4.5 相似三角形的
性质及应用（2）
数学浙教版 九年级上
4.5 相似三角形的
性质及应用（2）
教学目标
1.经历相似三角形性质“相似三角形的周长之比等于相似比”“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.
2.掌握“相似三角形的周长之比等相似比”“相似三角形的面积之比等于相似比平方”的两个性质.
3.会运用上述两个性质解决简单的几何问题.
重点与难点
本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质.
“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”这一性质的证明，需要先证明对应高的比等于相似比，过程比较复杂，是本节教学的难点.
在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的边长、周长、角、面积这些量中，哪些被放大了10倍？
三角形中的边长放大10倍，周长放大10倍，角度不变，面积放大100倍．
任意画两个相似三角形，与你的同伴一起，选择合适的方法探索下面的问题：
（1）这两个三角形的周长之比与相似比有什么关系？
（2）这两个三角形的面积之比与相似比有什么关系？
已知：如图，，且相似比为k．
求证：， ．
已知：如图，，且相似比为k．
求证：．
证明：∵ ，
且相似比为，
∴ ．
∴ ，，
．
∴ =
= =
=．
已知：如图，，且相似比为k．
求证：．
证明：如图，，分别
为，′边上的高．
则，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴
．
已知：如图，，且相似比为k．
求证：， ．
相似三角形的周长之比等于相似比；
相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
如图，，分别是，上的点，，于点，于点．若，，
求：
(1) .
(2)与的周长之比.
(3)与的面积之比.
解：(1)
(2)
(3)
如图，是某市部分街道图，比例尺为．请估计三条道路围成的三角形地块的实际周长和面积．
解：∵ ，
∴ ，
∴ 实际周长cm，即km．
∵ =，
∴
即
∴ 实际面积为，即km2．
1.分别将三角形作下列相似变换，并完成填空：
（1）如果三角形的边长扩大为原来的100倍，那么三角形的周长扩大为原来的________倍；面积扩大为原来的___________倍：
（2）如果三角形的面积扩大为原来的100倍，那么三角形的边长扩大为原来的________ 倍：
（3）如果三角形的周长扩大为原来的100倍，那么三角形的边长扩大为原来的________ 倍.
100
10000
10
100
2.如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，且∥．如果cm，，那么的周长等于_______cm，的面积等于_______ cm2.
6
例4 在中，作∥，分别交，于点，，若要使与四边形的面积相等，则与的比应取多少？
解：∵ ∥，
∴ ．
由与四边形的面积相等，
得．
∴ ，
∴ ．
答：若要使与四边形的面积相等，则与的比应取．
如图，在□中，.
(1) 求与的周长之比；
(2) 若cm2，求的面积．
解：（1）在□中，
∥，，
∴ ．∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ．
如图，在□中，.
(1) 求与的周长之比；
(2) 若cm2，求的面积．
解：（2）∵ △AEF∽△CDF，
∴ ，．
又∵ ，∴ ，．
∴ ，，
∴ ，
∴ cm2．
如图，已知∥，∥，若设，，，请验证．
证明：∵ ∥，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ∥，
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
A
B
C
D
E
F
小结
说一说你今天学习了哪些知识
1.三角形的三条中位线所围成的三角形与原三角形的面积之比为：__________．
1:4
2.如图，，相交于点，∥，，的周长为 cm．
的周长为__________．
12cm
3.如图，在中，∥∥，，的面积为 cm2．求四边形的面积．
解：的面积为cm2，
的面积为cm2，所
以四边形的面积
为cm2．
4.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC.已知＝ ，△ABC的面积为a.求□DFCE的面积.
解：△ADE的面积为，
△BDF的面积为，
所以□DFCE的面积为.
5.如图，已知△ABC.作一条与BC平行的直线，把△ABC划分成两部分，使划分成的三角形和四边形的面积之比为1：2，可怎样作？如果要使划分成的两部分的面积之比为1：n呢？
解：在AB上取一点P，使，然后过点P作BC的平行线，这条平行线就把△ABC分成面积
1：2的两部分，若要分成的两部分面积之比为
1：n，则所取点P，应使.
