5.5 一次函数的简单应用(1)
数学浙教版 八年级上
图象是
表达式为
一次函数
特征1
特征2
y=kx+b
一条直线
怎样判断“两个变量满足一次函数关系？”
判定1
判定2
函数关系有几种呈现方法？
5.5 一次函数的简单应用
某商店出售一种瓜子，其售价y(元)
与瓜子质量x(千克)之间的关系如下表：
质量x(千克) 1 2 3 4 …
售价y(元) 3.8 7.4 11 14.6 …
由上表得y与x之间的关系式是_________________．
在日常生活和生产劳动中，有不少问题的数量关系可以用一次函数来刻画．
y=3.6x+0.2
在运用一次函数解决实际问题时：
首先，判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系；
如确定是一次函数关系时，可求出表达式；
再利用一次函数的图象求得两个变量之间的表达式．
问能否用一次函数刻画这两个变量x和y的关系？如果能，请求出这个一次函数的表达式.
分析 在直角坐标系中画出以上表中各对x与y的对应值为坐标的各点，观察这些点是否在（或大致在）一条直线上，从而判断y是不是关于x的一次函数.如果是，就可以用待定系数法求出y关于x的函数表达式.
例1 生物学家测得7条成熟的雄性鲸的全长y和吻尖到喷水孔的长度x的数据如下表(单位：m)：
问能否用一次函数刻画这两个变量x和y的关系？如果能，请求出这个一次函数的表达式.
例1 生物学家测得7条成熟的雄性鲸的全长y和吻尖到喷水孔的长度x的数据如下表(单位：m)：
解 在直角坐标系中画出以表中x的值为横坐标，y的值为纵坐标的7个点（如图）.
这7个点几乎在同一直线上，所以所求的函数可以看成一次函数，即可用一次函数来刻画这两个量x和y的关系.
问能否用一次函数刻画这两个变量x和y的关系？如果能，请求出这个一次函数的表达式.
例1 生物学家测得7条成熟的雄性鲸的全长y和吻尖到喷水孔的长度x的数据如下表(单位：m)：
设这个一次函数为y=kx+b.
因为较多的点靠近或在点(1.91,10.25),(2.59,12.50)所确定的直线上，所以把点(1.91,10.25),(2.59,12.50)的坐标分别代入y=kx+b.
问能否用一次函数刻画这两个变量x和y的关系？如果能，请求出这个一次函数的表达式.
例1 生物学家测得7条成熟的雄性鲸的全长y和吻尖到喷水孔的长度x的数据如下表(单位：m)：
得
所以所求的函数表达式为y=3.31x+3.93.
解得
问能否用一次函数刻画这两个变量x和y的关系？如果能，请求出这个一次函数的表达式.
例1 生物学家测得7条成熟的雄性鲸的全长y和吻尖到喷水孔的长度x的数据如下表(单位：m)：
思考：把其余5个点的坐标代入函数表达式进行检验，你发现什么问题？把你发现的问题提出来，与你的同伴交流.
这种方法步骤是：
①通过实验，测得获得数量足够多的两个变量的对应值．
②建立合适的直角坐标系，在坐标系内以各对应
值为坐标描点，并用描点法画出函数图像．
③观察图像特征，判定函数的类型．
（获得两个变量的几组数据）
看图像是否近似一条直线
确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法就是：利用图象判断
1.通过实验获得u,v两个变量的各对应值如下表.
判断变量u,v是否满足或近似地满足一次函数关系式.如果是,求v关于u的函数式,并利用函数式求出当u＝2.2时,函数v的值.
先用描点法画出v关于u的函数图象(画图略),根据所画图象接近直线,断定v是关于u的一次函数,其表达式为v＝105u+50.当u＝2.2时,v＝281.
2.绝大部分国家都使用摄氏温度(℃),也有极少数国家(如美国)的天气预报中使用华氏温度(℉).两种计量单位之间有如下对应关系:
(1)在直角坐标系中描出以上表中各对C(℃)与F(℉)的对应值为坐标的各点,观察这些点是否在同一条直线上.
(2)求出C(℃)关于F(℉)的函数表达式.
(3)求华氏温度为100℉时的摄氏温度.
(4)华氏温度的值与摄氏温度的值有可能相同吗?请说明理由.
