5.4 一次函数的图象（1）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学上册第5章5.4一次函数图象
第1课时 一次函数图象（1）
【知识清单】
一、函数的图像：
把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象．
二、描点法画函数图形的一般步骤：
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）.
三、一次函数y=kx＋b(k、b为常数， k≠0)的图象的画法：
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.
一般情况下：
(1)画正比例函数y=kx（k≠0）的图象时，只要描出点(0,0)，(1,k)即可；
(2)画一次函数y=kx＋b(k、b为常数， k≠0)的图象时只要描出点(0，b），.即描出直线与坐标轴的交点坐标即可.
四、一次函数y=kx＋b中，k、b的取值决定直线的位置：
b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
五、正比例函数与一次函数之间的关系（直线的平移）
(1)左右平移：图像的左右平移与k，b无关，只与自变量x有关系，向左移动x的值增加，向右移动x的值减小.左右平移的规律：左加右减 .
(2)上下平移：一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.图像的上下平移与k无关，与b有关，图像向上移动b的值增加，图像向下移动b的值减小.上下平移的规律：上加下减 .
六、直线（）与（）的位置关系
(1)两直线平行且
(2)两直线相交（特殊情况，时，两直线于y轴的（0，b1）.
(3)两直线重合且
(4)两直线垂直
七、两条直线的交点坐标的求法：
把两条直线的解析式联立成二元一次方程组，求出方程组的解，把函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标即可.
【经典例题】
例题1、若mn>0，np<0，则直线经过象限是( ).
A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、三象限
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【分析】先根据已知条件判断出及的符号，再根据一次函数的图象经过（或不经过）的象限与系数的关系解答即可．
【解答】∵mn>0，np<0，
∴m与n同号，n与p异号，
∴，，
∴.
∴直线经过第一、三、四象限．故选C
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据已知条件判断出m、n、p的符号关系是解答此题的关键．
例题2、已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（0,2）和点B（2,4）.
(1)求函数是解析式，并画出它的图象；
(2)试判定点（1,2）和点是否在函数图象上，点（m,3m+2）呢？
(3)当x>3时，求y的取值范围.
【考点】待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象以及由自变量的取值范围推出因变量的取值范围.
【分析】(1)设此直线的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A（0,2）和点B（2,4）代入y=kx+b即可求出k、b的值，进而得出此函数的解析式；在直角坐标系内描出点A（0,2）和点B（2,4），画出过此两点的直线即可(也可以描出直线与x轴和y轴的交点坐标)；
(2) 把点（1,2）和点以及（m,3m+2）分别代入y=kx+b进行验证即可；
(3) 把y=kx+b化成用含y的代数式表示x，再根据x>3，求出y的取值范围即可.
【解答】（1）设直线的解析式为（k≠0），
把点A（0，2）和点B（2,4）代入y=kx+b得，
，
解得，
故此直线的解析式为：；
在坐标系内描出点A（0,2）和点B（2,4），作出过A、B两点的直线如图所示．
(2) 把点（1,2）和点以及（m,3m+2）分别代入进行验证，
当x=1时，，
所以点（1,2）不在函数图象上；
当x=时，，
所以点在函数图象上；
当x=时，，
所以点（m,3m+2）在函数图象上.
(3)∵，
∴.
∵x>3，
∴，解得，y<7.
∴当x>3时， y的取值范围是y<7.
【点评】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式、画一次函数的图象以及判断一个点是否在直线上的能力和技巧，根据题意得出关于k、b的方程组是解答此题的关键．
【夯实基础】
1、下列表示一次函数y=2x+4的图象的是（ ）

2、如图，把直线沿x轴负方向向左平移4个单位，得到直线，则直线的解析式为 (???? )
A． ???? ? B． ??????
C．????? D．
3、函数y=3x6的图象经过的象限正确的是（ ）
A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、三象限
4、直线与相交于点（4，5），且两直线与y轴围成的三角形的面积为16，那么b1b2的值为（ ）
A.8 B.16 C.32 D.无法确定
5、已知一次函数y=2kx(2k6)的图象经过原点，则函数的解析式是 .
6、如图直线y=mx+n过A（3,0）和点B（0,2），则关于x的方程mx+n=0的解为__ _______．
7、求下列函数与x轴和y轴的交点坐标，并在同一坐标系中画出它们的图象.
（1）①；
②；
（2）求两条直线与x轴所围成的△ABC的面积.
