4.7 图形的位似课时作业
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4.7 图形的位似课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB：：3，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
如图，已知是坐标原点，与是以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为，如果内部一点的坐标为，则在中的对应点的坐标为（ ）
A． (-x,?-y) B． (-2x,?-2y) C． (-2x,?2y) D． (2x,?-2y)
如图，线段AB两个端点坐标分别为A（4，6），B（6，2），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的后，得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A． （﹣2，﹣3） B． （﹣3，﹣2） C． （﹣3，﹣1） D． （﹣2，﹣1）
如图所示，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8 cm，则投影三角形的对应边长为( )
A． 3.2 cm B． 8 cm C． 10 cm D． 20 cm
在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5）
如图，以点O为位似中心，将缩小后得到，已知，则与的面积的比为
A． 1：3 B． 1：4 C． 1：5 D． 1：9
二、填空题
如图，在边长为的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点为位似中心，画，使它与的相似比为，则点的对应点的坐标是________．
如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= ．
如图，已知△ABO顶点A（－3，6），以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的，则与点A对应的点A'的坐标是________．
如图，五边形与五边形是位似图形，且位似比为，若五边形的面积为，那么五边形的面积为________．
如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B1的坐标为 ．
三、解答题
如图，如果，，那么与是否相似？与是否位似？试说明理由．
如图，分别按下列要求作出四边形ABCD以O点为位似中心的位似四边形A′B′C′D′.
(1)沿OA的方向放大为原图的2倍；
(2)沿AO的方向放大为原图的2倍．
作图题：正方形网格中有△OAB，请你以O为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段比是2：1（不写作法）
在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标： ；
（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标： ．
答案解析
一 、选择题
【考点】位似变换
【分析】位似是特殊的相似，相似图形对应边的比相等．
解：∵正五边形FGHMN和正五边形ABCDE位似，
∴DE：MN=AB：FG=2：3，
∴3DE=2MN．
故选B．
【点睛】本题考查的是位似变换．位似变换的两个图形相似．根据相似多边形对应边成比例得DE：MN=2：3．
【考点】位似变换
【分析】由位似比及对称中心以及一点坐标，进而可求这一点关于对称中心在其位似图形中的坐标．
解：∵△OBC与△ODE是以0点为位似中心的位似图形，即关于原点对称，且其位似比为1：2，M的坐标为（x，y），
∴M在△ODE中的对应点M′的坐标为（-2x，-2y）．
故选B．
【点睛】本题主要考查了位似图形关于对称中心对称的问题，能够掌握位似的定义及性质并熟练运用．
【考点】位似变换
解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（4，6），B（6，2），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（-2，-3）．
故选A．
【考点】位似变换
【分析】根据位似图形的性质得出相似比为1：2，对应边的比为1：2，即可得出投影三角形的对应边长.
解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2，三角尺的一边长为5cm，
∴投影三角形的对应边长为：5÷=10cm．
故选：D.
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为1：2，再得出投影三角形的对应边长是解决问题的关键.
【考点】位似图形的性质
【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，
又∵A（6，8），
∴端点C的坐标为（3，4）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
【考点】位似变换
【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
解：∵OB=3OB′，
∴，
∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴．
∴，
故选D．
【点睛】此题是位似变换，主要考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．
二 、填空题
【考点】位似变换
【分析】位似是特殊的相似，根据两个图形△ABC和以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在，中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（-kx，-ky）．由此即可解答
解：∵△ABC顶点B的坐标为（2，1），以原点O为位似中心，与的相似比为，，
∴B1的坐标为（4，2）或（-4，-2）．
故答案为：（4，2）或（-4，-2）．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据位似图形的性质得出AO，DO的长，进而得出==，求出DE的长即可．
解：∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0），
∴AO=1，DO=3，
∴==，
∵AB=1.5，
∴DE=4.5．
故答案为：4.5．
【考点】位似变换
【分析】根据“以原点为位似中心的位似变换中对应点的坐标与相似比间的关系”进行分析解答即可.
解：∵△ABO顶点A（－3，6），
∴以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的时，与点A对应的点A'的坐标是或.
故答案为：或.
【点睛】若△ABC中点A的坐标为（a，b），则以原点为位似中心，相似比为k将△ABC进行位似变换，则变换后所得对应点A′的坐标为（ka，kb）或（-ka，-kb）.
【考点】位似变换
【分析】直接利用位似图形的性质得出两图形的面积比，进而求出答案.
解：∵五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形，且位似比为，
∴，
∵五边形ABCDE的面积为15cm2，
∴五边形A'B'C'D'E'的面积为，
故答案为.
【点睛】此题考查了位似的实际应用，利用位似图形对应面积成比例是解题关键.
