4.1 比例线段（３）
数学浙教版 九年级上
4.1 比例线段（３）
教学目标
1.了解比例中项的概念．
2.会求已知线段的比例中项．
3.通过实例了解黄金分割．
4.利用黄金分割进行简单的计算．
重点和难点
本节教学的重点是黄金分割的概念及其简单应用．
例5的作图牵涉到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点．
合作学习
取一张长与宽之比为的长方形，将它对折，请判断图中两个长方形长与宽这条线段是否成比例，如果成比例，请写出比例式．
这个比例式有什么特别之处吗？
做一做
（１）是不是和的比例中项？如果是比例中项，请写出相应的比例式．
（２）已知线段求的比例中项．
定义
一般地，如果三个数????,????,????满足比例式
，则????就叫????,????的比例中项．
著名画家达?芬奇的名画＜蒙娜丽莎＞，画中脸部被围在矩形中，图中四边形为正方形，而在线段上的点把线段分成两条线段，其中
如图，如果点把线段分成条线段和，使，
那么称线段被点黄金分割，线段与的比叫黄金比，
点叫线段的黄金分割点．
A
B
C
D
E
F
即：较长的线段是较短的线段与整条线段的比例中项．
如何应用二次方程的知识求出黄金比的数值?
想一想
设,则
由，得
即 化简 得
解得不合题意,舍去
所以
追溯黄金分割的历史文化
早在古希腊，数学家、天文学家欧多克索斯（Eudoxus，约前400——前347）曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题.
天文学家开普勒（Johannes Kepler,1571—1630）把这种分割线段的方法称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割“是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”． 而历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆（Martin Ohm，1792—1872）．19世纪以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来…
追溯黄金分割的历史文化
打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上。
耐人寻味的
耐人寻味的
蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比,普通树叶的宽与长之比也接近
生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来舒服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于8开、16开、32开等，都仍然是近似的黄金矩形．
节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，而总是站在舞台的处，站在舞台上侧近于的位置才是最佳的位置；
你知道芭蕾舞演员跳舞时为什么要掂起脚尖吗?
芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加.这时比值就接近了,给人以更为优美的艺术形象.
耐人寻味的
古埃及胡夫金字塔
古希腊巴特农神庙
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于.
古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽也是按黄金比来建立，他们认为这样的长方形看来是较美观；其大理石柱廓，就是根据黄金分割律分割整个神庙的.
耐人寻味的
例 5 已知线段，点是它的黄金分割点，．求，的长．
解： 因为点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴ ＝，
∴ AP＝ AB＝ × ＝1．
BP＝AB－AP＝ －1＝ ．
1、已知：点是线段的黄金分割点，，
．求：
（1），的值；
（2）的值．
解：(1)AC＝×AB＝ ×2＝－1，
BC＝AB－AC＝2－(－1)＝3－ ．
(2)AC︰BC＝ －1︰3－ ＝ ．
468m
?
2、上海东方明珠电视塔高，上球体是塔身的黄金分割点，它到塔底部的距离大约是多少米(精确到)?
解：468× ≈289.2m．
答：它到塔底的距离大约是289.2m．
1、已知点是线段的黄金分割点，且
则下列等式成立的是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
2、写作业时，要想使写出来的作业看起来美观，写字大小约占格子的（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
3
1
2
1
3
2
4
3
3、在人体下半身与身高的比例上，越接近，越给人美感，遗憾的是，即使是身体修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高米，下半身米，她应该选择多高的高跟鞋看起来更美呢？
解：设她应该选择x米高的高跟鞋，
则≈0.618，解得x≈0.05．
答：她选择5厘米高的鞋子比较合适．
小 结
什么是黄金分割.
如何去确定黄金分割点或黄金比.
将所学知识网络化.
要用数学美去装点和美化生活.
与同伴谈谈你对黄金分割的收获与体会.
1.求线段a，b的比例中项线段．
(1)a＝4.5，b＝2．
(2)a＝－1，b＝＋1．
解：(1)3．(2)1．
2.如图，C是线段AB的黄金分割点，
AC＞BC．写出黄金分割的比例式，指出其中的比例中项．
解：＝．AC是AB，BC的比例中项．
3.一本书的宽与长之比为黄金比，已知它的宽为14cm，求它的长(精确到0.1cm)．
?
