4.3 相似三角形
数学浙教版 九年级上
经过相似变换得到的两个图形，叫做相似图形．
温故知新
相似变换的性质:
图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大(或缩小)相同的倍数.
如图,在方格纸内先任意画一个,然后画经某一相似变换(如放大或缩小若干倍)后得到
(点,,分别对应点,,,顶点在格点上).
问题1: 与对应角之间有什么关系?
问题2: 与对应边之间有什么关系?
合作学习
4.3 相似三角形
一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．
相似用符号“∽”来表示,读做“相似于”
如与相似,
记作“∽”．
注意：在表示三角形相似时,一般对应的 字母写在对应的位置上.
定义
几何语言表示:
∵,，
∴∽
定义
相似三角形的定义可以作为
三角形相似的一种判定方法．
已知:如图,分别是边的中点.
求证:∽.
证明：
∵分别是的中点，
∴，．
在和中，
，，．
∴∥，．
∴∽．
（相似三角形的定义）
如果∽那么我们可以这样表述：
∴ ，
，
，
∵ ∽
相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
相似三角形的对应边的比，
叫做两个相似三角形的相似比．
性质
1、两个等腰三角形一定相似 （ ）
辨一辨
2、两个直角三角形一定相似 （ ）
3、两个全等的三角形一定相似 （ ）
4、两个等边三角形一定相似 （ ）
5、两个等腰直角三角形一定相似 （ ）
6、相似于同一个三角形的两个三角形一定相似 （ ）
×
×
√
√
√
√
判断下面各题，并说明理由．
相似三角形的传递性
（2）已知∽，如果，
，的度数为（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
初显身手
（１）如图，∽，
已知，，则＝ ．
（3）已知的三边长分别是，
与其相似的三角形的最大边是，
则的周长等于＿＿．
请同学们动手摆一摆，使它们有一个公共顶点，你能摆出多少种不同位置关系的图形．
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
X型
A型
非A型
已知,如图,分别是的边上的点, ∽.已知
,求的长.
解：∵△ADE ∽△ABC
（相似三角形的对应边成比例）
∴DE=3（cm）
答：DE的长为3cm。
E
D
C
B
A
已知,如图，分别是的边反向延长线上的∽．
,求的长．
解： AD︰DB=1︰4，
AD︰AB=1︰3．
△ADE△ABC，
，即，
DE=3．
如图,分别是的边上的点
∽,，，求的长.
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
如图，∽, 且，，
则 ① ；
；
DA
CD
AC
D
C
B
A
②
＝
＝
AB
CA
BC
请你谈谈学习本节课后的感受!
小结:
1.相似三角形的定义:
对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.
2.相似三角形性质：
相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
3.相似三角形的三种基本图形
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
X型
A型
非A型
如图，△ABC与△A′B′C′是相似三角形．
(1)用符号表示图中两个相似三角形．
(2)写出各对对应角．
(3)写出对应边成比例的比例式
，并求出△ABC与△A′B′C′的相似比．
解：(1)△ABC△A′B′C′．
(2)A＝A′，B＝B′，C＝C′．
(3)＝＝．相似比为2．
2．如图，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE△ABC，相似比是．
(1)若DE＝4cm，求BC的长．
(2)若AE＝7cm，求EC的长．
解：(1) △ADE△ABC，
相似比是，
＝，即＝， BC＝10cm．
(2)△ADE△ABC，相似比是，
＝，即＝， BC＝17.5cm，
EC＝AC－AE＝17.5－7＝10.5cm．
在下面两组图形中，每组的两个三角形相似，a表示已知数．试分别确定α，x的值．
(1)α＝40°，
x＝9．
(2)α＝45°，
x＝a．
如图，△ABC△ACD，点D在B上．已知AC＝3cm，AD＝2cm．求AB的长．
解：△ABC△ACD，
＝，即＝，
AB＝4.5cm．
已知：如图，在中，，，于点．
