4.4 两个三角形相似
的判定（3）
数学浙教版 九年级上
4.4 两个三角形相似
的判定（3）
教学目标
1．掌握三角形相似的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似．了解它的证明过程．
2．会运用上述定理判定两个三角形相似．
重点和难点
本节的教学重点是关于三边的三角形相似的判定定理．
上述三角相似的判定定理的证明和例5都运用了比较复杂的等量传递，是本节教学的难点．
如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，请在方格纸内画一个，使与的三边成比例，量一量和的大小，你认为
与相似吗？并说明理由．
A
B
C
A’
B’
C’
相似
已知：如图，和中，．
求证：．
证明：在上截取，
过点作∥，交于点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，．
∴ ，
∴ ．
已知：如图，和中，
．
求证：．
判定定理三：
如果一个三角形的三条边和
另一个三角形的三条边对应
成比例，那么这两个三角形
相似．
可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．
判定定理三的几何语言表述：
∵ ，
∴ ．
例4如图，判断方格中的两个三角形是否相似，并说明理由．
解：根据勾股定理，得：
，，；
，，．
∴ ，
∴ ．
已知：为内一点，，，分别是，，上的点，且．
求证：．
证明：在与中，
∵ ，，
∴ ，
∴ ．
同理可证 ．∴ ．
同理可证 ．∴ ,
∴ ．
依据下列各组条件，判定与是不是相似，并说明为什么：
（1），厘米，厘米，
，=3厘米，厘米；
（2）厘米，厘米，8厘米，厘米，厘米，厘米.
解：（1）相似，因为满足两边对应成比例，夹角相等的条件.
（2）相似，因为满足三边对应成比例的条件．
如图，的三个顶点都在方格纸的格点上.在方格纸内画， 使，相似比为，且顶点都在格点上．
小结
本节课，你学习了哪些知识？
1．如图，三个三角形的顶点都在方格纸的格点上．它们中哪些三角形相似？请说明理由．
解：．理由如下：
利用勾股定理，可得：
，，；
，，；
∴
∴ ．
2．如图，在中，，，分别是，，的中点．求证：，
并说出与的相似比．
证明：根据三角形的中位线定理可得
∴ ．
相似比是．
3．已知：如图，在中，点，，在边上，点在上，．
求证：．
证明：由已知，，
得，
∴ ，
同理可得，
∴ ．
4．如图，在等边三角形中，，，分别是，，上的点，且．找出图中所有相似的三角形(不要求证明)．
解：，
．
5．如图，的三个顶点都在格点上．在方格纸内作，使，相似比为，且各顶点都在格点上．
6．一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形一定相似吗？证明你的判断．
解：相似．证明提示：利用已知一条直角边和斜边对应成比例，设比值为，然后利用勾股定理，可证得两个直角三角形三条边对应成比例．
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4.4 两个三角形相似的判定(3)
学习目标 1．掌握三角形相似的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似．了解它的证明过程． 2．会运用上述定理判定两个三角形相似．
学习过程
如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，请在方格纸内画一个△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'的三边成比例，量一量∠A和∠A'的大小，你认为△ABC与△A'B'C'相似吗？并说明理由．
已知：如图，△A'B'C'和△ABC中，A'B'︰AB＝A'C'︰AC＝B'C'︰BC． 求证：△A'B'C'∽△ABC．
判定定理三： 几何语言：
例4如图，判断4×4方格中的两个三角形是否相似，并说明理由．
已知：O为△ABC内一点，A′，B′，C′分别是OA，OB，OC上的点，且＝＝． 求证：△A′B′C′~△ABC．
依据下列各组条件，判定△ABC与△A'B'C'是不是相似，并说明为什么： (1)∠A＝120°，AB＝7厘米，AC＝14厘米， ∠A'＝120°，A'B'＝3厘米，A'C'＝6厘米； (2)AB＝4厘米，BC＝6厘米，AC＝8厘米，A'B'＝12厘米，B'C'＝18厘米，A'C'＝24厘米．
