第三章 圆的基本性质好题精选（含解析）
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期末复习第三章圆的基本性质好题精选
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得 分
一．选择题（共15小题）
1．已知的⊙O半径为3cm，点P到圆心O的距离OP=2cm，则点P（ ）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．无法确定
2．平面内有一点P到圆上最远的距离是6，最近的距离是2，则圆的半径是（ ）
A．2 B．4 C．2 或4 D．8
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．90°
4．点E是半径为5的⊙O上的点，AB是⊙O的一条弦且AB=8．若△ABE的面积为8，那么在圆上这样的点E我们可以找到（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连结DE．若AB=10，OD=1，则线段DE的长为（ ）
A．5 B．2 C．2 D．+1
6．某品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，则弓形铁片ACB（阴影部分） 的面积约为（ ）
A．（π﹣）cm2 B．（π﹣25）cm2
C．（π﹣）cm2 D．（25π﹣）cm2
7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
8．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连结CD交AB于点E．点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变
C．先变大后变小 D．先变小后变大
9．如图，点O是半径为3的圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π B．3π C． D．
10．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣
11．图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束． 在整个运动过程中，点C运动的路程是（ ）
A．4 B．6 C．4﹣2 D．10﹣4
12．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
13．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．
14．小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：
（1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；
（2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（ ）
A．BD2=OD B．BD2=OD C．BD2=OD D．BD2=OD
15．扇形OAB的半径OA=1，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上的动点，连结AC和BC，记弦AC、CB与弧AC、CB围成的阴影部分的面积为S，则S的最小值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人
得 分
二．填空题（共10小题）
16．已知△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在⊙C内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是 ．
17．如图，在圆O中有折线ABCO，BC=6，CO=4，∠B=∠C=60°，则弦AB的长为 ．
18．AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为 ．
19．如图，AB为半圆O的直径，以AO为直径作半圆M，C为OB的中点，D在半圆M上，且CD⊥MD，延长AD交⊙O于点E，若AB=4，则图中阴影部分的面积为 ．
20．在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点O为圆心，2为半径画弧，交图中网格线于点A，B，则扇形AOB的面积是 ．
21．如图，直线PQ∥MN，点A在PQ上，直角△BEF的直角边BE在MN上，且∠B=90°，∠BEF=30°．现将△BEF绕点B以每秒1°的速度按逆时针方向旋转（E，F的对应点分别是E′，F′），同时，射线AQ绕点A以每秒4°的速度按顺时针方向旋转（Q的对应点是Q′）．设旋转时间为t秒（0≤t≤45）．
（1）∠MBF′= ．（用含t的代数式表示）
（2）在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为 ．
22．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为 cm．
23．半径为2的圆被四等分切割成四条相等的弧，将四个弧首尾顺次相连拼成如图所示的恒星图型，那么这个恒星的面积等于 ．
24．如图，小强为了帮助爸爸确定残破轮子的直径，先在轮子上画出一个弓形（如图中阴影部分），然后量得弦AB的长为4cm，这个弓形的高为1cm，则这个轮子的直径长为 cm．
25．如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a1= ；如图2，当n=2时，正三角形的边长a2= ；如图3，正三角形的边长an= （用含n的代数式表示）．
评卷人
得 分
三．解答题（共15小题）
26．如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上．已知AB=8cm，CD=2cm
（1）求⊙O的面积；
（2）连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长．
27．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．
28．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．请完成下列填空：
①请在图中确定并点出该圆弧所在圆心D点的位置，圆心D坐标 ；
②⊙D的半径= （结果保留根号）；
③的长为 ．
29．如图，在破残的圆形残片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB=8cm，CD=2cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求出（1）中所作圆的半径．
30．要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测的钢珠顶端与小孔平面的距离h=8 mm（如图），求此小孔的直径d．
31．如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB=2，EF=，=120°．
（1）求出圆洞门⊙O的半径；
（2）求立柱CE的长度．
32．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接CA、CB，过点O作弦BC的垂线，交于点D，连接AD．
（1）求证：∠CAD=∠BAD；
（2）若⊙O的半径为1，∠B=50°，求的长．
33．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D在斜边AB上，连接CD，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AB于点F，已知CD=CB．
（1）求证：=；
（2）若AC=4，BC=3，求AD的长．
34．如图，AB为⊙O的直径，AC=AB，且AC，BC分别交⊙O于E，D，连结ED，BE．
（1）试判断ED与BD是否相等，并说明理由；
（2）如果⊙O的半径为3，BC=6，求阴影部分的面积．
35．如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=2，弦CD=DE=2，连结OB，OD，求图中两个阴影部分的面积和．
36．已知，如图：AB为⊙O直径，D为弧AC中点，DE⊥AB于E，AC交OD于点F，
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AB=10cm，BC=6cm，求DF的长；
（3）探索DE与AC的数量关系，直接写出结论不用证明．
37．如图，点C，D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD，AC，作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
（1）求证：AF=DF．
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
38．如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，求OD与AD的长．
39．如图①，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，连结AC并延长AC至点D，使CD=CA，连结ED交⊙O于点B．
（1）求证：点C是劣弧的中点；
（2）如图②，连结EC，若AE=2AC=6，求阴影部分的面积．
40．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC=BD，且AC⊥BD
（1）求证：AB=CD；
（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；
（3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．已知的⊙O半径为3cm，点P到圆心O的距离OP=2cm，则点P（ ）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．无法确定
【分析】根据点到圆心的距离d和圆的半径r之间的大小关系，即可判断；
【解答】解：∵⊙O的半径为r=3cm，点P到圆心的距离OP=d=2cm，
∴d＜r，
∴点P在圆内，
故选：C．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外?d＞r． ②点P在圆上?d=r．③点P在圆内?d＜r．
2．平面内有一点P到圆上最远的距离是6，最近的距离是2，则圆的半径是（ ）
A．2 B．4 C．2 或4 D．8
【分析】分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离的差；点在圆内，直径等于两个距离的和．
【解答】解：∵点P到⊙O的最近距离为2，最远距离为6，则：
当点在圆外时，则⊙O的直径为6﹣2=4，半径是2；
当点在圆内时，则⊙O的直径是6+2=8，半径为4，
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意此题的两种情况．从过该点和圆心的直线中，即可找到该点到圆的最小距离和最大距离．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．90°
【分析】连接OD、OB，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB，根据圆周角定理求出∠BOD，求出∠BPD的范围，即可解答．
【解答】解：连接OD、OB，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCB=180°﹣∠DAB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠DCB=80°，
∴40°≤∠BPD≤80°，
∴∠BPD不可能为90°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
4．点E是半径为5的⊙O上的点，AB是⊙O的一条弦且AB=8．若△ABE的面积为8，那么在圆上这样的点E我们可以找到（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据△ABC的面积可将高求出，即⊙O上的点到AB的距离为高长的点都符合题意．
【解答】解：如图，
过圆心向弦AB作垂线，连接OA，
设△ABE的AB边上的高为h
S△ABC=×AB×h=8
可得：h=2
弦心距==3
∵3﹣2=1，故过圆心向AB所在的半圆作弦心距为1的弦与⊙O的两个点符合要求；
∵3+2=5，故将弦心距AB延长与⊙O相交，交点也符合要求，
故符合要求的点有3个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了垂径定理，勾股定理，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂径定理来解题．