求证：．
解：，，
．
，
，
，
．
设，则．
根据勾股定理，得，．
，，，
＝＝．
．
1．如图，，点在上，已，，，，求的度数和的长．
解：，
，．
，
，，，
，
，．
，，
，．
谢谢
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4.3 相似三角形
学习目标 1．了解相似三角形的概念，会表示两个三角形相似． 2．能运用相似三角形概念判断两个三角形相似． 3．理解“相似三角形的对应角相等，对应边成比例”的性质．
学习过程
合作学习：如图，在方格纸内先任意画一个△ABC，然后画△ABC经某一相似变换(如放大或缩小若干倍)后得到△A'B'C'(点A'，B'，C'分别对应点A，B，C，顶点在格点上)． 问题1： △A'B'C'与△ABC对应角之间有什么关系？ 问题2： △A'B'C'与△ABC对应边之间有什么关系？
定义
已知：如图，D，E分别是AB，AC边的中点．求证：△ADE∽△ABC．
性质
判断下面各题，并说明理由． 1、两个等腰三角形一定相似（ ） 2、两个直角三角形一定相似（ ） 3、两个全等的三角形一定相似（ ） 4、两个等边三角形一定相似（ ） 5、两个等腰直角三角形一定相似（ ） 6、相似于同一个三角形的两个三角形一定相似（ ）
(1)如图，△ABC∽△ADE，已知，＝，则＝__________． (2)已知△ABC∽△A'B'C'，如果∠A＝55°，∠B＝100°，∠C'的度数为（ ） A． 100° B． 55° C． 30° D．25° (3)已知△ABC的三边长分别是3，4，5，与其相似的三角形△DEF的最大边是15，则△DEF的周长等于__________．
请同学们动手摆一摆这两个三角形，使它们有一个公共顶点，你能摆出多少种不同位置关系的图形．
已知，如图，D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点， △ADE∽△ABC．已知AD∶DB＝1∶2， BC＝9cm，求DE的长．
已知，如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC反向延长线上的△ADE∽△ABC．AD∶DB＝1∶4， BC＝9cm，求DE的长．
如图，D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点△ADE∽△ABC，AE＝3cm，EB＝5cm，AC＝6cm，求AD的长．
作业题
如图，△ABC与△A′B′C′是相似三角形． (1)用符号表示图中两个相似三角形． (2)写出各对对应角． (3)写出对应边成比例的比例式，并求出△ABC与△A′B′C′的相似比．
如图，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ABC，相似比是． (1)若DE＝4cm，求BC的长． (2)若AE＝7cm，求EC的长．
在下面两组图形中，每组的两个三角形相似，a表示已知数．试分别确定α，x的值．
如图，△ABC∽△ACD，点D在B上．已知AC＝3cm，AD＝2cm．求AB的长．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，AC＝BC，CD⊥AB于点D． 求证：△ACD∽△ABC．
拓展题
如图，Rt△ACE∽Rt△BDC，点C在AB上，已AB＝10，AC＝4，BD＝2，∠A＝∠B＝Rt∠， 求∠DCE的度数和EC的长．
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4.3 相似三角形
教学目标 1．了解相似三角形的概念，会表示两个三角形相似． 2．能运用相似三角形概念判断两个三角形相似． 3．理解“相似三角形的对应角相等，对应边成比例”的性质． 重点和难点 本节教学的重点是相似三角形的概念． 在具体的图形中找出相似三角形的对应边，并写出比例式，需要学生具有一定的分辨能力，是本节教学的难点．
教学设计
1、让学生观察这两个地图，然后说出他们的发现，一般情况一下，学生并不会直接用专业术语“相似”来进行回答，而是用“形状相同，大小不同”来进行描述，但在老师引导后，不难有学生会想到用相似来表述，那么那下来就可以可以复习相似图形的概念，即经过相似变换得到的两个图形，叫做相似图形． 2、进一步让学生观察△ABC与△A′B′C′，可以复习相似变换的性质：图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小，图形中的每条线段都扩大(或缩小)相同的倍数．
