5.5 一次函数的简单应用（1）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学上册第5章5.5一次函数的简单应用
第1课时 一次函数的简单应用（1）
【知识清单】
一、根据所给的条件求一次函数的表达式：
由两个条件求出一些简单的一次函数的表达式.
二、实际问题的一次函数的应用；
利用一次函数的图象分析、解决简单的实际问题.
三、实际问题情境中的数学思想：
1.函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.
2.数形结合思想：由函数图象解答问题的方法为“数形结合”，即在图象上由相应点（形的特征）得出对应坐标（数的表示），达到由数表示形，有形反映数，构成“数”与“形”的统一.
3.方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）使问题得以解决.
【经典例题】
例题1、甲、乙两船同时从港口A起航驶向180海里的港口B，两船的行程y（海里）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法：①起航后2小时内，甲船在乙船的前面；②乙船比甲船晚到达港口B；③第2小时两船都航行了60海里；④第4小时乙船领先甲船30海里．其中正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【考点】一次函数图象的应用．
【分析】从图象上来看，在起航2小时时，甲乙两船在同一点，
在起航后到航行2小时之间，甲船的图形在乙船的图形的上面，
说明起航后2小时内，甲船在乙船的前面，所以①正确；通过观察图象，乙船先到达港口B，所以第②错误；2小时时该点的纵坐标是60，所以第2小时时两船都航行了60海里，所以③正确；通过直线解析式求得甲乙两船的差距即可，所以④正确，综上所述，①③④正确，所以选C．
【解答】根据图象得：
起航后2小时内，甲在乙的前面；故①正确；
乙船先到达港口B，故②错误；
航行了2小时时，甲追上乙，此时两船都航行了60海里，故③正确；
设乙船航行直线解析式为：y=kx，
将点（2，60）代入得：k=30，
∴解析式为：y=30x，
∴当x=4时，y=120，
设甲船在第2段航行直线解析式为：y=kx+b，
把x=1，y=45，x=2，y=60，代入y=kx+b得，
，解得，
∴甲船在第2段航行直线解析式为：y=15x+30，
当x=4时，y=15x+30=15×4+30=90.
120-90=30(海里).
第4小时乙船领先甲船30海里，故④正确．
所以①③④三项正确．
故选C．
【点评】本题考查函数图象，解答本题需要掌握观察函数图象的方法和技巧，得出有用的信息，从而来判断所给的结论正确还是错误．
例题2、某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之的函数关系如图所示.
（1）有月租费的收费方式是 填①或②），月租费是? 元；
（2）分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式；
（3）请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议.
【考点】一次函数图象的应用．
【分析】（1）根据当通讯时间为零的时候的函数值可以得到哪种方式有月租，哪种方式没有，有多少，从函数图象中提取有效信息；
（2）根据图象经过的点的坐标求出相关函数的解析式，用待定系数法求函数的解析式即可．
【解答】（1 ）①，40元 ；??
（2）设y有＝k1x＋40，y无＝k2x，
由题意得，解得，
故所求的解析式为y有＝0.12x＋40； y无＝0.24x；???
（3）由y有＝y无，
得0.24x＝0.12x＋40，
解得x≈334；
故由图可知当通话时间在334分钟内，选择通话方式②实惠；
当通话时间超过334分钟时，选择通话方式①实惠；
当通话时间在334分钟时，选择通话方式①、②一样实惠.
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
【夯实基础】
1、若一根香长35 cm，点燃后每小时燃烧7 cm，则燃烧剩下的长度y(cm)与燃烧时间x(小时)的函数关系用图象表示为(　　)
2、已知直线y=kx+b与直线y=5x6平行，且它与直线y=3x+4的交点在y轴上，则其对应的函数表达式是(???? )
A．y=6x+3 B．y=6x+4 C．y=5x+4 D．y=5x4
3、已知直线l：y=ax+a(a≠0)，则下列说法不正确的是（ ）
A．直线l一定过（0，a） B．点(1,0)一定在直线l上
C．当a>0 时，y随x的增大而减小 D．直线l经过第一、二、四象限
4、甲、乙两位同学去登山，已知山脚距山顶的路程为1000米，甲同学先走了一段路程乙同学才开始出发，图中两条线段分别表示甲同学和乙同学离开山脚登山的路程y(米)与登山所用的时间t(分钟)的关系(从乙同学开始登山时计时)，根据图像，下列结论错误的是（ ）
A．甲同学先走了100米，乙同学才出发
B．30分钟时甲乙两同学有一次相遇
C．乙同学先到山顶
D．乙同学前30分钟登山的速度比甲同学慢，
30分钟之后登山的速度比甲同学快
　 5、某超市店庆促销活动：凡是一次性购买4件售价100元某种商品后，再购此商品时，电脑会按7.5折收费，顾客所付款y（元）与所购买的件数x（x≥4）之间的函数关系式为 .
