3.3 垂径定理
第1课时 垂径定理
知识点一 圆的对称性
圆是________图形，每一条____________都是它的对称轴．
1．圆有________条对称轴，它的对称轴是________．
知识点二 垂径定理
垂直于弦的直径________，并且平分________．
圆心到圆的一条弦的距离叫做________．
2．如图3－3－1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连结BC，BD，则下列结论中不一定正确的是( )
图3－3－1
A．AE＝BE B.＝
C.＝ D．OE＝DE
3．如图3－3－2，在⊙O中，半径OB＝5 cm，OC⊥AB，OC＝3 cm，则弦AB的长为________ cm.
图3－3－2
类型一 运用垂径定理探索圆中的计算问题
例1 [教材补充例题] 如图3－3－3，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于点M，CD＝15 cm，OM∶OC＝3∶5，求弦AB的长．
图3－3－3
【归纳总结】垂径定理的基本模型
如图3－3－4，在⊙O中，OC⊥AB?r2＝＋h2.
图3－3－4
类型二 运用垂径定理探索圆
中的证明问题
例2 [教材补充例题] 如图3－3－5，AB，CD是⊙O的弦，∠A＝∠C.求证：AB＝CD.
图3－3－5
【归纳总结】利用垂径定理证明的常见辅助线
作圆心到弦的垂线段，它在沟通半径与弦中起着桥梁的作用．
类型三 运用垂径定理解决实际问题
例3 [教材例2变式] 要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10 mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8 mm(如图3－3－6)，求此小孔的直径d.
图3－3－6
【归纳总结】弓形问题的基本模型
如图3－3－7，弓形的半径为r，弦长为a，弓高为h，则：①r2＝＋(h－r)2；②r2＝＋(r－h)2.
图3－3－7
半径为5 cm的圆中有两条弦，弦长分别为3 cm，4 cm，求两弦之间的距离．
解：如图3－3－8，过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连结OD，OB.
在Rt△OED中，
OE＝＝＝3(cm)，
OF＝＝＝4(cm)，
∴EF＝4－3＝1(cm)，
∴两弦之间的距离为1 cm.
以上解法正确吗？若不正确，请改正．
图3－3－8
课时作业(十七)
[3.3 第1课时 垂径定理]
一、选择题
1．如图K－17－1，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是( )
图K－17－1
A．CE＝DE B．AE＝OE
C.＝ D．△OCE≌△ODE
2．如图K－17－2所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长为( )
图K－17－2
A．5 B．7 C．9 D．11
3．2017·金华如图K－17－3，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形的弦AB的长为( )
图K－17－3
A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm
4．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为( )
A．3 B．3 C. D.
5．如图K－17－4，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长为( )
图K－17－4
A．4 B．6 C．2 D．8
6．圆的半径为13 cm，两弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则两弦AB，CD之间的距离是( )
A．7 cm B．17 cm
C．12 cm D．7 cm或17 cm
二、填空题
7．2017·大连如图K－17－5，在⊙O中，弦AB＝8 cm，OC⊥AB，垂足为C，OC＝3 cm，则⊙O的半径为________cm.
图K－17－5
8．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图K－17－6所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，求CD的长”. 同学们根据题意可得CD的长为________.
图K－17－6
9．在半径为2的圆中，弦AC的长为1，M为AC的中点，过点M的最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为________．
10．2016·绍兴如图K－17－7①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.
图K－17－7
11．2017·雅安⊙O的直径为10，弦AB的长为6，P是弦AB上一点，则OP长的取值范围是________．
12．2017·遵义如图K－17－8，AB是⊙O的直径，AB＝4，M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA＝45°，则弦CD的长为________.
图K－17－8
三、解答题
13．如图K－17－9，⊙O是△ABC的外接圆，过点O作OE⊥AC于点E，OD⊥AB于点D，连结DE，你认为DE与BC有什么关系？写出你的结论和理由.
图K－17－9
14．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图K－17－10)．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
图K－17－10
15．如图K－17－11所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，BC长为半径作圆交AB于点D，求AD的长．
图K－17－11
探究应用如图K－17－12所示，已知半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，求AB2＋CD2的值．
图K－17－12
详解详析
【学知识】
知识点一 轴对称 过圆心的直线
1．无数 过圆心的直线
知识点二 平分这条弦 弦所对的弧 弦心距
2．[答案] D
3．[答案] 8
【筑方法】
例1 [解析] 这是应用垂径定理进行计算的一个基础题．先求出OM的长，再根据勾股定理求得AM的长，再由垂径定理得AB＝2AM.
