3.7 正多边形一课一练（含答案）
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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九年级上册 第三章 圆的基本性质（第7节）
一、单选题（共10题；共20分）
1.正六边形的边心距与边长之比为（??? ）
A.?1 : 2?????????????????????????????????B.?：2?????????????????????????????????C.?：1?????????????????????????????????D.?：2
2.已知正六边形ABCDEF的边心距为 cm，则正六边形的半径为（?? ）cm．
A.?2 ?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?4
3.若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（ ）
A.?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?π
4.正五边形的中心角等于（ ）
A.?18°???????????????????????????????????????B.?36°???????????????????????????????????????C.?54°???????????????????????????????????????D.?72°
5.半径为a的正六边形的面积等于（ ）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.?a2?????????????????????????????????????D.?
6.等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是(??? )
A.?????????????????????????????B.?2：3：4????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?1：2：3
7.已知正方形的内切圆O半径为2，如图，正方形的四个角上分别有一个直角三角形，如果直角三角形的第三边与圆O相切且平行于对角线．则阴影部分的面积为（ ）
A.?32﹣32﹣4π???????????????????????????????B.????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????D.?16﹣4π
8.如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（ ）
A.?2cm?????????????????????????????????B.?2cm??????????????????????????????????C.?4cm?????????????????????????????????D.?4Cm
9.如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.?2 ??????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?3
10.若一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r1 ， r2 ， r3 ， 则r1：r2：r3等于（ ）
A.?1：2：3?????????????????????????B.?：：1?????????????????????????C.?1：：?????????????????????????D.?3：2：1
二、填空题（共6题；共6分）
11.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝________.
12.如图，⊙O的半径为10，则⊙O的内接正三角形ABC的边长为________?．
13.蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有________?．
14.如图， 是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是________ 结果用含 的式子表示 ．
15.如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为________cm2 ． （结果保留π）
16.正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长为________.
三、解答题（共4题；共25分）
17.如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，求⊙O的半径R．
18.如图，半径为R的圆内，ABCDEF是正六边形，EFGH是正方形．
（1）求正六边形与正方形的面积比；
（2）连接OF、OG，求∠OGF．
19.已知A、B两点，求作：过A、B两点的⊙O及⊙O的内接正六边形ABCDEF．（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不必写作法及证明．）
20.如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：∠G=2∠F．
四、综合题（共4题；共47分）
21.如图，正三角形的边长为6cm，剪去三个角后成一个正六边形．
（1）求这个正六边形的边长．
（2）求这个正六边形的边心距．
（3）根据题意画出图形，根据圆的面积公式计算即可．
22.如图，已知正五边形AB CDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：∠G=2∠F．
23.如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD,正五边形ABCDE,、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B,C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动
（1）求图10－1中∠APN的度数；
（2）图10－2中，∠APN的度数是________，图10－3中∠BPN的度数是________。
（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
24.如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，延长BA到E，使AE=AB，连接ED．
（1）求证：直线ED是⊙O的切线；
（2）连接EO交AD于点F，求证：EF=2FO．
答案
一、单选题
1.D 2.B 3.A 4.D 5.B 6.D 7.A 8.C 9.B 10.C
二、填空题
11.48° 12.10 13.10 14.15.16.?
三、解答题
17.解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC=×360°=120°，∠BOD=×360°=30°，
∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=45°，
∴OC=CD?cos45°=5×=5（cm）．
即⊙O的半径R=5cm．
18.（1）解：设正六边形的边长为a，
则三角形OEF的边EF上的高为a，
则正六边形的面积为：6××a×a=a2 ，
∴正方形的面积为：a×a=a2 ，
∴正六边形与正方形的面积比a2：a2=3：2；
（2）解：∵OF=EF=FG，
∴∠OGF=（180°﹣60°﹣90°）=15°．
19.答：如图所示：
首先以AB为直径作圆，在以AB的一半为半径在圆上截取相等的弧，然后顺次连接六个等分点即可．
?
