第二章 直线与圆的位置关系好题精选
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期末复习第二章直线与圆的位置关系好题精选
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
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评卷人
得 分
一．选择题（共15小题）
1．如图，点P为直径BA延长线上一点，PC切⊙O于C，若的度数等于120°，则∠ACP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
2．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上一点，以点E为圆心，r为半径作⊙E．若⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，则半径r的取值范围是（ ）
A．r＞ B．＜r≤4 C．＜r≤4 D．＜r≤
3．如图，⊙O上有一个动点A和一个定点B，令线段AB的中点是点P，过点B作⊙O的切线BQ，且BQ=3，现测得的长度是，的度数是120°，若线段PQ的最大值是m，最小值是n，则mn的值是（ ）
A．3 B．2 C．9 D．10
4．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，且半径为2，直线y=x与⊙P相交于点A，B，的度数为120°，则点P纵坐标的值是（ ）
A．2 B．2+ C．2 D．2+
5．如图，已知半圆O的直径AB为4，?BCDE的边长DC，DE分别与半圆O切于点F，G，边BC与半圆O交于点H，连接GH，若GH∥AB，则?BCDE的面积为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
6．已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（ ）
A．0＜x≤1 B．1≤x＜ C．0＜x≤ D．x＞
7．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接OP，则下列判断错误的是（ ）
A．∠PAO=∠PBO=90° B．OP平分∠APB
C．PA=PB D．∠AOB=
8．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1=60°，下列结论错误的是（ ）
A．MN=
B．若MN与⊙O相切，则AM=
C．l1和l2的距离为2
D．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切
9．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（ ）
A．3 B． C． D．4
10．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A． B． C． D．
11．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：
①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（ ）
A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①②③④
12．如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．S1＞S2+S3 B．△AOM∽△DMN C．∠MBN=45° D．MN=AM+CN
13．如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC为弦作⊙O，交AC于点D，OD与BC交于点E，若AB与⊙O相切，则下列结论：
①=90°；②DO∥AB； ③CD=AD；④△BDE∽△BCD；⑤．
正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
14．定义：定点A与⊙O上任意一点之间的距离的最小值称为点A与⊙O之间的距离．现有一矩形ABCD（如图），AB=14cm，BC=12cm，⊙K与矩形的边AB，BC，CD分别切于点E，F，G，则点A与⊙K的距离为（ ）
A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm
15．如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），他们的具体裁法如下：甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为S1；乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为S2；丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰Rt△的直角边上，面积记为S3；丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为S4则下列判断正确的是（ ）
①S1=S2；②S3=S4；③在S1，S2，S3，S4中，S2最小．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人
得 分
二．填空题（共10小题）
16．已知⊙O的半径为7cm，直线l1∥l2，且l1与⊙O相切，圆心O到l2的距高为8cm，则l1与l2的距离为 cm．
17．一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为 ．