【考点】坐标与图形性质；位似变换
【分析】把B的横纵坐标分别乘以﹣得到B′的坐标．
解：由题意得：△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，
又∵B（3，1）
∴B′的坐标是[3×（﹣），1×（﹣）]，即B′的坐标是（﹣2，﹣）；
故答案为：（﹣2，﹣）．
【点评】本题考查了位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．
三 、解答题
【考点】位似变换
【分析】由AC∥BD，CE∥DF，可证△OAC∽△OBD，△OCE∽△ODF，继而证得，∠ACE=∠BDF，即可证得△ACE∽△BDF；又由△ACE与△BDF的各对应边的连线过点O，可得△ACE与△BDF位似．
解：与相似，与位似．
理由：∵，，
∴，，
∴，，，，
∴，，
∴；
∵与的各对应顶点的连线过点，
∴与位似．
【点睛】此题考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的各对应顶点连线过同一个点，即可得位似．
【考点】位似变换
【分析】（1）分别延长OA，OB，OC，OD使得2AO=OA″，2BO=OB″，2OC=OC″，2DO=OD″，进而得出符合题意的图形；
（2）分别延长AO，BO，CO，DO使得2AO=OA′，2BO=OB′，2OC=OC′，2DO=OD′，进而得出符合题意的图形．
解：（1）如图所示：四边形A″B″C″D″符合题意；
（2）如图所示：四边形A′B′C′D′符合题意.
【分析】画△OCD，根据题意位似中心已知为O，则延长AO，BO，根据相似比，确定所作的位似图形的关键点C、D，再顺次连接所作各点，即可得到放大一倍的图形△CDO； 解：如图：分别延长AO，BO到点C，D使OC=2AO，OD=2BO， 顺次连接即得△OCD
【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣位似变换
【分析】（1）根据A、B、C三点坐标画出图形即可；
（2）作出A、B、C关于轴的对称点A1、B1、C1即可；
（3）延长OC到C2，使得OC2=2OC，同法作出A2，B2即可；
解：（1）△ABC如图所示；
（2）△A1B1C1如图所示；A1（﹣3，3），
（3）△A2B2C2如图所示；A2（6，6）．
故答案为（﹣3，3），（6，6）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB：：3，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
如图，已知是坐标原点，与是以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为，如果内部一点的坐标为，则在中的对应点的坐标为（ ）
A． (-x,?-y) B． (-2x,?-2y) C． (-2x,?2y) D． (2x,?-2y)
如图，线段AB两个端点坐标分别为A（4，6），B（6，2），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的后，得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A． （﹣2，﹣3） B． （﹣3，﹣2） C． （﹣3，﹣1） D． （﹣2，﹣1）
如图所示，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8 cm，则投影三角形的对应边长为( )
A． 3.2 cm B． 8 cm C． 10 cm D． 20 cm
在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2），若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ）
A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5）
如图，以点O为位似中心，将缩小后得到，已知，则与的面积的比为
A． 1：3 B． 1：4 C． 1：5 D． 1：9
二、填空题
如图，在边长为的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点为位似中心，画，使它与的相似比为，则点的对应点的坐标是________．
如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= ．
如图，已知△ABO顶点A（－3，6），以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的，则与点A对应的点A'的坐标是________．
如图，五边形与五边形是位似图形，且位似比为，若五边形的面积为，那么五边形的面积为________．
如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B1的坐标为 ．
三、解答题
如图，如果，，那么与是否相似？与是否位似？试说明理由．
如图，分别按下列要求作出四边形ABCD以O点为位似中心的位似四边形A′B′C′D′.
(1)沿OA的方向放大为原图的2倍；
(2)沿AO的方向放大为原图的2倍．
作图题：正方形网格中有△OAB，请你以O为位似中心放大，使新图形与原图形的对应线段比是2：1（不写作法）
在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），点B（﹣1，﹣3），点C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1点的坐标： ；
（3）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2，并写出A2点的坐标： ．
答案解析
一 、选择题
【考点】位似变换
【分析】位似是特殊的相似，相似图形对应边的比相等．
解：∵正五边形FGHMN和正五边形ABCDE位似，
∴DE：MN=AB：FG=2：3，
∴3DE=2MN．
故选B．
【点睛】本题考查的是位似变换．位似变换的两个图形相似．根据相似多边形对应边成比例得DE：MN=2：3．
【考点】位似变换
【分析】由位似比及对称中心以及一点坐标，进而可求这一点关于对称中心在其位似图形中的坐标．
解：∵△OBC与△ODE是以0点为位似中心的位似图形，即关于原点对称，且其位似比为1：2，M的坐标为（x，y），
∴M在△ODE中的对应点M′的坐标为（-2x，-2y）．
故选B．
【点睛】本题主要考查了位似图形关于对称中心对称的问题，能够掌握位似的定义及性质并熟练运用．
【考点】位似变换
解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（4，6），B（6，2），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（-2，-3）．
故选A．
【考点】位似变换
【分析】根据位似图形的性质得出相似比为1：2，对应边的比为1：2，即可得出投影三角形的对应边长.