20.（1）解：∵DC=BC，
∴△CDB是等腰三角形，
∵∠C=108°，
∴∠1=∠CBD=36°，
∵AF∥CD，
∴∠F=∠1=36°，
可得四边形DEAB是等腰梯形，
∴∠DBA=∠2=72°，
∴∠F=∠BAF=36°，
∴△BAF是等腰三角形，
进而可得：∠GEA=∠G=∠2=72°，
∴△FDG，△AEG是等腰三角形，
故等腰三角形有：△BCD，△ABF，△FDG，△AEG．
（2）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C=∠CDE=108°，CD=CB．
得∠1=36°，
∴∠2=108°﹣36°=72°．
又∵AF∥CD，
∴∠F=∠1=36°，
故∠G=180°﹣∠2﹣∠F=180°﹣72°﹣36°=72°=2∠F．
四、综合题
21.（1）解：∵正三角形的边长为6cm，
∴3个边长都相等，
又∵截去三个小等边三角形，
∴各个小三角形的边长也相等，
∴正六边形的边长为：2；
（2）解：连接OA，OB，过点O作OD⊥AB于点D，
∵∠AOB==60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴OD=OA?sin60°=2×=；
（3）解：如图2：
线段AB划过的面积=π×22﹣π×（）2=πcm2 ．
22.（1）解：∵正五边形ABCDE
∴DC=BC，∠C=108°
∴△CDB是等腰三角形,
∴∠1=∠CBD=36°，
∵AF∥CD，
∴∠F=∠1=36°，
可得四边形DEAB是等腰梯形，
∴∠DBA=∠2=72°，
∴∠F=∠BAF=36°，
∴△BAF是等腰三角形，
同理可得：∠GEA=∠G=∠2=72°，
∴△FDG，△AEG是等腰三角形，
故等腰三角形有：△BCD，△ABF，△FDG，△AEG.
（2）证明：证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C=∠CDE=108°，CD=CB.
得∠1=36°，
∴∠2=108°?36°=72°.
又∵AF∥CD，
∴∠F=∠1=36°，
∴∠G=180°?∠2?∠F=180°?72°?36°=72°=2∠F，
23.（1）图1:∵点M、N分别从点B. C开始以相同的速度在O上逆时针运动，
∴劣弧BM=劣弧CN
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°。
（2）90°；108°
（3）由（1）、（2）可知，∠APN=它所在的正多边形的内角度数。
24.（1）证明：（1）连接OD．
∵四边形ABCD为正方形，AE=AB．
∴AE=AB=AD，∠EAD=∠DAB=90°，
∴∠EDA=45°，∠ODA=45°，
∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°，
∴直线ED是⊙O的切线．
（2）证明：作OM⊥AB于M，
∵O为正方形的中心，
∴M为AB中点，
∴AE=AB=2AM，AF∥OM，
∴
∴EF=2FO．
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1
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九年级上册 第三章 圆的基本性质（第7节）
一、单选题（共10题；共20分）
1.正六边形的边心距与边长之比为（??? ）
A.?1 : 2?????????????????????????????????B.?：2?????????????????????????????????C.?：1?????????????????????????????????D.?：2
2.已知正六边形ABCDEF的边心距为 cm，则正六边形的半径为（?? ）cm．
A.?2 ?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?4
3.若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（ ）
A.?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?π
4.正五边形的中心角等于（ ）
A.?18°???????????????????????????????????????B.?36°???????????????????????????????????????C.?54°???????????????????????????????????????D.?72°
5.半径为a的正六边形的面积等于（ ）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.?a2?????????????????????????????????????D.?
6.等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是(??? )
A.?????????????????????????????B.?2：3：4????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?1：2：3
7.已知正方形的内切圆O半径为2，如图，正方形的四个角上分别有一个直角三角形，如果直角三角形的第三边与圆O相切且平行于对角线．则阴影部分的面积为（ ）
A.?32﹣32﹣4π???????????????????????????????B.????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????D.?16﹣4π
8.如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（ ）
A.?2cm?????????????????????????????????B.?2cm??????????????????????????????????C.?4cm?????????????????????????????????D.?4Cm
9.如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（?? ）
A.???????????????????????????????????????B.?2 ??????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?3
10.若一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r1 ， r2 ， r3 ， 则r1：r2：r3等于（ ）
A.?1：2：3?????????????????????????B.?：：1?????????????????????????C.?1：：?????????????????????????D.?3：2：1
二、填空题（共6题；共6分）
11.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝________.
12.如图，⊙O的半径为10，则⊙O的内接正三角形ABC的边长为________?．
13.蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有________?．
14.如图， 是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是________ 结果用含 的式子表示 ．
15.如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为________cm2 ． （结果保留π）
16.正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长为________.