18．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=16cm，BO=12cm动点C从点A出发，在边AO上以4cm/s的速度向O点运动；与此同时，动点D从点B出发，在边BO上以3cm/s的速度向O点运动．过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心、3cm为半径的圆与直线EF相切．
19．如图是一个装有两个大小相同的球形礼品的包装盒示意图，其中两个小球之间有个等腰三角形隔板，已知矩形长为45cm，宽为20cm，两圆与矩形的边以及等腰△ABC的腰都相切，则所需的三角形隔板的底边AB长为 ．
20．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ．
21．如图，A是半径为1的⊙O的外一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥AO，连结AC，则图中的阴影部分的面积等于 ．
22．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 ．
23．如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0cm刻度线与量角器的0°线在同一直线上，且直径DC是直角边BC的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在量角器上所对应的度数是 ．
24．如图，点P是⊙O外一点，过点P作圆的两条切线PA、PB，点A、B是切点，Q是⊙O上不同于点A，B的任意一点，已知∠P=44°，则∠AQB的度数为 ．
25．如图，已知∠AOB=30°，在射线OA上取点O1，以O1为圆心的圆与OB相切；在射线O1A上取点O2，以O2为圆心，O2O1为半径的圆与OB相切；在射线O2A上取点O3，以O3为圆心，O3O2为半径的圆与OB相切；…；在射线O9A上取点O10，以O10为圆心，O10O9为半径的圆与OB相切．若⊙O1的半径为1，则⊙O10的半径长是 ．
评卷人
得 分
三．解答题（共15小题）
26．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是的中点，过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinE=，求AB：EF的值．
27．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，求点A到CD所在直线的距离．
28．如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠A=22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD=45°．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若AB=2，求OC的长．
29．如图，以AB为直径作⊙O，点C为⊙O上一点，劣弧CB沿BC翻折，交AB于点D，过A作⊙O的切线交DC的延长线于点E．
（1）求证：AC=CD；
（2）已知tanE=，AC=2，求⊙O的半径．
30．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．
31．如图，⊙O的半径OA=2，AB是弦，直线EF经过点B，AC⊥EF于点C，∠BAC=∠OAB．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC=1，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
32．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．
33．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DE=1，BC=2，求劣弧的长l．
34．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，且OE⊥AC于点E，过点C作⊙O的切线，交OE的延长线于点D，交AB的延长线于点F，连接AD
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠F=，⊙O半径为1，求线段AD的长．
35．如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若AC=24，AF=15，求⊙O的半径．
36．如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OC=1，AB=2，求图中阴影部分的面积S；
（3）若=，求sinE的值．
37．如图，P为⊙O直径AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，过点B作CP的垂线BH交⊙O于点D，连结AC，CD．
（1）求证：∠PBH=2∠HDC；
（2）若sin∠P=，BH=2，求BD的长
38．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC=8，tanB=，求⊙O的半径．
39．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，直线DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：BD=CD；
（2）求证：GF是⊙O的切线；
（3）当AB=18，cos∠ABD=时，求sinG的值．
40．已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E，作EF⊥AB于点F，设EF=a．（如图1）
