5.4 一次函数的图象和性质(2)
数学浙教版 八年级上
5.4 一次函数的图象和性质(2)
温故知新
一次函数的图象是 ________________．
作一次函数图象时，只要确定__________个点．
★图象上一个点的坐标是
(___________________，___________________)
如何求一次函数图像与坐标轴的交点？
与轴交点：取；
与轴交点：取．
一条直线
两
自变量取一值
相应的函数值
1.下列各点中，那些点在函数 的图像上？那些不在函数的图像上？
解： (2, 9)，(-1，-3)，(-0.5，-1)在函数图像上； (5, 1)不在函数的图像上．
这三个函数的图象形状都是一条直线，并且倾斜程度一样，也就是说它们是平行的．
相同点：
相等
平行
探索规律1
不同点：
1.函数的图象过；
2.函数的图象与y轴交于点，即它可以看作由直线向上平移个单位长度得到；
3.函数的图象与轴交于点，即它可以看作由直线向下平移2个单位长度得到．
函数可以看做是函数向上或向下平移个单位长度得到的．
当时，向上平移；
当时，向下平移．
一次函数的图象是经过点，且平行于直线的一条直线
1．把直线的图象先向上平移3个单位 ，得到一次函数 y = _________的图象，再向下平行移动5个单位，得到一次函数 y = ___________ 的图象．
3.已知直线，与直线交轴于同一点，则___．
2.已知直线与直线
平行，则 ____ ．
4.如果要通过平移直线得到的图象，那么直线必须向_____平移 ___ 个单位
下
在中，取…
时，的值是怎么变的呢?
的值也随着增大
自变量的值增大
你发现一次函数值的变化有什么规律?
在中，取…
时，的值是怎么变的呢?
的值随着减小
自变量的值增大
你发现一次函数值的变化有什么规律?
函数
名称 函数表达式
和自变量的
取值范围 图象 性质
一
次
函
数
y=kx+b
(k≠0)
x 取
一切实数
k＞0
k＜0
当k＜0时，y 随x 的增大而减小
当k＞0时，y 随x 的增大而增大
x
y
o
x
y
o
探索规律2
1、 对于函数,的值随的值减小而_______.
2、一次函数的图象经过点，那么这个一次函数（ ）
A. 随的增大而增大 B.随的增大而减小
C. 图象经过原点 D.图象不经过第二象限
3、点、点B都在直线上，则与的关系是（ ）
A. B.
C. D.
减小
B
D
6、对于函数，当时，
____________________．
5、对于函数, 当,
1
7
4、设下列两个函数当时，；当时,,用“”或“”号填空
①对于函数，若,则；
②对于函数,若,则．
正比例函数y=kx (k≠0)
x
y
0
1
2
3
3
1
2
-1
-2
-2
-1
x
y
0
1
2
3
3
1
2
-1
-2
-2
-1
y=2x
y=-2x
1．图象都经过原点
2． 当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大
当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小
探索规律3
x
y
0
1
2
3
3
1
2
-1
-2
-2
-1
y=2x
x
y
0
1
2
3
3
1
2
-1
-2
-2
-1
y=-2x
y=2x +3
y=2x
-3
y=-2x +3
y=-2x -3
图象经过的象限
k的符号
b的符号
一、二、三
?
?
一、三、四
?
?
一、二、四
?
?
二、三、四
?
?
k>0
b>0
k>0
b<0
k<0
b>0
k<0
b<0
探索规律3
函数 图象 性质
y=kx
(k≠0)
一条直线
该直线经过（0，0）原点
当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小
y=kx+b
(k≠0)
该直线经过点（0，b），
且平行于直线 y=kx
当k＞0时，y 随x 的增大而增大
当k＜0时，y 随x 的增大而减小
1．图象都经过原点
2． 当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大
一条直线
x
y
o
k＞0
k＜0
x
y
o
k＞0
k＜0
正比例
函数
一次函数
1．一次函数y=ax+b中，a＜0，b＞0，则它的图象可能是（ ）
x
y
o
(D)
x
y
o
(C)
x
y
o
(B)
x
y
o
(A)
B
3、看图象，确定一次函数y=kx+b(k≠0) 中k，b的符号．
o
x
y
o
x
y
o
x
y
k<0
b<0
k>0
b>0
k<0
b=0
2、函数经过 象限．
一、三、四
4．一次函数 的图象与 y 轴的交点
坐标（0，1），且平行于直线，求这个一次函数的表达式．
解：∵ 平行于直线，
∴ ．
又∵ 图象与 y 轴的交点坐标（0，1），
∴ b=1，
∴ ．
例2 我国某地区现有人工造林面积12万公顷，规划今后10年每年新增造林面积大致相同，约有0.61至0.62万公顷.请估算6年后该地区的造林总面积达到多少万公顷.