三、解答题（共4题；共25分）
17.如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，求⊙O的半径R．
18.如图，半径为R的圆内，ABCDEF是正六边形，EFGH是正方形．
（1）求正六边形与正方形的面积比；
（2）连接OF、OG，求∠OGF．
19.已知A、B两点，求作：过A、B两点的⊙O及⊙O的内接正六边形ABCDEF．（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不必写作法及证明．）
20.如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：∠G=2∠F．
四、综合题（共4题；共47分）
21.如图，正三角形的边长为6cm，剪去三个角后成一个正六边形．
（1）求这个正六边形的边长．
（2）求这个正六边形的边心距．
（3）根据题意画出图形，根据圆的面积公式计算即可．
22.如图，已知正五边形AB CDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：∠G=2∠F．
23.如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD,正五边形ABCDE,、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B,C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动
（1）求图10－1中∠APN的度数；
（2）图10－2中，∠APN的度数是________，图10－3中∠BPN的度数是________。
（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
24.如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，延长BA到E，使AE=AB，连接ED．
（1）求证：直线ED是⊙O的切线；
（2）连接EO交AD于点F，求证：EF=2FO．
答案
一、单选题
1.D 2.B 3.A 4.D 5.B 6.D 7.A 8.C 9.B 10.C
二、填空题
11.48° 12.10 13.10 14.15.16.?
三、解答题
17.解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC=×360°=120°，∠BOD=×360°=30°，
∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=45°，
∴OC=CD?cos45°=5×=5（cm）．
即⊙O的半径R=5cm．
18.（1）解：设正六边形的边长为a，
则三角形OEF的边EF上的高为a，
则正六边形的面积为：6××a×a=a2 ，
∴正方形的面积为：a×a=a2 ，
∴正六边形与正方形的面积比a2：a2=3：2；
（2）解：∵OF=EF=FG，
∴∠OGF=（180°﹣60°﹣90°）=15°．
19.答：如图所示：
首先以AB为直径作圆，在以AB的一半为半径在圆上截取相等的弧，然后顺次连接六个等分点即可．
?
20.（1）解：∵DC=BC，
∴△CDB是等腰三角形，
∵∠C=108°，
∴∠1=∠CBD=36°，
∵AF∥CD，
∴∠F=∠1=36°，
可得四边形DEAB是等腰梯形，
∴∠DBA=∠2=72°，
∴∠F=∠BAF=36°，
∴△BAF是等腰三角形，
进而可得：∠GEA=∠G=∠2=72°，
∴△FDG，△AEG是等腰三角形，
故等腰三角形有：△BCD，△ABF，△FDG，△AEG．
（2）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C=∠CDE=108°，CD=CB．
得∠1=36°，
∴∠2=108°﹣36°=72°．
又∵AF∥CD，
∴∠F=∠1=36°，
故∠G=180°﹣∠2﹣∠F=180°﹣72°﹣36°=72°=2∠F．
四、综合题
21.（1）解：∵正三角形的边长为6cm，
∴3个边长都相等，
又∵截去三个小等边三角形，
∴各个小三角形的边长也相等，
∴正六边形的边长为：2；
（2）解：连接OA，OB，过点O作OD⊥AB于点D，
∵∠AOB==60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴OD=OA?sin60°=2×=；
（3）解：如图2：
线段AB划过的面积=π×22﹣π×（）2=πcm2 ．
22.（1）解：∵正五边形ABCDE
∴DC=BC，∠C=108°
∴△CDB是等腰三角形,
∴∠1=∠CBD=36°，
∵AF∥CD，
∴∠F=∠1=36°，
可得四边形DEAB是等腰梯形，
∴∠DBA=∠2=72°，
∴∠F=∠BAF=36°，
∴△BAF是等腰三角形，
同理可得：∠GEA=∠G=∠2=72°，
∴△FDG，△AEG是等腰三角形，
故等腰三角形有：△BCD，△ABF，△FDG，△AEG.
（2）证明：证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠C=∠CDE=108°，CD=CB.
得∠1=36°，
∴∠2=108°?36°=72°.
又∵AF∥CD，
∴∠F=∠1=36°，
∴∠G=180°?∠2?∠F=180°?72°?36°=72°=2∠F，
23.（1）图1:∵点M、N分别从点B. C开始以相同的速度在O上逆时针运动，
∴劣弧BM=劣弧CN
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°。
（2）90°；108°
（3）由（1）、（2）可知，∠APN=它所在的正多边形的内角度数。
24.（1）证明：（1）连接OD．
∵四边形ABCD为正方形，AE=AB．
∴AE=AB=AD，∠EAD=∠DAB=90°，
∴∠EDA=45°，∠ODA=45°，
∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°，
∴直线ED是⊙O的切线．
（2）证明：作OM⊥AB于M，
∵O为正方形的中心，
∴M为AB中点，
∴AE=AB=2AM，AF∥OM，
∴
∴EF=2FO．
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