第2章 直线与圆的位置关系
2．1 直线与圆的位置关系(第1课时)
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：
(1)直线l和⊙O相交?________；
(2)直线l和⊙O相切?________；
(3)直线l和⊙O相离?________．
A组 基础训练
1．如果一个圆的半径是8cm，圆心到一条直线的距离也是8cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
2．已知⊙O的半径为3，直线l上有一点P满足PO＝3，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
3．已知点P(3，4)，以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点，则r的取值范围是( )
A．r＞4 B．r＞4且r≠5 C．r＞3 D．r＞3且r≠5
4．如图，以点O为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦长AB的取值范围是( )
第4题图
A．8≤AB≤10
B．AB≥8
C．8＜AB≤10
D．8＜AB＜10
5．已知圆的直径为10cm，若圆心到三条直线的距离分别为：①4cm；②5cm；③10cm，则这三条直线和圆的位置关系分别是①________；②________；③________．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，以点C为圆心、6cm长为半径作圆，则圆与直线AB的位置关系是________．
7．如图，已知∠AOB＝30°，C是射线OB上的一点，且OC＝4.若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是____________．
第7题图
8．在△ABO中，若OA＝OB＝2，⊙O的半径为1，当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相切；当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相交；当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相离．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝8cm，AC＝4cm.
(1)以点C为圆心作圆，半径为多少时，AB与⊙C相切？
(2)以点C为圆心，分别作半径为2cm和4cm的圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系？
第9题图
10．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB＝CD，且AB与小圆相切．求证：CD与小圆也相切．
第10题图
B组 自主提高
11．已知等边三角形ABC的边长为2m.下列图形中，以A为圆心，半径是3cm的圆是( )
如图，P为正比例函数y＝x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y)．
第12题图
(1)当⊙P与直线x＝2相切时，则点P的坐标为______________________；
(2)当⊙P与直线x＝2相交时x的取值范围为____________．
13．在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝m，∠D＝60°，以AB为直径作⊙O.
(1)求圆心O到CD的距离(用含m的代数式表示)；
(2)当m取何值时，CD与⊙O相切？
第13题图
C组 综合运用
14．如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°，M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA方向为南偏东75°，已知MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？
第14题图
第2章 直线与圆的位置关系
2．1 直线与圆的位置关系(第1课时)
【课堂笔记】
(1)d＜r (2)d＝r (3)d＞r
【课时训练】
1－4.BDBC
①相交 ②相切 ③相离
相交
2＜r≤4
∠AOB＝120° 120°＜∠AOB＜180° 0°＜∠AOB＜120°
(1)作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，CD＝AC·sin60°＝2cm，所以当半径r为2cm时，AB与⊙C相切； (2)r＝2＜CD时，⊙C与AB相离，r＝4＞CD时，⊙C与AB相交．
证明：过点O分别作AB，CD的垂线段OE，OF.设小圆的半径为r.∵AB与小圆相切，∴OE＝r，∵AB＝CD，且AB，CD为大圆的弦，∴OE＝OF，∴OF＝r，∴CD与小圆也相切．
B
12．(1)或 (2)－1＜x＜5
13．(1)作AH⊥CD于点H.因为∠D＝60°，则∠DAH＝30°，DH＝＝，所以AH＝＝＝m，即圆心O到CD的距离为m； (2)当m＝5，即m＝时，CD与⊙O相切.