解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为1：2，三角尺的一边长为5cm，
∴投影三角形的对应边长为：5÷=10cm．
故选：D.
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为1：2，再得出投影三角形的对应边长是解决问题的关键.
【考点】位似图形的性质
【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的横坐标和纵坐标的一半，
又∵A（6，8），
∴端点C的坐标为（3，4）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键．
【考点】位似变换
【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
解：∵OB=3OB′，
∴，
∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴．
∴，
故选D．
【点睛】此题是位似变换，主要考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．
二 、填空题
【考点】位似变换
【分析】位似是特殊的相似，根据两个图形△ABC和以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在，中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（-kx，-ky）．由此即可解答
解：∵△ABC顶点B的坐标为（2，1），以原点O为位似中心，与的相似比为，，
∴B1的坐标为（4，2）或（-4，-2）．
故答案为：（4，2）或（-4，-2）．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据位似图形的性质得出AO，DO的长，进而得出==，求出DE的长即可．
解：∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0），
∴AO=1，DO=3，
∴==，
∵AB=1.5，
∴DE=4.5．
故答案为：4.5．
【考点】位似变换
【分析】根据“以原点为位似中心的位似变换中对应点的坐标与相似比间的关系”进行分析解答即可.
解：∵△ABO顶点A（－3，6），
∴以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的时，与点A对应的点A'的坐标是或.
故答案为：或.
【点睛】若△ABC中点A的坐标为（a，b），则以原点为位似中心，相似比为k将△ABC进行位似变换，则变换后所得对应点A′的坐标为（ka，kb）或（-ka，-kb）.
【考点】位似变换
【分析】直接利用位似图形的性质得出两图形的面积比，进而求出答案.
解：∵五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'是位似图形，且位似比为，
∴，
∵五边形ABCDE的面积为15cm2，
∴五边形A'B'C'D'E'的面积为，
故答案为.
【点睛】此题考查了位似的实际应用，利用位似图形对应面积成比例是解题关键.
【考点】坐标与图形性质；位似变换
【分析】把B的横纵坐标分别乘以﹣得到B′的坐标．
解：由题意得：△AOB与△A1OB1位似，位似中心为原点O，且相似比为3：2，
又∵B（3，1）
∴B′的坐标是[3×（﹣），1×（﹣）]，即B′的坐标是（﹣2，﹣）；
故答案为：（﹣2，﹣）．
【点评】本题考查了位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．
三 、解答题
【考点】位似变换
【分析】由AC∥BD，CE∥DF，可证△OAC∽△OBD，△OCE∽△ODF，继而证得，∠ACE=∠BDF，即可证得△ACE∽△BDF；又由△ACE与△BDF的各对应边的连线过点O，可得△ACE与△BDF位似．
解：与相似，与位似．
理由：∵，，
∴，，
∴，，，，
∴，，
∴；
∵与的各对应顶点的连线过点，
∴与位似．
【点睛】此题考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的各对应顶点连线过同一个点，即可得位似．
【考点】位似变换
【分析】（1）分别延长OA，OB，OC，OD使得2AO=OA″，2BO=OB″，2OC=OC″，2DO=OD″，进而得出符合题意的图形；
（2）分别延长AO，BO，CO，DO使得2AO=OA′，2BO=OB′，2OC=OC′，2DO=OD′，进而得出符合题意的图形．
解：（1）如图所示：四边形A″B″C″D″符合题意；
（2）如图所示：四边形A′B′C′D′符合题意.
【分析】画△OCD，根据题意位似中心已知为O，则延长AO，BO，根据相似比，确定所作的位似图形的关键点C、D，再顺次连接所作各点，即可得到放大一倍的图形△CDO； 解：如图：分别延长AO，BO到点C，D使OC=2AO，OD=2BO， 顺次连接即得△OCD
【考点】作图﹣轴对称变换；作图﹣位似变换
【分析】（1）根据A、B、C三点坐标画出图形即可；
（2）作出A、B、C关于轴的对称点A1、B1、C1即可；
（3）延长OC到C2，使得OC2=2OC，同法作出A2，B2即可；
解：（1）△ABC如图所示；
（2）△A1B1C1如图所示；A1（﹣3，3），
（3）△A2B2C2如图所示；A2（6，6）．
故答案为（﹣3，3），（6，6）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
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