如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上．在方格纸内画△A'B'C'， 使△A'B'C'∽△ABC，相似比为2︰1，且顶点都在格点上．
作业题
1．如图，三个三角形的顶点都在方格纸的格点上．它们中哪些三角形相似？请说明理由．
2．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点．求证：△EFD∽△ABC， 并说出△EFD与△ABC的相似比．
3．已知：如图，在△ABC中，点F，O，G在BC边上，点E在AO上，＝＝． 求证：△EFG∽△ABC．
4．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA上的点，且AD＝BE＝CF．找出图中所有相似的三角形(不要求证明)．
5．如图，△ABC的三个顶点都在格点上．在方格纸内作△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，相似比为1：2，且各顶点都在格点上．
6．一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形一定相似吗？证明你的判断．
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4.4 两个三角形相似的判定(3)
教学目标 1．掌握三角形相似的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似．了解它的证明过程． 2．会运用上述定理判定两个三角形相似． 重点和难点 本节的教学重点是关于三边的三角形相似的判定定理． 上述三角相似的判定定理的证明和例5都运用了比较复杂的等量传递，是本节教学的难点．
教学设计
本题的证明基本思路与前面两个三角形相似的判定定理的证明基本思路完全相同，讲解时应把重点放在如何利用两组对应边成比例传递△ABC与△A′DE的对应边相等．
思路分析 (1)要判断图中的两个三角形是否相似，是找边的关系容易，还是找角的关系容易？ (2)条件“4×4方格”说明图中的每一个小方格的边长为1，这样我们可以求出每个三角形的边长． (3)根据求出的线段的长度，可以判断它们是否对应成比例．
本例在相似多边形和位似形的研究中有较多的应用，要通过此例讲解使学生熟知解决这类问题的基本思路．讲解时可作如下启发： (1)从已知出发考虑问题，你能发现课本中已有哪几对相似三角形？ (2)从各对相似三角形的对应边成比例能否传递出△A′B′C′与△ABC的对应边成比例？ (3)能否用三角形相似的另外两个判定定理来证明△A′B′C′∽△ABC？ 本例的证明不论采用哪个判定定理，其思路的核心就是运用等量传递．
作业题
1．如图，三个三角形的顶点都在方格纸的格点上．它们中哪些三角形相似？请说明理由． 解：△FGM∽△DEB．理由如下： 利用勾股定理，可得： FG＝2，GM＝2，MF＝4； DE＝，EB＝，BD＝2； ∴ ＝＝＝2， ∴△FGM∽△DEB．
2．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点．求证：△EFD∽△ABC， 并说出△EFD与△ABC的相似比． 证明：根据三角形的中位线定理可得＝＝＝，∴△EFD∽△ABC． 相似比是．
3．已知：如图，在△ABC中，点F，O，G在BC边上，点E在AO上，＝＝． 求证：△EFG∽△ABC． 解：一法： 由已知＝，∠EOF＝∠OAB，得△OEF∽△OAB，∴∠OFE＝∠B， 同理可得∠DGE＝∠C，∴△EFG∽△ABC． 二法：由△OEF∽△OAB，得＝，∠FEO＝∠BAO． 同理可得＝，∠OEG＝∠OAC， ∴＝，∠FEG＝∠BAC， ∴△EFG∽△ABC．
4．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA上的点，且AD＝BE＝CF．找出图中所有相似的三角形(不要求证明)． 解：△AFD∽△BDE∽△CEF，△DEF∽△ABC．
5．如图，△ABC的三个顶点都在格点上．在方格纸内作△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，相似比为1：2，且各顶点都在格点上． 解：图略．
6．一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形一定相似吗？证明你的判断． 解：相似．证明提示：利用已知一条直角边和斜边对应成比例，设比值为k，然后利用勾股定理，可证得两个直角三角形三条边对应成比例．
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