4.5 相似三角形的性质及其应用课时作业（1）

4.5 相似三角形的性质及其应用课时作业（1）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
已知△ABC∽△DEF,且相似比为2∶1,若△ABC的周长是8 cm,则△DEF的周长是（ ）
A． 2 cm B． 4 cm C． 8 cm D． 16 cm
两相似三角形的周长之比为1：4，那么他们的对应边上的高的比为 （ ）
A． 1∶4 B． 1∶2 C． 2∶1 D． ∶2
若的各边都分别扩大到原来的倍，得到，下列结论正确的是（ ）
A． 与的对应角不相等 B． 与不一定相似
C． 与的相似比为 D． 与的相似比为
如图，在△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线，若∠ABE∠C，AE:ED=2:1，则△BDE与△ABC的面积之比为（ ）
A． 1:6 B． 1:9 C． 2:13 D． 2:15
如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则四边形BCED的面积与△ADE的面积的比为
A． 2:1 B． 3:1 C． 4:1 D． 1:1
如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，记与点A重合的点为A′，则A′BG的面积与该矩形面积的比为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
与相似且对应中线的比为，则与面积的比为________．
已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE、B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE=6，则B1E1=_____．
一只蚂蚁沿着直角三角形的边爬行一周需，如果将直角三角形的边长扩大到原来的倍，那么这只蚂蚁再沿边爬行一周需________．
如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边上一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F．若S△DEF=2，则S△ABE=_____．
如图，在□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若S△DEF =3，则S□ABCD =_______．
三、解答题
如图，已知 DE∥BC，CD 与 BE 相交于点 O，并且 S△DOE:S△COB=4:9，
（1）求 AE:AC 的值；
（2）求△ADE 与四边形 DBCE 的面积比。
如图，已知梯形ABCD，AB∥DC，△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，AB＝7，求CD的长．
已知：如图，在中， 是上一点， ， 的周长是cm.
（1）求的周长；
（2）求与的面积比.
如图,已知□ABCD的面积为S，点P、Q时是?ABCD对角线BD的三等分点，延长AQ、AP，分别交BC，CD于点E，F，连结EF。甲，乙两位同学对条件进行分析后，甲得到结论①：“E是BC中点” .乙得到结论②：“四边形QEFP的面积为S”。请判断甲乙两位同学的结论是否正确，并说明理由.
4.5 相似三角形的性质及其应用课时作业（1）答案解析
一 、选择题
【考点】相似三角形的性质
解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为2∶1，
∴C△ABC：C△DEF=2：1，
则C△DEF==4cm.
故选B.
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比.
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据三角形周长与边长的关系和相似三角形性质定理解答.
解：相似三角形的性质：对应边的比等于对应高的比等于周长之比，所以题目中的两个相似三角形对应边的高之比等于1：4，
答案选A.
【点睛】理解并掌握相似三角形的性质定理是解答本题的关键.
【考点】相似三角形的性质
【分析】相似三角形的对应边之比等于相似比，据此即可解答．
解：因为△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△，那么△的各边为△ABC的2倍，即△ABC与△的相似比为1:2.
故选C.
【点睛】本题主要考查相似三角形判定方法运用，熟悉掌握是关键.
【考点】相似三角形的判定和性质
【分析】根据已知条件先求得S△ABE：S△BED＝2：1，再根据三角形相似求得S△ACD＝S△ABE＝S△BED，根据S△ABC＝S△ABE＋S△ACD＋S△BED即可求得.
解：∵AD：ED=2：1，
∴AE：AD=2：3，
∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴S△ABE：S△ACD=4：9，
∴S△ACD=S△ABE，
∵AE：ED=2：1，
∴S△ABE：S△BED=2：1，
∴S△ABE=2S△BED，
∴S△ACD=S△ABE=S△BED，
又∵S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED=2S△BED+S△BED+S△BED=S△BED.
∴△BDE与△ADC的面积比为2：15，
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键.
【考点】相似三角形的性质，三角形的中位线定理
【分析】由DE∥BC，得△ADE∽△ABC且相似比为1：2，从而得面积比为1：4，则可推出△ADE与四边形DBCE的面积之比．
解：∵点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴,
∴，
∴四边形BCED的面积与△ADE的面积的比为3：1．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
【考点】相似三角形的判定和性质，折叠的性质
【分析】根据已知条件可求得BD=5，再根据折叠的性质可知A′D=AD=3, A′B=2.根据可得面积之间的比值，再进一步求与矩形面积的比.
解：∵矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，
∴BD=5.
∵A’D=AD,
∴A′B=2.
∵∠BA’G=∠A=90, ∠BA’G=∠ABD,
∴,
∴=,
∵:
∴
故选C.
【点睛】本题考查了图形的折叠变换，同时考查了相似三角形的判定和性质，正确运用相似三角形的判定和性质是解题的关键.
二 、填空题
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出两三角形的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
解：∵△ABC与△DEF相似且对应中线的比为3：5，
∴△ABC与△DEF的相似比为3：5，
∴△ABC与△DEF面积的比为9：25．
故答案为：9：25．
【点睛】本题考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，求出两三角形的相似比是解题的关键．
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形的性质列式求解即可.