第14题图
14．作AC⊥MN于点C，∵∠AMC＝60°－30°＝30°，∠ABC＝75°－30°＝45°，∴设AC为xm，则AC＝BC＝x，在Rt△ACM中，MC＝400＋x，∴tan∠AMC＝，即＝，解得x＝200＋200＞500，∴如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区．
第2章 直线与圆的位置关系
2．1 直线与圆的位置关系(第2课时)
1．经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆的切线．
2．证明圆的切线技巧：
(1)如果直线与圆有交点，连结圆心与交点的半径，证明直线与该圆的半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”；
(2)如果直线与圆没有明确的交点，则过圆心作该直线的垂线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
A组 基础训练
1．下列命题错误的是( )
A．垂直于半径的直线是圆的切线
B．如果圆心到一条直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
C．如果一条直线与圆只有唯一一个公共点，那么这条直线是圆的切线
D．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
2．如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是( )
A．OA2＋PA2＝OP2 B．PA⊥OA
C．∠P＝30°，∠O＝60° D．OP＝2OA
第2题图
3.如图，AB是⊙O的直径，根据下列条件，不能判定直线AT是⊙O的切线的是( )
第3题图
A．AB＝2，AT＝1.5，BT＝2.5 B．∠B＝45°，AB＝AT
C．∠B＝36°，∠TAC＝36° D．∠ATC＝∠B
4．(台湾中考)如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA＝2AP.甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：
第4题图
(甲)以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，则直线PB即为所求；
(乙)作OP的中垂线，交圆O于B点，则直线PB即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？( )
A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
5．如图，点Q在⊙O上，若OQ＝3cm，OP＝5cm，PQ＝4cm，则直线PQ与⊙O________(填“相交”、“相切”或“相离”)．
第5题图
6．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为____________．
第6题图
如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，则直线BC与⊙O的位置关系为________．
第7题图
如图，CD是⊙O的直径，BD是弦，延长DC到A，使∠ABD＝120°，若添加一个条件，使AB是⊙O的切线，则下列四个条件：①AC＝BC；②AC＝OC；③AB＝BD中，能使命题成立的有________(只要填序号即可)．
第8题图
如图，已知点A在⊙O上，根据下列条件，能否判定直线AB和⊙O相切？请说明理由．
第9题图
(1)OA＝6，AB＝8，OB＝10；
(2)tanB＝.
10．(衢州中考)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC.
(1)求证：直线BF是⊙O的切线．
(2)若CD＝2，OP＝1，求线段BF的长．
第10题图
B组 自主提高
11．在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定( )
A．与x轴相离，与y轴相切
B．与x轴，y轴都相离
C．与x轴相切，与y轴相离
D．与x轴，y轴都相切
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB＝________cm时，BC与⊙A相切．
第12题图
13．如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连结PB.
(1)求BC的长；
(2)求证：PB是⊙O的切线．
第13题图
C组 综合运用
14．(衢州中考)如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E.
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值．
第14题图
2．1 直线与圆的位置关系(第2课时)
【课堂笔记】
1．垂直
【课时训练】
1－4.ADDB
相切
AB⊥BC(不唯一)
相切
①②③
(1)能判定；∵OA2＋AB2＝BO2，∴∠BAO＝90°.即AB⊥AO，∴AB是⊙O的切线； (2)不能判定；△ABO中，tanB＝，无法证明∠BAO＝90°，所以不能判定．
(1)证明：∵∠AFB＝∠ABC，∠ABC＝∠ADC，∴∠AFB＝∠ADC，∴CD∥BF，∴∠APD＝∠ABF，∵CD⊥AB，∴AB⊥BF，∴直线BF是⊙O的切线；
第10题图
(2)连结OD，∵CD⊥AB，∴PD＝CP＝，∵OP＝1，∴OD＝2，∵∠PAD＝∠BAF，∠APD＝∠ABF，∴△APD∽△ABF，∴＝，∴＝，∴BF＝.
11．A
12.6
13.(1)连结OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，∴∠COB＝60°，又∵OC＝OB.∴△OBC是正三角形，∴BC＝OC＝2； (2)证明：∵BC＝OC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB，∵△OBC是正三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝60°.∴∠CBP＝30°，∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°，∴OB⊥BP，∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．
14．(1)证明：连结DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB.在△COD和△COB中，
∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠CDO＝∠CBO＝90°.又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线； (2)∵△COD≌△COB，∴CD＝CB.∵DE＝2BC，∴ED＝2CD.∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO.∴＝＝.
2.1 直线与圆的位置关系(第3课时)
1．切线的性质：经过________的半径垂直于圆的切线．
2．常用的辅助线：见了切点，连结圆心和切点，构造直角三角形．
A组 基础训练
1．下列说法中，正确的是( )
A．圆的切线垂直于经过切点的半径
B．垂直于切线的直线必经过切点
C．垂直于切线的直线必经过圆心
D．垂直于半径的直线是圆的切线
2．如图，AB与⊙O相切于点B，AO＝6cm，AB＝4cm.则⊙O的半径为( )
A．4cm B．2cm C．2cm D.cm
第2题图
(天津中考)如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于( )
第3题图
A．20° B．25° C．40° D．50°
4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )
第4题图
A．点(0，3) B．点(2，3) C．点(5，1) D．点(6，1)
5．(玉林中考)如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos∠E＝________．
第5题图
6．如图，AB是⊙O的切线，半径OA＝2，OB交⊙O于点C，∠B＝30°，则的长是________(结果保留π)．
第6题图
7.如图，两个同心圆，大圆的弦AB切小圆于点C，且AB＝10，则图中阴影部分面积为________．
第7题图
如图，已知⊙P的半径是1，圆心P在抛物线y＝x2－2x＋1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为______________．
第8题图
9．(盐城中考)如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D＝2∠CAD.