5．如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连结DE．若AB=10，OD=1，则线段DE的长为（ ）
A．5 B．2 C．2 D．+1
【分析】连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，如图，AD=4，先利用折叠和圆周角定理得到==，再利用弧、弦、圆心角的关系得到AC=CD=DE，则AF=DF=2，然后利用勾股定理计算出CF，接着再计算出CD即可．
【解答】解：连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，如图，AD=4，
∵⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，
∴、和为等圆中的弧，
∵它们所对的圆周角为∠ABC，
∴==，
∴AC=CD=DE，
∴AF=DF=2，
在Rt△OCF中，CF==4，
在Rt△CDF中，CD==2，
∴DE=2．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了折叠的性质．
6．某品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，则弓形铁片ACB（阴影部分） 的面积约为（ ）
A．（π﹣）cm2 B．（π﹣25）cm2
C．（π﹣）cm2 D．（25π﹣）cm2
【分析】连接OA、OB，根据已知求出OA=OB=5cm，∠BOA=90°，分别求出扇形BOA和△BOA的面积即可．
【解答】解：
连接OA、OB，
∵品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，
∴OA=OB=5cm，∠BOA=90°，
∴阴影部分的面积S=S扇形BOA﹣S△BOA=﹣=（π﹣）cm2，
故选：A．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解方程即可；
【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，
则有r2=52+（r﹣1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连结CD交AB于点E．点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变
C．先变大后变小 D．先变小后变大
【分析】连接OC，OD，PD，CQ．设PC=x，OP=y．利用分割法求出阴影部分的面积即可判断．
【解答】解：连接OC，OD，PD，CQ．设PC=x，OP=y．
∵PC⊥AB，QD⊥AB，
∴∠CPO=∠OQD=90°，
∵PC=OQ，OC=OD，
∴Rt△OPC≌Rt△DQO，
∴OP=DQ=y，
∴S阴=S四边形PCQD﹣S△PFO﹣S△COQ=（x+y）2﹣y2﹣x2=xy，
观察图象可知xy的值先变大后变小．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求面积，属于中考选择题中的压轴题．
9．如图，点O是半径为3的圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π B．3π C． D．
【分析】作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=S扇形AOC得出阴影部分的面积是⊙O面积的，即可得出答案．
【解答】解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，如图所示：
∵OD=AO
∴∠OAD=30°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
同理∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形BOC=×⊙O面积=×π×32=3π，
故选：B．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、扇形面积以及圆的面积公式等知识；解题的关键是确定∠AOC=120°．
10．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣
【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即﹣1=．
【解答】解：如图：
正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②
②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．
故选：A．
【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．
11．图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束． 在整个运动过程中，点C运动的路程是（ ）
A．4 B．6 C．4﹣2 D．10﹣4
【分析】由于在运动过程中，原点O始终在⊙G上，则弧AC的长保持不变，弧AC所对应的圆周角∠AOC保持不变，等于∠XOC，故点C在与x轴夹角为∠ABC的射线上运动．顶点C的运动轨迹应是一条线段，且点C移动到图中C2位置最远，然后又慢慢移动到C3结束，点C经过的路程应是线段C1C2+C2C3．
【解答】解：如图3，连接OG．
∵∠AOB是直角，G为AB中点，
∴GO=AB=半径，
∴原点O始终在⊙G上．
∵∠ACB=90°，AB=6，AC=2，∴BC=4．
连接OC．则∠AOC=∠ABC，∴tan∠AOC==，
∴点C在与x轴夹角为∠AOC的射线上运动．
如图4，C1C2=OC2﹣OC1=6﹣2=4；
如图5，C2C3=OC2﹣OC3=6﹣4；
∴总路径为：C1C2+C2C3=4+6﹣4=10﹣4．
故选：D．
【点评】主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．
12．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出的值是多少即可．
【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，，
设⊙O的半径是r，
则OF=r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴∠COF=30°+30°=60°，
∴FI=r?sin60°=，
∴EF=，
∵AO=2OI，
∴OI=，CI=r﹣=，
∴，
∴，
∴=，
即则的值是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正多边形与圆的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念：①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
13．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．
【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+．
【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），
∴OC=3，PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D点坐标为（3，3），
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=AB=×4=2，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=，
∴PD=PE=，
∴a=3+．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．
14．小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：
（1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；
（2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（ ）
A．BD2=OD B．BD2=OD C．BD2=OD D．BD2=OD
【分析】首先连接BM，根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，然后由勾股定理可求得BM与OD的长，继而求得BD2的值．
【解答】解：如图2，连接BM，
根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，
∵OA的垂直平分线交OA于点M，
∴OM=AM=OA=，
∴BM==，
∴DM=，
∴OD=DM﹣OM=﹣=，
∴BD2=OD2+OB2===OD．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分母有理化的知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
15．扇形OAB的半径OA=1，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上的动点，连结AC和BC，记弦AC、CB与弧AC、CB围成的阴影部分的面积为S，则S的最小值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】要使阴影部分的面积最小，就需要满足四边形AOBC的面积最大，连接AB，只需满足△ABC的面积最大即可，从而确定点C的位置，点C位于弧AB的中点，从而求出四边形AOBC的面积，由S阴影=S扇形OAB﹣S四边形AOBC，即可得出答案．
【解答】解：连接AB，
要使阴影部分的面积最小，就需要满足四边形AOBC的面积最大，只需满足△ABC的面积最大即可，
从而可得当点C位于弧AB的中点时，△ABC的面积最大，
连接OC'，则OC'⊥AB，
OD=AB=，DC'=OC'﹣OD=1﹣，
S四边形AOBC'=S△AOB+S△ABC'=+××（1﹣）=，
故可得S阴影=S扇形OAB﹣S四边形AOBC=﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积计算及动点问题，解答本题的关键是判断出点C的位置，有一定难度．
二．填空题（共10小题）
16．已知△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在⊙C内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是 3＜r＜4 ．
【分析】根据勾股定理得到AC==5，点A在⊙C外，点B在⊙C内，则r的取值范围是3＜r＜4．
【解答】解：∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AC=5，
∴r的取值范围是3＜r＜4．
故答案为：3＜r＜4
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．判断这三点与圆的位置关系是解决本题的关键．
17．如图，在圆O中有折线ABCO，BC=6，CO=4，∠B=∠C=60°，则弦AB的长为 10 ．
【分析】作OD⊥AB垂足为D，利用垂径定理得AB=2BD，作OE∥AB交BC于E，构造等边△COE，过E点作EF⊥AB，垂足为F，得Rt△BEF，而∠B=60°，可得BF=BE，再根据BD=BF+DF求BD．
【解答】解：如图，作OD⊥AB垂足为D，OE∥AB交BC于E，过E点作EF⊥AB，垂足为F，
∵OE∥AB，
∴△COE为等边三角形，
∴OE=CE=OC=4，
∵OD⊥AB，EF⊥AB，
∴DF=OE=4，BE=BC﹣CE=2，
在Rt△BEF中，∵∠B=60°，
∴BF=BE=1，
∴BD=BF+DF=1+4=5，
由垂径定理，得AB=2BD=10．
故答案为：10
【点评】本题考查了垂径定理，等边三角形的性质．关键是通过作辅助线，得出等边三角形，30°的直角三角形，利用垂径定理求AB．
18．AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为 ．
【分析】连接AQ，BQ，根据圆周角定理可得出∠QAB=∠P=45°，∠AQB=90°，故△ABQ是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：连接AQ，BQ，
∵∠P=45°，
∴∠QAB=∠P=45°，∠AQB=90°，
∴△ABQ是等腰直角三角形．
∵AB=2，
∴2BQ2=4，
∴BQ=．
故答案为：．
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．如图，AB为半圆O的直径，以AO为直径作半圆M，C为OB的中点，D在半圆M上，且CD⊥MD，延长AD交⊙O于点E，若AB=4，则图中阴影部分的面积为 + ．
