5.3 一次函数（1）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学上册第5章5.3一次函数
第1课时 一次函数（1）
【知识清单】
一、一次函数的定义：
一般地，函数（，都是常数，且）叫做一次函数.当时，一次函数就成为（为常数，），叫做正比例函数，常数叫做比例系数.
二：如何判断一个函数为一次函数：
1.一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成形式（等式两端都是整式；自变量的次数为1）．
2.当，时，仍是一次函数．
3.当，时，它不是一次函数．
4.正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
【经典例题】
例题1、下列函数中，哪些是一次函数?若是一次函数，写出系数k和常数项b的值.
(1)y=5x+12 (2)y=4(7x) (3)y=16x (4)S=x(6x)
【考点】一次函数定义.
【分析】根据一次函数和正比例函数的一般形式“（）”“（）”作出判断即可．
【解答】（1）y=5x+12，
∵根据一次函数的定义y=5x+12是一次函数，
∴k=5，b=12.
(2)∵y=4(7x)=284x=4x+28，
∴根据一次函数的定义y=4(7x)=284x=4x+28，是一次函数，
∴k=4，b=28.
(3)y=16x
∵根据一次函数的定义y=16x是一次函数，也是正比例函数
∴k=16.
(4) ∵S=x(6x)=6xx2，
自变量的次数不是1.
∴S=x(6x)=6xx2不符合一次函数定义，不是一次函数.
【点评】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是依据一次函数的一般形式对所给的函数解析式作出正确的判断．
例题2、（1）已知y=(m2)x+3m，若它分别是一次函数和正比例函数时，求m的值；
（2）已知是一次函数，求出a的值并写出函数解析式.
【考点】一次函数定义.
【分析】（1）根据一次函数的一般形式可得y=(m2)x+3m中，m2≠0即可；若y=(m2)x+3m是正比例函数就需要m2≠0，3m=0即可；（2）根据一次函数的一般形式可得中的a28=1，a3≠0，解出a的即可.
【解答】（1）若y=(m2)x+3m是一次函数，
则有m2≠0，即m≠2；
若y=(m2)x+3m是正比例函数，
则有m2≠0，3m=0
即m=3.
（2）∵是一次函数，
∴，
解得，.
∴函数解析式为.
【点评】此题主要考查了函数的概念，利用函数的定义正确确定参数的取值，严格各个量所满足的条件，一次函数满足；正比例函数满足，的两个条件.自变量的次数一定是1.
【夯实基础】
1、下面关于x的函数，哪个是正比例函数（　　）
A. ykx B. C. D.
2、下列函数中：①；②y＝x；③；④；⑤y＝2(32x)，一次函数的个数为（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3、将一次函数中，化成形式正确的是（ ）
A. B. C. D.
4、某商店售货时，在进价基础上加一定利润.其数量x与售价y如下表所示，则售价y与数量x的函数关系式为（ ）
数量x(千克)
1
2
3
4
…
售价y(元)
4+0.2
8+0.4
12+0.6
14+0.8
…
A.y=4+0.2x B.y=4x+0.2 C.y=4.2x+0.2 D.y=4.2x
5、一个长方形的周长为18.若它的一边长为x，那么它的面积S与x的关系式为 ，这个函数关系式 （填“是”或“不是”）一次函数.
6、已知一次函数与，当x=3时，，则k= .
7、写出下列各题x，y中的关系式，并判断y是否为x一次函数，是否为正比例函数．
（1）汽车以每小时80千米的速度匀速行驶，行驶里程y(千米)与行驶时间x(小时)之间关系；
（2）正方形的面积y与周长x之间关系；
（3）一个三角形的底为6 cm，则面积y(cm2)与底边上的高x(cm)之间关系；
（4）一颗树现在高32cm，若每年长高26cm，x年后这颗树的高度为ycm.
