3.3 垂径定理一课一练（含答案）
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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九年级上册 第三章 圆的基本性质（第3节）
一、单选题（共10题；共20分）
1.如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ? ? ）
A.?AE＝OE??????????????????????????B.?CE＝DE??????????????????????????C.?OE＝CE??????????????????????????D.?∠AOC＝60°
2.如图，在以O为圆心的两个圆中，大圆的半径为5，小圆的半径为3，则与小圆相切的大圆的弦长为(?? )???????
A.?4???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?10
3.如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为 （??）
A.?25°???????????????????????????????????????B.?30°???????????????????????????????????????C.?40°???????????????????????????????????????D.?50°
4.如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（?? ）
A.?6.5米?????????????????????B.?9米???????????????????C.?13米???????????????????????D.?15米
5.如图，直径AB，CD的夹角为60°，P为⊙O上的一个动点（不与点A，B，C，D重合）．PM，PN分别垂直于CD，AB，垂足分别为M，N．若⊙O的半径长为2，则MN的长（ ）
A.?随P点运动而变化，最大值为?????????????????????????B.?等于
C.?随P点运动而变化，最小值为?????????????????????????D.?随P点运动而变化，没有最值
6.如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E．若CD=6，OE=4，则⊙O的直径为（?? ）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?10
7.已知P是⊙O内一点，⊙O的半径为15，P点到圆心O的距离为9，则通过P点且长度是整数的弦的条数是（? ）
A.?5??????????????????????????????????????????B.?7??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?12
8.如图，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD与AC交于E点，且OD⊥AC．若OE=4，ED=2，则BC长度为（ ）
A.?6???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?9
9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为(?? ?? )
A.?10???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?3
10.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB长度为8，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（?? ）个．
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
二、填空题（共6题；共6分）
11.如图，在⊙O中，AB是弦，OC⊥AB，垂足为C，若AB=16，OC=6，则⊙O的半径OA=?________
12.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为4，圆心P坐标是（4，a）（a＞4），函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4 ，则a的值是________．
13.为测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为________．
14.已知AB是⊙O的弦，如果⊙O的半径长为5，AB长为4，那么圆心O到弦AB的距离是?________
15.如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝48cm，脸盆的最低点C到AB的距离为12 cm，则该脸盆的半径为________cm.
16.蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如右图所示，已知AB=16m，半径 OA=10m，高度CD为________?m．
三、解答题（共4题；共20分）
17.已知：如图，已知点A、B、C在⊙O上，且点B是的中点，当OA=5cm，cos∠OAB=时．
（1）求△OAB的面积；
（2）联结AC，求弦AC的长．
18.如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高PM为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施？（ =1.414）
19.一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动,当刻度尺的一边与光盘相切时,另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位:cm）,那么该光盘的直径是多少？
20.如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上一点，EF⊥AB于E，连接OE，AC∥OE，OD⊥AC于D，若BF=2，EF=4，求线段AC长．
四、综合题（共4题；共50分）
21.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请找出截面的圆心；（不写画法，保留作图痕迹．）
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
22.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由;
（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长;
（3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．
23.如图，两个以点O为圆心的同心圆，
图1????????? 图2
（1）如图1，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，试判断AC与BD的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，将大圆的弦AB向下平移使其为小圆的切线，切点为C，证明：AC=BC.
（3）在（2）的基础上，已知AB=20cm，直接写出圆环的面积.
24.如图，已知：在⊙O中，弦AB为8，圆心O到AB的距离为3．
（1）求圆的半径；
（2）若点P是AB上的一动点，试求OP最大值和最小值．
答案
一、单选题
1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.D 7.D 8.C 9.C 10.C
二、填空题
11.10 12.4+2 13.10cm 14.15.30 16.4
三、解答题
17.解：（1）过O作OH⊥AB于H，
∵cos∠OAB=，
∴=，
∴AH=3cm，OH=4cm，AB=2AH=6cm，
∴S△OAB=AB?OH=12cm2；
（2）设AC交OB于M，∵B是的中点，
∴，∴AB=BC，
∵OA=OC，
故O，B均在线段AC的垂直平分线上，
∴OB垂直平分AC，
∴AM=AB?sin∠MBA=6×，
∴AC=2AM=cm．
18.解：
设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，
则OA=OA′=OP′，
由垂径定理可知AM=BM，A′N=B′N，
∵AB=60米，
∴AM=30米，且OM=OP﹣PM=（x﹣18）米，
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2 ，
即x2=（x﹣18）2+302 ， 解得x=34，
∴ON=OP﹣PN=34﹣4=30（米），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N= = =16（米），
∴A′B′=32米＞30米，
∴不需要采取紧急措施
19.解：如图,设圆心为O,弦为AB,切点为C．如图所示．则AB=8cm,CD=2cm．
连接OC,交AB于D点．连接OA．
∵尺的对边平行,光盘与外边缘相切,
∴OC⊥AB．
∴AD=4cm．
设半径为Rcm,则R2=42+（R﹣2）2,
解得R=5,
∴该光盘的直径是10cm．
20.解：设OE=x，则OF=x﹣2， 由勾股定理得，OE2=OF2+EF2 ， 即x2=（x﹣2）2+42 ，
解得，x=5，
∴OF=3，
∵AC∥OE，OD⊥AC，
∴OD⊥OE，
∵OA=OE，EF⊥AB，
∴△ADO≌△OFE，
∴AD=OF=3，
∵OD⊥AC，
∴AC=2AD=6．
四、综合题
21.（1）解：如图所示
（2）解：如图，OE⊥AB交AB于点D，
则DE=4cm，AB=16cm，AD=8cm，
设半径为Rcm，则
OD=OE﹣DE=R﹣4，
由勾股定理得，OA2=AD2+OD2 ，
即R2=82+（R﹣4）2 ，
解得R=10．
故这个圆形截面的半径是10cm
22.（1）解：
BC∥MD．
理由：∵∠M=∠D，∠M=∠C，∠D=∠CBM，
∴∠M=∠D=∠C=∠CBM，
∴BC∥MD.
