4.5 相似三角形的
性质及应用（1）
数学浙教版 九年级上
4.5 相似三角形的
性质及应用（1）
教学目标
1．掌握相似三角形的“对应角相等，对应边成比例”的性质．
2．会用上述性质解决有关的几何论证和计算问题．
3．了解三角形的重心概念和重心分每一条中线成1：2的两条线段的性质．
重点与难点
本节教学的重点是相似三角形的基本性质：“对应角相等，对应边成比例”的应用．
例2的证明需添辅助线，是本节教学的难点．
在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的边长、周长、角、面积这些量中，哪些被放大了10倍？
如图，，相似比为，求这两个三角形的角平分线与的比．
解：∵ ，
∴ ，．
∵ ，分别是
与的角平分线，
∴ ，
,
∴ ,
∴ ，
∴ ．
如图，已知，与的相似比是，，是对应高．求证：．
证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，是对应高，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
已知，，是的两条中线，是它们的交点．求证：．
证明：连结，
∵ ，是的两条中线，，
∴ ∥，且．
∴ ，，
∴ ．
∴ ．
三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段．
1.已知，相似比为 ，
，分别是与的一条中线．
求与的比．
解：∵ ，
∴ ，，
∵ ，分别是
与的一条中线，
∴ ，，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
2.已知：如图，在中，，，分别是，，上的点，∥，，交于点．
求证：.
证明：∵ ∥，
∴ ，∴．
同理可得．∴，
∵，
∴．
如图：小明站在离网米的地方打网球时，要使球恰好能打过网（网高米），而且落在离网米的位置上，则拍击球的高度应为多少米？
解：∵ ∥，
∴ ，
∴ ，即，
∴ 米．
答：拍击球的高度应为米．
运用“相似三角形的对应边成比例”来解决有关线段的计算问题的解题步骤：
（1）根据题目的条件和所要求的问题，找到相应的三角形；
（2）根据已知条件和所求，说明哪两个三角形相似；
（3）写出比例线段，代入数据求相应的线段长.
小结
说一说你今天学习了哪些知识
1．如图，，相似比为．
，分别是，上的点，且，
．求与的比．
解：∵ ，
∴ ，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2．如图， 为的一条中线， 为的重心，∥，交，于点，，交于点．求与的比．
解：过点作直线∥，
则l∥EF∥BC，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
3．已知：如图，在中，是角平分线，． 求证：．
解：∵ 平分，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
4．如图，在中，中线， 相交于点． ∥，交于点． 求与 的比．
解：由已知可得为的重心，
∴．
由∥可得：
，，
且．
∴ ，
∴．∴．
5．如图，在中，，分别是，上的点，，相似比为．的角平分线 交于点，交于点．求与的比．
解：∵，
∴ ∠ADG ＝∠C．
又∵∠DAG ＝∠FAC，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
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4.5 相似三角形的性质及应用(1)
学习目标 1．掌握相似三角形的“对应角相等，对应边成比例”的性质． 2．会用上述性质解决有关的几何论证和计算问题． 3．了解三角形的重心概念和重心分每一条中线成1：2的两条线段的性质． 重点与难点 本节教学的重点是相似三角形的基本性质：“对应角相等，对应边成比例”的应用． 例2的证明需添辅助线，是本节教学的难点．
学习过程
如图，△A'B'C'∽△ABC，相似比为＝k，求这两个三角形的角平分线A'D'与AD的比．
如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比是k，AD，A'D'是对应高．求证：＝k．
已知，BD，CE是△ABC的两条中线，P是它们的交点．求证：＝＝．
1．已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为＝，AD，A'D'分别是△ABC?与△A'B'C'的一条中线． 求AD与A'D'的比．
2．已知：如图，在△ABC?中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G． 求证：DG＝EG．
如图：小明站在离网米的地方打网球时，要使球恰好能打过网(网高米)，而且落在离网米的位置上，则拍击球的高度应为多少米？
作业题
1．如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为＝．D，D'分别是AB，A'B'上的点，且AD＝AB，A'D'＝A'B'．求CD与C'D'的比．
2．如图，AD 为△ABC 的一条中线，P 为△ABC 的重心，EF∥BC，交AB，AC于点E，F，交AD于点P．求EF与BC的比．
3．已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE＝∠B． 求证：AD2＝AE·AB．
4．如图，在△ABC 中，中线AD，BE 相交于点F． EG∥BC，交AD 于点G． 求AG与GF 的比．
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD︰AC＝2︰3．△ABC 的角平分线AF 交DE 于点G，交BC于点F．求AG与GF的比．
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4.5 相似三角形的性质及应用(1)
教学目标 1．掌握相似三角形的“对应角相等，对应边成比例”的性质． 2．会用上述性质解决有关的几何论证和计算问题． 3．了解三角形的重心概念和重心分每一条中线成1：2的两条线段的性质． 重点与难点 本节教学的重点是相似三角形的基本性质：“对应角相等，对应边成比例”的应用． 例2的证明需添辅助线，是本节教学的难点．
教学设计
此例的目的是把两个相似三角形的对应边成比例拓广到对应角平分线与对应边成比例． 启发如下：从已知出发考虑问题，△A′B′D′与△ABD有什么关系？根据什么？因此A′D′/AD与△A′B′C′和△ABC的相似比有什么关系？
此例的目的是引出三角形的重心的概念和重心的常用性质． 启发如下： (1)从所求证出发考虑问题，我们构造以DP与BP，EP与CP为对应边的两个相似三角形，由此你认为应怎样添加辅助线？ (2)连结DE，DE是△ABC的什么线？它有什么性质？由此能否得出△DEP~△BCP？根据怎样的判定定理？ 此例的结论的重要意义还在于它实际上还证实了三条中线交于一点的性质，这样就给定义重心创造了条件，并获得重心的一个常用性质．
作业题
1．如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为＝．D，D'分别是AB，A'B'上的点，且AD＝AB，A'D'＝A'B'．求CD与C'D'的比． 解：∵ △ABC∽△A'B'C'，∴ ∠A＝∠A′，＝＝， ∵ AD＝AB，A'D'＝A'B'，∴ ＝， ∴ △ADC∽△A′D′C′， ∴ ＝＝．
2．如图，AD 为△ABC 的一条中线，P 为△ABC 的重心，EF∥BC，交AB，AC于点E，F，交AD于点P．求EF与BC的比． 解：过点A作直线l∥EF， 则l∥EF∥BC， ∴ ＝＝． 又∵ △AEF∽△ABC， ∴ ＝＝．
3．已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE＝∠B． 求证：AD2＝AE·AB． 解：∵ AD平分∠BAC， ∴ ∠BAD＝∠DAE， 又∵ ∠ADE＝∠B， ∴ △ADE∽△ABD， ∴ ＝， ∴ AD2＝AE·AB．
4．如图，在△ABC 中，中线AD，BE 相交于点F． EG∥BC，交AD 于点G． 求AG与GF 的比． 解：由已知可得F为△ABC的重心， ∴DF＝AD． 由EG∥BC可得： AG＝AD，EG＝CD， 且△EGF∽△BDF． ∴ ＝＝＝， ∴ GF＝DF＝AD． ∴ ＝3．
5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD︰AC＝2︰3．△ABC 的角平分线AF 交DE 于点G，交BC于点F．求AG与GF的比． 解：∵ △ADE∽△ACB， ∴ ∠ADG ＝∠C． 又∵DAG ＝∠FAC， ∴ △ADG∽△ACF， ∴ ＝＝， ∴ ＝2．
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