解：连结OA.由垂径定理，得AM＝BM.
∵CD＝15 cm，∴OC＝7.5 cm.
又∵OM∶OC＝3∶5，
∴OM＝4.5 cm.
在Rt△AOM中，由勾股定理，得AM＝＝6(cm)，即AB＝12 cm.
例2 [解析] 首先作出两弦AB，CD的弦心距OE，OF，由垂径定理得AE＝AB，CF＝CD，然后利用全等三角形证明AE＝CF.
证明：如图，过点O分别作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，则AE＝AB，CF＝CD.
∵∠A＝∠C，∠AEO＝∠CFO＝90°，OA＝OC，
∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∴AB＝CD.
例3 解：如图，过点O作OD⊥AB于点D，DO的延长线交⊙O于点C，连结OB.
由垂径定理得CD垂直平分AB.
CD＝h＝8 mm，OD＝CD－CO＝3 mm.
在Rt△ODB中，BD＝＝＝4(mm)，
∴AB＝2BD＝8 mm.
答：此小孔的直径d为8 mm.
【勤反思】
[小结] 平分 弧 圆心
[反思] 不正确．还有一种情况，即EF＝OE＋OF＝7 cm.如图所示．故两弦之间的距离为1 cm或7 cm.
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] B
2．[答案] A
3．[答案] C
4．[答案] C
5．[解析] A 连结OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，
∵∠AOC＝2∠B，且∠AOD＝∠COD＝∠AOC，
∴∠COD＝∠B＝60°，
∴∠OCD＝30°.
在Rt△COD中，OC＝4，∠OCD＝30°，
∴OD＝OC＝2，CD＝＝2 ，
∴AC＝2CD＝4 .
6[解析] D 分弦AB和CD在圆心O的同侧和异侧两种情况进行讨论．
7．[答案] 5
8．[答案] 26
[解析] 连结OA，由垂径定理可知AE＝AB＝5.若设⊙O的半径为r，则OE＝r－CE＝r－1，于是由勾股定理可得r2＝(r－1)2＋52，解得r＝13，所以⊙O的直径CD的长为26.
9．2
10． 25
[解析] 如图，设圆的圆心为O，连结OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O的半径为R，
∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝AB＝20 cm，∠ADO＝90°.
在Rt△AOD中，∵OA2＝OD2＋AD2，
∴R2＝(R－10)2＋202，
解得R＝25.故答案为25.
11．[答案] 4≤OP≤5
[解析] 当点P与点A或点B重合时，OP为半径，故OP最大为5，当OP⊥AB时，根据“垂线段最短”可得此时OP最小．根据垂径定理可知AP＝BP＝3，结合勾股定理可得OP＝＝4.
12．[答案]
[解析] 如图，过点O作ON⊥CD于点N，连结OC，∵∠CMA＝45°，∠ONC＝90°，∴△MON是等腰直角三角形．∵AB＝4，M是OA的中点，∴OM＝1，根据勾股定理解得ON＝，在Rt△CON中，CN＝＝＝，∴CD＝2CN＝.
13．解：结论：DE綊BC.
理由：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD＝BD，AE＝EC，∴DE綊BC.
14．解：(1)证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E.
易知AE＝BE，CE＝DE，
∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
(2)∵由(1)可知OE⊥AB且OE⊥CD，连结OC，OA，
∴OE＝6，
∴CE＝＝2 ，AE＝＝8，
∴AC＝AE－CE＝8－2 .
15．解：过点C作CM⊥AB，交AB于点M，
由垂径定理可得M为BD的中点．
∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5.
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CM，
∴CM＝2.4.
在Rt△BCM中，根据勾股定理，得BC2＝BM2＋CM2，即9＝BM2＋2.42，
解得BM＝1.8，
∴BD＝2BM＝3.6，
∴AD＝AB－BD＝5－3.6＝1.4.
[素养提升]
[解析] 连结AO，DO，OE，过点O作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N，构造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂径定理，推知OM2＝DO2－DM2＝4－()2，ON2＝OA2－AN2＝4－()2，所以OM2＋ON2＝
4－()2＋4－()2＝1，由此解得AB2＋CD2＝28.