确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法是：
归纳
实验
数据
函数类型
图象
获取
数据
图象
画出
判断
用待定系数法求出函数表达式
注意：这样获得的函数表达式有时是近似的
作业
1.作业本
2.学案
一次函数的简单应用(2)
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
中小学教育资源及组卷应用平台
5.5 一次函数的简单应用(1)
学习目标 1．了解通过实验获得数据，然后根据数据建立一次函数模型的一般过程． 2．会综合运用一次函数的表达式，函数图象以及结合方程(组)等其他数学模型，解决实际问题．
学习过程
某商店出售一种瓜子，其售价y(元)与瓜子质量x(千克)之间的关系如下表： 质量x(千克)1234…售价y(元)3.87.41114.6…
由上表得y与x之间的关系式是______________________________．
运用一次函数解决实际问题的一般步骤
例1 生物学家测得7条成熟的雄性鲸的全长y和吻尖到喷水孔的长度x的数据如下表(单位：m)： 问能否用一次函数刻画这两个变量x和y的关系？如果能，请求出这个一次函数的表达式．
确定两个变量是否构成一次函数关系的一种常用方法：
1．通过实验获得u，v两个变量的各对应值如下表． u00.511.522.534v50100155207260290365470
判断变量u，v是否满足或近似地满足一次函数关系式．如果是，求v关于u的函数式，并利用函数式求出当u＝2.2时，函数v的值．
2．绝大部分国家都使用摄氏温度(℃)，也有极少数国家(如美国)的天气预报中使用华氏温度(℉)．两种计量单位之间有如下对应关系： 摄氏C(°C)01020304050华氏F(°F)32506886104122
(1)在直角坐标系中描出以上表中各对C(℃)与F(℉)的对应值为坐标的各点，观察这些点是否在同一条直线上． (2)求出C(℃)关于F(℉)的函数表达式． (3)求华氏温度为100℉时的摄氏温度． (4)华氏温度的值与摄氏温度的值有可能相同吗？请说明理由．
作业题
小聪上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小聪离家的路程s(千米)和所经过的时间t(分)之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)小聪去超市途中的速度是多少？回家途中的速度是多少？ (2)小聪在超市逗留了多少时间？ (3)小聪在来去途中，离家1千米处的时间是几时几分？
科学家用一些金鱼做实，测试不同水温对"鱼的呼吸速率"(即开闭鳃盖的次数与时间的比)的影响，得到统计图如图所示．若设温度为t(℃)，平均呼吸速率为v(次/分)，你能用其他恰当的方式表示v与t的关系吗？
三位教师带领若干名学生去旅游，联系了标价相同的两家旅游公司．经洽谈，甲公司给出的优惠条件是：教师全额收费，学生按7折收费；乙公司给出的优惠条件是：全部师生按8折收费．选哪家公司师生付费的总额较少？
小明4岁那年父亲种下一棵山毛榉和一棵枫树．当时山毛榉高2.4m，枫树高0.9m．现在枫树已经比山毛榉高了，在此期间，山毛榉的平均生长速度是每年长高0.15m，枫树的平均生长速度是每年长高0.3m．问小明现在的年龄应超过多少岁？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
5.5 一次函数的简单应用(1)
教学目标 1．了解通过实验获得数据，然后根据数据建立一次函数模型的一般过程． 2．会综合运用一次函数的表达式，函数图象以及结合方程(组)等其他数学模型，解决实际问题． 重点与难点 本节教学的重点是利用数据、画出图象取得函数表达式的基本方法和步骤． 例1由图象获得函数表达式的过程比较复杂，是本节教学的难点．
教学设计
通过实验获得数据——根据数据画出函数的图象——根据图象判断函数的类型——用待定系数法求出函数表达式，这是一种很有实用价值的建模方法．课本开头直接把这一建模的方法、步骤介绍给学生，然后再通过例1来说明这一方法．
讲解例1应注意以下几点： (1)要让学生意识到题设中的数据表实际上是y关于x的函数的一组对应值表，因此根据这张数据表就可以画出函数的图象，并根据图象的形状是否是一条直线(近似的)，判定函数是不是一次函数．这样就形成了解题的思路．
(2)画图象的过程要让学生自己动手，教师适当指导坐标轴上刻度单位的选取．
(3)求函数表达式．因为有上一节课的准备，这一步也可以由学生自己来完成，但选择哪两对自变量与函数的对应值代入一次函数式，教师应作指导．通常选择数值较简单，但又能使更多的点在(或接近)它们所确定的直线上的两对．
(4)应当让学生知道由于测量数据不可能完全准确等原因，这样求得的一次函数表达式往往只能近似地刻画x与y两个变量之间的关系．选择不同的两对对应值，求得的一次函数表达式也可能会有差异．
(5)讲完例1后应让学生再回顾小结这种建模方法的主要步骤和应注意的问题．
作业设计 板书设计
作业题
小聪上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小聪离家的路程s(千米)和所经过的时间t(分)之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)小聪去超市途中的速度是多少？回家途中的速度是多少？ (2)小聪在超市逗留了多少时间？ (3)小聪在来去途中，离家1千米处的时间是几时几分？ 解：(1)12km/时，6km/时．(2) 30分．(3) 8：05，8：50．
科学家用一些金鱼做实，测试不同水温对"鱼的呼吸速率"(即开闭鳃盖的次数与时间的比)的影响，得到统计图如图所示．若设温度为t(℃)，平均呼吸速率为v(次/分)，你能用其他恰当的方式表示v与t的关系吗？ 解：u＝t＋28
三位教师带领若干名学生去旅游，联系了标价相同的两家旅游公司．经洽谈，甲公司给出的优惠条件是：教师全额收费，学生按7折收费；乙公司给出的优惠条件是：全部师生按8折收费．选哪家公司师生付费的总额较少？ 解：设总旅游费为y元，学生人数为x人，每人旅费为a元(a＞0)， 由题意，得y甲＝3a＋0.7ax，y乙＝(3＋x)·0.8a． 设y甲＞y乙，则3a＋0.7ax＞(3＋x)·0.8a，解得x＜6． ∴ 当x＜6，即学生人数少于6人时，y甲＞y乙，乙公司收费较少； 当x＝6，即学生人数为6人时，y甲＝y乙，两家公司收费相同； 当x＞6，即学生人数多于6人时，y甲＜y乙，甲公司收费较少．
小明4岁那年父亲种下一棵山毛榉和一棵枫树．当时山毛榉高2.4m，枫树高0.9m．现在枫树已经比山毛榉高了，在此期间，山毛榉的平均生长速度是每年长高0.15m，枫树的平均生长速度是每年长高0.3m．问小明现在的年龄应超过多少岁？ 解：设经过x年，枫树比山毛榉高，又设枫树高y1(m)，山毛榉高y2(m)， 由题意，得y1＝0.9＋0.3x，y2＝2.4＋0.15x． 由y1＞y2，得x＞10， ∴ 至少经过10年，枫树比山毛榉高，即小明应超过14岁．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
