4.3 相似三角形课时作业（2）

4.3 相似三角形课时作业（2）
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题
在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线交边AC于点E，交AD于点F，那么下列结论中错误的是(　　)
A．△BDF∽△BEC B．△BFA∽△BEC C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE
如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，，则和△AED（不包含△AED）相似的三角形有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC；③AC＝2DF；④EFAB＝CFBC，其中正确结论的个数是（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
如图，是的边上异于、一点，过点作直线截得的三角形与相似，那么这样的直线可以作的条数是（ ）
A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 4条
、填空题
如图标记了△ABC与△DEF边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC∽△DEF，那么这个条件可以是　 　．（只填一个即可）
如图，在中，AC是BC、DC的比例中项，则∽____．
如图，，，，则________时，．
如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是________（请填上编号）．

在中，，，点D在边AB上，且，点E在边AC上，当______时，以A、D、E为顶点的三角形与相似．
、解答题
如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4．
求证：△ADE∽△ACB．
如图， . 求证：AB=AE.
如图，在△ABC和△ADE中， ，点B，D，E在一条直线上．求证：△ABD∽△ACE.
如图，直线EF分别交△ABC的边AC，AB于点E，F，交边BC的延长线于点D，且AB·BF＝BC·BD．求证：AE·EC＝EF·ED．
答案解析
、选择题
【考点】相似三角形的判定
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案．
解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．
A、==，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B、=，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
C、==，对应边==≠，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、==，对应边===，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．
【考点】相似三角形的判定
【分析】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA．故C正确．
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴△BFA∽△BEC．故B正确，
∴∠BFA=∠BEC，∴∠BFD=∠BEA，∴△BDF∽△BAE．故D正确．
而不能证明△BDF∽△BEC，故A错误．
故选A．
【考点】相似三角形的判定
【分析】设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出左图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项．
解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为，2，，
A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
B、因为三边分别为：1，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似；
C、因为三边分别为：1，2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；
D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理的运用；相似三角形的判定方法有：1、二对对应角相等的两三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边长对应成比例的两三角形相似；4、相似三角形的定义．本题利用的是方法3．
【考点】相似三角形的判定
【分析】由于△ABC是等边三角形，那么可知其三边相等，三个内角相等，再根据D是AC中点，以及AEEB=13，易得AE：AD=1：2=AD：AB，而∠A=∠A，可证△AED∽△ADB，同理可证△AED∽△CDB．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
又∵D是AC中点，
∴BD⊥AC，∠ABD=30°，AD：AC=1：2，
∵，
∴AE：AB=1：4，
∴AE：AD=1：2=AD：AB，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ADB，
∴∠AED=∠ADB=90°．
∵∠A=∠C=60°，CD：BC=AE：AD=1：2，
∴△AED∽△CDB．
∵∠AED=∠DEB=90°，∠ADE=∠DBE=30°，
∴△AED∽DEB．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．
【考点】全等三角形，相似三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质
【分析】根据全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质即可.
解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边中线，
∴∠MBC＝∠C =45°,BM=AM=MC
∵DB＝DE,
∴∠DBE＝∠DEB
即∠DBM+45°＝∠CDE+45°.
∴∠DBM＝∠CDE.
∵EF⊥AC,
∴∠DFE＝∠BMD=90°
在△BMD和△DFE中
∴△BMD≌△DFE.
故①正确.
由① 可得∠DBE＝∠DEB，∠MBC＝∠C
∴△NBE∽△DCB，
故②错，对应字母没有写在对应的位置上.
∵△BMD≌△DFE，
∴BM=DF,
∵BM=AM=MC，
∴AC=2BM,
∴AC＝2DF.
故③正确
易证△EFC∽△ABC,所以=,
∴EFAB＝CFBC
故④正确
故选C.
【点睛】本题主要考查的是全等三角形、相似三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质，
掌握基础知识是解题的关键.
【考点】相似三角形的判定
【分析】过点P 作作PE∥BC，则△AEP∽△ACB（如图1）；作PE∥AC，则△BPE∽△BAC（如图2）；作PE，使AE：AB=AP：AC，则△AEP∽△ABC（如图3）；作PE，使BP：CB=BE：AB，则△BEP∽△BAC（如图4），由此即可解答.
