5.4 一次函数的图象（2）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学上册第5章5.4一次函数图象
第2课时 一次函数图象（2）
【知识清单】
一、正比例函数和一次函数及性质
正比例函数
一次函数
概 念
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，是y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量
范 围
x为全体实数
图 象
一条直线
必过点
（0，0）、（1，k）
（0，b）和（，0）
走 向
k>0时，直线经过一、三象限；
k<0时，直线经过二、四象限.
k>0，b>0，直线经过第一、二、三象限
k>0，b<0，直线经过第一、三、四象限
k<0，b>0，直线经过第一、二、四象限
k<0，b<0，直线经过第二、三、四象限
增减性
k>0，y随x的增大而增大；(从左向右上升)
k<0，y随x的增大而减小.(从左向右下降)
倾斜度
越大，越接近y轴；越小，越接近x轴.
图像的
平 移
左右平移：左右平移的规律：左加右减 .
图像的左右平移与k，b无关，只与自变量x有关系，向左移动x的值增加，向右移动x的值减小.
上下平移：上下平移的规律：上加下减 .
b>0时，将直线y=kx的图象向上平移个单位；
b<0时，将直线y=kx的图象向下平移个单位.
二、象限角平分线的解析式：
一、三象限角平分线是直线y=x，二、四象限角平分线是直线y=x.
三、实际问题情境中的图像的画法：
实际问题情境中的图像必须在自变量的取值范围内画出.
【经典例题】
例题1、已知点A1(x1,y1)、A2(x2,y2)、A3(x3,y3)在直线y=5x6上，且x1则y1，y2，y3的大小关系是是( ).
A．y1 【考点】一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】由一次函数y=5x6可知，k=5<0，y随x的增大而减小．．
【解答】由y=5x6可知，k=5<0，y随x的增大而减小，
又∵x1∴y1>y2>y3．故选C．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k<0时，y随x的增大而减小是解答此题的关键．
例题2、已知一次函数y=(3a+12)x(82b)，求字母a，b取何值时：
(1)y随x的增大而减小；
(2)图像经过原点；
(3)图像平行于直线y=6x+5，且与直线y=3x4在y轴上相交于同一点；
(4)图像与y轴交点在y轴的负半轴上.
【考点】一次函数图象与系数的关系，一次函数y=kx＋b中，k、b的值决定图象的位置，反之亦然．
【分析】（1）y随x的增大而减小，则3a+12<0；
(2) 图像经过原点，则3a+12≠0，(82b)=0；
(3)根据题意，得 3a+12=3. (82b)=4
(4)图像与y轴交点在y轴的负半轴上，则3a+12≠0，(82b)<0.
【解答】（1）y随x的增大而减小，
则3a+12<0，
所以a<4，b取任意实数.
(2) 图像经过原点，则3a+12≠0，(82b)=0；
所以a≠4，b=4.
(3)根据题意，得 3a+12=-3， (82b)=-4，
解得a=-5，b=2.
(4)图像与y轴交点在y轴的负半轴上，
则3a+12≠0， (82b)<0.
解得a≠4，b<4.
【点评】本题需注意应根据所给条件分别判断x的系数和常数项的符号，进而判断未知字母的值．
【夯实基础】
1、在下列一次函数中，y随x的增大而增大的是（ ）
A． ???? B． ??? ??C．????? D．
2、若一次函数y=axb满足ab>0且y随x的减小而增大，则它的大致图象是下列图中的(???? )
3、已知一次函数y=3x+2m与y=3x+2n的图象都经过（a,6），则（m+n+5）2019的值是（ ）
A．72019 B．72019 C．1 D．1
4、某市为了节约用水，按以下规定收取水费：(1)每户每月用水量不超过30 m3，则每立方米水费1.5元；(2)每户每月用水量超过30 m3，则超过的部分每立方米水费2.2元，下面可以刻画出该户交纳水费随用水量的变化情况大致图象为(? ???)?
5、已知点（a1,5a），在一次函数y=2x7的图象上，则函数y=(a1)x+5a的解析式是 .
