4.4 两个三角形相似
的判定（2）
数学浙教版 九年级上
4.4 两个三角形相似的判定（2）
教学目标
1.经历三角形相似的判定定理：“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”的探索过程.
2.掌握上述三角形相似的判定定理，了解它的证明过程.
3.能运用上述定理判定两个三角形相似.
重点和难点
关于边角边的三角形相似判定定理是本节教学中的重点.
上述三角形相似的判定定理的证明要用两组比例线段来传递边相等关系，这在此前学生很少遇见，这一证明步骤是本节教学中的难点.
合作学习：
请大家探索还可用哪些条件来判定两个三角形相似.
如图，在和中，,=,
和相似吗？
量一量与的大小，你就能找到答案．
在空白方格纸内画两个三角形，使这两个三角形有一个角对应相等，夹这个角的两边对应成比例，看看结果是否相同．
猜想：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，
那么这两个三角形相似．
已知：如图，在和中，，.
求证：.
证明 如图，在的边上截取，过点作∥，交于点，则，
∴ =(相似三角形的对应边成比例)
∵ =，∴ ==，
∴ ，∴ ．
又∵
∴.
∴.
1.分别判断如图各对三角形是否相似.
(1)与相交于点. (2).
解：(1)相似．理由：.
(2)相似.理由： .
例2 用卡钳测量容器内径的示意图．现量得卡钳上，两端点的距离为cm，．
求容器的内径BC．
解：∵ ， ，
∴ ．
∴ ，
即,
∴ (cm)．
答：容器的内径为cm．
例3 如图，已知点，分别在，上，，求证∥．
证明：在与中，
∵ ，，
∴ ．
∴ ，
∴ ∥．
2．如图，为的边上一点．若要使
与相似，可添加什么条件？你有几种不同方法？
解：方法一：添加一个角相等
如，
或；
方法二：
添加
．
小结
本节课，你学习了哪些知识？
1．已知：如图，在中，，分别是， 上的点，．
求证：．
解：由已知可得
，即，
又∵ ，
∴ ．
2．已知：如图，与交于点，
且．求证：∥．
解：∵ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ∥．
3．求证：顶角相等的两个等腰三角形相似．
如图，，．
求证：
证明：∵，，
∴
∴，
∴．
∵，
∴ ．
4．如图，在中，，分别为，上的点．若．＝cm，求的长．
解：∵ ，，
∴ ，
∴ ，即，
∴ cm．
5．如图，在中，是上一点．已知，．求的度数．
解：在与中，，
由，
得
∴
∴ ．
6．给一版墙报镶边，需要cm宽的彩色纸cm．现有如图一张三角形彩色纸零料，其中，边上的高线长为．小慧给出一种裁纸方法：如图，将，分别五等分，
然后连结两边对应的点，
并以这些连结线为一边
作矩形．剪下矩形纸条
(图中阴影部分)作为墙
报镶边的材料．问：小
慧的这种方法能满足这
版墙报镶边的需吗？请
说明理由．
解：能满足需要．理由如下：
由条件可知，，
∴△．
∴，∴
同理，，
∴
．
谢谢
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4.4 两个三角形相似的判定(2)
学习目标 1．经历三角形相似的判定定理：“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”的探索过程． 2．掌握上述三角形相似的判定定理，了解它的证明过程． 3．能运用上述定理判定两个三角形相似．
学习过程
合作学习： 请大家探索还可用哪些条件来判定两个三角形相似．如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠B＝∠B'， ＝，△ABC和△A'B'C'相似吗？ 量一量∠C与∠C’的大小，你就能找到答案． 在空白方格纸内画两个三角形，使这两个三角形有一个角对应相等，夹这个角的两边对应成比例，看看结果是否相同．
猜想：
已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C＝∠C'，＝． 求证：△CAB∽△C'A'B'．
1．分别判断如图各对三角形是否相似． (1)AC与BD相交于点O．(2)∠A＝∠D．
例2 用卡钳测量容器内径的示意图．现量得卡钳上A，D两端点的距离为5cm，＝＝． 求容器的内径BC．