(1)求∠D的度数；
(2)若CD＝2，求BD的长．
第9题图
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.
第10题图
(1)求证：BE＝CE；
(2)求∠CBF的度数；
(3)若AB＝6，求的长．
B组 自主提高
如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，点D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°.若弦EF∥AB，则EF的长度为( )
第11题图
A．2 B．2 C. D．2
12．如图，BC是⊙O的切线，弦AB⊥BC于点B，D是⊙O上一点，且AD∥OC.
(1)求证：△ADB∽△OBC；
(2)若AB＝2，BC＝，求AD的长．(结果保留根号)
第12题图
13．(绵阳中考)如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足＝，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．
(1)求证：AE⊥DE；
(2)若tan∠CBA＝，AE＝3，求AF的长．
第13题图
C组 综合运用
14．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E.
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)求证：∠C＝2∠DBE；
(3)若EA＝AO＝2，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)
第14题图
2．1 直线与圆的位置关系(第3课时)
【课堂笔记】
1．切点
【课时训练】
1－4.ABCC
π
25π
(0，1)或(2，1)
(1)∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠COD＝∠A＋∠ACO＝2∠A，∵∠D＝2∠A，∴∠D＝∠COD，∵PD切⊙O于C，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝∠COD＝45°； (2)∵∠D＝∠COD，CD＝2，∴OC＝OB＝CD＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：22＋22＝(2＋BD)2，解得：BD＝2－2(负值舍去)．
(1)连结AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴BE＝EC； (2)∵∠A＝54°，AB＝AC，∴∠ABC＝63°，∵BF是⊙O切线，∴∠ABF＝90°，∴∠CBF＝90°－63°＝27°； (3)连结OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠ABD＝36°，∴∠AOD＝2∠ABD＝72°，∴l＝＝π.
B
(1)∵BC切⊙O于点B，AB⊥BC，∴AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°＝∠OBC，∵AD∥OC，∴∠A＝∠COB，∴△ABD∽△OCB； (2)∵△ABD∽△OCB，∴＝，∴＝＝，设AD＝x，BD＝5x，由勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2，∴x＝，∴AD＝x＝×＝.
(1)证明：连结OC，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∵＝，∴∠BAC＝∠EAC，∴∠EAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AE⊥DE；
第13题图
∵AB是⊙O的直径，∴△ABC是直角三角形，∵tan∠CBA＝，∴∠CBA＝60°，∴∠BAC＝∠EAC＝30°，∵△AEC为直角三角形，AE＝3，∴AC＝2，连结OF，∵OF＝OA，∠OAF＝∠BAC＋∠EAC＝60°，∴△OAF为等边三角形，∴AF＝OA＝AB，在Rt△ACB中，AC＝2，tan∠CBA＝，∴BC＝2，∴AB＝4，∴AF＝2.
14.(1)连结OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝∠CDB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODC＝∠ABC＝90°，即OD⊥CD，∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线；
第14题图
(2)如图，∠DOE＝∠ODB＋∠OBD＝2∠DBE，由(1)得：OD⊥EC于点D，∴∠E＋∠C＝∠E＋∠DOE＝90°，∴∠C＝∠DOE＝2∠DBE; (3)作OF⊥DB于点F，连结AD，由EA＝AO可得：AD是Rt△ODE斜边的中线，∴AD＝AO＝OD，∴∠DOA＝60°，∴∠OBD＝30°，又∵OB＝AO＝2，OF⊥BD，∴OF＝1，BF＝，∴BD＝2BF＝2，∠BOD＝180°－∠DOA＝120°，∴S阴影＝S扇形OBD－S三角形BOD＝－×2×1＝π－.
2.2 切线长定理
1．切线长定理：过圆外一点，可以引圆的两条切线，切线长________．
2．如图，点P是⊙O外一点，PA，PB切⊙O于点A，B，AB交PO于点C，则有如下结论：
(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP；(3)AB⊥OP且AC＝BC.