（1）求半圆O的半径（用a的代数式来表示）；
（2）过点E作CB的平行线交CD于点N，当NA与半圆O相切时（如图2），求∠EOC的正切值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．如图，点P为直径BA延长线上一点，PC切⊙O于C，若的度数等于120°，则∠ACP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
【分析】连接OC，由的度数等于120°知∠AOC=60°，根据OC=OA可得△AOC是等边三角形，从而知∠ACO=60°，再根据PC切⊙O于C知∠PCO=90°，据此可得答案．
【解答】解：如图，连接OC，
∵的度数等于120°，
∴∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO=60°，
∵PC切⊙O于C，
∴∠PCO=90°，
∴∠ACP=30°，
故选：C．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质．
2．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上一点，以点E为圆心，r为半径作⊙E．若⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，则半径r的取值范围是（ ）
A．r＞ B．＜r≤4 C．＜r≤4 D．＜r≤
【分析】作EH⊥AB于H，如图，设⊙E的半径为r，利用等腰三角形的性质得BD=CD=3，AD平分∠BAC，再根据勾股定理可计算出AD=4，利用直线与圆的位置关系得到EH=r，DE＜r，接着证明△AHE∽△ADB，利用相似比得到AE=r，则DE=4﹣r，所以4﹣r＜r且r≤4，然后解不等式组即可．
【解答】解：作EH⊥AB于H，如图，设⊙E的半径为r，
∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，
∴BD=CD=3，AD平分∠BAC，
∴AD==4，
∵⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，
∴EH=r，DE＜r，
∵∠HAE=∠DAB，
∴△AHE∽△ADB，
∴=，即=，
∴AE=r，
∴DE=4﹣r，
∴4﹣r＜r且r≤4，
∴＜r≤．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质和直线与圆的位置关系．
3．如图，⊙O上有一个动点A和一个定点B，令线段AB的中点是点P，过点B作⊙O的切线BQ，且BQ=3，现测得的长度是，的度数是120°，若线段PQ的最大值是m，最小值是n，则mn的值是（ ）
A．3 B．2 C．9 D．10
【分析】连接OP，OB，O′点为OB的中点，如图，先利用弧长公式计算出⊙O的半径为2，再利用垂径定理得到OP⊥AB，则∠OPB=90°，于是利用圆周角定理得到点P在以OB为直径的圆上，直线QO′交⊙O′于E、F，如图，根据切线的性质得到OB⊥PQ，则利用勾股定理可计算出O′Q=，利用点与圆的位置关系得到m=+1，n=﹣1，然后计算mn即可．
【解答】解：连接OP，OB，O′点为OB的中点，如图，
设⊙O的半径为r，
根据题意得=π，解得r=2，
∵P点为AB的中点，
∴OP⊥AB，
∴∠OPB=90°，
∴点P在以OB为直径的圆上，
直线QO′交⊙O′于E、F，如图，
∴BQ为切线，
∴OB⊥PQ，
在Rt△O′BQ中，O′Q==，
∴QE=+1，QF=﹣1，
即m=+1，n=﹣1，
∴mn=（+1）（﹣1）=10﹣1=9．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．
4．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，且半径为2，直线y=x与⊙P相交于点A，B，的度数为120°，则点P纵坐标的值是（ ）
A．2 B．2+ C．2 D．2+
【分析】过点P作PH⊥AB于H，PD⊥x轴于D，交直线y=x于E，连结PA，根据切线的性质得PC⊥y轴，则P点的横坐标为2，所以E点坐标为（2，2），易得△EOD和△PEH都是等腰直角三角形，根据垂径定理由PH⊥AB得AH=AB=，根据勾股定理可得PH=1，于是根据等腰直角三角形的性质得PE=PH=，则PD=2+，
【解答】解：过点P作PH⊥AB于H，PD⊥x轴于D，交直线y=x于E，连结PA，
∵⊙P与y轴相切于点C，
∴PC⊥y轴，
∴P点的横坐标为2，
∴E点坐标为（2，2），
∴△EOD和△PEH都是等腰直角三角形，
∵PH⊥AB，
∴AH=AB=，
在△PAH中，PH=，
∴PE=PH=，
∴PD=2+，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理．
5．如图，已知半圆O的直径AB为4，?BCDE的边长DC，DE分别与半圆O切于点F，G，边BC与半圆O交于点H，连接GH，若GH∥AB，则?BCDE的面积为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【分析】连接半径，根据切线的性质得：OG⊥DE，OF⊥CD，由垂径定理得：BM=BH=EG，证明△OBM∽△OEG，得OE=2OB=4，根据平行四边形的面积公式可得结论．
【解答】解：∵四边形DEBC是平行四边形，
∴DE∥BC，
∵GH∥AB，
∴GH∥EB，
∴四边形GEBH是平行四边形，
连接OG、OF，OG交BC于M，
∵CD，DE是⊙O的切线，
∴OG⊥DE，OF⊥CD，
∴OG⊥BC，
∴BM=BH=EG，
∵BM∥EG，
∴△OBM∽△OEG，
∴=，
∴OE=2OB=4，
∴EB=2，