【分析】由DC⊥MD，M为OA中点，C为OB中点，得到AM=MO=OC=BC=1，在直角三角形DMC中，根据DM等于MC的一半，得到∠DCM=30°，∠DMC=60°，根据AM=DM，得到∠MAD=∠OEA=30°，在直角三角形AOD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半，求出OD的长，利用勾股定理求出AD的长，确定出AE的长，同理求出DF与AC的长，确定出∠EOB的度数，阴影部分面积=△AOE面积+扇形OEB面积﹣△ACD面积，求出即可．
【解答】解：连接EO，DO，过点D作DF⊥AB于点F，
∵AB=4，O为AB中点，M、C分别为AO、OB的中点，
∴AM=OM=OC=CB=1，
∵DC⊥MD，
∴在Rt△MDC中，DM=1，MC=OM+OC=2，
∴DM=MC，即∠DCM=30°，
∴∠DMC=60°，
∵AM=DM，
∴∠MAD=∠MDA=30°，
∴∠EOB=60°，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=30°，
∴OD=OA=1，AD==，
∵OD⊥AE，
∴AE=2AD=2，
∴DF=AD=，AF=，
∴AC=2AF=3，
则S阴影=S△AOE+S扇形EOB﹣S△ACD=×2×1+﹣×3×=+．
故答案为：+．
【点评】此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及扇形的面积计算，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
20．在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点O为圆心，2为半径画弧，交图中网格线于点A，B，则扇形AOB的面积是 ．
【分析】如图，连接OA，OB，则OC=OB，求得∠OBC=30°，根据平行线的性质得到∠BOE=30°，同理∠DOA=30°，根据扇形的面积公式计算即可；
【解答】解：如图，
∵OC=OB，∠OCB=90°，
∴∠OBC=30°，
∵BC∥OE，
∴∠BOE=30°，
同理∠DOA=30°，
∴∠AOB=90°﹣30°﹣30°=30°，
∴S扇形OAB==，
故答案为．
【点评】本题考查了扇形的面积公式、正方形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．如图，直线PQ∥MN，点A在PQ上，直角△BEF的直角边BE在MN上，且∠B=90°，∠BEF=30°．现将△BEF绕点B以每秒1°的速度按逆时针方向旋转（E，F的对应点分别是E′，F′），同时，射线AQ绕点A以每秒4°的速度按顺时针方向旋转（Q的对应点是Q′）．设旋转时间为t秒（0≤t≤45）．
（1）∠MBF′= （90﹣t）° ．（用含t的代数式表示）
（2）在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为 6°或42° ．
【分析】（1）直接根据速度和时间可得：∠FBF'=t°，所以根据余角的定义可得结论；
（2）有两种情况：利用数形结合，画图后作辅助线，构建平行线的性质和外角的性质可得结论．
【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠FBF'=t°，∠FBM=90°，
∴∠MBF'=90°﹣t°=（90﹣t）°，
故答案为：（90﹣t）°；
（2）①如图2，AQ'∥E'F'，
延长BE'交AQ'于C，则∠F'E'B=∠ACB=30°，
由题意得：∠EBE'=t°，∠QAQ'=4t°，
∴t+4t=30，
t=6°；
②如图3，AQ'∥E'F'，
延长BE'，交PQ于D，交直线AQ'于C，则∠F'E'B=∠ACD=30°，
由题意得：∠NBE'=t°，∠QAQ'=4t°，
∴∠ADB=∠NBE'=t°，
∵∠ADB=∠ACD+∠DAC，
∴30+180﹣4t=t，
t=42°，
综上，在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为6°或42°；
故答案为：6°或42°．
【点评】本题考查的是旋转变换和平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是关键，在解答（2）时，要采用分类讨论的思想，作延长线构建出平行线的截线，从而可得同位角相等解决问题．
22．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为 8 cm．
【分析】设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH⊥AB，由正六边形的性质及邻补角性质得到三角形PMN为等边三角形，由小正六边形的面积求出边长，确定出PM的长，进而求出三角形PMN的面积，利用垂径定理求出PG的长，在直角三角形OPG中，利用勾股定理求出OP的长，设OB=xcm，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH⊥AB，
由题意得：∠MNP=∠NMP=∠MPN=60°，
∵小正六边形的面积为cm2，
∴小正六边形的边长为cm，即PM=7cm，
∴S△MPN=cm2，
∵OG⊥PM，且O为正六边形的中心，
∴PG=PM=cm，OG=PM=，
在Rt△OPG中，根据勾股定理得：OP==7cm，
设OB=xcm，
∵OH⊥AB，且O为正六边形的中心，
∴BH=x，OH=x，
∴PH=（5﹣x）cm，
在Rt△PHO中，根据勾股定理得：OP2=（x）2+（5﹣x）2=49，
解得：x=8（负值舍去），
则该圆的半径为8cm．
故答案为：8
【点评】此题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解本题的关键．
23．半径为2的圆被四等分切割成四条相等的弧，将四个弧首尾顺次相连拼成如图所示的恒星图型，那么这个恒星的面积等于 16﹣4π ．
【分析】恒星的面积=边长为4的正方形面积﹣半径为2的圆的面积，依此列式计算即可．
【解答】解：如图．
2+2=4，
恒星的面积=4×4﹣4π=16﹣4π．
故答案为16﹣4π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为4的正方形面积﹣半径为2的圆的面积．
24．如图，小强为了帮助爸爸确定残破轮子的直径，先在轮子上画出一个弓形（如图中阴影部分），然后量得弦AB的长为4cm，这个弓形的高为1cm，则这个轮子的直径长为 5 cm．
【分析】由垂径定理，可得出BD的长；连接OB，在Rt△OBD中，可用半径OB表示出OD的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【解答】解：连接OB；
Rt△OBD中，BD=AB=2cm，
根据勾股定理得：
OD2+BD2=OB2，即：
（OB﹣1）2+22=OB2，
解得：OB=2.5；
所以轮子的直径为5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
25．如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a1= ；如图2，当n=2时，正三角形的边长a2= ；如图3，正三角形的边长an= （用含n的代数式表示）．
【分析】（1）设PQ与B1C1交于点D，连接OB1，由特殊角的三角函数值可得，OD=A1D﹣OA1=a1﹣1，再由勾股定理即可求出a1的值；
（2）设PQ与B2C2交于点E，连接OB2，由特殊角的三角函数值可得OE=2A1A2﹣OA1=a2﹣1，再由Rt△OB2E勾股定理即可求出a2的值；
（3）设PQ与BnCn交于点F，连接OBn，则OF=nan﹣1，在Rt△OBnF中利用勾股定理可得，an=．
【解答】解：（1）设PQ与B1C1交于点D，连接OB1，则OD=A1D﹣OA1=a1﹣1，
在Rt△OB1D中，OB12=B1D2+OD2，
即12=（a1）2+（a1﹣1）2，
解得，a1=；
（2）设PQ与B2C2交于点E，连接OB2，则OE=2A1A2﹣OA1=a2﹣1，
在Rt△OB2E中，OB22=B2E2+OE2，
即12=（a2）2+（a2﹣1）2，
解得，a2=；
（3）设PQ与BnCn交于点F，连接OBn，则OF=nan﹣1，
在Rt△OBnF中，OBn2=BnF2+OF2，
即12=（an）2+（nan﹣1）2，
解得，an=．
故答案为：，，．
【点评】本题考查的是正多边形与圆及特殊角的三角函数值，根据题意作出辅助线，找出规律是解答此题的关键．
三．解答题（共15小题）
26．如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上．已知AB=8cm，CD=2cm
（1）求⊙O的面积；
（2）连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长．
【分析】（1）连接OA，根据AB=8cm，CD=2cm，C为AB的中点，设半径为r，由勾股定理列式即可求出r，进而求出面积．
（2）在Rt△ACE中，已知AC、EC的长度，可求得AE的长，根据垂径定理可知：OF⊥AE，FE=FA，利用勾股定理求出OF的长．
【解答】解：（1）连接OA，如图1所示
∵C为AB的中点，AB=8cm，
∴AC=4cm
又∵CD=2cm
设⊙O的半径为r，则（r﹣2）2+42=r2
解得：r=5
∴S=πr2=π×25=25π
（2）OC=OD﹣CD=5﹣2=3
EC=EO+OC=5+3=8
∴EA===4
∴EF===2
∴OF===
【点评】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，作出辅助线是解题的关键．
27．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．
【分析】（1）根据垂径定理可得=，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出AC，再根据垂径定理可得AB=2AC．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴=，
∴∠DEB=∠AOD=×52°=26°；
（2）根据勾股定理得，AC===4，
∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴AB=2AC=2×4=8．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
28．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．请完成下列填空：
①请在图中确定并点出该圆弧所在圆心D点的位置，圆心D坐标 （2，0 ） ；
②⊙D的半径= 2 （结果保留根号）；
③的长为 π ．
【分析】①结合图形找出D的位置，即可得出D的坐标；
②根据勾股定理求出DB的长即可；
③根据弧长公式计算即可．
【解答】解：①如图：D在AB的垂直平分线EF和BC的垂直平分线MN的交点上，
即D的坐标是（2，0），
②∵B（4，4），
∴AB=2，
∴⊙D的半径==2；
③==π；
故答案为①（2，0）；②；③．
【点评】本题考查了垂径定理，坐标与图形性质，勾股定理的应用，以及弧长公式的计算，主要考查学生的理解能力和计算能力．
29．如图，在破残的圆形残片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB=8cm，CD=2cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求出（1）中所作圆的半径．
【分析】（1）在圆形残片上作直线MN是弦BE的垂直平分线，MN交CD于点P，连结AP，以P为圆心，AP为半径的圆为所求残片的圆．
（2）先设圆P的半径为r，根据AB⊥CD和已知条件求出AD=AB，PD=（r﹣2）cm，在Rt△APD中，根据AP2=AD2+DP2，得出r2=42+（r﹣2）2，求出r即可．
【解答】解：（1）作图如下，
（2）设圆P的半径为r，
∵AB⊥CD，AB=8cm，CD=2cm，
∴AD=AB=4cm，PD=（r﹣2）cm，
在Rt△APD中，AP2=AD2+DP2，
∴r2=42+（r﹣2）2，
解得r=5，
∴⊙P的半径为5cm．
【点评】本题考查了垂经定理的应用和基本作图，用到的知识点是线段垂直平分线的作法与性质、垂径定理、勾股定理的应用，基本作图需要熟练掌握．
30．要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测的钢珠顶端与小孔平面的距离h=8 mm（如图），求此小孔的直径d．
【分析】作OD⊥AB，交⊙O于点C，连接OB．根据垂径定理，得CD垂直平分AB．根据勾股定理求得BD的长，再根据垂径定理求得AB的长．
【解答】解：作OD⊥AB，交⊙O于点C，连接OB．
由垂径定理得：CD垂直平分AB．
∴CD=h=8mm，OD=CD﹣CO=3mm．
在Rt△ODB中，BD2=OB2﹣OD2=16，