8、求下列一次函数的解析式：
（1）函数的图象经过点（2,4），且与直线3x+ y=5平行；
（2）函数图象和直线y=5x14在y轴上相交同一点，且过点（3,2）；
（3）一次函数y=ax8的图象与x轴、y轴的交点之间的距离为10.

【提优特训】
9、在同一坐标系中，画出直线与的图象，其中正确的是( )

10、若一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则点P（kb, kb）所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11、将直线y=ax+b向右平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的直线解析式为y=4x+3，则a、b的值为（ ）
A．a=4，b=3 B．a=4，b=3 C．a=4，b=5 D．a=4，b=5
12、已知一次函数的图象经过点A（3, 4）、点B（2,6）和点C（m,1）三点，则m的值为 ．
13、如图所示，已知直线l1: 和直线l2: 相交于点A ，点A的横坐标为4，则关于x的不等式的解集为 ．
14、甲、乙两位同学从学校出发到相距36km的植物园采集标本，骑自行车由同一条路前往，他们离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数图象如图所示.根据图中提供的信息：有以下论断①乙同学比甲同学晚出发1（h）；②乙同学出发1（h）追上甲同学；③甲同学的速度比乙同学的速度快；④乙同学到达目的地时，甲同学离目的地还有9km的路程. 符合图象描述的说法是 ．（写出序号即可）
15、已知函数的图象不经过第一象限，且m为整数，则函数的解析式是 ，若此函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，则△AOB的面积为 ，把△AOB绕点A逆时针旋转90°后得到 ，则点的坐标是 .
16、已知一次函数y=3ax+9与y=2xb的图象都经过点A（2,3），且与x轴分别交于点B、C，求：
(1)求点B、C的坐标；
(2)求△ABC的面积．
17、如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条直线经过点B，且与线段OA相交于点C，若直线将△AOB的面积分成1︰2的两部分，求直线的解析式.
18、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,5），点B的坐标为（4,3）.请你在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小.
（1）求点P的坐标；（2）求PA+PB的最小值.
【中考链接】
19．2018?甘肃定西16．（3分）如图，一次函数y=x2与y=2x+m的图象相交于点P（n，4），则关于x的不等式组的解集为　 -220、2018年湖南娄底将直线y=2x3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（　　）
A．y=2x4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x2
21、2018?广西桂林12. 如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1），（3，1），（3，0），点A为线段MN上的一个动点，连接AC，过点A作AB⊥AC交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为（0，b），则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
22、2018黑龙江龙东地区25．（8.00分）某市制米厂接到加工大米任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工大米数量y（吨）与甲车间加工时间s（天）之间的关系如图（1）所示；未加工大米w（吨）与甲加工时间x（天）之间的关系如图（2）所示，请结合图象回答下列问题：
（1）甲车间每天加工大米　20　吨，a=　15　．
（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y（吨）与x（天）之间函数关系式．
（3）若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间恰好装满第二节车厢？
参考答案
1、B 2、C 3、B 4、A 5、， 6、 9、C 10、D 11、C 12、
13、 14、①、②、④ 15、、 、 19、
20、A 21、A
7、解：（1）①∵，
∴令x=0，y=6，则直线与y轴的交点坐标为（0,6）.
∴令y=0，x=2，则直线与x轴的交点坐标为（2,0）.
过点（2,0）和点（0,6）画出直线即可；
∵②，
∴令x=0，y=6.
则直线与y轴的交点坐标为（0, 6）.
∴令y=0，x=4，
则直线与x轴的交点坐标为（4,0）.
过点（4,0）和点（0, 6）画出直线即可；
所画的图象如图所示.
（3）∵直线和直线的相交于点A，
∴可得方程组，
∴解方程组，得，
∴点A的坐标为，点A到x轴的距离为2.
∵点B的坐标为（2,0）、点C的坐标为（4,0），
∴BC=42=2，
∴△ABC的面积=.
8、解：（1）设所求一次函数的解析式为y1=kx+b，
∵3x+ y=5，
∴y=3x+5.
∵y1∥y，
∴k=3.
∴y1=3x+b.
把点（2,4）代入y1=3x+b得，
4=3×（2）+b，
解得b=10.
∴所求一次函数的解析式为y1=3x10.
（2）令x=0， y=14，
∴直线y=5x14与y轴的交点坐标（0, 14）.