8、拖拉机工作时，油箱中有油56升，如果每时耗油4升．
（1）求油箱中余油量L（升）与工作时间t（时）的关系式；
（2）是否是一次函数，自变量的取值范围；
（3）工作12小时后油箱中余油量为多少升？
（4）工作多少时间后，油箱中余油量是12升？
【提优特训】
9、把一次函数化为形式，则k、b的值分别为( )
A．k=1 b=2 B．k=1 b=2 C．k=1 b=2 D．k=2 b=1
10、在梯形面积公式中，a，h为常数，则S与b的关系为（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．不是函数
11、某种储蓄的月利率是0.18%，存入500元本金后，则本息和y元与所存月数x之间函数关系式为（ ）
A．y=0.18x+500 B．y=0.18%x+500 C．y=0.9x+500 D．y=9x+500
12、已知函数是一次函数，则当时，y的值是 ．
13、若一次函数与是函数值，，则x的整数值是 ．
14、若一个等腰三角形的底角为，顶角为，则y关于x的函数关系式为 ，
这是一个 函数，自变量x的取值范围是 .
15、已知函数y＝(3m)x＋(m29)（m为常数）．
(1)当m取何值时，该函数是一次函数？
(2)当m取何值时，该函数是正比例函数？
16、寒假临近某体育用品商店决定部分商品让利学生，特推出两种优惠购物方案：①购1只乒乓球拍，赠送乒乓球1个；②购乒乓球拍和乒乓球一律按9折优惠.乒乓球拍每只定价18元，乒乓球每个定价3元，李峰和同学需购买6只乒乓球拍，乒乓球若干个（不少于6个）.
（1）分别写出两种优惠方案购买总费用y（元）与所购买乒乓球个数x（个）之间的函数关系式；
（2）如果让你去购买，你会选择哪种优惠方案购买；
（3）李峰和同学需买6只乒乓球拍和乒乓球20个，请你设计最划算的购买方案.
17、已知y4与x+3成正比例，当x=2时，y=11.
解答下列问题：(1)求 y关于x的函数解析式；(2)当x=4时函数值；(3)当y>13时，x的取值范；(4)当x<4时，y的取值范围.
18、如图，在长方形ABCD中，点P从点A开始以3cm/s的速度沿着折线AB→BC→CD向点D移动，若长方形的长AD=12cm，宽AB=8cm，设点P运动的时间为x(s)，PB的长为ycm，△PAD的面积为Scm2．
（1）请分别写出当点P在线段AB、BC、CD上时，S与x之间的函数关系式，并指出相应的自变量x的取值范围；
（2）分别求当点P在线段AB、BC上时，y与x之间的函数关系式；
（3）分别求x=8，12.5时，PB的长．
【中考链接】
19、2018湖南益阳18．（4分）小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第1个图案有1枚棋子，第2个图案有3枚棋子，第3个图案有4枚棋子，第4个图案有6枚棋子，…，那么第9个图案的棋子数是　 　枚．
20、2018浙江金华16．（5分）实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15cm，底面的长是30cm，宽是20cm，容器内的水深为x cm．现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A的三条棱的长分别10cm，10cm，ycm（y≤15），当铁块的顶部高出水面2cm时，x，y满足的关系式是　 　　 　　 　　 　．
21、2018年江苏省扬州市17.如图，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，把矩形沿折叠，点落在点处，
则点的坐标为 ．
22、2018江苏宿迁24. 某种型号汽车油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L.设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过程中油箱内剩余油量为y（L）
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的四分之一，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程.
参考答案
1、D 2、C 3、B 4、D 5、，不是 6、 9、A 10、B 11、C 12、2
13、3 14、y=2x+180 ,一次 ，07、解：（1）y=80x，是一次函数，也是正比例函数；
（2），不是一次函数；
（3）y=3x，是一次函数，也是正比例函数；
（4）y=32+26x，是一次函数，但不是正比例函数.
8、解：（1）根据题意，得L=564t；
（2）根据一次函数的定义知L是t的一次函数，自变量的取值范围是0≤t≤14；
（3）当t=12时，L=564t=564×12=8，
答：拖拉机工作12小时后油箱中余油量为8升；
（4）当L=12时，564t=12，
解得t=11(时)，
答：拖拉机工作11小时后油箱中余油量为12升.