6、若一次函数的解析式为，则y随x的增大而 增大 ．
7、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0），直线l是一、三象限角平分线，点P是l上的一点，使△POA是等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标.
8、 某工厂生产甲、乙两种产品的相关信息如下表，
价目
品种
出厂价
成本价
排污处理费
甲种产品
1600（元/吨）
550（元/吨）
160（元/吨）
乙种产品
1900（元/吨）
850（元/吨）
80（元/吨）每月还需支付设备管理、养护费16000元
请你解答下列问题：
（1）设工厂每月生产甲、乙两种产品各x吨，利润分别为y1元和y2元，分别求y1和y2与x的函数关系式（注：利润=总收入-总支出）；
（2）已知该工厂每月生产甲、乙两种产品均不超过300吨，若某月要生产甲、乙两种产品共500吨，求该月生产甲、乙产品各多少吨，获得的总利润最大？最大 利润是多少？
【提优特训】
9、已知，则直线y=kx+k一定经过的象限是( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
10、若实数a，b，c满足a>b>c，a+b+c=0，则一次函数y=ax+c的图象是下列图象中的（ ）
11、若代数式有意义，将直线y=(a3)x+(3a)的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12、在平面直角坐标系中，点A(m,n)在第一象限，若点A(m,n)关于y轴的对称点在直线y=4x+11上，关于x轴的对称点在直线y=2x7上，则A的坐标为 ．
13、如图所示，一次函数y=(3m18)x+62m)的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，m的取值范围是 ．

14、如图，直线y=ax+b与直线y=mx+n相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解为 .
15、2018年8月30日雅加达亚运会皮划艇静水决赛，中国搭档张冬/卜廷凯在男子双人皮艇1000米A组决赛，比赛时的路程s(米)与时间t(分)的函数关系如图所示，根据图象得出如下结论：①哈萨克斯坦队率先到达终点；②前750米中国队落后；③中国队与哈萨克斯坦队有一次相遇；④中国队夺得冠军领先哈萨克斯坦队约0.214秒. 请你判断其中说法正确的是 .（填序号即可）
16、（1）无论m，n取何实数值，直线（2mn）x+（m2n）y3n=0都过一定点p，求点p的坐标；
（2）若4a3b=1，求证不论实数a，b为何值，直线ax+2by=6，恒过一定点P，并求出点P坐标.
17、如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=kx+b的图象经过点A（2，4），且与x轴相交于点B；直线l1：y=mx+n的图象经过D、E两点，OE=1，∠EDB=45°，l与l1相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求l、l1的解析式；
（2）若点P在y轴上，且满足S△COP=S△DCB，求点P的坐标．
18、先阅读下列材料，再解决问题：
如图，已知点和直线：Ax+By+C=0（设），求点P到直线的距离.
先进行公式推导：
∵，
∴这时直线与x轴，y轴都相交，
过点P作x轴的平行线，交于点；作y轴的平行线，交于点；作PD⊥直线，垂足为D，设PD=d.
把点，点分别代入直线：Ax+By+C=0得，
Ax1+By0+C=0，Ax0+By2+C=0
解得，，.
∴，.
在Rt△APB中，
.
由三角形的面积公式可得，.
∴
∴
例题1求点P(2,5)到直线y=2x-3的距离；
2、求两直线3x+4y-2=0与6x+8y-5=0的距离.
解：1将直线y=2x-3，化成Ax+By+C=0的形式为2x-y-3=0,
则A=2，B=-1，C=-3，
所以
2∵直线3x+4y2=0，可化成，
直线6x+8y5=0，可化成.
∴直线3x+4y2=0与直线6x+8y5=0平行.
∴在直线3x+4y-2=0任取一点到直线6x+8y-5=0的距离，就是两条直线的距离，
当,，点，A=6，B=8，C=-5，
则
两直线3x+4y2=0与6x+8y5=0的距离为.
