4.4 两个三角形相似的判定课时作业（1）

4.4 两个三角形相似的判定课时作业（1）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连接，交于点，交于点，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有（ ）
A． 6对 B． 5对 C． 4对 D． 3对
如图，在?ABCD中，点E在边AD上，射线CE、BA交于点F，下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE：S△COB=9：16，则DE：BC为（　　）
A．2：3 B．3：4 C．9：16 D．1：2
如图，是矩形的边上任意一点，是边上一点，，图中一定相似的三角形是（ ）
A． ①与② B． ③与④ C． ②与③ D． ①与④
如图，△ABC中，AD是中线，BC=4，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（　　）
A． B．2 C．3 D．
如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是　　．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
如图，已知AB∥CD，若=，则=　 　．
如图，E为?ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，连接DE交BC于点F，则CF：AD=　 　．
如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：　 　．
如图，△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，线段DE⊥AB，且△BDE的面积是△ABC面积的三分之一，那么，线段BD长为　 　．
三、解答题
如图，四边形是正方形，点在上，于，求证：．
已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交AB于E，交CD于F，求证：OE=OF．
如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：△ADF∽△BAD．
如图在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）如AF=3，AG=5，求△ADE与△ABC的周长之比．
答案解析
一 、选择题
【考点】相似三角形的判定
【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠EBF=∠EAD，∠EFB=∠EDA，
∴△EFB∽△EAD；
同理可得，△FGC∽△DGA，△EBF∽△DCF，△GAE∽△GCD，△ADE∽△CDF．
故选B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质等知识点，能运用相似三角形的判定定理进行证明是解此题的关键．
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【分析】根据平行四边形的性质及平行线分线段成比例的性质即可得出答案．
解：A、∵△AEF∽△EDC，∴，错误；
B、∵△AEF∽△EDC，∴，错误；
C、∵△AEF∽△EDC，∴，∵AE∥BC，∴，∴，正确；
D、∵△AEF∽△EDC，∴，错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质及平行线分线段成比例的性质解答．
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】根据相似三角形的面积比即可求出答案．
解：∵DE∥BC，
∴△DOE∽△BOC，
∴=（）2
∴
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于基础题型．
【考点】相矩形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定
【分析】由矩形ABCD，根据矩形四个角为90°，的∠A=∠D=90°；根据直角三角形中两锐角互余，得∠AEF+∠AFE=90°，又有∠EFC=90°，根据同角的余角相等，可得∠CFD=∠AEF;根据两个角对应相等的三角形相似，得△AEF∽△DFC.
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°
∵∠EFC=90°
∴∠AEF+∠AFE=90°，∠AFE+∠DFC=90°
∴∠AFE=∠DFC=90°
所以△AFE∽△DFC,所以答案选择A项.
【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定。注意相似的判定是解决本题的关键.
【考点】三角形的判定和性质，三角形的中线的定义
【分析】只要证明△CAD∽△CBA，可得=，推出CA2=CD?CB即可解决问题；
解：∵AD是中线，
∴BD=DC=2，
∵∠C=∠C，∠CAD=∠B，
∴△CAD∽△CBA，
∴=，
∴CA2=CD?CB=2×4=8，
∵AC＞0，
∴AC=2，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的中线的定义等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
【考点】含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义
【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：∠BDE=∠ABD，进而判断出DE∥AB，再求出AB=3，即可得出结论．
解：如图，
在Rt△BDC中，BC=4，∠DBC=30°，
∴BD=2，
连接DE，
∵∠BDC=90°，点D是BC中点，
∴DE=BE=CEBC=2，
∵∠DCB=30°，
∴∠BDE=∠DBC=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠BDE，
∴DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=2，
∴AB=3，
∴，
∴，
∴DF=BD=×2=，
故选：D．
【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出DE∥是解本题的关键．
二 、填空题
【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
解：∵∠A=∠D，
∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，
∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，
∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．
故答案为AB∥DE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】利用相似三角形的性质即可解决问题；
解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴==，
故答案为．
【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】先证明△CDF∽△BEF，所以，由平行四边形的性质可知，，从而可知=．
解：由题意可知：CD∥AE，CD=AB
∴△CDF∽△BEF
∴
∵
∴，
∴，
∵AD=BC，
∴=，
故答案为：3：5
【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CE，
∴△ADF∽△ECF．
故答案为△ADF∽△ECF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了平行四边形的性质．
【考点】勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质
【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断三角形ABC为直角三角形，再证明△ABC∽△EDB，利用相似三角形的性质即可求出线段BD长．
解：∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴三角形ABC为直角三角形，
∴∠C=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠EDB=90°，
∴△ABC∽△EDB，
∴（）2=，
∵△BDE的面积是△ABC面积的三分之一，
∴BD=，
故答案为．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和相似三角形的判断以及性质的运用，题目的综合性很好，难度不大．
三 、解答题
【考点】相似三角形的判定
【分析】根据同角的余角相等得到，又因为，即可证明
．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵于，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
【考点】梯形；相似三角形的判定与性质
【分析】由梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过点O且和两底平行，易得△AOD∽△COB，△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．
证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴OA：OC=OA：OB，
∴OA：AC=OD：BD，
∵EF∥BC，
∴△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC，
∴OE：BC=OA：AC，OF：BC=OD：BD，
∴OE：BC=OF：BC，
∴OE=OF．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△AOD∽△COB，△AEO∽△ABC，△DOF∽△DBC是关键．
【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，平行线的判定与性质以及两角法证得结论．
解：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACE=∠DCB=120°．
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB．
∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，
∴DC∥BE，
∴∠CDB=∠DBE，
∴∠CAE=∠DBE，
∴∠DAF=∠DBA．
∴△ADF∽△BAD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
（2）依据△ADE∽△ABC，利用相似三角形的周长之比等于对应高之比，即可得到结论．
解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；
（2）由（1）可得△ADE∽△ABC，
又∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
∴△ADE与△ABC的周长之比==．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．