∴S?DEBC=EB?OF=2×2=4；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、圆的性质、切线的性质、勾股定理和三角形相似的性质和判定，本题中作辅助线，得BM=BH=EG是关键．
6．已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（ ）
A．0＜x≤1 B．1≤x＜ C．0＜x≤ D．x＞
【分析】先化成圆和直线AC相切的情况，求此时x的值，即可得出选项．
【解答】解：
当⊙O与直线AC相切时，设切点为D，如图，
∵∠A=45°，∠ODA=90°，OD=1，
∴AD=OD=1，
由勾股定理得：AO=，即此时x=，
所以当半径为1的⊙O与射线AC有公共点，x的取值范围是0＜x，
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
7．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接OP，则下列判断错误的是（ ）
A．∠PAO=∠PBO=90° B．OP平分∠APB
C．PA=PB D．∠AOB=
【分析】根据切线的性质、切线长定理判断即可．
【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，OP平分∠APB，PA=PB，
则A、B、C正确，不符合题意；
∠AOB的度数与的度数相等，D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键．
8．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1=60°，下列结论错误的是（ ）
A．MN=
B．若MN与⊙O相切，则AM=
C．l1和l2的距离为2
D．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切
【分析】连结OA、OB，根据切线的性质和l1∥l2得到AB为⊙O的直径，则l1和l2的距离为2；当MN与⊙O相切，连结OM，ON，当MN在AB左侧时，根据切线长定理得∠AMO=∠AMN=30°，在Rt△AMO中，利用正切的定义可计算出AM=，在Rt△OBN中，由于∠ONB=∠BNM=60°，可计算出BN=，当MN在AB右侧时，AM=，所以AM的长为或；当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，易证得Rt△OAF≌Rt△OBN，则OF=ON，于是可判断MO垂直平分NF，所以OM平分∠NMF，根据角平分线的性质得OE=OA，然后根据切线的判定定理得到MN为⊙O的切线．
【解答】解：连结OA、OB，如图1，
∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，
∴OA⊥l1，OB⊥l2，
∵l1∥l2，
∴点A、O、B共线，
∴AB为⊙O的直径，
∴l1和l2的距离为2；故C正确，
作NH⊥AM于H，如图1，
则MH=AB=2，
∵∠AMN=60°，
∴sin60°=，
∴MN==；故A正确，
当MN与⊙O相切，如图2，连结OM，ON，
当MN在AB左侧时，∠AMO=∠AMN=×60°=30°，
在Rt△AMO中，tan∠AMO=，即AM==，
在Rt△OBN中，∠ONB=∠BNM=60°，tan∠ONB=，即BN==，
当MN在AB右侧时，AM=，
∴AM的长为 或；故B错误，
当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，如图2，
∵OA=OB，
∴Rt△OAF≌Rt△OBN，
∴OF=ON，
∴MO垂直平分NF，
∴OM平分∠NMF，
∴OE=OA，
∴MN为⊙O的切线．故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．
9．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（ ）
A．3 B． C． D．4
【分析】当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．设EF=x，由切割线定理表示出DE，可证明△CDE∽△AOE，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得△ABE面积．
【解答】解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
连接AC，
∵∠AOC=∠ADC=90°，AC=AC，OC=CD，
∴Rt△AOC≌Rt△ADC，
∴AD=AO=2，
连接CD，设EF=x，
∴DE2=EF?OE，
∵CF=1，
∴DE=，
∴△CDE∽△AOE，
∴=，
即=，
解得x=，
S△ABE===．
故选：B．
【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
10．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．
【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：
S=，
又∵r=，
∴a+b=2r+c，
将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．
又∵内切圆的面积是πr2，
∴它们的比是．
故选：B．
【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．
11．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：
①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（ ）