∴BD=4mm．
∴AB=2BD=8mm．
答：此小孔的直径d为8mm．
【点评】能够从实际问题中抽象出几何模型，熟练运用勾股定理和垂径定理．
31．如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB=2，EF=，=120°．
（1）求出圆洞门⊙O的半径；
（2）求立柱CE的长度．
【分析】（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．在Rt△BOH中，解直角三角形即可解决问题；
（2）作OM⊥EC于M，连接OC．在Rt△OMC中，解直角三角形即可；
【解答】解：（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．
∵的度数为120°，AO=BO，
∴∠BOH=×120°=60°，
∴AH=BH=，
在Rt△BOH中，sin∠BOH=，
∴OB=2，即圆洞门⊙O的半径为2；
（2）作OM⊥EC于M，连接OC．
∵Rt△BOH中，OH=1，
∵EH=，易证四边形OMEH是矩形，
∴OM=EH=，ME=OH=1，
在Rt△OMC中，CM==，
∴CE=ME+CM=1+=，
∴立柱CE的长度为．
【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
32．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接CA、CB，过点O作弦BC的垂线，交于点D，连接AD．
（1）求证：∠CAD=∠BAD；
（2）若⊙O的半径为1，∠B=50°，求的长．
【分析】（1）根据圆周角定理证明即可；
（2）连接CO，利用弧长公式解答即可．
【解答】（1）证明：∵点O是圆心，OD⊥BC，
∴，
∴∠CAD=∠BAD；
（2）连接CO，
∵∠B=50°，
∴∠AOC=100°，
∴的长为：L=．
【点评】此题考查弧长的计算，关键是利用弧长公式解答．
33．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D在斜边AB上，连接CD，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AB于点F，已知CD=CB．
（1）求证：=；
（2）若AC=4，BC=3，求AD的长．
【分析】（1）连接CF．利用等腰三角形的三线合一即可证明；
（2）由△BCF∽△BAC，推出=，求出BF即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接CF．
∵CD是直径，
∴∠CFD=90°，
∵CD=CB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴=．
（2）∵∠BCF+∠ACF=90°，∠A+∠ACF=90°，
∴∠A=∠BCF，
∵∠B=∠B，
∴△BCF∽△BAC，
∴=，
∴BF=，
∵CD=CB，∠CFD=90°，
∴BD=2BF=，
∴AD=AB﹣BD=．
【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，属于中考常考题型．
34．如图，AB为⊙O的直径，AC=AB，且AC，BC分别交⊙O于E，D，连结ED，BE．
（1）试判断ED与BD是否相等，并说明理由；
（2）如果⊙O的半径为3，BC=6，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的三线合一得到∠CAD=∠BAD，根据圆周角定理证明；
（2）根据等边三角形的判定定理、正弦的定义计算即可．
【解答】解：（1）ED与BD相等，
证明：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠CAD=∠BAD
∴=，
∴BD=DE；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=BC=3，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=3
∴阴影部分的面积==
【点评】本题考查的是圆周角定理、等边三角形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
35．如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=2，弦CD=DE=2，连结OB，OD，求图中两个阴影部分的面积和．
【分析】根据弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，在四边形OFCG中可得∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可．
【解答】解：∵弦AB=BC，弦CD=DE，
∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，
∴∠BOD=90°，
过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G．
则BF=FC=，CG=GD=1，∠FOG=45°，
在四边形OFCG中，∠FCD=135°，
过点C作CN∥OF，交OG于点N，
则∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°，
∴△CNG为等腰三角形，
∴CG=NG=1，
过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC=，
在等腰三角形MNO中，NO=MN=2，
∴OG=ON+NG=3，
在Rt△OGD中，OD===，
即圆O的半径为，
故S阴影=S扇形OBD==π．
【点评】本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大．
36．已知，如图：AB为⊙O直径，D为弧AC中点，DE⊥AB于E，AC交OD于点F，
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AB=10cm，BC=6cm，求DF的长；
（3）探索DE与AC的数量关系，直接写出结论不用证明．
【分析】（1）根据圆周角定理，由AB为直径得到∠ACB=90°，再根据垂径定理，由D为弧AC中点得到OD⊥AC，则∠AFO=90°，于是根据平行线的判定方法即可得到OD∥BC；
（2）先判断OF为△ACB的中位线，则OF=BC=3cm，然后利用DF=OD﹣OF求解；
（3）由OF为△ACB的中位线得到AF=CF，再证明△ODE≌△OAF，得到DE=AF，由此得到DE=AC．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵D为弧AC中点，
∴OD⊥AC，
∴∠AFO=90°，
∴OD⊥BC；
（2）解：∵OF∥BC，
而OA=OB，
∴OF为△ACB的中位线，
∴OF=BC=3cm，
∴DF=OD﹣OF=5cm﹣3cm=2cm；
（3）解：DE=AC．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和三角形中位线性质．
37．如图，点C，D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD，AC，作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
（1）求证：AF=DF．
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
【分析】（1）连接OD，OC，根据已知条件得到∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，根据圆周角定理得到∠CAD=∠ADE=30°，于是得到结论；
（2）由（1）知，∠AOD=60°，推出△AOD是等边三角形，OA=2，得到DE=，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论
【解答】（1）证明：连接OD，OC，
∵C、D是半圆O上的三等分点，
∴==，度数都是60°，
∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，
∴∠DAC=30°，∠CAB=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠ADE=180°﹣90°﹣30°﹣30°=30°，
∴∠DAC∠ADE=30°，
∴AF=DF；
（2）解：由（1）知，∠AOD=60°，
∵OA=OD，AB=4，
∴△AOD是等边三角形，OA=2，
∵DE⊥AO，
∴DE=，
∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣×2×=π﹣．
【点评】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
38．如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，求OD与AD的长．
【分析】连接AC，设⊙O的半径为R．在Rt△ODB中，利用勾股定理求出R，再利用三角形的中位线定理求出AC，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AD即可；
【解答】解：连接AC，设⊙O的半径为R．
∵=，
∴OE⊥BC，
∴CD=DB=4cm，
在Rt△ODB中，∵OD2+BD2=OB2，
∴（R﹣2）2+42=R2，
∴R=5，
∴OD=OE﹣DE=3，
∵AO=OB，CD=DB，
∴AC=2OD=6，
∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∴AD===2．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
39．如图①，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，连结AC并延长AC至点D，使CD=CA，连结ED交⊙O于点B．
（1）求证：点C是劣弧的中点；
（2）如图②，连结EC，若AE=2AC=6，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接CE，由AE是⊙O的直径，得到CE⊥AD，根据等腰三角形的性质得到∠AEC=∠DEC，于是得到结论；
（2）连接BC，OB，OC，由已知条件得到△AED是等边三角形，得到∠A=60°，推出AE∥BC，∠BOC=60°，于是得到结论．
【解答】解：（1）连接CE，
∵AE是⊙O的直径，
∴CE⊥AD，
∵AC=CD，
∴AE=ED，
∴∠AEC=∠DEC，
∴=；
∴点C是劣弧 的中点；
（2）连接BC，OB，OC，
∵AE=2AC=6，
∴∠AEC=30°，AE=AD，
∴∠AED=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵=，
∴==，
∴AE∥BC，∠BOC=60°，
∴S△OBC=S△EBC，
∴S阴影=S扇形==π．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
40．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC=BD，且AC⊥BD
（1）求证：AB=CD；
（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；
（3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；
（2）根据弧BD的度数为120°，得到∠BOD=120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算即可；
（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE，证明结论．
【解答】（1）证明：∵AC=BD，
∴=，
则=，
∴AB=CD；
（2）解：连接OB、OD，作OH⊥BD于H，
∵弧BD的度数为120°，
∴∠BOD=120°，
∴∠BOH=60°，
则BH=OB=4，
∴BD=8，
则四边形ABCD的面积=×AC×BD=96；
（3）AD=2OM，
连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图2，
∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∵∠BOC=2∠BAC，
而∠BOC=2∠BOM，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中，
，
∴△BOM≌△OAE，
∴OM=AE，
∴AD=2OM．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键．
期末复习第三章圆的基本性质好题精选
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得 分
