4，
即R的取值范围是2.4＜R≤3．

12．


解：连接OC，
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠CAD=∠D=30°，
∵DC切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠COD=60°，
在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠D=30°，OC=2，
∴CD=2，
∴阴影部分的面积是S△OCD﹣S扇形COB=×2×2﹣=2﹣π，
故答案为：2﹣π．

13．解：连接OT、OD、DT，过O作OM⊥AD于M，
∵OA=OT，AT平分∠BAC，
∴∠OTA=∠OAT，∠BAT=∠CAT，
∴∠OTA=∠CAT，
∴OT∥AC，
∵PC⊥AC，
∴OT⊥PC，
∵OT为半径，
∴PC是⊙O的切线，
∵OM⊥AC，AC⊥PC，OT⊥PC，
∴∠OMC=∠MCT=∠OTC=90°，
∴四边形OMCT是矩形，
∴OM=TC=，
∵OA=2，
∴sin∠OAM=，
∴∠OAM=60°，
∴∠AOM=30°
∵AC∥OT，
∴∠AOT=180°﹣∠OAM=120°，
∵∠OAM=60°，OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠TOD=120°﹣60°=60°，
∵PC切⊙O于T，
∴∠DTC=∠CAT=∠BAC=30°，
∴tan30°==，
∴DC=1，
∴阴影部分的面积是S梯形OTCD﹣S扇形OTD=×（2+1）×﹣=．
故答案为：．

14．解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB=35°，
∴∠A=∠PCB=35°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴35°+∠B=90°，
解得∠B=55°．
故答案为：55．
15．

解：连接OA、OB，
则OA=OB（⊙O的半径），
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PA=PB，∠OAP=∠OBP=90°，
已知∠P=90°，
∴∠AOB=90°，
∴四边形APBO为正方形，
∴OA=OB=PA=3，
则⊙O的半径长是3，
故答案为：3．

16．解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．
故答案为：2．
17．解：∵PC切半圆与点C，
∴PC2=PA?PB，
即PA=9，
则AB=9﹣1=8，
则圆的半径是4．
故答案为4．
18．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线
∴OF是∠DFB的角平分线，DF=FB，FO⊥BD，CD=CB
∴=
∴BE=DE（①正确）
∵=
∴∠EBD=∠EDB（②正确）
∵FB切⊙O于B
∴FB⊥OB
∵BC⊥OF
∵BC2=OC?FC
∴（BD）2=OC?CE
∵OC为△ABD的中位线
∴OC=AD
∴（BD）2=AD?CE
∴BD2=2AD?FC（④正确）
故其中正确的结论有①②④．
19．解：∵正方形DEFG的面积为100，
∴正方形DEFG边长为10．
连接EB、AE，OI、OJ，
∵AC、BC是⊙O的切线，
∴CJ=CI，∠OJC=∠OIC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形OICJ是正方形，且边长是4，
设BD=x，AD=y，则BD=BI=x，AD=AJ=y，
在Rt△ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2①；
在Rt△AEB中，
∵∠AEB=90°，ED⊥AB，
∴△ADE∽△BDE∽△ABE，
∴ED2=AD?BD，即102=x?y②．
解①、②得x+y=21，即半圆的直径AB=21．
故答案为：21．

20．解：连接OE、OF，
∵AC=3，BC=4，∠C=90°，
∴AB=5，
∵⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，
∴FB=DB，CE=CF，AD=AF，
OE⊥BC，OF⊥AC，
又∵∠C=90°，OF=OE，
∴四边形ECFO为正方形，
∴设OE=OF=CF=CE=x，
∴BE=4﹣x，FA=3﹣x；
∴DB=4﹣x，AD=3﹣x，
∴3﹣x+4﹣x=5，
解得：x=1，
则⊙O的面积为：π．
故答案为：π．