A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①②③④
【分析】连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，求出∠ABC=∠ABD，求出弧AC=弧AD，根据垂径定理求出即可；求出∠P+∠PCD=90°和∠P=∠DCO即可求出PC是圆的切线；采用反证法求出∠B=30°，但已知没有给出此条件，即可判断③；求出CF=AG，推出CQ=OZ，证△OCQ≌△BOZ，推出OQ=BZ，即可判断④．
【解答】解：连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，
∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，
∵∠AOD=2∠ABC，
∴∠ABC=∠ABD，
∴弧AC=弧AD，
∵AB是直径，
∴CD⊥AB，
∴①正确；
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠PCD=90°，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC=∠P，
∴∠PCD+∠OCD=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是切线，∴②正确；
假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，
∴3∠ABC=90°，
∴∠ABC=30°，
已知没有给出∠B=30°，∴③错误；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵EF⊥BC，
∴AC∥EF，
∴弧CF=弧AG，
∴AG=CF，
∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，
∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，
∴OZ=CQ，
∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，
∴△OCQ≌△BOZ，
∴OQ=BZ=BG，
∴④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了切线的判定、全等三角形的性质和判定、圆周角定理、垂径定理等知识点的运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，但有一定的难度．
12．如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．S1＞S2+S3 B．△AOM∽△DMN C．∠MBN=45° D．MN=AM+CN
【分析】（1）如图作MP∥AO交ON于点P，当AM=MD时，求得S1=S2+S3，
（2）利用MN是⊙O的切线，四边形ABCD为正方形，求得△AOM∽△DMN．
（3）作BP⊥MN于点P，利用Rt△MAB≌Rt△MPB和Rt△BPN≌Rt△BCN来证明C，D成立．
【解答】解：（1）如图，作MP∥AO交ON于点P，
∵点O是线段AE上的一个动点，当AM=MD时，
S梯形ONDA=（OA+DN）?AD
S△MNO=S△MOP+S△MPN=MP?AM+MP?MD=MP?AD，
∵（OA+DN）=MP，
∴S△MNO=S梯形ONDA，
∴S1=S2+S3，
∴不一定有S1＞S2+S3，
（2）∵MN是⊙O的切线，
∴OM⊥MN，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°，
∴∠AOM=∠DMN，
在△AMO和△DMN中，
，
∴△AOM∽△DMN．
故B成立；
（3）如图，作BP⊥MN于点P，
∵MN，BC是⊙O的切线，
∴∠PMB=∠MOB，∠CBM=∠MOB，
∵AD∥BC，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠AMB=∠PMB，
在Rt△MAB和Rt△MPB中，
∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）
∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，
在Rt△BPN和Rt△BCN中，
∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）
∴PN=CN，∠PBN=∠CBN，
∴∠MBN=∠MBP+∠PBN，
MN=MP+PN=AM+CN．
故C，D成立，
综上所述，A不一定成立，
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质，关键是作出辅助线利用三角形全等证明．
13．如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC为弦作⊙O，交AC于点D，OD与BC交于点E，若AB与⊙O相切，则下列结论：
①=90°；②DO∥AB； ③CD=AD；④△BDE∽△BCD；⑤．
正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，由圆周角∠ACB等于45°得到圆心角∠BOD为90°，进而得到=90°，故选项①正确，又OD=OB，所以三角形BOD为等腰直角三角形，由∠A和∠ACB的度数，利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数为75°，由AB与圆切线，根据切线的性质得到∠OBA为直角，用∠ABO的度数减去∠ABC的度数求出∠CBO的度数，由根据∠BOE为直角，求出∠OEB为75°，根据内错角相等，得到OD与AB平行，故选项②正确，又三角形OBD为等腰三角形，故∠ODB为45°，又∠ACB为45°，等量代换得到两个角相等，又∠CBD为公共角，根据两对对应角相等的两三角形相似得到三角形BED与三角形BCD相似，由相似得比例，由BD为OD的倍，等量代换即可得到BE等于DE的倍，故选项⑤正确，而选项③不一定成立．