例3 如图，已知点D，E分别在AB，AC上，＝，求证DE∥BC．
2．如图，D为△ABC的边AC上一点．若要使△ABD与△ACB相似，可添加什么条件？你有几种不同方法？
作业题
1．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，＝． 求证：△ADE∽△ABC．
2．已知：如图，AB与CD交于点O，且＝．求证：AC∥BD．
3．求证：顶角相等的两个等腰三角形相似．
4．如图，在△APB中，C，D分别为AP，BP上的点．若＝＝．AB＝8cm，求CD的长．
5．如图，在△ABC中，D是AC上一点．已知AB2＝AD?AC，∠ABD＝40°．求∠C的度数．
6．给一版墙报镶边，需要4cm宽的彩色纸条48cm．现有如图一张三角形彩色纸零料，其中BC＝25cm，BC边上的高线长为20cm．小慧给出一种裁纸方法：如图，将AB，AC分别五等分，然后连结两边对应的点，并以这些连结线为一边作矩形．剪下矩形纸条(图中阴影部分)作为墙报镶边的材料．问：小慧的这种方法能满足这版墙报镶边的需吗？请说明理由．
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4.4 两个三角形相似的判定(2)
教学目标 1．经历三角形相似的判定定理：“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”的探索过程． 2．掌握上述三角形相似的判定定理，了解它的证明过程． 3．能运用上述定理判定两个三角形相似． 重点和难点 关于边角边的三角形相似判定定理是本节教学中的重点． 上述三角形相似的判定定理的证明要用两组比例线段来传递边相等关系，这在此前学生很少遇见，这一证明步骤是本节教学中的难点．
教学设计
可以与三角形全等的判定定理“SAS”对比，引入相似三角形的判定定理：两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
讲解此例时，要着重讲清如何用已知中的比例式＝和添平行线后得到的比例式＝去获得C′B′＝CE，从而△C′A′B′?△CDE． 可将这个定理的证明与上一课时的判定定理的证明作比较，积累有效的数学活动经验．
讲解的时候可以启发如下．根据卡钳的构造，图中的△BOC与△AOD有怎样的关系？根据什么？BC与AD的比是多少？依据是什么？ 讲解时要板书示范解题过程的表述．
此例的证明思路比较简单，可以让学生自主完成． 此例其实是平行截割定理的一个逆定理，在解题中有较多应用．虽然不能直接引用，但能帮助打开一些思路，可提醒学生留意这个结果．
作业题
1．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，＝． 求证：△ADE∽△ABC． 解：由已知可得，即， 又∵∠A＝∠A ， ∴△ADE∽△ABC(关于边角边的三角形相似的判定定理)．
2．已知：如图，AB与CD交于点O，且．求证：AC∥BD． 解：∵ ，∠COA＝∠DOB， ∴ △AOC∽△BOD， ∴ ∠A＝∠B， ∴ AC∥BD．
3．求证：顶角相等的两个等腰三角形相似． 如图，AB＝AC，． 求证：△ABC∽△A′B′C′， 证明：∵AB＝AC，A′B′＝A’C′， ∴ ∴AB·A′C′＝AC·A’B′， ∴． ∵， ∴△ABC∽△A′B′C′．
4．如图，在△APB中，C，D分别为AP，BP上的点．若．AB＝8cm，求CD的长． 解：∵ ，∠P＝∠P， ∴ △PDC∽△PAB， ∴ ，即， ∴ CD＝6cm．
5．如图，在△ABC中，D是AC上一点．已知，∠ABD＝40°．求∠C的度数． 解：在△ABD与△ACB中，∠A＝∠A， 由， 得 ∴△ABD∽△ACB ∴∠C＝∠ABD＝40°．
6．给一版墙报镶边，需要4cm宽的彩色纸条48cm．现有如图一张三角形彩色纸零料，其中BC＝25cm，BC边上的高线长为20cm．小慧给出一种裁纸方法：如图，将AB，AC分别五等分，然后连结两边对应的点，并以这些连结线为一边作矩形．剪下矩形纸条(图中阴影部分)作为墙报镶边的材料．问：小慧的这种方法能满足这版墙报镶边的需吗？请说明理由． 解：能满足需要．理由如下： 由条件可知，∠A＝∠A， ∴△∽△ABC． ∴ ∴ 同理，， ∴．
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