解：14÷0.618≈22.7cm．
答：它的长约为22.7cm．
4．1︰也是一个很有趣的比， 已知线段AB(如图)，用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP︰AB＝1︰ ．
解：(1)以AB为斜边作一个等腰直角三角形ABC．
(2)在AB上截取AP＝AC点P就是所求的点．
顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形
1．作顶角为36°的等腰△ABC；量出底BC与腰AB的长度，计算BC︰AB≈__________．(精确到0.001)
2．作∠B的平分线，交AC于点D，量出CD的长度，再计算：CD︰BC≈__________．(精确到0.001)
0.618
0.618
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4.1 比例线段(3)
学习目标 1．了解比例中项的概念． 2．会求已知线段的比例中项． 3．通过实例了解黄金分割． 4．利用黄金分割进行简单的计算．
学习过程
合作学习：取一张长与宽之比为的长方形，将它对折，请判断图中两个长方形长与宽这条线段是否成比例，如果成比例，请写出比例式．
定义
做一做 (1)是不是和的比例中项？如果是比例中项，请写出相应的比例式． (2)已知线段a＝3，b＝27，求a，b的比例中项．
如何应用二次方程的知识求出黄金比的数值？(选做)
例 5 已知线段AB＝，点P是它的黄金分割点，AP＞PB．求AP，BP的长．
已知：点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，AB＝2． 求：(1)AC，BC的值； (2)AC︰BC的值．
2、上海东方明珠电视塔高468m，上球体是塔身的黄金分割点，它到塔底部的距离大约是多少米(精确到0.1m)？
1、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞CB， 则下列等式成立的是（ ） A． AB＝AC?CB B． CB＝AC?AB C． AC＝CB?AB D． AC2＝AB?BC
2、写作业时，要想使写出来的作业看起来美观，写字大小约占格子的（ ） A． B． C． D．
3、在人体下半身与身高的比例上，越接近，越给人美感，遗憾的是，即使是身体修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高米，下半身米，她应该选择多高的高跟鞋看起来更美呢？
作业题
求线段a，b的比例中项线段． (1)a＝4.5，b＝2．(2)a＝－1，b＝＋1．
如图，C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC．写出黄金分割的比例式，指出其中的比例中项．
一本书的宽与长之比为黄金比，已知它的宽为14cm，求它的长(精确到0.1cm)．
1︰也是一个很有趣的比， 已知线段AB(如图)，用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP︰AB＝1︰．
拓展题
顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形 1．作顶角为36°的等腰△ABC；量出底BC与腰AB的长度，计算BC︰AB≈__________．(精确到0.001) 2．作∠B的平分线，交AC于点D，量出CD的长度，再计算：CD︰BC≈__________．(精确到0.001)
3．已知线段AB，用直尺和圆规作出它的黄金分割点．
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4.1 比例线段(3)
教学目标 1．了解比例中项的概念． 2．会求已知线段的比例中项． 3．通过实例了解黄金分割． 4．利用黄金分割进行简单的计算． 重点和难点 本节教学的重点是黄金分割的概念及其简单应用． 例5的作图牵涉到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点．
教学设计
用合作学习引入比例中项的概念．学生通过计算，写出的比例式不一定是比例中项的形式，这样就需要教师给以引导．比如若学生写出的比例式为＝，则引导学生根据等式的性质，得＝强调内项相同．
求两个数a，b的比例中项，可以转化为求a，b之积的平方根±，很明显，a，b必须同号，在本套教科书中还约定为ab≠0(来源于关于比例式的字母约定)．当a，b表示线段时，－显然无意义，所以只取．
通过达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》引入黄金分割的概念，再用黄金分割在建筑和自然界中广泛应用的现象来说明它的价值．教学中还可以举一些其他实例，让学生了解和感受黄金分割所体现的数学美，以及数学与生活实际的联系．课本中关于黄金比的概念是以较长线段与原线段的比来定义的，这个比值等于≈0.618．
黄金比的数值是通过解一元二次方程求得的．设比值＝x，然后设法将比例式中的线段都用关于x的代数来表示．这种设未知数的方法比较独特，需要教师进行引导．根据比例式列出的方程含两个未知数(AB和x)，其中AB可以消去，这一变形过程同样需要教师进行必要的分析．
解： 因为点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB， ∴ ＝， ∴ AP＝AB＝×＝1． BP＝AB－AP＝－1＝． 例5是为了及时巩固黄金分割，黄金比等概念而配置的，可以概括为已知分量与总量的比和总量求分量的问题．这类题学生并不感到困难．教学中要强调的是黄金比是较长一条线段与整条线段的比，也是较短一条线段与较长一条线段的比
1．解：(1)AC＝×AB＝×2＝－1， BC＝AB－AC＝2－(－1)＝3－． (2)AC︰BC＝－1︰3－＝． 2．解：468×≈289.2m． 答：它到塔底的距离大约是289.2m．
解：设她应该选择x米高的高跟鞋， 则≈0.618，解得x≈0.05． 答：她选择5厘米高的鞋子比较合适．
作业题
求线段a，b的比例中项线段． (1)a＝4.5，b＝2．(2)a＝－1，b＝＋1． 解：(1)3．(2)1．
如图，C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC．写出黄金分割的比例式，指出其中的比例中项． 解：＝．AC是AB，BC的比例中项．
一本书的宽与长之比为黄金比，已知它的宽为14cm，求它的长(精确到0.1cm)． 解：14÷0.618≈22.7cm． 答：它的长约为22.7cm．
1︰也是一个很有趣的比， 已知线段AB(如图)，用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP︰AB＝1︰． 解：(1)以AB为斜边作一个等腰直角三角形ABC． (2)在AB上截取AP＝AC点P就是所求的点．
拓展题
顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形 1．作顶角为36°的等腰△ABC；量出底BC与腰AB的长度，计算BC︰AB≈__________．(精确到0.001) 2．作∠B的平分线，交AC于点D，量出CD的长度，再计算：CD︰BC≈__________．(精确到0.001)
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