（2）解：
∵AE=16，BE=4，
∴OB==10，
∴OE=10﹣4=6，
连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CE=CD，
在Rt△OCE中，
∵OE2+CE2=OC2 ， 即62+CE2=102 ， 解得CE=8，
∴CD=2CE=16.
?
（3）解：
如图2，
∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D=∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=×90°=30°．
?
23.（1）解：AC=BD，理由是：过O作OH⊥AB，由垂径定理得AH=BH，CH=DH，
AH-CH=BH-DH，
即AC=BD
（2）解：连接OC，如图，
AB是小圆的切线，
OC⊥AB，则AC=BC
（3）解：如图，连接OB．
∵大圆的弦AB是小圆的切线，
∴OC⊥AB，AC=CB，
∴OB2-OC2=（20÷2）2=102 ，
∵S圆环=S大-S小=π?OB2-π?OC2=π?（OB2-OC2），
∴S圆环=100πcm2
24.（1）解：连接AO，过O作OD⊥AB，
∵弦AB为8，
∴AD=4，
∵圆心O到AB的距离为3，
∴DO=3，
∴AO= = =5，
∴圆的半径是5；
（2）解：∵点P是AB上的一动点， ∴OP最大值是5，OP最小值是3．
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1
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九年级上册 第三章 圆的基本性质（第3节）
一、单选题（共10题；共20分）
1.如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ? ? ）
A.?AE＝OE??????????????????????????B.?CE＝DE??????????????????????????C.?OE＝CE??????????????????????????D.?∠AOC＝60°
2.如图，在以O为圆心的两个圆中，大圆的半径为5，小圆的半径为3，则与小圆相切的大圆的弦长为(?? )???????
A.?4???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?10
3.如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为 （??）
A.?25°???????????????????????????????????????B.?30°???????????????????????????????????????C.?40°???????????????????????????????????????D.?50°
4.如图，圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，则拱桥的半径为（?? ）
A.?6.5米?????????????????????B.?9米???????????????????C.?13米???????????????????????D.?15米
5.如图，直径AB，CD的夹角为60°，P为⊙O上的一个动点（不与点A，B，C，D重合）．PM，PN分别垂直于CD，AB，垂足分别为M，N．若⊙O的半径长为2，则MN的长（ ）
A.?随P点运动而变化，最大值为?????????????????????????B.?等于
C.?随P点运动而变化，最小值为?????????????????????????D.?随P点运动而变化，没有最值
6.如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E．若CD=6，OE=4，则⊙O的直径为（?? ）
A.?5???????????????????????????????????????????B.?6???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?10
7.已知P是⊙O内一点，⊙O的半径为15，P点到圆心O的距离为9，则通过P点且长度是整数的弦的条数是（? ）
A.?5??????????????????????????????????????????B.?7??????????????????????????????????????????C.?10??????????????????????????????????????????D.?12
8.如图，AB为圆O的直径，C、D两点均在圆上，其中OD与AC交于E点，且OD⊥AC．若OE=4，ED=2，则BC长度为（ ）
A.?6???????????????????????????????????????????B.?7???????????????????????????????????????????C.?8???????????????????????????????????????????D.?9
9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为(?? ?? )
A.?10???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?3
10.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB长度为8，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（?? ）个．
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
二、填空题（共6题；共6分）
11.如图，在⊙O中，AB是弦，OC⊥AB，垂足为C，若AB=16，OC=6，则⊙O的半径OA=?________
12.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的半径为4，圆心P坐标是（4，a）（a＞4），函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4 ，则a的值是________．
13.为测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为________．
14.已知AB是⊙O的弦，如果⊙O的半径长为5，AB长为4，那么圆心O到弦AB的距离是?________
15.如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝48cm，脸盆的最低点C到AB的距离为12 cm，则该脸盆的半径为________cm.