应当认真让学生完成这一环节，让他们经历相似三角形概念的发生过程，在说明角对应相等时有两种方法：一是通过测量，二是推理．例如在图中 ∠ACB＝180°－45°－∠ACC′， 而∠A′C′B′＝180°－45°－∠A′C′D(D为点C′向右一格的点)，由两条直角边长分别为1，2的两个直角三角形全等， 可以得到∠ACC′＝∠A′C′D， 所以∠ACB＝∠A′C′B′．对应边成比例则可运用勾股定理计算各边长得到．
相似三角形与全等三角形在研究的内容上、方法上有类似之处，教学时可以运用类比的方法． 相似三角形的定义的条件：对应角相等，对应边成比例，也就是相似三角形的本质属性． 在用符号“∽”表示两个三角形相似时，课本约定把对应顶点写在对应位置上，这能帮助学生找到对应关系式．
此例是运用相似三角形的定义证明两个三角形相似，安排这个例题的目的，一是加深学生对概念的了解，知道怎样从边和角两个角度去说明两个三角形相似；二是让学生明确，在目前阶段，只能依据定义判定两个三角形是否相似．用定义证明两个三角形相似的情形不多，表述也比较繁，因此在本例的教学中应注意解题过程的示范．
这里给出相似比的概念，但要注意相似比的概念是涉及顺序的．
本环节是用来检验学生对于相似三角形的判定是不是理解．尤其是第3个，教师可以进一步指出它们的相似比是多少，这里学生通常是一愣，进而试探性地问是不是1：1，这是我们要肯定学生的试探性回答，并大胆鼓励．第6题则是关于一个小知识，即传递性，这个倒不是很难理解．
让学生通过摆一摆，经历一相似三角形的基本不同形态，但这里漏了一种非A型的变形，即蝴蝶形，在课堂上可以补充说明，学生能类比前两个的情况自行给出，也是非常好的．
此例是相似三角形性质的应用，初学时学生容易把条件“AD︰DB＝1︰2”当做两个三角形的对应边的比，这主要是缺乏一种在复杂图形中对三角形边的识别能力，教学中应适当增加一些找相似三角形中对应角、对应边的练习．
解：∵ AD︰DB＝1︰4， ∴ AD︰AB＝1︰3． ∵ △ADE∽△ABC， ∴ ＝，即＝， ∴ DE＝3．
解：∵ △ADE∽△ABC， ∴ ＝，即＝， ∴ ＝，∴ ．
作业题
如图，△ABC与△A′B′C′是相似三角形． (1)用符号表示图中两个相似三角形． (2)写出各对对应角． (3)写出对应边成比例的比例式，并求出△ABC与△A′B′C′的相似比． 解：(1)△ABC∽△A′B′C′． (2)∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′． (3)＝＝．相似比为2．
如图，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ABC，相似比是． (1)若DE＝4cm，求BC的长． (2)若AE＝7cm，求EC的长． 解：(1)∵ △ADE∽△ABC，相似比是， ∴ ＝，即＝， ∴ BC＝10cm． (2)∵ △ADE∽△ABC，相似比是， ∴ ＝，即＝， ∴ BC＝17.5cm， ∴ EC＝AC－AE＝17.5－7＝10.5cm．
在下面两组图形中，每组的两个三角形相似，a表示已知数．试分别确定α，x的值． 解：(1)α＝40°，x＝9．(2)α＝45°，x＝a．
如图，△ABC∽△ACD，点D在B上．已知AC＝3cm，AD＝2cm．求AB的长． 解：∵ △ABC∽△ACD， ∴ ＝，即＝， ∴ AB＝4.5cm．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，AC＝BC，CD⊥AB于点D． 求证：△ACD∽△ABC． 解：∵∠ACB＝Rt∠，AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°． ∵CD⊥AB， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴∠ACB＝∠ADC． 设CD＝x，则AD＝BD＝x． 根据勾股定理，得AC＝BC＝x，AB＝2x． ∴ ＝，＝，＝＝， ∴ ＝＝． ∴△ACD∽△ABC．
拓展题
如图，Rt△ACE∽Rt△BDC，点C在AB上，已AB＝10，AC＝4，BD＝2， ∠A＝∠B＝Rt∠，求∠DCE的度数和EC的长． 解：∵ Rt△ACE∽Rt△BDC， ∴ ∠E＝∠BCD，＝． ∵ ∠A＝∠B＝Rt∠，AB＝10，AC＝4，BD＝2， ∴ ∠E＋∠ACE＝Rt∠，BC＝6，CD＝2． ∴ ∠BCD＋∠ACE＝Rt∠，＝， ∴ ∠DCE＝90°，EC＝4．
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