解 设p表示今后10年每年造林的公顷数，则0.61≤p≤0.62.
设6年后该地区的造林总面积为S万公顷，则S=6p+12.
这个一次函数中，一次项系数k=6＞0，所以S随p的增大而增大．
∵0.61≤p≤0.62，∴6×0.61+12≤S≤6×0.62，
即15.66≤S≤15.72.
答：6年后该地区的造林总面积达到15.66万至15.72万公顷．
例3 要从甲、乙两仓库向A，B两工地运送水泥.已知甲仓库可运出100吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥；A工地需70吨水泥，B工地需110吨水泥.两仓库到A，B两工地的路程和每吨每千米的运费如表：
(1)设甲仓库运往A地水泥x吨，求总运费y关于x的函数表达式.
(2)当甲、乙两仓库各运往A，B两工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？
解 (1)各仓库运出的水泥吨数和运费如表：
∴y=1.2×20x+1×25×(100-x)+1.2×15×(70-x)
+0.8×20×(10+x)=-3x+3920,
即所求的函数表达式为y=-3x+3920，
其中0≤x≤70，其图象如图所示.
(2)在一次函数y=-3x+3920中，k=-3＜0，所以y的值随x的增大而减小.
因为0≤x≤70，所以当x=70时，y的值最小.
将x=70代入各式，得各仓库运出的水泥吨数和运费如表：
所以当甲仓库向A，B两工地各运70吨和30吨水泥，乙仓库不向A工地运送，而只向B工地运送80吨水泥时，总运费最省.最省运费为-3×70+3910=3710(元).
为了清洗水箱,需放掉水箱内原有的200升水.若8:00打开放水龙头,放水的速度为2升/分.
运用函数式和图象解答下列问题:
(1)估计8:55～9:05(包括8:55和9:05)水箱内剩多少升水.
(2)当水箱中存水少于10升时,放水时间已经超过多少分钟?
解：(1)y表示放水x(分)时，水箱内水的升数.
由题意，得y=200-2x(55≤x≤65)，则70≤y≤90.
(2) 放水时间超过95分.
小 结
1、正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过点(0,0)
的一条直线．
2、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0,b)
且平行于直线y=kx (k≠0)的一条直线．
3、在直线y=k1x+b1和直线y=k2x+b2中，如果k1=k2，那么这两条直线平行，并且其中一条直线可以看作是由另一条直线平移得到的．
4、函数y = kx + b的增减性与函数y = kx 相同．
当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减少．
5、k ，b的符号决定了图象的位置．
函数 图象 性质
y=kx
(k≠0)
一条直线
该直线经过（0，0）原点
当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小
y=kx+b
(k≠0)
该直线经过点（0，b），
且平行于直线 y=kx
当k＞0时，y 随x 的增大而增大
当k＜0时，y 随x 的增大而减小
1．图象都经过原点
2． 当k＞0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大
一条直线
x
y
o
k＞0
k＜0
x
y
o
k＞0
k＜0
正比例
函数
一次函数
作业
1.作业本
2.学案
函数y = kx + b的增减性与函数y = kx 相同．
当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减少．
一次函数的图象和性质(2)
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5.4一次函数的图象和性质(2)
学习目标 1．利用函数图象了解一次函数的性质． 2．会根据自变量的取值范围求一次函数的取值范围． 3．会利用一次函数的图象和性质解决简单实际问题．
学习过程
探索规律1的结论
把直线y＝x的图象先向上平移3个单位，得到一次函数y＝_________的图象，再向下平行移动5个单位，得到一次函数y＝___________的图象．