解：（1）如图1，作PE∥BC，则△AEP∽△ACB；
（2）如图2，作PE∥AC，则△BPE∽△BAC；
（3）如图3，作PE，使AE：AB=AP：AC，则△AEP∽△ABC；
（4）如图4，作PE，使BP：CB=BE：AB，则△BEP∽△BAC．
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法：①平行于三角形一边的直线截其他两边所得到的三角形与原三角形相似；②两边的比相等，夹角相等的两个三角形相似.
、填空题
【考点】相似三角形的判定
【分析】根据相似三角形的判定定理：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似，添加条件可得．
解：∵∠A=∠D=80°，==，
∴当=，即=，DF=6时，△ABC∽△DEF；
或当∠C=∠F=60°时，△ABC∽△DEF，
故答案为：DF=6．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
【考点】相似三角形的判定
【分析】由比例中项可知BC:AC=AC:DC，而∠C是△ADC和△BAC的公共角，故可证明两三角形相似.
解：由题意可知：BC:AC=AC:DC，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BAC
【点睛】本题由比例中项定义得两三角形对应边成比例，再由公共角即可证明两三角形相似.
【考点】相似三角形的判定
【分析】先根据勾股定理得到CD=3，再根据相似三角形的判定方法，当AC：BD=BC：CD时，△ACB∽△BDC，则AC：4=5：3，然后根据比例性质求解．
解：在Rt△BDC中，∵BD=4，BC=5，
∴CD==3，
∵∠ACB=∠BDC=90°，
∴当AC:BD=BC:CD时,△ACB∽△BDC，
即AC:4=5:3，
∴AC=，
即AC=时,△ACB∽△BDC.
故答案为.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质.
【考点】相似三角形的判定
解：∵①中的三角形的三边分别是：2， ， ；
②中的三角形的三边分别是：3， ， ；
③中的三角形的三边分别是：2，2，2；
④中的三角形的三边分别是：3， ，4；
∵①与③中的三角形的三边的比为：1： ：
∴①与③相似．
故答案为：①③．
【点睛】相似三角形的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【考点】相似三角形的判定和性质
【分析】根据题意可分两种情况进行讨论: (1)当时,根据∠A=∠A,可得△AED∽△ABC,
所以AE=,(2)当时,由于∠A=∠A,可得△ADE∽△ABC,
所以AE=,
解：当时,
∵∠A=∠A,
∴△AED∽△ABC,
此时AE=,
当时,
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,
此时AE=,
故答案为:,.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质,解决本题的关键是要根据题目已知条件证明两三角形相似,再根据相似三角形的性质进行求解.
、解答题
【考点】相似三角形的判定
【分析】利用计算两边的比相等，夹角是公共角，可得两三角形相似．
证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，
∴AB=5+7=12，AC=6+4=10，
∴====，
∴=，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【点评】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键，利用两边的比相等且夹角相等证明两三角形相似时，注意边的对应关系．
【考点】相似三角形的判定和性质
【分析】根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得△ADE∽△CAB，再根据相似三角形的对应角相等可得到∠AED=∠ABC，从而可证AB=AE.
解：∵，
∴△ADE∽△CAB，（三条对应边成比例，两三角形相似），
∴∠AED=∠ABC，
∴AB=AE.
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】由在△ABC和△ADE中，，可证得△ABC∽△ADE，即可证得∠BAD=∠CAE，又由，即可证得：△ABD∽△ACE．
证明：∵在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵，
∴，
∴△ABD∽△ACE．
【考点】相似三角形的判定和性质
【分析】由＝，∠B＝∠B，证得△ABC∽△DBF，得∠A＝∠D.又∠AEF＝∠DEC，再证△AEF∽△DEC，可得＝，即AE·EC＝EF·ED.
证明：∵AB·BF＝BC·BD，
∴＝，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△DBF，
∴∠A＝∠D.
又∵∠AEF＝∠DEC，
∴△AEF∽△DEC，
∴＝，即AE·EC＝EF·ED
【点睛】本题考核知识点：相似三角形的判定和性质. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质.