4.4 两个三角形相似的判定（1）
数学浙教版 九年级上
4.4 两个三角形相似的判定（1）
教学目标
1.掌握三角形相似判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，了解它的证明过程.
2.掌握三角形相似的判定定理：有两个角对应相等的两个三角形相似，并能运用这个定理证明两个三角形相似.
重点和难点
本节教学的重点是三角形相似的判定定理：有两个角对应相等的两个三角形相似.
三角形相似判定的预备定理的证明比较复杂，是本节教学的难点.
回 顾
1.相似三角形的定义？
2.相似三角形的性质？
一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．
相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．
合作学习
如图在中，点，分别在,上,且∥,则与相似吗?
(1)这两个三角形的三个内角是否对应相等?
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交．所构成的三角形与原三角形相似．
(2)这两个三角形的边长,它们是否对应成比例?
平行移动的位置再试一试．
如图，已知∥∥，
请说出图中的相似三角形．
试一试
当时，下面的两个三角形相似吗？
合作探究
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
可以简单说成：
两角对应相等，两三角形相似．
数学语言:
∴∽．
三角形相似的判定定理1：
∵
已知：和中，，，，．求证：∽．
证明：
∵ 在ΔABC中, ∠A=40°，∠B=80°，
∴ ∠C=180°－∠A －∠B＝60°
∵ 在ΔDEF中，∠E=80°，∠F=60°,
∴ ∠B=∠E，∠C=∠F,
∴ ΔABC∽ΔDEF.
C
B
A
D
F
E
（两角对应相等，两三角形相似）
为了测量大峡谷的宽度,地质勘探人员采用了如下方法：从A处沿与AB垂直的直线方向走到达处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达处，再右转度走到处，使，，三点恰好在一条直线上，量得．请你帮他们算出峡谷的宽度．
C
A
B
D
E
解：∵ AB⊥AD，DE⊥AD．
∴ ∠BAC＝∠EDC＝Rt∠．
又∵ ∠ACB＝∠DCE，
∴ △ABC∽△DEC(有两个角对应相等的两个三角彩相似)，
∴ ＝．
∵ AC＝45，CD＝15，DE＝20，
∴ ＝，
∴ AB＝＝60(m)．
答：河宽AB是60m．
能否判定如图△ABC与△A′B′C′ 相似？为什么？
能判定这两个三角形相似，
因为有两个角对应相等
如图,点D,E,F分别在△ABC的各条边上,且DE∥BC,DF∥AC请尽可能多地找出图中的相似三角形,并说明理由.
△ADE∽△DBF∽△ABC，
根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”.
如图，在中，，于点．试写出图中的相似三角形．
△ABC∽△CAD∽△BCD，
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
简单说成:两个角对应相等,两三角形相似.
小 结
1．如图，已知∠ACB＝∠CDB＝Rt∠．图中这两个三角形相似吗？如果你认为相似，请说明理由；如果你认为不一定相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似．
解：不一定相似．
可以添加条件：
∠ABC＝∠BCD，
或∠ABC＝∠CBD，
或∠A＝∠CBD，
或∠A＝∠BCD，
或AB∥CD等．
2．已知：如图，在☉O中，弦AB与弦CD交于点P．
(1)求证：△ADP∽△CBP．
(2)判断AP·BP＝DP·CP是否成立，并给出证明．
解：(1)证明：
在△ADP和△CBP中，
∠A＝∠C，∠D＝∠B，
∴△ADP∽△CBP
(2)成立
∵△ADP∽△CBP，
∴APCP＝DPBP，
∴AP·BP＝CP·DP．
3．如图，等腰三角形ABC的顶角∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线．判断点D是不是线段AC的黄金分割点，并说明理由．
解：点D是线段AC的黄金分割点．理由如下：
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝72°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝36°．
∴∠DBC＝∠A，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BCD．
∴ACBC＝BCCD．
而BC＝BD＝AD，
所以点D是AC的黄金分割点．
小明和他的同学用如图方法测量一幢楼的楼高：线段AB，EF，CD分别表示人、竹竿、楼房的高度，且点A，E，C在一条直线上．测得人和竹竿的水平距离为1.5m，人和楼房的水平距离为20 m，人的高度为1.6m，竹竿的高度为2.8m， 据此可求出楼高． 请你给出这种测量方法的数学解释，并算出楼高．
解：这种测量方法所运用的数学知识是相似三角形的性质．具体计算过程如下：
由条件可知，
EG＝2.8－1.6＝2，
AG＝1.5，
AH＝20，
且△AEG∽△ACH
∴ ＝，即＝．
解得CH＝16．
∴ CD＝CH＋DH＝16＋1.6＝17.6(m)．
所以这楼的高度是17.6m．
谢谢
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4.4 两个三角形相似的判定(1)
学习目标 1．掌握三角形相似判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，了解它的证明过程． 2．掌握三角形相似的判定定理：有两个角对应相等的两个三角形相似，并能运用这个定理证明两个三角形相似．
学习过程
合作学习：如图在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，则△ADE与 △ABC相似吗？ (1)这两个三角形的三个内角是否对应相等？ (2)这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？平行移动DE的位置再试一试．