已知直线y＝(2m－1)x＋m与直线y＝x－2平行，则__________．
已知直线y＝x＋1，与直线y＝－x＋2n－3交y轴于同一点，则__________．
如果要通过平移直线y＝－x得到y＝的图象，那么直线y＝－x必须向__________平移__________个单位．
探索规律2结论
函数名称 函数表达式和自变量的取值范围 图象 性质
对于函数y＝5x＋6，y的值随x的值减小而__________． 一次函数y＝kx＋2的图象经过点(1，1)，那么这个一次函数（ ） A．y随x的增大而增大 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象不经过第二象限 点A(－3，y1)、点B(2，y2)都在直线y＝－4x＋3上，则y1与y2的关系是（ ） A．y1≤y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2 设下列两个函数当x＝x1时，y＝y1；当x＝x2时，y＝y2，用“＜”或“＞”号填空 ①对于函数y＝x，若x2＞x1，则y2__________y1； ②对于函数y＝－x＋3，若x2__________x1，则y2＜y1． 对于函数y＝2x＋7，当x1≤x≤x2，__________≤y≤__________． 对于函数y＝－2x＋5，当－1＜x＜2时，__________＜y＜__________．
探索规律3结论
例2我国某地区现有人工造林面积12万公顷，规划今后10年每年新增造林面积大致相同，约有0.61至0.62万公顷．请估算6年后该地区的造林总面积达到多少万公顷．
例3要从甲、乙两仓库向A，B两工地运送水泥．已知甲仓库可运出100吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥；A工地需70吨水泥，B工地需110吨水泥．两仓库到A，B两工地的路程和每吨每千米的运费如表： (1)设甲仓库运往A地水泥x吨，求总运费y关于x的函数表达式． (2)当甲、乙两仓库各运往A，B两工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？ 路程（千米）运费（元/吨·千米）甲仓库乙仓库甲仓库乙仓库A地20151.21.2B地252010.8
为了清洗水箱，需放掉水箱内原有的200升水．若8：00打开放水龙头，放水的速度为2升/分． 运用函数式和图象解答下列问题： (1)估计8：55～9：05(包括8：55和9：05)水箱内剩多少升水． (2)当水箱中存水少于10升时，放水时间已经超过多少分钟?
作业题
填空： (1)已知y＝2x＋7．当x1≤x≤x2时，__________≤y≤__________． (2)已知y＝－0.5x＋2．当－3＜x＜3时，__________＜y＜__________．
已知y是关于x的一次函数，这个函数图象上有两点的坐标分别为(0，－8)，(1，2)． 求当－3＜y＜3时x的取值范围．
某一次函数的图象经过点(－1，2)，且函数y的值随自变量x的增大而减小． 请写出一个符合条件的一次函数的表达式．
一辆汽车加满油后，油箱中有汽油70L，汽车行驶时正常的耗油量为0.1L/km． (1)求油箱中剩余的汽油量Q(L)关于加满油后已驶里程d(km)的函数表达式，确定自变量d的取值范围(假定该汽车能工作至油量为零)，并画出它的图象． (2)利用图象说明，当已驶里程超过425km后油箱内的汽油量．
已知某种商品的买入单价为30元，售出价的10%用于缴税和其他费用．若要使纯利润保持在买入价的11%~20%之间(包括11%和20%)，问售出单价应该为多少元？
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5.4 一次函数的图象和性质(2)
教学目标 1．利用函数图象了解一次函数的性质． 2．会根据自变量的取值范围求一次函数的取值范围． 3．会利用一次函数的图象和性质解决简单实际问题． 重点与难点 本节教学的重点是一次函数的性质． 例3的问题情境比较复杂，解题过程涉及建模、函数的图象和性质等多方面知识的应用，是本节教学的难点．
教学设计
问：你发现这三个函数图象有什么相同点和不同点吗？
在运用一次函数的增减性解决问题时，需把增减性转换成数学符号的表示形式，课本“做一做”的目的就是让学生学会这种转换． y随x的增大而增大：x2＞x1y2＞y1； y随x的增大而减小：x2＞x1y2＜y1． 这种转换要求学生熟练掌握．