谢谢
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4.5 相似三角形的性质及应用(2)
学习目标 1．经历相似三角形性质“相似三角形的周长之比等于相似比”“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程． 2．掌握“相似三角形的周长之比等相似比”“相似三角形的面积之比等于相似比平方”的两个性质． 3．会运用上述两个性质解决简单的几何问题．
学习过程
任意画两个相似三角形，与你的同伴一起，选择合适的方法探索下面的问题： (1)这两个三角形的周长之比与相似比有什么关系？ (2)这两个三角形的面积之比与相似比有什么关系？
如图，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F． 若AD＝3，AB＝5， 求：(1)． (2)△ADE与△ABC的周长之比． (3)△ADE与△ABC的面积之比．
如图，是某市部分街道图，比例尺为1︰100000．请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积．
1．分别将三角形作下列相似变换，并完成填空： (1)如果三角形的边长扩大为原来的100倍，那么三角形的周长扩大为原来的________倍；面积扩大为原来的___________倍： (2)如果三角形的面积扩大为原来的100倍，那么三角形的边长扩大为原来的________ 倍： (3)如果三角形的周长扩大为原来的100倍，那么三角形的边长扩大为原来的________ 倍．
2．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AB，AC边上， 且DE∥BC．如果BC＝8cm，AD︰DB＝1︰3，那么△ADE的周长等于_______cm，△ADE的面积等于_______ cm2．
例4 在△ABC中，作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若要使△ADE与四边形DBCE的面积相等，则AD与AB的比应取多少？
如图，在□ABCD中，AE︰EB＝1︰2． (1) 求△AEF与△CDF的周长之比； (2) 若S△AEF＝6cm2，求S□ABCD 的面积．
如图，已知DE∥BC，EF∥AB，若设S△ABC＝S，S△ADE＝S1，S△EFC＝S2，请验证．
作业题
1．求三角形的三条中位线所围成的三角形与原三角形的面积之比为：__________．
2．如图，AB，CD相交于点O，AC∥BD，AO：BO＝3︰2， △ACO 的周长为18 cm．△BDO的周长为__________．
3．如图，在△ABP 中，AB∥CD∥EF，AC＝CE＝EP，△PAB的面积为18 cm2． 求四边形CDFE的面积．
4．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC． 已知＝，△ABC的面积为a．求□DFCE的面积．
5．如图，已知△ABC．作一条与BC平行的直线，把△ABC划分成两部分，使划分成的三角形和四边形的面积之比为1︰2，可怎样作？ 如果要使划分成的两部分的面积之比为1︰n呢？
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4.5 相似三角形的性质及应用(2)
教学目标 1．经历相似三角形性质“相似三角形的周长之比等于相似比”“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程． 2．掌握“相似三角形的周长之比等相似比”“相似三角形的面积之比等于相似比平方”的两个性质． 3．会运用上述两个性质解决简单的几何问题． 重点与难点 本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质． “相似三角形的面积之比等于相似比的平方”这一性质的证明，需要先证明对应高的比等于相似比，过程比较复杂，是本节教学的难点．
教学设计
在探索相似三角形的周长和面积方面的性质时，课本要求学生任意画两个相似三角形，是指三角形的形状、大小不受限制．至于画图的方法教师应加以指导，比较简单的方法是画两个角对应相等的三角形，可能会因误差而得不到应有的结论，所以建议利用方格纸画比较好．选择合适的方法探索一般是指观察、度量、计算、推理或猜想等．
相似三角形的周长之比等于相似比这一性质的证明，因为没有等比定理，课本是利用设比值k的方法，将一个三角形的周长用关于另一个三角形的周长的代数式代替，通过约分来完成的，这种证明方法有较多的应用，应要求学生掌握．
相似三角形的面积之比等于相似比的平方这一性质的证明，需要用到对应边上的高，所以需要先完成相似三角形的对应高线的比等于相似比这一结论的证明．可启发如下： (1)要计算一个三角形的面积，通常需要知道三角形的哪几个量？(一条和这条边上的高线) (2)我们已知知道相似三角形对应边的比等于相似比，对应高线的比是不是也等于相似比呢？ 提出问题后可以让学生进行探索完成．这一性质学生初学时容易忽视“平方”，教学中应予以强调．
此题是对前面证明过程中的相似三角形对应高线的比等于相似比的继续强化，这一命题课本虽未曾用黑体给出，但有较多的应用，教学中应引起学生的注意．
此例是相似三角形性质的一个实际应用，解答时应注意两点： (1)地图上的三角形地块和实际的三角形地块是一对相似三角形，已知的比例尺就是相似比． (2)地图上三角形的周长和面积需要先量出有关线段的长度，再经过计算才能得到． 此例的教学重在方法的引导和过程的表述．
此例着重讲清把一个三角形与一个四边形的面积之比如何转化为两个相似三角形的面积之比这一关键步骤．
作业题
1．求三角形的三条中位线所围成的三角形与原三角形的面积之比为：__________． 解：1︰4
2．如图，AB，CD相交于点O，AC∥BD，AO：BO＝3 ：2，△ACO 的周长为18 cm．△BDO的周长为__________． 解：12cm
3．如图，在△ABP 中，AB∥CD∥EF，AC＝CE＝EP，△PAB的面积为18 cm2． 求四边形CDFE的面积． 解：△PEF的面积为2cm2，△PCD的面积为8cm2，所以四边形CDEF的面积为6cm2．
4．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC． 已知＝，△ABC的面积为a．求□DFCE的面积． 解：△ADE的面积为a，△BDF的面积为a，所以□DFCE的面积为a．
5．如图，已知△ABC．作一条与BC平行的直线，把△ABC划分成两部分，使划分成的三角形和四边形的面积之比为1︰2，可怎样作？ 如果要使划分成的两部分的面积之比为1︰n呢？ 解：在AB上取一点P，使＝，然后过点P作BC的平行线，这条平行线就把△ABC分成面积1：2的两部分，若要分成的两部分面积之比为1︰n，则所取点P，应使＝．
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