6、对于任意实数m，直线3y=(62m)x+4m都经过一个定点，这个定点是 .
7、汽车出租公司推出甲乙两种租赁方案．设汽车每月行驶xkm，甲种租赁方案月租费是y1元，乙种租赁方案月租费是y2元，y1、y2分别与x之间的函数关系图像（两条射线）如图所示，观察图像回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么范围内时，
甲乙两种租赁方案费用合算？
（2）每月行驶的路程等于多少时，
甲乙两种租赁方案费用相同？
（3）如果每月行驶的路程为2600km，
哪种租赁合算？
8、某出租车起步价为5元（3千米以内）．超过3千米，平均每千米收费1.5元（不足1km的自动计为1km），如图所示的折线ABC表示的是租车费y（元）与行驶里程x（千米）之间的函数关系的图象，（1）写出y与x之间的函数关系式．（2）行驶里程为2.4千米应付费多少元？行驶7千米呢？（3）若某人付费用21.5元，出租车行驶的路程是多少千米？
【提优特训】
9、已知，一次函数y=kx+b，当x减少5时，y增加6，则k的值是( )
A． B． C． D．
10、若直线y=2mx8与直线y=3nx+15交于x轴的同一点，则m:n等于（ ）
A．5:4 B．5:4 C．4:5 D． 4:5
11、老王从家出发，直走了30分钟，到一个离家1200米的超市，买了40分钟的商品后，用35分钟返回到家，下图中表示老王离家时间与距离之间的关系的是（ ）
.3+266660
12、如图，直线y=kx+b与直线y=mx+n在第一象限相交于点P，请你根据图形中给出的信息填空，不等式组0 13、已知二元一次方程组的解为，则直线与直线的交点P的坐标是_______.
14、甲人从A地出发向B地行走，同时乙人从B地出发向A地行走，如图所示，交于点P的两条线段l1，l2分别表示甲人、乙人离B地的距离y(km)与已用时间x(h)之间的关系，则甲人、乙人行走的速度分别是 .
15、直线y＝kx+k(k为正整数)与坐标轴所构成的直角三角形的面积为Sk，当k分别为1，2，3，…，n时，S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝ .
16、某校为了丰富课外活动，计划购买羽毛球拍和网球拍共80个，乒乓球700个．已知一副羽毛球拍60元，一副网球拍80元，一个乒乓球2元．设购买羽毛球拍x副，购买羽毛球拍、网球拍和乒乓球的总费用为y元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果学校计划购买这两种球拍共80副，总费用不大于5300元，不少于5200元，有多少购买方案，找到花费最少的一种的方案？
17、有一个附有进水管、出水管的水池，原来有一定量的水，且每单位时间内进出水管的进、出水量都是一定的，设从某时刻开始，5h内只进水不出水，在随后的时间内不进水只出水，得到的时间x（h）与水量y（m 3 ）之间的关系图（如图）． 回答下列问题：（1）水池中原来有水多少m 3？进水管5h共进水多少？每小时进水多少m3？（2）当0≤x≤5时，y与x有何关系？（3）当x=11时，水池中的水量是多少？（4）若5h后，只放水不进水，那么多少小时可将水池中的水放完？
18、先阅读下列材料，再解决问题：
在平面直角坐标系中，已知点A(x1，y1)与B(x2，y2)，则线段AB的中点P的坐标为.例如，求点A(1，3)与B（5，7）的中点坐标．
解：由点A、B的坐标知：x1=1，x2=5，y1=3，y2=7；
所以线段AB的中点坐标为，即(-2，5).