本节“合作学习”的意图是通过观察课本图5－8，让学生自己总结出一次函数的性质．教学中应注意以下几点： (1)先观察y＝2x＋3和y＝－2x＋3的图象，再观察课本图5－8中各个一次函数的图象． (2)x增大，表示图象上的点的横坐标增大．伴随点的横坐标增大，点的纵坐标增大就表示函数值y增大，反之就表示函数值减小． (3)先按k＞0和k＜0分类，然后分别总结出y随x增大的变化规律．
例2比较简单，可以让学生自己列出一次函数表达式，讲解侧重于一次函数性质的应用．可以作如下启发： (1)本例所求的是一个确定的S的值，还是一个范围？ (2)对于一次函数S＝6p＋12，S随p的增大而增大，还是减小？根据什么？ (3)当p＝0.61时，可得S＝6p＋12大于或等于什么？当p≤0.61时呢？ 值得注意的是，课本中的推理表述虽然简洁，但基础较差的学生可能不容易理解．教师可以先按上述启发、分析后再按课本格式表述．
例3的问题情境比较复杂，首先要有足够的时间让学生理解问题，内容包括以下几个方面： (1)有几个仓库？每个仓库可运出水泥多少吨？ (2)有几个工地？每个工地需水泥多少吨？ (3)运费单价表提供了哪些有用的信息？比如，“吨·千米”的含义是什么？ (4)每个仓库运往各个工地的水泥的吨数是常量还是变量？ 在列y关于x的函数表达时，要帮助学生分析各仓库运往各工地的水泥吨数的相应制约关系，并分别用关于x的代数式来表示甲仓库运往B工地的水泥吨数，乙仓库运往A工地，B工地的水泥吨数，然后用关于x的代数式表示各次运输的费用．课本用列表的方法完成上述过程，教学时可先出示空白表格，边分析边让学生把结果填入表格． 例3第(1)题还要求画出函数的图象．应强调，对于实际问题中的一次函数，画图象时一般都要求出自变量的取值范围，所画的图象也经常是直线的某一部分．另外，当自变量的取值范围与函数值的取值范围数值相差较大时，x轴与y轴的单位长可以取成不同，并且可以采用省略画法，如课本图5－9． 讲解例3第(2)题时应注意以下几点： (1)课本把求最省的运费化归为求函数y＝－3x＋3920(0≤x≤70)的最小值．应当让学生知道，对于一般一次函数，当自变量的取值为所有实数时，它既无最大值，又无最小值．当自变量的取值范围限定在一个局部区间时，它就可能有最大或最小值．可以用课本图5－9作直观说明． (2)求实际问题中的一次函数的最大值、最小值有两种方法：一是利用图象；二是利用一次函数的增减性．课本先利用一次函数的增减性求出最小值，然后在“想一想”中提出利用图象的方法．在利用图象法求解时，最好是利用表达式求出边界值，因为光凭观察图象得到的解有时只能是近似值．
在点评“课内练习”第2(2)题时，帮助学生总结出已知一次函数的函数值的取值范围，求自变量相应取值范围的基本方法：①图象法；②解析法：解一元一次不等式(组)．
作业设计 板书设计
作业题
填空： (1)已知y＝2x＋7．当x1≤x≤x2时，__________≤y≤__________． (2)已知y＝－0.5x＋2．当－3＜x＜3时，__________＜y＜__________． 解：(1)2x1＋7，2x2＋7．(2)0.5，3.5．
已知y是关于x的一次函数，这个函数图象上有两点的坐标分别为(0，－8)，(1，2)． 求当－3＜y＜3时x的取值范围． 解：y＝10x－8．当－3＜y＜3时，＜x＜．
某一次函数的图象经过点(－1，2)，且函数y的值随自变量x的增大而减小． 请写出一个符合条件的一次函数的表达式． 解：答案不唯一．例如，y＝－x＋1．
一辆汽车加满油后，油箱中有汽油70L，汽车行驶时正常的耗油量为0.1L/km． (1)求油箱中剩余的汽油量Q(L)关于加满油后已驶里程d(km)的函数表达式，确定自变量d的取值范围(假定该汽车能工作至油量为零)，并画出它的图象． (2)利用图象说明，当已驶里程超过425km后油箱内的汽油量． 解：(1)Q＝70－0.1d．图象略．0≤d≤700． (2)小于27.5L．
已知某种商品的买入单价为30元，售出价的10%用于缴税和其他费用．若要使纯利润保持在买入价的11%~20%之间(包括11%和20%)，问售出单价应该为多少元？ 解：设售出价为x(元)，纯利润为y(元)，则y＝0.9x－30． 已知30×11%≤y≤30×20%，即3.3≤0.9x－30≤6，解得37≤x≤40．
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