A组 基础训练
1．如图，从圆O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( )
A．4 B．8 C．6 D．10
第1题图
如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是( )
第2题图
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO
3．如图，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为( )
A．50 B．52 C．54 D．56
第3题图
4.(邵阳中考)如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连结BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是( )
第4题图
A．15° B．30° C．60° D．75°
5．如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.下列结论中：①OP垂直平分AB；②∠APB＝∠BOP；③△ACP≌△BCP；④PA＝AB；⑤若∠APB＝80°，则∠OBA＝40°.正确的是________．
第5题图
如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是________°.
第6题图
7．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2，AD＝4.则BE＝________，BC＝________.
第7题图
如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是________．
第8题图
9．如图，AB为半圆O的直径，在AB的同侧作AC，BD切半圆O于点A，B，CD切半圆O于点E.若AC＝4，BD＝9，求⊙O的半径．
第9题图
10．如图，PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，D在PA上，E在PB上．
(1)若PA＝30，求△PDE的周长；
(2)若∠P＝50°，求∠O的度数．
第10题图
B组 自主提高
11．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点，若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确( )
第11题图
A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CD C．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE
12．如图，直尺、三角尺都和⊙O相切，B是切点，且AB＝8cm.求⊙O的直径．
第12题图
13．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结PO，AB相交于点D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.
(1)求∠APB的大小；
(2)若PO＝20cm，求△AOB的面积．
第13题图
C组 综合运用
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB长为半径的圆与AB交于点E，与AC相切于点D，直线ED交BC的延长线于点F.
(1)求证：BC＝FC；
(2)若AD∶AE＝2∶1，求tanF的值．
第14题图
2．2 切线长定理
【课堂笔记】
1．相等
【课时训练】
1－4.BDBD
①③⑤
99
6 6
2
r＝6.法一：可在△COD中，连结OE，有OE2＝CE×DE＝36，∴r＝6.法二：过C作CH⊥BD于点H，在△CDH中，CD＝13，DH＝5，∴CH＝AB＝12，即r＝6.
(1)∵PA、PB是⊙O切线，∴PA＝PB，∵DE是⊙O切线，∴DC＝DA，EC＝EB，∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DC＋CE＝PD＋DA＋PE＋EB＝PA＋PB＝60； (2)连结AO，BO，CO，可证：∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，∴∠DOE＝∠AOB，∵∠AOB＋∠P＝180°，∠P＝50°，∴∠AOB＝130°，∴∠DOE＝65°.
A
连结AO，BO，∵AB是⊙O的切线，AC是⊙O的切线，∴∠ABO＝90°，∠BAO＝∠BAC＝60°，在Rt△AOB中，OB＝AB·tan∠BAO＝8×tan60°＝8，∴⊙O的直径为16cm.
(1)∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°，∴在四边形APBO中，∠APB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠AOB＝360°－90°－90°－120°＝60°； (2)在Rt△PAO与Rt△PBO中，∵OA＝OB，PO＝PO，∴Rt△PAO≌Rt△PBO，∴∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°，∴PO⊥AB，∴∠DAO＝∠APO＝30°，∴OA＝sin∠APO×OP＝×20＝10(cm)．在Rt△AOD中，∠DAO＝30°，OA＝10cm，∴AD＝cos∠DAO×OA＝×10＝5(cm)，OD＝sin∠DAO×OA＝×10＝5(cm)，∴AB＝2AD＝10(cm)，∴S△AOB＝AB×OD＝×10×5＝25(cm2)．
(1)连结BD.∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°－∠BED.∵∠EBF＝90°，∴∠F＝90°－∠BEF.∴∠F＝∠EBD.∵AC切⊙O于点D，∴∠EBD＝∠ADE＝∠CDF.∴∠F＝∠CDF，∴DC＝FC.∵OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线，∴DC＝BC.∴BC＝FC; (2)在△ADE和△ABD中，∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ABD，∴△ADE∽△ABD，＝＝.又∵∠F＝∠EBD，∴tanF＝tan∠EBD＝＝.
2.3 三角形的内切圆
1．三角形内切圆定义：与三角形三边相切的圆叫做三角形的内切圆．
2．三角形的内心是______________________交点．
3．如图，⊙I内切于△ABC，切点分别为D，E，F.
(1)∠BIC＝90°＋∠BAC；∠DEF＝90°－∠BAC；
(2)△ABC三边长分别为a，b，c，⊙I的半径为r，则有S△ABC＝r(a＋b＋c)；
(3)若∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，则内切圆半径r＝CE＝.