根据以上材料，解决下列问题：
（1）已知线段P1P2，中点为P，点P1、P的坐标分别为(3，5)和(2，3)，求点P2的坐标；
（2）若△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5，6)、B (2，3)、C (4，7)，求BC边上的中线所在直线的解析式．
【中考链接】
19．2018年湖南省娄底9．将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（　　）
A．y=2x4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x2
20、2018湖南长沙10、小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家.下图反映了这个过程中，小明离家的距离 y与时间 x之间的对应关系.根据图像下列说法正确的是
A、小明吃早餐用了 25 min B、食堂到图书馆的距离为 0.8km
C、小明读报用了30 min D、小明从图书馆回家的速度为 0.8km / min
21、2018湖北咸宁14．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为　 　．
22、2018吉林长春21．某种水泥储存罐的容量为25立方米，它有一个输入口和一个输出口．从某时刻开始，只打开输入口，匀速向储存罐内注入水泥，3分钟后，再打开输出口，匀速向运输车输出水泥，又经过2.5分钟储存罐注满，关闭输入口，保持原来的输出速度继续向运输车输出水泥，当输出的水泥总量达到8立方米时，关闭输出口．储存罐内的水泥量y（立方米）与时间x（分）之间的部分函数图象如图所示．
（1）求每分钟向储存罐内注入的水泥量．
（2）当3≤x≤5.5时，求y与x之间的函数关系式．
（3）储存罐每分钟向运输车输出的水泥量是　　立方米，从打开输入口到关闭输出口共用的时间为　　分钟．

参考答案
1、C 2、C 3、D 4、D 5、， 6、(2,4) 9、B 10、C 11、A 12、
13、 14、， 1++5、 19、A 20、C 21、(1,5)
7、解： 根据图象得到：
（1）根据图象得当01800时，乙种租赁方案合算；
（2）∵由函数图象可知，当x=1800时，y1=y2，
∴每月行驶的路程等于1800km时，甲乙两种租赁方案费用相同；
（3）∵2600>1500，∴乙种租赁方案合算．
8、解：（1）当时，直线AB的解析式为；
当时，设直线BC的解析式为y=kx+b，
把x=3，y=5，x=6，y=9.5代入y=kx+b得，
，解得，
直线BC的解析式为y=1.5x+0.5.
（2）∵2.4<3,
∴行驶里程为2.4千米应付费5元.
当x=7时，y=1.5x+0.5=1.5×7+0.5=11.
行驶里程为7千米应付费11元.
（3）当y=21.5时，1.5x+0.5=21.5，
解得x=14(千米).
某人付费用21.5元，出租车行驶的路程是14千米
16、解：(1)y=60x+80(80x)+2×700=20x+7800
(2) 设购买羽毛球拍a副，则购买网球拍(80-a)副，总费用为W；
则W=60a+80(80a)=-20a+6400，
根据题意，得520≤20a+640≤5300，
解得55≤a≤60，
有6种购买方案，
因为W=20a+6400，W随x的增大而减小，
所以当a=60时，W最小，则花费最少，总费用为5200元.
17、解：（1）由图象知，原来有水5m3，5h共进水25m?3?，所以每小时进水量为5m?3?．
（2）y是x的一次函数函数，设y=kx+b，由于其图象过点（0，5），(5,30)，
所以，解得，
即y=5x+5（0≤x≤5）．
（3）由图象可知：当x=11时，y=15，即水池中的水量为15m?3?．
（4）由于x≥5时，图象是一条直线，所以y是x的一次函数，
设y=mx+n，由图象可知，该直线过点（5，30），（11，15）．
所以，解得，
∴?.
令y=0，则，∴x=17．
175=12，所以5h后，只放水不进水，12h就可以把水池里的水放完．
18、解：（1）设点P2的坐标为（x2,y2），
根据题意，得，，
解得，x2=1，y2=1.
点P2的坐标为（1,1）
（2）设BC边上的中点D的坐标为（x,y），直线AD的解析式为y=kx+b，
由B (2，3)、C (4，7)得，
，
所以点D的坐标为（1，2）.
把点A(5，6)和D（1，2）代入y=kx+b得，
，解得，
直线AD的解析式为y=2x.
21、【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．
【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线EG，垂足为G，连接GE、FO交于点O′．
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，
在△OGM与△EOH中，

∴△OGM≌△EOH（ASA）
∴GM=OH=2，OM=EH=3，
∴G（3，2）．
∴．
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为(1，5)．
故答案是：(1，5)．
22、【分析】（1）体积变化量除以时间变化量求出注入速度；
（2）根据题目数据利用待定系数法求解；
（3）由（2）比例系数k=4即为两个口同时打开时水泥储存罐容量的增加速度，则输出速度为54=1，再根据总输出量为8求解即可．
【解答】解：（1）每分钟向储存罐内注入的水泥量为15÷3=5分钟；
（2）设y=kx+b（k≠0）
把（3，15）（5.5，25）代入
所以，解得，
∴当3≤x≤5.5时，y与x之间的函数关系式为y=4x+3．
（3）由（2）可知，输入输出同时打开时，水泥储存罐的水泥增加速度为4立方米/分，则每分钟输出量为54=1立方米；
只打开输出口前，水泥输出量为5.53=2.5立方米，之后达到总量8立方米需需输出82.5=5.5立方米，用时5.5分钟.
∴从打开输入口到关闭输出口共用的时间为：5.5+5.5=11分钟．
故答案为：1，11
【点评】本题为一次函数实际应用问题，考查了一次函数的图象性质以及在实际问题中比例系数k代表的意义．