一．选择题（共15小题）
1．已知的⊙O半径为3cm，点P到圆心O的距离OP=2cm，则点P（ ）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．无法确定
2．平面内有一点P到圆上最远的距离是6，最近的距离是2，则圆的半径是（ ）
A．2 B．4 C．2 或4 D．8
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．90°
4．点E是半径为5的⊙O上的点，AB是⊙O的一条弦且AB=8．若△ABE的面积为8，那么在圆上这样的点E我们可以找到（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连结DE．若AB=10，OD=1，则线段DE的长为（ ）
A．5 B．2 C．2 D．+1
6．某品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，则弓形铁片ACB（阴影部分） 的面积约为（ ）
A．（π﹣）cm2 B．（π﹣25）cm2
C．（π﹣）cm2 D．（25π﹣）cm2
7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
8．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连结CD交AB于点E．点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变
C．先变大后变小 D．先变小后变大
9．如图，点O是半径为3的圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π B．3π C． D．
10．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣
11．图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束． 在整个运动过程中，点C运动的路程是（ ）
A．4 B．6 C．4﹣2 D．10﹣4
12．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
13．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．
14．小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：
（1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；
（2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（ ）
A．BD2=OD B．BD2=OD C．BD2=OD D．BD2=OD
15．扇形OAB的半径OA=1，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上的动点，连结AC和BC，记弦AC、CB与弧AC、CB围成的阴影部分的面积为S，则S的最小值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人
得 分
二．填空题（共10小题）
16．已知△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在⊙C内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是 ．
17．如图，在圆O中有折线ABCO，BC=6，CO=4，∠B=∠C=60°，则弦AB的长为 ．
18．AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为 ．
19．如图，AB为半圆O的直径，以AO为直径作半圆M，C为OB的中点，D在半圆M上，且CD⊥MD，延长AD交⊙O于点E，若AB=4，则图中阴影部分的面积为 ．
20．在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点O为圆心，2为半径画弧，交图中网格线于点A，B，则扇形AOB的面积是 ．
21．如图，直线PQ∥MN，点A在PQ上，直角△BEF的直角边BE在MN上，且∠B=90°，∠BEF=30°．现将△BEF绕点B以每秒1°的速度按逆时针方向旋转（E，F的对应点分别是E′，F′），同时，射线AQ绕点A以每秒4°的速度按顺时针方向旋转（Q的对应点是Q′）．设旋转时间为t秒（0≤t≤45）．
（1）∠MBF′= ．（用含t的代数式表示）
（2）在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为 ．
22．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为 cm．
23．半径为2的圆被四等分切割成四条相等的弧，将四个弧首尾顺次相连拼成如图所示的恒星图型，那么这个恒星的面积等于 ．
24．如图，小强为了帮助爸爸确定残破轮子的直径，先在轮子上画出一个弓形（如图中阴影部分），然后量得弦AB的长为4cm，这个弓形的高为1cm，则这个轮子的直径长为 cm．
25．如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a1= ；如图2，当n=2时，正三角形的边长a2= ；如图3，正三角形的边长an= （用含n的代数式表示）．
评卷人
得 分
三．解答题（共15小题）
26．如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上．已知AB=8cm，CD=2cm
（1）求⊙O的面积；
（2）连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长．
27．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．
28．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．请完成下列填空：
①请在图中确定并点出该圆弧所在圆心D点的位置，圆心D坐标 ；
②⊙D的半径= （结果保留根号）；
③的长为 ．
29．如图，在破残的圆形残片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB=8cm，CD=2cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求出（1）中所作圆的半径．
30．要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测的钢珠顶端与小孔平面的距离h=8 mm（如图），求此小孔的直径d．
31．如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB=2，EF=，=120°．
（1）求出圆洞门⊙O的半径；
（2）求立柱CE的长度．
32．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接CA、CB，过点O作弦BC的垂线，交于点D，连接AD．
（1）求证：∠CAD=∠BAD；
（2）若⊙O的半径为1，∠B=50°，求的长．
33．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D在斜边AB上，连接CD，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AB于点F，已知CD=CB．
（1）求证：=；
（2）若AC=4，BC=3，求AD的长．
34．如图，AB为⊙O的直径，AC=AB，且AC，BC分别交⊙O于E，D，连结ED，BE．
（1）试判断ED与BD是否相等，并说明理由；
（2）如果⊙O的半径为3，BC=6，求阴影部分的面积．
35．如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=2，弦CD=DE=2，连结OB，OD，求图中两个阴影部分的面积和．
36．已知，如图：AB为⊙O直径，D为弧AC中点，DE⊥AB于E，AC交OD于点F，
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AB=10cm，BC=6cm，求DF的长；
（3）探索DE与AC的数量关系，直接写出结论不用证明．
37．如图，点C，D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD，AC，作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
（1）求证：AF=DF．
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
38．如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，求OD与AD的长．
39．如图①，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，连结AC并延长AC至点D，使CD=CA，连结ED交⊙O于点B．
（1）求证：点C是劣弧的中点；
（2）如图②，连结EC，若AE=2AC=6，求阴影部分的面积．
40．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC=BD，且AC⊥BD
（1）求证：AB=CD；
（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；
（3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．已知的⊙O半径为3cm，点P到圆心O的距离OP=2cm，则点P（ ）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．无法确定
【分析】根据点到圆心的距离d和圆的半径r之间的大小关系，即可判断；
【解答】解：∵⊙O的半径为r=3cm，点P到圆心的距离OP=d=2cm，
∴d＜r，
∴点P在圆内，
故选：C．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外?d＞r． ②点P在圆上?d=r．③点P在圆内?d＜r．
2．平面内有一点P到圆上最远的距离是6，最近的距离是2，则圆的半径是（ ）
A．2 B．4 C．2 或4 D．8
【分析】分两种情况：点在圆外，直径等于两个距离的差；点在圆内，直径等于两个距离的和．
【解答】解：∵点P到⊙O的最近距离为2，最远距离为6，则：
当点在圆外时，则⊙O的直径为6﹣2=4，半径是2；
当点在圆内时，则⊙O的直径是6+2=8，半径为4，
故选：C．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意此题的两种情况．从过该点和圆心的直线中，即可找到该点到圆的最小距离和最大距离．
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=140°，连接OC，点P是半径OC上一点，则∠BPD不可能为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．90°
【分析】连接OD、OB，根据圆内接四边形的性质求出∠DCB，根据圆周角定理求出∠BOD，求出∠BPD的范围，即可解答．
【解答】解：连接OD、OB，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCB=180°﹣∠DAB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠DCB=80°，
∴40°≤∠BPD≤80°，
∴∠BPD不可能为90°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
4．点E是半径为5的⊙O上的点，AB是⊙O的一条弦且AB=8．若△ABE的面积为8，那么在圆上这样的点E我们可以找到（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据△ABC的面积可将高求出，即⊙O上的点到AB的距离为高长的点都符合题意．
【解答】解：如图，
过圆心向弦AB作垂线，连接OA，
设△ABE的AB边上的高为h
S△ABC=×AB×h=8
可得：h=2
弦心距==3
∵3﹣2=1，故过圆心向AB所在的半圆作弦心距为1的弦与⊙O的两个点符合要求；
∵3+2=5，故将弦心距AB延长与⊙O相交，交点也符合要求，
故符合要求的点有3个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了垂径定理，勾股定理，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂径定理来解题．
5．如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连结DE．若AB=10，OD=1，则线段DE的长为（ ）