∵所求直线与直线y=5x14在y轴上相交同一点，
∴设所求直线的解析式为y=kx14.
把点（3,2）代入y=kx14得，
2=3k14，
解得k =4.
∴所求一次函数的解析式为y=4x14.
（3）根据题意，得a≠0, 且一次函数y=ax8的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为
、（0,8），
由勾股定理，得，
解得，
∴所求一次函数的解析式为.
16、解：(1)把点A（2,3）分别代入一次函数y=3ax+9与y=2xb中，
3=3×(2)a+9，3=2×(2)b，
解得a=2，b=7.
所以一次函数解析式分别为y=6x+9、y=2x7.
令y=0，则6x+9=0、2x7=0，
解得、.
所以点B的坐标为，点C的坐标为.
(2) ∵直线y=6x+9与y=2x7相交于A（2,3），
∴点A的x轴的距离为.
∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴.
∴△ABC的面积=.
17、解：如图①∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴令x=0，y=2，则点B的坐标为（0,2）.
∴令y=0，x=12，则点A的坐标为（12,0）.
直线将△AOB的面积分成1︰2的两部分，
（1）如图②S△ABC=2 S△CBO，
∵△ABC与△CBO是同高的三角形，
∴AC=2OC.
∴OC+2OC=OA=12，
∴OC=4.
∴点C的坐标为（4,0）.
将点B（0,2）和点C（4,0）分别代入得，
，解得，.
∴函数的解析式为；
（2）如图③S△CBO =2 S△ABC，
∵△ABC与△CBO是同高的三角形，
∴OC =2 AC.
∴，
∴OC=8.
∴点C的坐标为（8,0）.
将点B（0,2）和点C（8,0）分别代入得，
， 解得，.
∴函数的解析式为.
∴直线的解析式为或.
18、解如图，（1）①作出点A关于x轴的对称点A′（2,5），点D是垂足，
②连结A′B，交x轴于点P，点P就是要求的点.
③设直线A′B的解析式为y=kx+b，
把点A′（2,5）、点B（4,3）代入y=kx+b，
得，解得，.
∴直线A′B的解析式为.
令y=0，则，
解得，，
∴点P的坐标为.
（2）过B作BC⊥x轴，点C是垂足，过A′作A′E⊥y轴，点E是垂足，
延长BC、A′E相交于点Q，则Q的坐标为（4,5）．由对称性可知AP=A′P，PAPB= PA′PB=A′B；
∴A′B最短，（两点之间，线段最短），即AP+PB最小，
∴在Rt△A′QB中，A′Q=6，QB=8，
∴
即PA+PB的最小值为10．
也可利用两点之间的距离公式求
将点B（4,3），点A′（2,5）代入公式，
.
21、【答案】A
【解析】分析：分别求出当点A与点M、N重合时直线AC的解析式，由AB⊥AC可得直线AB的解析式，从而求出b的值，最终可确定b的取值范围.
【解答】：当点A与点N重合时，MN⊥AC，
∴MN是直线AB的一部分，
∵N（3，1）
∴此时b=1；
当点A与点M重合时，设直线AC的解析式为y=k1x+m,
由于AC经过点A、C两点，故可得，解得：，
设直线AB的解析式为y=k2x+b,
∵AB⊥AC,
∴，
∴.
故直线AB的解析式为y=x+b,
把（，1）代入y=x+b得， b=.
∴b的取值范围是.
故选A.
点睛：此题考查一次函数基本性质，待定系数求解析式，简单的几何关系.
22、【分析】（1）根据题意，由图2得出两个车间同时加工和甲单独加工的速度；
（2）用待定系数法解决问题；
（3）求出两个车间每天加工速度分别计算两个55吨完成的时间．
【解答】解：（1）由图象可知，第一天甲乙共加工220185=35吨，第二天，乙停止工作，甲单独加工185165=20吨，
则乙一天加工3520=15吨．a=15
故答案为：20，15
（2）设y=kx+b
把（2，15），（5，120）代入
，解得，，
∴y=35x55.
（3）由图2可知
当w=220﹣55=165时，恰好是第二天加工结束．
当2≤x≤5时，两个车间每天加工速度为=55吨
∴再过1天装满第二节车厢
【点评】本题为一次函数实际应用问题，应用了待定系数法．解答要注意通过对边两个函数图象实际意义对比分析得到问题答案．