21．证明：连接OQ，
∵RQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥QR，
∴∠OQB+∠BQR=90°．
∵OA⊥OB，
∴∠OPB+∠B=90°．
又∵OB=OQ，
∴∠OQB=∠B．
∴∠PQR=∠BPO=∠RPQ．
∴RP=RQ．

22．（1）证明：连接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线；

（2）解：过点C作CE⊥AB于点E．
在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=2，
∴BE=BC=，CE=3，
∵AB=4+，
∴AE=AB﹣BE=4，
∴在Rt△ACE中，AC==5，
∴AP=AC=5．
∴在Rt△PAO中，OA=，
∴⊙O的半径为．

23．（1）①解：连接AM，过M作MQ⊥x轴于Q，
则AQ=4﹣1=3，MQ=4，
由勾股定理得：AM==5，
把M（4，4）代入y=﹣x+b得：4=﹣×4+b，
∴b=7，
故答案为：5，7．

②解：相切，
理由是：连接AF，
y=﹣x+7，
当x=0时，y=7，∴C（0，7），OC=7，
当y=0时，0=﹣x+7，
∴x=，
∴B（，0），OB=，
∴BQ=OB﹣OQ=﹣4=，AQ=4﹣1=3，MQ=4，
∴==，=，
∴=，
∵∠MQA=∠MQB，
∴△AMQ∽△MBQ，
∴∠MAQ=∠BMQ，
∵∠MAQ+∠AMQ=90°，
∴∠AMQ+∠BMQ=90°，
∴AM⊥BC，
∴直线BC与⊙A的位置关系是相切．
（2）解：连接AC，
在△COB中，由勾股定理得：BC==，
同理AC=5，
∵AM=5，由勾股定理得：CM=5，
设EG=a，
∵EF⊥BC，
∴∠FEB=∠COB=90°，
∵∠OBC=∠OBC，
∴△BEG∽△BOC，
∴=，
即=，
∴BE=a，
∴根据切线长定理得：EM=EF=BC﹣BE﹣CM=﹣a﹣5，
∵EF⊥CB，AF⊥EF，
∴AF∥BC，
∴△AFG∽△BEG，
∴=，
∴=，
∴FG=，
∵BE+EM+CM=BC，
∴a+a++5=，
a=，
EG=，FG=，
∴==3．
（3）解：①当∠PQM=90°时，MQ=PQ，由对称性M，P关于X轴对称，
所以Q，O重合，Q（0，0）；
②当∠PMQ=90°，MQ=MP，作MD⊥x，MH⊥y，
可得△MHQ≌△MDP，
即P是圆与x正半轴交点
从而Q（0，2）；
③当∠QPM=90°时，分两种情况：
第一情况：P在y的左方，如图，设P（m，n），Q（0，b）可得：
①4﹣m=n﹣b，②4﹣n=﹣m，③（1﹣m）2+n2=52，
解方程组得，b=2，b=﹣8（b=2也符合条件，虽与②中b同，但直角不同），
第二情况：P在y的右方，同理得：
①m﹣4=n﹣b，②4﹣n=m，③（1﹣m）2+n2=52，
解方程组得，b=3+（舍），b=3﹣．
综合上述：Q的坐标是（0，0）或（0，2）或（0，﹣8）或（0，3﹣）．
24．解：（1）连接OC、BC、AD，
∵AC=DC，
∴∠CDA=∠CAD，
又∵∠CAD=∠CBD，∠CDA=∠ACB，
∴∠CBD=∠CBA，
∴∠DBA=2∠CBA，
又∵∠COA=2∠CBA，
∴∠DBA=∠COA，
∴OC∥BD，
设CD=x，
∴CP：CD=OP：OB，
∴CP：x=8：4，
∴CP=2x，
∴CP?PD=AP?BP，
∴2x?（2x+x）=4×（4+4+4），
∴x=2，
即CD=2；

（2）∵OC∥BD，
∴OC：BD=OP：OB，
∴4：BD=（4+4）：4，
∴BD=6，
∴在Rt△ABD中，cosB===．

　
































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