A．5 B．2 C．2 D．+1
【分析】连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，如图，AD=4，先利用折叠和圆周角定理得到==，再利用弧、弦、圆心角的关系得到AC=CD=DE，则AF=DF=2，然后利用勾股定理计算出CF，接着再计算出CD即可．
【解答】解：连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，如图，AD=4，
∵⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，
∴、和为等圆中的弧，
∵它们所对的圆周角为∠ABC，
∴==，
∴AC=CD=DE，
∴AF=DF=2，
在Rt△OCF中，CF==4，
在Rt△CDF中，CD==2，
∴DE=2．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了折叠的性质．
6．某品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，则弓形铁片ACB（阴影部分） 的面积约为（ ）
A．（π﹣）cm2 B．（π﹣25）cm2
C．（π﹣）cm2 D．（25π﹣）cm2
【分析】连接OA、OB，根据已知求出OA=OB=5cm，∠BOA=90°，分别求出扇形BOA和△BOA的面积即可．
【解答】解：
连接OA、OB，
∵品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示，它的内直径（⊙O直径）为10cm，弧AB的度数约为90°，
∴OA=OB=5cm，∠BOA=90°，
∴阴影部分的面积S=S扇形BOA﹣S△BOA=﹣=（π﹣）cm2，
故选：A．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
7．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ）
A．13寸 B．6.5寸 C．26寸 D．20寸
【分析】设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解方程即可；
【解答】解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，
则有r2=52+（r﹣1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连结CD交AB于点E．点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变
C．先变大后变小 D．先变小后变大
【分析】连接OC，OD，PD，CQ．设PC=x，OP=y．利用分割法求出阴影部分的面积即可判断．
【解答】解：连接OC，OD，PD，CQ．设PC=x，OP=y．
∵PC⊥AB，QD⊥AB，
∴∠CPO=∠OQD=90°，
∵PC=OQ，OC=OD，
∴Rt△OPC≌Rt△DQO，
∴OP=DQ=y，
∴S阴=S四边形PCQD﹣S△PFO﹣S△COQ=（x+y）2﹣y2﹣x2=xy，
观察图象可知xy的值先变大后变小．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分割法求面积，属于中考选择题中的压轴题．
9．如图，点O是半径为3的圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积为（ ）
A．2π B．3π C． D．
【分析】作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=S扇形AOC得出阴影部分的面积是⊙O面积的，即可得出答案．
【解答】解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，如图所示：
∵OD=AO
∴∠OAD=30°，
∴∠AOB=2∠AOD=120°，
同理∠BOC=120°，
∴∠AOC=120°，
∴阴影部分的面积=S扇形BOC=×⊙O面积=×π×32=3π，
故选：B．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、扇形面积以及圆的面积公式等知识；解题的关键是确定∠AOC=120°．
10．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A． B．1﹣ C．﹣1 D．1﹣
【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即﹣1=．
【解答】解：如图：
正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②
②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．
故选：A．
【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．
11．图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=2．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束． 在整个运动过程中，点C运动的路程是（ ）
A．4 B．6 C．4﹣2 D．10﹣4
【分析】由于在运动过程中，原点O始终在⊙G上，则弧AC的长保持不变，弧AC所对应的圆周角∠AOC保持不变，等于∠XOC，故点C在与x轴夹角为∠ABC的射线上运动．顶点C的运动轨迹应是一条线段，且点C移动到图中C2位置最远，然后又慢慢移动到C3结束，点C经过的路程应是线段C1C2+C2C3．
【解答】解：如图3，连接OG．
∵∠AOB是直角，G为AB中点，
∴GO=AB=半径，
∴原点O始终在⊙G上．
∵∠ACB=90°，AB=6，AC=2，∴BC=4．
连接OC．则∠AOC=∠ABC，∴tan∠AOC==，
∴点C在与x轴夹角为∠AOC的射线上运动．
如图4，C1C2=OC2﹣OC1=6﹣2=4；
如图5，C2C3=OC2﹣OC3=6﹣4；
∴总路径为：C1C2+C2C3=4+6﹣4=10﹣4．
故选：D．
【点评】主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．
12．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（ ）
A． B． C． D．2
【分析】首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出的值是多少即可．
【解答】解：如图，连接AC、BD、OF，，
设⊙O的半径是r，
则OF=r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴∠COF=30°+30°=60°，
∴FI=r?sin60°=，
∴EF=，
∵AO=2OI，
∴OI=，CI=r﹣=，
∴，
∴，
∴=，
即则的值是．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正多边形与圆的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念：①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
13．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．
【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+．
【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），
∴OC=3，PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D点坐标为（3，3），
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=AB=×4=2，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=，
∴PD=PE=，
∴a=3+．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．
14．小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：
（1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；
（2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（ ）
A．BD2=OD B．BD2=OD C．BD2=OD D．BD2=OD
【分析】首先连接BM，根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，然后由勾股定理可求得BM与OD的长，继而求得BD2的值．
【解答】解：如图2，连接BM，
根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，
∵OA的垂直平分线交OA于点M，
∴OM=AM=OA=，
∴BM==，
∴DM=，
∴OD=DM﹣OM=﹣=，
∴BD2=OD2+OB2===OD．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分母有理化的知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
15．扇形OAB的半径OA=1，圆心角∠AOB=90°，点C是弧AB上的动点，连结AC和BC，记弦AC、CB与弧AC、CB围成的阴影部分的面积为S，则S的最小值为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】要使阴影部分的面积最小，就需要满足四边形AOBC的面积最大，连接AB，只需满足△ABC的面积最大即可，从而确定点C的位置，点C位于弧AB的中点，从而求出四边形AOBC的面积，由S阴影=S扇形OAB﹣S四边形AOBC，即可得出答案．
【解答】解：连接AB，
要使阴影部分的面积最小，就需要满足四边形AOBC的面积最大，只需满足△ABC的面积最大即可，
从而可得当点C位于弧AB的中点时，△ABC的面积最大，
连接OC'，则OC'⊥AB，
OD=AB=，DC'=OC'﹣OD=1﹣，
S四边形AOBC'=S△AOB+S△ABC'=+××（1﹣）=，
故可得S阴影=S扇形OAB﹣S四边形AOBC=﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积计算及动点问题，解答本题的关键是判断出点C的位置，有一定难度．
二．填空题（共10小题）
16．已知△ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在⊙C内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是 3＜r＜4 ．
【分析】根据勾股定理得到AC==5，点A在⊙C外，点B在⊙C内，则r的取值范围是3＜r＜4．
【解答】解：∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AC=5，
∴r的取值范围是3＜r＜4．
故答案为：3＜r＜4
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．判断这三点与圆的位置关系是解决本题的关键．
17．如图，在圆O中有折线ABCO，BC=6，CO=4，∠B=∠C=60°，则弦AB的长为 10 ．
【分析】作OD⊥AB垂足为D，利用垂径定理得AB=2BD，作OE∥AB交BC于E，构造等边△COE，过E点作EF⊥AB，垂足为F，得Rt△BEF，而∠B=60°，可得BF=BE，再根据BD=BF+DF求BD．
【解答】解：如图，作OD⊥AB垂足为D，OE∥AB交BC于E，过E点作EF⊥AB，垂足为F，
∵OE∥AB，
∴△COE为等边三角形，
∴OE=CE=OC=4，
∵OD⊥AB，EF⊥AB，
∴DF=OE=4，BE=BC﹣CE=2，
在Rt△BEF中，∵∠B=60°，
∴BF=BE=1，
∴BD=BF+DF=1+4=5，
由垂径定理，得AB=2BD=10．
故答案为：10
【点评】本题考查了垂径定理，等边三角形的性质．关键是通过作辅助线，得出等边三角形，30°的直角三角形，利用垂径定理求AB．
18．AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB=2，则线段BQ的长为 ．
【分析】连接AQ，BQ，根据圆周角定理可得出∠QAB=∠P=45°，∠AQB=90°，故△ABQ是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：连接AQ，BQ，
∵∠P=45°，
∴∠QAB=∠P=45°，∠AQB=90°，