解：∵△ABC∽△A1B1C1，
∴BE：B1E1=2:3，
∴B1E1=.
故答案为：9.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.
【考点】相似三角形的性质
【分析】本题根据放大后的三角形与三角形相似，故可根据相似三角形的性质求解，两个相似三角形对应边之比的比值叫做相似比．
解：
∵将直角三角形的边长扩大到原来的2倍，周长扩大到原来的2倍，
∴爬行时间扩大到原来的2倍，
3×2=6(秒).
故这只蚂蚁再沿边爬行一周需6秒,
故答案为：6.
【点睛】考查了相似三角形的性质，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键.
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△ABE，△BEF的面积即可.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝2：3，
∴DE：AB＝2：5，DF：FB＝2：5，
∵S△DEF＝2，
∴S△ABF＝，S△BEF＝5，
∴S△ABE＝＋5＝，
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高的三角形的面积之比等于底的比，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
【考点】相似三角形的性质
【分析】由已知易得DE∥BC，DE：BC=1：2，由此可得△DEF∽△BCF，从而可得S△DEF：S△BCF=1：4，EF：CF=1：2，这样即可由S△DEF=3解得S△BCF=12，S△DCF=6，从而可得S△BCD=18，由此即可得到平行四边形ABCD的面积=36.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴DE：BC=EF：CF，
∵点E是AD边的中点，
∴DE：BC=1：2，
∴S△DEF：S△BCF=1：4，EF：CF=1：2，
∵S△DEF=3，
∴S△BCF=12，S△DCF=6，
∴S△BCD=12+6=18，
∴S平行四边形ABCD=2S△BCD=18×2=36.
故答案为：36.
【点睛】本题解题的关键是“能根据相似三角形的性质和等高的两个三角形的面积之比等于底之比由S△DEF求得S△BCF和S△DCF”.
三 、解答题
【考点】相似三角形的性质
【分析】根据相似三角形面积比与边长比的关系解答此题.
解：（1）∵ED∥BC，
∴△DOE∽△COB，△AED∽△ACB.
∵△DOE∽△COB，S△DOE:S△COB=4:9，
∴ED:BC=2:3.
∵△AED∽△ACB，
∴ED:BC=AE:AC.
∵ED:BC=2:3，ED:BC=AE:AC，
∴AE:AC=2:3.
（2）∵△AED∽△ACB AE:AC=2:3
∴S△ADE:S△ACB=4:9
∴S△ADE:S 四 DBCE=4:5
【点睛】本题考查了相似三角形面积与边长关系，掌握相似三角形性质：如果两个三角形互为相似三角形，则这两个三角形的面积比为对应边长比的平方，这条性质是解决此题的关键.
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】由题意易得△COD∽△AOB，由此可得： ；由△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，可得： ，再结合AB=7即可求得CD的长.
解：∵AB∥DC，
∴△COD∽△AOB，
∴，
∵△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，
∴，
∴，
又∵AB＝7，
∴，
∴CD＝.
【考点】相似三角形的性质
【分析】（1）根据相似三角形的周长的比等于相似比进行计算即可；
（2）根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可．
解：（1） ∵，
∴∽
∴
∵的周长是cm
∴的周长是
（2） ∵∽
∴
∴
【考点】相似三角形的性质
【分析】（1）由已知条件易得△BEQ∽△DAQ，结合点Q是BD的三等分点可得BE：AD=BQ：DQ=1：2，再结合AD=BC即可得到BE：BC=1：2，从而可得点E是BC的中点，由此即可说明甲同学的结论①成立；
（2）同（1）易证点F是CD的中点，由此可得EF∥BD，EF=BD，从而可得△CEF∽△CBD，则可得得到S△CEF=S△CBD=S平行四边形ABCD=S，结合S四边形AECF=S可得S△AEF=S，由QP=BD，EF=BD可得QP：EF=2：3，结合△AQP∽△AEF可得S△AQP=S△AEF=，由此可得S四边形QEFP= S△AEF- S△AQP=S，从而说明乙的结论②正确；
解：甲和乙的结论都成立，理由如下：
（1）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴△BEQ∽△DAQ，
又∵点P、Q是线段BD的三等分点，
∴BE：AD=BQ：DQ=1：2，
∵AD=BC，
∴BE：BC=1：2，
∴点E是BC的中点，即结论①正确；
（2）和（1）同理可得点F是CD的中点，
∴EF∥BD，EF=BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴S△CEF=S△CBD=S平行四边形ABCD=S，
∵S四边形AECF=S△ACE+S△ACF=S平行四边形ABCD=S，
∴S△AEF=S四边形AECF-S△CEF=S，
∵EF∥BD，
∴△AQP∽△AEF，
又∵EF=BD，PQ=BD，
∴QP：EF=2：3，
∴S△AQP=S△AEF=，
∴S四边形QEFP= S△AEF- S△AQP=S-=S，即结论②正确.
综上所述，甲、乙两位同学的结论都正确.