16.蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如右图所示，已知AB=16m，半径 OA=10m，高度CD为________?m．
三、解答题（共4题；共20分）
17.已知：如图，已知点A、B、C在⊙O上，且点B是的中点，当OA=5cm，cos∠OAB=时．
（1）求△OAB的面积；
（2）联结AC，求弦AC的长．
18.如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高PM为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施？（ =1.414）
19.一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动,当刻度尺的一边与光盘相切时,另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位:cm）,那么该光盘的直径是多少？
20.如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上一点，EF⊥AB于E，连接OE，AC∥OE，OD⊥AC于D，若BF=2，EF=4，求线段AC长．
四、综合题（共4题；共50分）
21.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请找出截面的圆心；（不写画法，保留作图痕迹．）
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
22.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由;
（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长;
（3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．
23.如图，两个以点O为圆心的同心圆，
图1????????? 图2
（1）如图1，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，试判断AC与BD的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，将大圆的弦AB向下平移使其为小圆的切线，切点为C，证明：AC=BC.
（3）在（2）的基础上，已知AB=20cm，直接写出圆环的面积.
24.如图，已知：在⊙O中，弦AB为8，圆心O到AB的距离为3．
（1）求圆的半径；
（2）若点P是AB上的一动点，试求OP最大值和最小值．
答案
一、单选题
1.B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.D 7.D 8.C 9.C 10.C
二、填空题
11.10 12.4+2 13.10cm 14.15.30 16.4
三、解答题
17.解：（1）过O作OH⊥AB于H，
∵cos∠OAB=，
∴=，
∴AH=3cm，OH=4cm，AB=2AH=6cm，
∴S△OAB=AB?OH=12cm2；
（2）设AC交OB于M，∵B是的中点，
∴，∴AB=BC，
∵OA=OC，
故O，B均在线段AC的垂直平分线上，
∴OB垂直平分AC，
∴AM=AB?sin∠MBA=6×，
∴AC=2AM=cm．
18.解：
设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，
则OA=OA′=OP′，
由垂径定理可知AM=BM，A′N=B′N，
∵AB=60米，
∴AM=30米，且OM=OP﹣PM=（x﹣18）米，
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2 ，
即x2=（x﹣18）2+302 ， 解得x=34，
∴ON=OP﹣PN=34﹣4=30（米），
在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N= = =16（米），
∴A′B′=32米＞30米，
∴不需要采取紧急措施
19.解：如图,设圆心为O,弦为AB,切点为C．如图所示．则AB=8cm,CD=2cm．
连接OC,交AB于D点．连接OA．
∵尺的对边平行,光盘与外边缘相切,
∴OC⊥AB．
∴AD=4cm．
设半径为Rcm,则R2=42+（R﹣2）2,
解得R=5,
∴该光盘的直径是10cm．
20.解：设OE=x，则OF=x﹣2， 由勾股定理得，OE2=OF2+EF2 ， 即x2=（x﹣2）2+42 ，
解得，x=5，
∴OF=3，
∵AC∥OE，OD⊥AC，
∴OD⊥OE，
∵OA=OE，EF⊥AB，
∴△ADO≌△OFE，
∴AD=OF=3，
∵OD⊥AC，
∴AC=2AD=6．
四、综合题
21.（1）解：如图所示
（2）解：如图，OE⊥AB交AB于点D，
则DE=4cm，AB=16cm，AD=8cm，
设半径为Rcm，则
OD=OE﹣DE=R﹣4，
由勾股定理得，OA2=AD2+OD2 ，
即R2=82+（R﹣4）2 ，
解得R=10．
故这个圆形截面的半径是10cm
22.（1）解：
BC∥MD．
理由：∵∠M=∠D，∠M=∠C，∠D=∠CBM，
∴∠M=∠D=∠C=∠CBM，
∴BC∥MD.
（2）解：
∵AE=16，BE=4，
∴OB==10，
∴OE=10﹣4=6，
连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CE=CD，
在Rt△OCE中，
∵OE2+CE2=OC2 ， 即62+CE2=102 ， 解得CE=8，
∴CD=2CE=16.
?
（3）解：
如图2，
∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D=∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=×90°=30°．
?
23.（1）解：AC=BD，理由是：过O作OH⊥AB，由垂径定理得AH=BH，CH=DH，
AH-CH=BH-DH，
即AC=BD
（2）解：连接OC，如图，
AB是小圆的切线，
OC⊥AB，则AC=BC
（3）解：如图，连接OB．
∵大圆的弦AB是小圆的切线，
∴OC⊥AB，AC=CB，
∴OB2-OC2=（20÷2）2=102 ，
∵S圆环=S大-S小=π?OB2-π?OC2=π?（OB2-OC2），
∴S圆环=100πcm2
24.（1）解：连接AO，过O作OD⊥AB，
∵弦AB为8，
∴AD=4，
∵圆心O到AB的距离为3，
∴DO=3，
∴AO= = =5，
∴圆的半径是5；
（2）解：∵点P是AB上的一动点， ∴OP最大值是5，OP最小值是3．
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