A组 基础训练
1．下列命题正确的是( )
A．三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B．三角形的内心不一定在三角形的内部
C．等边三角形的内心，外心重合
D．一个圆一定有唯一一个外切三角形
2．如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE等于( )
A．70° B．110° C．120° D．130°
第2题图
3.如图，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点，若∠DEF＝52°，则∠A的度数为( )
第3题图
A．76° B．68° C．52° D．38°
4．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则它的内切圆与外接圆半径分别为( )
A．1.5，2.5 B．2，5 C．1，2.5 D．2，2.5
5．如图，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，则∠BOC＝____，若O为△ABC的内心，则∠BOC＝________．
第5题图
如图，△ABC的三边分别切⊙O于点D，E，F.若AB＝7，BC＝8，AC＝9，则BE＝______，CF＝______．
第6题图
7．⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．
8．已知△ABC的面积为4cm2，周长为10cm，则△ABC的内切圆半径为________cm.
9．如图，△ABC外切于⊙O，切点分别为点D，E，F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O的半径为.求：
第9题图
(1)BF＋CE的值；
(2)△ABC的周长．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F.
(1)求证：BF＝CE；
(2)若∠C＝30°，CE＝2，求AC的长．
第10题图
B组 自主提高
(遵义中考)将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30°，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB＝，则四边形AB1ED的内切圆半径为( )
第11题图
A. B. C. D.
12．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC＝1，则⊙O的半径等于________．
第12题图
13．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E.
(1)求证：IE＝BE；
(2)若IE＝4，AE＝8，求DE的长．
第13题图
C组 综合运用
14．如图，在锐角△ABC中，BC＝5，sin∠BAC＝，点I为三角形ABC的内心，AB＝BC，求AI的长．
第14题图
2．3 三角形的内切圆
【课堂笔记】
2．三角形的三条角平分线的
【课时训练】
1－4.CBAC
5.140° 125°
6.3 5
9．(1)∵△ABC外切于⊙O，切点分别为点D、E、F，∴BF＝BD，CE＝CD，∴BF＋CE＝BD＋CD＝BC＝7，所以BF＋CE的值是7.
第9题图
连结OE、OA.∵△ABC外切于⊙O，切点分别为点D、E、F，∴AE＝AF，∠OEA＝90°，∠OAE＝∠BAC＝30°，∴OA＝2OE＝2.由勾股定理得AE＝AF＝＝＝3，∴AB＋BC＋AC＝AF＋AE＋CE＋BF＋BC＝7＋7＋3＋3＝20，∴△ABC的周长是20.
10.(1)证明：∵AE，AF是⊙O的切线，∴AE＝AF，又∵AC＝AB，∴AC－AE＝AB－AF，∴CE＝BF，即BF＝CE； (2)连结AO、OD，∵O是△ABC的内心，∴OA平分∠BAC，
第10题图
∵⊙O是△ABC的内切圆，D是切点，∴OD⊥BC；又∵AC＝AB，∴A、O、D三点共线，即AD⊥BC，∵CD、CE是⊙O的切线，∴CD＝CE＝2，∴在Rt△ACD中，由∠C＝30°，CD＝2，得AC＝＝＝4.
11.B
12.
13.(1)连结IB.∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠IBD.又∵∠BIE＝∠BAD＋∠ABI，∴∠BIE＝∠CAD＋∠IBD＝∠DBE＋∠IBD＝∠IBE，∴BE＝IE；
第13题图
(2)在△BED和△AEB中，∵∠EBD＝∠CAD＝∠EAB，∠BED＝∠AEB，∴△BED∽△AEB，∴＝.∵IE＝4，∴BE＝4.∵AE＝8，∴DE＝＝2.
14．连结CI，BI，且延长BI交AC于点F，过点I作IG⊥BC于点G，IE⊥AB于点E.∵AB＝BC＝5，点I为△ABC的内心，∴BF⊥AC，AF＝CF.在Rt△ABF中，
第14题图
∵sin∠BAC＝＝，∴BF＝4.∴AF＝＝3，∴AC＝6.∵点I是△ABC的内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，∴IE＝IF＝IG.∴S△ABC＝(AB＋AC＋BC)·IF＝AC·BF，∴IF＝＝＝，∴AI＝＝.