∴△ABQ是等腰直角三角形．
∵AB=2，
∴2BQ2=4，
∴BQ=．
故答案为：．
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．如图，AB为半圆O的直径，以AO为直径作半圆M，C为OB的中点，D在半圆M上，且CD⊥MD，延长AD交⊙O于点E，若AB=4，则图中阴影部分的面积为 + ．
【分析】由DC⊥MD，M为OA中点，C为OB中点，得到AM=MO=OC=BC=1，在直角三角形DMC中，根据DM等于MC的一半，得到∠DCM=30°，∠DMC=60°，根据AM=DM，得到∠MAD=∠OEA=30°，在直角三角形AOD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半，求出OD的长，利用勾股定理求出AD的长，确定出AE的长，同理求出DF与AC的长，确定出∠EOB的度数，阴影部分面积=△AOE面积+扇形OEB面积﹣△ACD面积，求出即可．
【解答】解：连接EO，DO，过点D作DF⊥AB于点F，
∵AB=4，O为AB中点，M、C分别为AO、OB的中点，
∴AM=OM=OC=CB=1，
∵DC⊥MD，
∴在Rt△MDC中，DM=1，MC=OM+OC=2，
∴DM=MC，即∠DCM=30°，
∴∠DMC=60°，
∵AM=DM，
∴∠MAD=∠MDA=30°，
∴∠EOB=60°，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=30°，
∴OD=OA=1，AD==，
∵OD⊥AE，
∴AE=2AD=2，
∴DF=AD=，AF=，
∴AC=2AF=3，
则S阴影=S△AOE+S扇形EOB﹣S△ACD=×2×1+﹣×3×=+．
故答案为：+．
【点评】此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及扇形的面积计算，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
20．在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．以点O为圆心，2为半径画弧，交图中网格线于点A，B，则扇形AOB的面积是 ．
【分析】如图，连接OA，OB，则OC=OB，求得∠OBC=30°，根据平行线的性质得到∠BOE=30°，同理∠DOA=30°，根据扇形的面积公式计算即可；
【解答】解：如图，
∵OC=OB，∠OCB=90°，
∴∠OBC=30°，
∵BC∥OE，
∴∠BOE=30°，
同理∠DOA=30°，
∴∠AOB=90°﹣30°﹣30°=30°，
∴S扇形OAB==，
故答案为．
【点评】本题考查了扇形的面积公式、正方形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．如图，直线PQ∥MN，点A在PQ上，直角△BEF的直角边BE在MN上，且∠B=90°，∠BEF=30°．现将△BEF绕点B以每秒1°的速度按逆时针方向旋转（E，F的对应点分别是E′，F′），同时，射线AQ绕点A以每秒4°的速度按顺时针方向旋转（Q的对应点是Q′）．设旋转时间为t秒（0≤t≤45）．
（1）∠MBF′= （90﹣t）° ．（用含t的代数式表示）
（2）在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为 6°或42° ．
【分析】（1）直接根据速度和时间可得：∠FBF'=t°，所以根据余角的定义可得结论；
（2）有两种情况：利用数形结合，画图后作辅助线，构建平行线的性质和外角的性质可得结论．
【解答】解：（1）如图1，由题意得：∠FBF'=t°，∠FBM=90°，
∴∠MBF'=90°﹣t°=（90﹣t）°，
故答案为：（90﹣t）°；
（2）①如图2，AQ'∥E'F'，
延长BE'交AQ'于C，则∠F'E'B=∠ACB=30°，
由题意得：∠EBE'=t°，∠QAQ'=4t°，
∴t+4t=30，
t=6°；
②如图3，AQ'∥E'F'，
延长BE'，交PQ于D，交直线AQ'于C，则∠F'E'B=∠ACD=30°，
由题意得：∠NBE'=t°，∠QAQ'=4t°，
∴∠ADB=∠NBE'=t°，
∵∠ADB=∠ACD+∠DAC，
∴30+180﹣4t=t，
t=42°，
综上，在旋转的过程中，若射线AQ′与边E′F′平行时，则t的值为6°或42°；
故答案为：6°或42°．
【点评】本题考查的是旋转变换和平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是关键，在解答（2）时，要采用分类讨论的思想，作延长线构建出平行线的截线，从而可得同位角相等解决问题．
22．小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为 8 cm．
【分析】设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH⊥AB，由正六边形的性质及邻补角性质得到三角形PMN为等边三角形，由小正六边形的面积求出边长，确定出PM的长，进而求出三角形PMN的面积，利用垂径定理求出PG的长，在直角三角形OPG中，利用勾股定理求出OP的长，设OB=xcm，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH⊥AB，
由题意得：∠MNP=∠NMP=∠MPN=60°，
∵小正六边形的面积为cm2，
∴小正六边形的边长为cm，即PM=7cm，
∴S△MPN=cm2，
∵OG⊥PM，且O为正六边形的中心，
∴PG=PM=cm，OG=PM=，
在Rt△OPG中，根据勾股定理得：OP==7cm，
设OB=xcm，
∵OH⊥AB，且O为正六边形的中心，
∴BH=x，OH=x，
∴PH=（5﹣x）cm，
在Rt△PHO中，根据勾股定理得：OP2=（x）2+（5﹣x）2=49，
解得：x=8（负值舍去），
则该圆的半径为8cm．
故答案为：8
【点评】此题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解本题的关键．
23．半径为2的圆被四等分切割成四条相等的弧，将四个弧首尾顺次相连拼成如图所示的恒星图型，那么这个恒星的面积等于 16﹣4π ．
【分析】恒星的面积=边长为4的正方形面积﹣半径为2的圆的面积，依此列式计算即可．
【解答】解：如图．
2+2=4，
恒星的面积=4×4﹣4π=16﹣4π．
故答案为16﹣4π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为4的正方形面积﹣半径为2的圆的面积．
24．如图，小强为了帮助爸爸确定残破轮子的直径，先在轮子上画出一个弓形（如图中阴影部分），然后量得弦AB的长为4cm，这个弓形的高为1cm，则这个轮子的直径长为 5 cm．
【分析】由垂径定理，可得出BD的长；连接OB，在Rt△OBD中，可用半径OB表示出OD的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【解答】解：连接OB；
Rt△OBD中，BD=AB=2cm，
根据勾股定理得：
OD2+BD2=OB2，即：
（OB﹣1）2+22=OB2，
解得：OB=2.5；
所以轮子的直径为5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
25．如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a1= ；如图2，当n=2时，正三角形的边长a2= ；如图3，正三角形的边长an= （用含n的代数式表示）．
【分析】（1）设PQ与B1C1交于点D，连接OB1，由特殊角的三角函数值可得，OD=A1D﹣OA1=a1﹣1，再由勾股定理即可求出a1的值；
（2）设PQ与B2C2交于点E，连接OB2，由特殊角的三角函数值可得OE=2A1A2﹣OA1=a2﹣1，再由Rt△OB2E勾股定理即可求出a2的值；
（3）设PQ与BnCn交于点F，连接OBn，则OF=nan﹣1，在Rt△OBnF中利用勾股定理可得，an=．
【解答】解：（1）设PQ与B1C1交于点D，连接OB1，则OD=A1D﹣OA1=a1﹣1，
在Rt△OB1D中，OB12=B1D2+OD2，
即12=（a1）2+（a1﹣1）2，
解得，a1=；
（2）设PQ与B2C2交于点E，连接OB2，则OE=2A1A2﹣OA1=a2﹣1，
在Rt△OB2E中，OB22=B2E2+OE2，
即12=（a2）2+（a2﹣1）2，
解得，a2=；
（3）设PQ与BnCn交于点F，连接OBn，则OF=nan﹣1，
在Rt△OBnF中，OBn2=BnF2+OF2，
即12=（an）2+（nan﹣1）2，
解得，an=．
故答案为：，，．
【点评】本题考查的是正多边形与圆及特殊角的三角函数值，根据题意作出辅助线，找出规律是解答此题的关键．
三．解答题（共15小题）
26．如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上．已知AB=8cm，CD=2cm
（1）求⊙O的面积；
（2）连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长．
【分析】（1）连接OA，根据AB=8cm，CD=2cm，C为AB的中点，设半径为r，由勾股定理列式即可求出r，进而求出面积．
（2）在Rt△ACE中，已知AC、EC的长度，可求得AE的长，根据垂径定理可知：OF⊥AE，FE=FA，利用勾股定理求出OF的长．
【解答】解：（1）连接OA，如图1所示
∵C为AB的中点，AB=8cm，
∴AC=4cm
又∵CD=2cm
设⊙O的半径为r，则（r﹣2）2+42=r2
解得：r=5
∴S=πr2=π×25=25π
（2）OC=OD﹣CD=5﹣2=3
EC=EO+OC=5+3=8
∴EA===4
∴EF===2
∴OF===
【点评】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，作出辅助线是解题的关键．
27．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．
【分析】（1）根据垂径定理可得=，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出AC，再根据垂径定理可得AB=2AC．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴=，
∴∠DEB=∠AOD=×52°=26°；
（2）根据勾股定理得，AC===4，
∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，
∴AB=2AC=2×4=8．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
28．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．请完成下列填空：
①请在图中确定并点出该圆弧所在圆心D点的位置，圆心D坐标 （2，0 ） ；
②⊙D的半径= 2 （结果保留根号）；
③的长为 π ．
【分析】①结合图形找出D的位置，即可得出D的坐标；
②根据勾股定理求出DB的长即可；
③根据弧长公式计算即可．
【解答】解：①如图：D在AB的垂直平分线EF和BC的垂直平分线MN的交点上，
即D的坐标是（2，0），
②∵B（4，4），
∴AB=2，
∴⊙D的半径==2；
③==π；
故答案为①（2，0）；②；③．
【点评】本题考查了垂径定理，坐标与图形性质，勾股定理的应用，以及弧长公式的计算，主要考查学生的理解能力和计算能力．
29．如图，在破残的圆形残片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB=8cm，CD=2cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求出（1）中所作圆的半径．
【分析】（1）在圆形残片上作直线MN是弦BE的垂直平分线，MN交CD于点P，连结AP，以P为圆心，AP为半径的圆为所求残片的圆．
（2）先设圆P的半径为r，根据AB⊥CD和已知条件求出AD=AB，PD=（r﹣2）cm，在Rt△APD中，根据AP2=AD2+DP2，得出r2=42+（r﹣2）2，求出r即可．
【解答】解：（1）作图如下，
（2）设圆P的半径为r，
∵AB⊥CD，AB=8cm，CD=2cm，
∴AD=AB=4cm，PD=（r﹣2）cm，
在Rt△APD中，AP2=AD2+DP2，
∴r2=42+（r﹣2）2，
解得r=5，
∴⊙P的半径为5cm．
【点评】本题考查了垂经定理的应用和基本作图，用到的知识点是线段垂直平分线的作法与性质、垂径定理、勾股定理的应用，基本作图需要熟练掌握．
30．要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测的钢珠顶端与小孔平面的距离h=8 mm（如图），求此小孔的直径d．
【分析】作OD⊥AB，交⊙O于点C，连接OB．根据垂径定理，得CD垂直平分AB．根据勾股定理求得BD的长，再根据垂径定理求得AB的长．
【解答】解：作OD⊥AB，交⊙O于点C，连接OB．