结论
试一试：如图，已知EF∥CD∥AB，请说出图中的相似三角形．
合作探究：当∠A＝∠A'，∠B＝∠B'时，下面的两个三角形相似吗？
三角形相似的判定定理1：
已知：ΔABC和ΔDEF中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°． 求证：ΔABC∽ΔDEF．
为了测量大峡谷的宽度AB，地质勘探人员采用了如下方法：从A处沿与AB垂直的直线方向走40m到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走15m到达D处，再右转90度走到E处，使B，C，E三点恰好在一条直线上，量得DE＝20m．请你帮他们算出峡谷的宽度．
能否判定如图△ABC与△A′B′C′ 相似？为什么？
如图，点D，E，F分别在△ABC的各条边上，且DE∥BC，DF∥AC请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由．
如图，在△ABC中，∠ACB＝Rt∠，CD⊥AB于点D．试写出图中的相似三角形．
作业题
如图，已知∠ACB＝∠CDB＝Rt∠．图中这两个三角形相似吗？如果你认为相似，请说明理由；如果你认为不一定相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似．
已知：如图，在☉O中，弦AB与弦CD交于点P． (1)求证：△ADP∽△CBP． (2)判断AP·BP＝DP·CP是否成立，并给出证明．
如图，等腰三角形ABC的顶角∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线．判断点D是不是线段AC的黄金分割点，并说明理由．
小明和他的同学用如图方法测量一幢楼的楼高：线段AB，EF，CD分别表示人、竹竿、楼房的高度，且点A，E，C在一条直线上．测得人和竹竿的水平距离为1.5m，人和楼房的水平距离为20 m，人的高度为1.6m，竹竿的高度为2.8m， 据此可求出楼高． 请你给出这种测量方法的数学解释，并算出楼高．
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4.4 两个三角形相似的判定(1)
教学目标 1．掌握三角形相似判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，了解它的证明过程． 2．掌握三角形相似的判定定理：有两个角对应相等的两个三角形相似，并能运用这个定理证明两个三角形相似． 重点和难点 本节教学的重点是三角形相似的判定定理：有两个角对应相等的两个三角形相似． 三角形相似判定的预备定理的证明比较复杂，是本节教学的难点．
教学设计
复习旧知识，看看之前的学习效果．
有4.2节基本事实的引入，使三角形的相似判定形成比较严格的推证系统：平等截割定理三角形相似判定的预备定理三角形相似的判定定理．这个论证系统中预备定理的重要作用是非常明显的．讲解预备定理的证明思路，可按以下步骤进行启发： (1)到目前为止，证明两个三角形相似的唯一依据是什么？ (2)由DE∥BC，可以得到哪些角对应相等？根据是什么？ (3)由DE∥BC，可以得到哪些边对应成比例？ (4)根据上述，现在要证明△ADE~△ABC，只差什么？ (5)要证明＝，如果我们把DE平移至BC上，那么就同样可以用平行截割定理得到这一结果．把DE平移至BC上可以通过添加怎样的辅助线来完成？ 这个证明应用了平行截割定理，过程比较复杂，属于选学内容．
试一试：△OEF~△OCD~△OAB．
解：∵ AB⊥AD，DE⊥AD． ∴ ∠BAC＝∠EDC＝Rt∠． 又∵ ∠ACB＝∠DCE， ∴ △ABC∽△DEC(有两个角对应相等的两个三角彩相似)， ∴ ＝． ∵ AC＝45，CD＝15，DE＝20， ∴ ＝， ∴ AB＝＝60(m)． 答：河宽AB是60m． 这是一道测量方面的应用题，课本采用一种觉的测量方法，教学时既要让学生掌握运用相似三角形的知识进行计算的方法，也应该让学生掌握这一测量的方法． 这个图形非常具有代表性，要让学生熟悉这类常见的图形．
作业题
如图，已知∠ACB＝∠CDB＝Rt∠．图中这两个三角形相似吗？如果你认为相似，请说明理由；如果你认为不一定相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 解：不一定相似．可以添加条件： ∠ABC＝∠BCD， 或∠ABC＝∠CBD， 或∠A＝∠CBD， 或∠A＝∠BCD， 或AB∥CD等．
已知：如图，在☉O中，弦AB与弦CD交于点P． (1)求证：△ADP∽△CBP． (2)判断AP·BP＝DP·CP是否成立，并给出证明． 解：(1)证明： 在△ADP和△CBP中，∠A＝∠C，∠D＝∠B， ∴△ADP∽△CBP (2)成立 ∵△ADP∽△CBP， ∴＝， ∴AP·BP＝CP·DP．
如图，等腰三角形ABC的顶角∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线．判断点D是不是线段AC的黄金分割点，并说明理由． 解：点D是线段AC的黄金分割点．理由如下： ∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝72°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝36°． ∴∠DBC＝∠A， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BCD． ∴＝． 而BC＝BD＝AD， 所以点D是AC的黄金分割点．
小明和他的同学用如图方法测量一幢楼的楼高：线段AB，EF，CD分别表示人、竹竿、楼房的高度，且点A，E，C在一条直线上．测得人和竹竿的水平距离为1.5m，人和楼房的水平距离为20 m，人的高度为1.6m，竹竿的高度为2.8m， 据此可求出楼高． 请你给出这种测量方法的数学解释，并算出楼高． 解：这种测量方法所运用的数学知识是相似三角形的性质．具体计算过程如下： 由条件可知， EG＝2.8－1.6＝2， AG＝1.5， AH＝20， 且△AEG∽△ACH ∴ ＝，即＝． 解得CH＝16． ∴ CD＝CH＋DH＝16＋1.6＝17.6(m)． 所以这楼的高度是17.6m．
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