根据以上材料，解决下列问题：
1.求点P（-2，-3）到直线的距离；
2.若点P（1，0）到直线x+y+c=0的距离为，求实数c的值．
【中考链接】
19．2018湖南省湘潭7．（3分）若b＞0，则一次函数y=x+b的图象大致是（　　）
20、2018湖南常德4．（3分）若一次函数y=（k2）x+1的函数值y随x的增大而增大，则（　　）
A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0
21、2018山东滨州12．（3分）如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x [x]的图象为（　　）
22、2018?十堰15．（3.00分）如图，直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式x（kx+b）＜0的解集为　 　．
参考答案
1、A 2、C 3、D 4、C 5、， 6、增大 9、D 10、C 11、B 12、
13、 14、 15、②、③、④、 19、C 20、B 21、A 22、
7、解：∵直线l是一、三象限角平分线，
∴直线l的解析式为y=x.
①在直线y=x上作OP=OA=2，可得符合条件的P1、P2两点，
点P1的坐标为，点P2的坐标为；
②过点A作l的垂线，垂足为P3，
∵∠P3OA=45°，∠OP3A=90°，
∴OP3=P3A，点P3的坐标为；
③过点A作x轴的垂线交l于点P4，
与②同理OA=P4A，点P4的坐标为
8、解：（1）由表中信息知：y1=（1600550160）x =890x，
y2=（190085080）x16000，
即y2=970x16000；
（2）设该月生产甲种产品x吨，则生产乙种产品（500x）吨，
y=890x+970（500x）16000
=80x+469000，
∵
∴200≤x≤300，
∵k=80<0，
所以y随x的增大而减小，
故当x=200时，获得利润最大，最大利润为：
y=80×200+469000=453000.
16、解：（1）∵（2mn）x+（m2n）y3n=0，
?（2x+y）m +（x2y3）n =0，
我们要寻找点P (x,y)，无论m，n取何值上式恒成立.
显然当2x+y=0和x2y1=0时满足要求.
∴，解得
∴点P坐标为(1, 2)
（2）∵4a3b=1，
∴ax+2by=6（4a3b）
ax+2by=24a18b
(x24) a +2b(y+9)=0
当x=10，y=9时，
a、b有无数解.
∴无论为何值，直线ax+2by=6恒过点(24, 9).
17、解：（1）在Rt△DOE中，
∵∠EDB=45°，OE=1，∴OD=1.
∴点D、E的坐标分别为（0,1）、（1,0），
∴，解得
∴直线l1的解析式为y=x+1
当x=1时，y=x+1=2，
∴点C的坐标为（1，2）．
将A（2，4）、C（1，2）代入y=kx+b，
得： ，解得.
∴直线l的解析式为.
令y=0， ，解得.
∴点B的坐标为（4,0）.
（2）∵点B坐标为（4,0），点D坐标为（1,0），
∴BD=4（1）=5
设点P的坐标为（0，m），OP=.
∵S△COP=S△DCB，即，
解得：，
∴点P的坐标为或．
18、解：1.∵P（2，3），A=3，B=4，C=2，
∴
2.，
∴，
∴c+1=±2，
∴c1=3，c2=1．
19、【分析】根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案．
【解答】解：∵一次函数y=x+b中k=1＜0，b＞0，
∴一次函数的图象经过一、二、四象限，
故选：C．
【点评】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．
20、【分析】根据一次函数的性质，可得答案．
【解答】解：由题意，得
k2＞0，
解得k＞2，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，y=kx+b，当k＞0时，函数值y随x的增大而增大．
21、【分析】根据定义可将函数进行化简．
【解答】解：当1≤x＜0，[x]= 1，y=x+1
当0≤x＜1时，[x]=0，y=x
当1≤x＜2时，[x]=1，y=x1
……
故选：A．
【点评】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解[x]的定义，然后对函数进行化简，本题属于中等题型．
22、【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．
【专题】31 ：数形结合．
【分析】先把不等式x（kx+b）＜0化为或，
然后利用函数图象分别解两个不等式组．
【解答】解：不等式x（kx+b）＜0化为或，
利用函数图象得为无解，的解集为﹣3＜x＜0，
所以不等式x（kx+b）＜0的解集为3＜x＜0．
故答案为3＜x＜0．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．