由垂径定理得：CD垂直平分AB．
∴CD=h=8mm，OD=CD﹣CO=3mm．
在Rt△ODB中，BD2=OB2﹣OD2=16，
∴BD=4mm．
∴AB=2BD=8mm．
答：此小孔的直径d为8mm．
【点评】能够从实际问题中抽象出几何模型，熟练运用勾股定理和垂径定理．
31．如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB=2，EF=，=120°．
（1）求出圆洞门⊙O的半径；
（2）求立柱CE的长度．
【分析】（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．在Rt△BOH中，解直角三角形即可解决问题；
（2）作OM⊥EC于M，连接OC．在Rt△OMC中，解直角三角形即可；
【解答】解：（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．
∵的度数为120°，AO=BO，
∴∠BOH=×120°=60°，
∴AH=BH=，
在Rt△BOH中，sin∠BOH=，
∴OB=2，即圆洞门⊙O的半径为2；
（2）作OM⊥EC于M，连接OC．
∵Rt△BOH中，OH=1，
∵EH=，易证四边形OMEH是矩形，
∴OM=EH=，ME=OH=1，
在Rt△OMC中，CM==，
∴CE=ME+CM=1+=，
∴立柱CE的长度为．
【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
32．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接CA、CB，过点O作弦BC的垂线，交于点D，连接AD．
（1）求证：∠CAD=∠BAD；
（2）若⊙O的半径为1，∠B=50°，求的长．
【分析】（1）根据圆周角定理证明即可；
（2）连接CO，利用弧长公式解答即可．
【解答】（1）证明：∵点O是圆心，OD⊥BC，
∴，
∴∠CAD=∠BAD；
（2）连接CO，
∵∠B=50°，
∴∠AOC=100°，
∴的长为：L=．
【点评】此题考查弧长的计算，关键是利用弧长公式解答．
33．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D在斜边AB上，连接CD，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AB于点F，已知CD=CB．
（1）求证：=；
（2）若AC=4，BC=3，求AD的长．
【分析】（1）连接CF．利用等腰三角形的三线合一即可证明；
（2）由△BCF∽△BAC，推出=，求出BF即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接CF．
∵CD是直径，
∴∠CFD=90°，
∵CD=CB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴=．
（2）∵∠BCF+∠ACF=90°，∠A+∠ACF=90°，
∴∠A=∠BCF，
∵∠B=∠B，
∴△BCF∽△BAC，
∴=，
∴BF=，
∵CD=CB，∠CFD=90°，
∴BD=2BF=，
∴AD=AB﹣BD=．
【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，属于中考常考题型．
34．如图，AB为⊙O的直径，AC=AB，且AC，BC分别交⊙O于E，D，连结ED，BE．
（1）试判断ED与BD是否相等，并说明理由；
（2）如果⊙O的半径为3，BC=6，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的三线合一得到∠CAD=∠BAD，根据圆周角定理证明；
（2）根据等边三角形的判定定理、正弦的定义计算即可．
【解答】解：（1）ED与BD相等，
证明：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠CAD=∠BAD
∴=，
∴BD=DE；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=BC=3，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=3
∴阴影部分的面积==
【点评】本题考查的是圆周角定理、等边三角形的性质，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
35．如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=2，弦CD=DE=2，连结OB，OD，求图中两个阴影部分的面积和．
【分析】根据弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，在四边形OFCG中可得∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可．
【解答】解：∵弦AB=BC，弦CD=DE，
∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，
∴∠BOD=90°，
过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G．
则BF=FC=，CG=GD=1，∠FOG=45°，
在四边形OFCG中，∠FCD=135°，
过点C作CN∥OF，交OG于点N，
则∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°，
∴△CNG为等腰三角形，
∴CG=NG=1，
过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC=，
在等腰三角形MNO中，NO=MN=2，
∴OG=ON+NG=3，
在Rt△OGD中，OD===，
即圆O的半径为，
故S阴影=S扇形OBD==π．
【点评】本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大．
36．已知，如图：AB为⊙O直径，D为弧AC中点，DE⊥AB于E，AC交OD于点F，
（1）求证：OD∥BC；
（2）若AB=10cm，BC=6cm，求DF的长；
（3）探索DE与AC的数量关系，直接写出结论不用证明．
【分析】（1）根据圆周角定理，由AB为直径得到∠ACB=90°，再根据垂径定理，由D为弧AC中点得到OD⊥AC，则∠AFO=90°，于是根据平行线的判定方法即可得到OD∥BC；
（2）先判断OF为△ACB的中位线，则OF=BC=3cm，然后利用DF=OD﹣OF求解；
（3）由OF为△ACB的中位线得到AF=CF，再证明△ODE≌△OAF，得到DE=AF，由此得到DE=AC．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵D为弧AC中点，
∴OD⊥AC，
∴∠AFO=90°，
∴OD⊥BC；
（2）解：∵OF∥BC，
而OA=OB，
∴OF为△ACB的中位线，
∴OF=BC=3cm，
∴DF=OD﹣OF=5cm﹣3cm=2cm；
（3）解：DE=AC．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和三角形中位线性质．
37．如图，点C，D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD，AC，作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．
（1）求证：AF=DF．
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
【分析】（1）连接OD，OC，根据已知条件得到∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，根据圆周角定理得到∠CAD=∠ADE=30°，于是得到结论；
（2）由（1）知，∠AOD=60°，推出△AOD是等边三角形，OA=2，得到DE=，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论
【解答】（1）证明：连接OD，OC，
∵C、D是半圆O上的三等分点，
∴==，度数都是60°，
∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，
∴∠DAC=30°，∠CAB=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠ADE=180°﹣90°﹣30°﹣30°=30°，
∴∠DAC∠ADE=30°，
∴AF=DF；
（2）解：由（1）知，∠AOD=60°，
∵OA=OD，AB=4，
∴△AOD是等边三角形，OA=2，
∵DE⊥AO，
∴DE=，
∴S阴影=S扇形AOD﹣S△AOD=﹣×2×=π﹣．
【点评】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
38．如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm，DE=2cm，求OD与AD的长．
【分析】连接AC，设⊙O的半径为R．在Rt△ODB中，利用勾股定理求出R，再利用三角形的中位线定理求出AC，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AD即可；
【解答】解：连接AC，设⊙O的半径为R．
∵=，
∴OE⊥BC，
∴CD=DB=4cm，
在Rt△ODB中，∵OD2+BD2=OB2，
∴（R﹣2）2+42=R2，
∴R=5，
∴OD=OE﹣DE=3，
∵AO=OB，CD=DB，
∴AC=2OD=6，
∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∴AD===2．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
39．如图①，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，连结AC并延长AC至点D，使CD=CA，连结ED交⊙O于点B．
（1）求证：点C是劣弧的中点；
（2）如图②，连结EC，若AE=2AC=6，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接CE，由AE是⊙O的直径，得到CE⊥AD，根据等腰三角形的性质得到∠AEC=∠DEC，于是得到结论；
（2）连接BC，OB，OC，由已知条件得到△AED是等边三角形，得到∠A=60°，推出AE∥BC，∠BOC=60°，于是得到结论．
【解答】解：（1）连接CE，
∵AE是⊙O的直径，
∴CE⊥AD，
∵AC=CD，
∴AE=ED，
∴∠AEC=∠DEC，
∴=；
∴点C是劣弧 的中点；
（2）连接BC，OB，OC，
∵AE=2AC=6，
∴∠AEC=30°，AE=AD，
∴∠AED=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵=，
∴==，
∴AE∥BC，∠BOC=60°，
∴S△OBC=S△EBC，
∴S阴影=S扇形==π．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
40．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC=BD，且AC⊥BD
（1）求证：AB=CD；
（2）若⊙O的半径为8，弧BD的度数为120°，求四边形ABCD的面积；
（3）如图2，作OM⊥BC于M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；
（2）根据弧BD的度数为120°，得到∠BOD=120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算即可；
（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE，证明结论．
【解答】（1）证明：∵AC=BD，
∴=，
则=，
∴AB=CD；
（2）解：连接OB、OD，作OH⊥BD于H，
∵弧BD的度数为120°，
∴∠BOD=120°，
∴∠BOH=60°，
则BH=OB=4，
∴BD=8，
则四边形ABCD的面积=×AC×BD=96；
（3）AD=2OM，
连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图2，
∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∵∠BOC=2∠BAC，
而∠BOC=2∠BOM，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中，
，
∴△BOM≌△OAE，
∴OM=AE，
∴AD=2OM．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键．
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