【解答】解：∵圆心角∠BOD与圆周角∠ACB都对，且∠ACB=45°，
∴∠BOD=2∠ACB=90°，
∴=90°，故选项①正确；
∵∠A=60°，∠ACB=45°，
∴∠ABC=180°﹣60°﹣45°=75°，
又∵AB与⊙O相切，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∴∠OBE=∠OBA﹣∠ABC=90°﹣75°=15°，又∠BOD=90°，
∴∠OEB=180°﹣∠BOD﹣∠OBE=180°﹣90°﹣15°=75°，
∴∠ABC=∠OEB，
∴DO∥AB，故选项②正确；
∵D不一定为AC中点，即CD不一定等于AD，
故选项③不一定成立；
∵OB=OD，∠BOD=90°，
∴∠ODB=∠OBD=45°，
∴∠ODB=∠ACB，
又∵∠DBE=∠CBD，
∴△BDE∽△BCD，故选项④正确；
连接OC，∵OD∥AB，
∴∠CDO=∠A=60°，又OC=OD，
∴△CDO为等边三角形，
∴OC=OD=CD，
∵△BDE∽△BCD，
∴，
又∵OBD为等腰直角三角形，
∴BD=OD=CD，
∴EB=DE，即=，选项⑤正确，
综上，正确的结论有4个．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．
14．定义：定点A与⊙O上任意一点之间的距离的最小值称为点A与⊙O之间的距离．现有一矩形ABCD（如图），AB=14cm，BC=12cm，⊙K与矩形的边AB，BC，CD分别切于点E，F，G，则点A与⊙K的距离为（ ）
A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm
【分析】连接EK，AK，根据题目定义知道AH就是点A与⊙K的距离，由切线的性质，可求出EK=6cm，进而求出AE=8cm；由勾股定理求出AK=10cm，减去⊙K的半径即得距离．
【解答】解：连接KE，KF，KG、AK，交⊙K于H点，
∵ABCD是矩形，⊙K与矩形的边AB，BC，CD分别切于点E，F，G，
∴EK=FK=KG，
∴四边形BEKF、四边形FKGC均为正方形，
∴BF=FC=EK=6cm；
∵AB=14cm，
∴AE=8cm，AK=10cm，
∴AH=AK﹣KH=10﹣6=4cm，
∴点A与⊙K的距离为4cm．
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对切线的性质及勾股定理的理解及运用．
15．如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），他们的具体裁法如下：甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为S1；乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为S2；丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰Rt△的直角边上，面积记为S3；丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为S4则下列判断正确的是（ ）
①S1=S2；②S3=S4；③在S1，S2，S3，S4中，S2最小．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】分别计算结果再比较大小．具体如下：若设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，只要把四个图中阴影部分的面积都用等腰直角三角形的腰长表示，就可比较它们的大小．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可求图1中S1=；设图2中正方形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质求得x的值，所以可知S2=；在图3中，设半圆的半径为r，根据切线长定理可求得S3=（﹣）π；在图4中，设三角形的内切圆半径为R，根据切线长定理可求得R=1﹣，所以S4=（）π；根据以上计算的值进行比较即可判断．
【解答】解：图1中，设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，图1中阴影正方形的对角线长为，S1=；
图2中，设正方形的边长为x，则3x=，x=，S2=；
图3中，设半圆的半径为r，则1+r=，r=﹣1，S3=（﹣）π；
图4中，设三角形的内切圆半径为R，则2﹣2R=，解得R=1﹣，S4=（）π；
根据以上计算的值进行比较，S3=S4，在S1，S2，S3，S4中，S2最小，所以正确的是②③．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质及内切圆的性质，切线长定理等内容，范围较广．
二．填空题（共10小题）
16．已知⊙O的半径为7cm，直线l1∥l2，且l1与⊙O相切，圆心O到l2的距高为8cm，则l1与l2的距离为 1或15 cm．
【分析】根据直线与圆的位置关系由l1与⊙O相切得到O点到l1的距离为7cm，而圆心O到l2的距离89cm，根据平行线间的距离的定义得到当圆心O在两平行直线之间：l1与l2之间的距离=8cm+7cm；当圆心O在两平行直线的同侧：l1与l2之间的距离为8cm﹣7cm．
【解答】解：∵l1与⊙O相切，
∴O点到l1的距离为7cm，
当圆心O在两平行直线之间：l1与l2之间的距离=8cm+7cm=15cm；