15、解：(1)当3m≠0时，
即m≠3时，函数y＝(3m)x＋(m29)就是一次函数；
(2) 当时，
即m=3时，函数y＝(3m)x＋(m29)是正比例函数.
16、解：（1）设按优惠方法①购买需用y1元，按优惠方法②购买需用y2元，
则，；
（2）设，即，
∴x>24，
当x>24整数时，选择优惠方案②；
设，
∴当x=24时，选择优惠方案①，②购买费用一样多；
∴当6≤x<24整数时，选择优惠方案①.
（3）因为需要购买6只乒乓球拍和乒乓球20个，而20<24，
购买方案一：用优惠方案①购买，需元；
购买方案二：采用两种购买方式，用优惠方案①购买6只乒乓球拍，需要6×18=108元，同 时获赠6只乒乓球；
用优惠方法②购买14只乒乓球，需要14×3×90％=37.8元，共需108+37.8=145.8元，显然145.8<150，
最佳购买方案是：用优惠方案①购买6只乒乓球拍，获赠6只乒乓球；再用优惠方案②购买14只乒乓球.
17、解：(1)设y4=k(x+3)，
∴y= k(x+3)+4，
把x=2 ，y=11代入y= k(x+3)+4得，11=k(2+3)+4
解得，k=3.
∴y关于x的函数解析式为y=3x5；
(2)当x=4时，y=3x5=3×(4)5=7；
(3)当y>13时，y=3x5>13,
解得x<6；
(4)由y=3x5得，
当x<4时，，
解得y>17.
18、解：（1）∵长方形的长AD=12cm，宽AB=8cm，
∴AB=CD=8cm，AD=BC=12cm．
∴点P在线段AB上时，AP=2x，
此时；
当点P在线段BC上时，△PAD 的高为AB=8cm，
此时；
当点P在线段CD上时，△PAD 的高为DP=（12+8+8-2x）=282x，
此时；
故；
（2）当点P在AB上时，
∵PB+AP=AB，即y+2x=8，
∴y=82x；
当点P在BC上时，PB+AB=2x，即y+8=2x，
∴y=2x8；
（3）∵当x=8时，2x=16，
∴此时点P在BC上，
∴PB=16AB=168=8；
当x=12.5时，2x=25，
∴此时点P在CD上，
∴PC=25BCAB=25128=5，
∴．
19、【解答】解：设第n个图形有an个旗子，
观察，发现规律：a1=1，a2=1+2=3，a3=3+1=4，a4=4+2=6，a5=6+1=7，…，
a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n为自然数）．
当n=4时，a9=3×4+1=13．
故答案为：13．
20、【分析】分两种情况：利用实心铁块浸在水中的体积等于容器中水位增加后的体积减去原来水的体积建立方程求解即可．
【解答】解：①当长方体实心铁块的棱长为10cm和ycm的那一面平放在长方体的容器底面时，
则铁块浸在水中的高度为8cm，此时，水位上升了（8﹣x）cm（x＜8），铁块浸在水中的体积为10×8×y=80ycm3，
∴80y=30×20×（8﹣x），
∴，
∵y≤15，
∴x≥6，
即：，
②当长方体实心铁块的棱长为10cm和10cm的那一面平放在长方体的容器底面时，
同①的方法得，，
故答案为：或.
【点评】此题主要考查了从实际问题列一次函数关系式，正确找出相等关系是解本题的关键．
22、【分析】（1）根据题意可得y与x之间的函数表达式为：（0≤x≤400）；
（2）根据题意可得不等式：，解之即可得出答案.
【详解】（1）由题意得：，即（0≤x≤400），
答：y与x之间的函数表达式为：（0≤x≤400）；
（2）依题可得：，∴，
∴x≤300.
答：该辆汽车最多行驶的路程为300km.
【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，弄清题意，找出各个量之间的关系是解题的关键.