解：如图，连结AO，DO，OE，过点O作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N.
∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，
∴四边形OMEN为矩形．
∵OM2＋ME2＝OE2(勾股定理)，且ME2＝ON2，
∴OM2＋ON2＝OE2.
∵OM2＝DO2－DM2＝4－()2，
ON2＝OA2－AN2＝4－()2，
∴OM2＋ON2＝4－()2＋4－()2＝1，
∴AB2＋CD2＝28.
[点评] 本题考查的是垂径定理和勾股定理．解决本题的关键是通过作辅助线构建矩形OMEN，利用勾股定理、矩形的性质以及垂径定理将AB2＋CD2联系在同一个等式中，然后根据代数知识求解．
第2课时 垂径定理的逆定理
知识点一 垂径定理的逆定理1
平分弦(________)的直径________，并且平分________．
1．如图3－3－9，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为( )
图3－3－9
A．9 B．8 C．6 D．4
知识点二 垂径定理的逆定理2
平分弧的直径__________________．
2．如图3－3－10，AB是⊙O的直径，B是的中点，AB＝10 cm，OE＝3 cm，则CD的长为________cm.
图3－3－10
类型一 运用垂径定理的逆定理解决圆中的边角问题
例1 [教材补充例题] 如图3－3－11，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC，垂足为H，D是的中点，连结AD，OA.
求证：AD平分∠HAO.
图3－3－11
【归纳总结】借助垂径定理的逆定理添加辅助线的思路
(1)连结圆心与弦的中点；(2)连结圆心与弧的中点．
类型二 综合运用垂径定理及其逆定理解决问题
例2 [教材例3拓展] 有一座桥，桥拱是圆弧形(水面以上部分)，测量时只测到桥下水面宽AB为16 m(如图3－3－12)，桥拱最高处点C离水面4 m.
(1)求该桥拱的半径；
(2)若大雨过后，桥下水面宽度为12 m，则水面涨高了多少？
图3－3－12
【归纳总结】垂径定理及其逆定理的相互关系
在定理“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”中，为什么强调弦不是直径？
详解详析
【学知识】
知识点一 不是直径 垂直于弦 弦所对的弧
1．[解析] B ∵CE＝2，DE＝8，∴CD＝10，
∴OB＝OC＝5，OE＝5－2＝3.
∵直径CD过弦AB的中点E，
∴CD⊥AB，∴AE＝BE.
在Rt△OBE中，∵OE＝3，OB＝5，
∴BE＝＝4，
∴AB＝2BE＝8.
知识点二 垂直平分弧所对的弦
2．[答案] 8
[解析] 连结OC，
∵AB是⊙O的直径，B是的中点，
∴直径AB⊥弦CD，
∴CE＝DE.
在Rt△OEC中，OE＝3，OC＝5，
∴CE＝＝4，
∴CD＝2CE＝8(cm)．
【筑方法】
例1 证明：连结OD，交BC于点E.
∵D是的中点，∴OD⊥BC.
又∵AH⊥BC，∴OD∥AH，
∴∠ODA＝∠DAH.
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠DAH，
∴AD平分∠HAO.
例2 解：(1)如图，设点O为圆心，连结OA，OC，OC交AB于点D.
由题意，得AB＝16 m，CD＝4 m，＝，
所以OC⊥AB，
所以AD＝AB＝×16＝8(m)．
设⊙O的半径为x m，则在Rt△AOD中，
OA2＝AD2＋OD2，即x2＝82＋(x－4)2，
解得x＝10.
所以该桥拱的半径为10 m.
(2)设水面上涨到EF位置(如图)．
此时EF＝12 m，EF∥AB，有OC⊥EF(设垂足为M)，
所以EM＝EF＝×12＝6(m)．
连结OE，则有OE＝10 m，
所以OM＝＝＝8(m)．
又因为OD＝OC－CD＝10－4＝6(m)，
所以OM－OD＝8－6＝2(m)，
即大雨过后，水面涨高了2 m.
【勤反思】
[小结] 垂直于弦 平分 垂直平分
[反思] 因为如果不强调弦不是直径，那么会出现两条相互平分的直径不垂直，并且也不能平分弦所对的弧的情况．如图，弦AB被CD平分，但AB与CD不垂直，且≠.