当圆心O在两平行直线的同侧：l1与l2之间的距离为8cm﹣7cm=1cm，
∴l1到l2的距离为1cm或15cm．
故答案为：1或15．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；当直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了平行线间的距离．
17．一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为 2 ．
【分析】如图，作辅助线，首先证明四边形ODCF为正方形；求出AB的长度；证明AF=AE，BD=BE问题即可解决．
【解答】解：如图，⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F；
其中AC=8，BC=6；连接OD、OF；
则OD⊥BC，OF⊥AC；OD=OF；
∵∠C=90°，
∴四边形ODCF为正方形，
∴CD=CF=R（R为⊙O的半径）；
由勾股定理得：
AB2=AC2+BC2=36+64=100，
∴AB=10；由切线的性质定理的：
AF=AE，BD=BE；
∴CD+CF=AC+BC﹣AB=6+8﹣10=4，
∴R=2，
它的内切圆半径为2．
【点评】该题主要考查了三角形的内切圆的性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、解答．
18．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=16cm，BO=12cm动点C从点A出发，在边AO上以4cm/s的速度向O点运动；与此同时，动点D从点B出发，在边BO上以3cm/s的速度向O点运动．过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心、3cm为半径的圆与直线EF相切．
【分析】当以点C为圆心，3cm为半径的圆与直线EF相切时，即CF=3cm，又因为∠EFC=∠O=90°，所以△EFC∽△DCO，利用对应边的比相等即可求出EF的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值，要注意t的取值范围为0≤t≤4．
【解答】解：当以点C为圆心，3cm为半径的圆与直线EF相切时，
此时，CF=3，
由题意得：AC=4t，BD=3t
∴OC=16﹣4t，OD=12﹣3t，
∵点E是OC的中点，
∴CE=OC=8﹣2t，
∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO，
∴△EFC∽△DOC，
∴=，
∴
∴EF==，
由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2，
∴（8﹣2t）2=3 2+（）2，
解得：t=或t=，
∵0≤t≤4，
∴t=．
则当点C运动了s时，以C点为圆心、3cm为半径的圆与直线EF相切．
故答案为：．
【点评】本题考查圆的切线性质，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等知识，题目综合程度较高，很好地考查学生综合运用知识的能力．
19．如图是一个装有两个大小相同的球形礼品的包装盒示意图，其中两个小球之间有个等腰三角形隔板，已知矩形长为45cm，宽为20cm，两圆与矩形的边以及等腰△ABC的腰都相切，则所需的三角形隔板的底边AB长为 9cm ．
【分析】如图，过C作CE⊥AB于E，根据已知条件得到CE=MN=20cm，CN=ME=22.5cm，根据切线的性质得到DM=MH=HN=NG=10cm，CG=CF=12.5cm，AD=AF，设AD=AF=x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，过C作CE⊥AB于E，
∵矩形长为45cm，宽为20cm，
∴CE=MN=20cm，CN=ME=22.5cm，
∵两圆与矩形的边以及等腰△ABC的腰都相切，
∴DM=MH=HN=NG=10cm，CG=CF=12.5cm，AD=AF，
设AD=AF=x，
∴AE=22.5﹣10﹣x=12.5﹣x，AC=x+12.5，
∵AE2+CE2=AC2，
∴（12.5﹣x）2+202=（12.5+x）2，
∴x=8，
∴AB=2AE=9cm，
故答案为：9cm．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
20．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 2 ．
【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ最小，根据全等三角形的性质得到AP=3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，作AP⊥直线y=﹣x+3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，
∵A的坐标为（﹣1，0），
设直线与x轴，y轴分别交于C，B，
∴B（0，3），C（4，0），
∴OB=3，AC=5，
∴BC==5，
∴AC=BC，
在△APC与△BOC中，，
∴△APC≌△BOC，
∴AP=OB=3，
∴PQ==2．
∵PQ2=PA2﹣1，此时PA最小，所以此时切线长PQ也最小，最小值为2．
【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
21．如图，A是半径为1的⊙O的外一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥AO，连结AC，则图中的阴影部分的面积等于 ．
【分析】△OBC与△BCA是同底等高，则它们的面积相等，因此阴影部分的面积实际是扇形OCB的面积；扇形OCB中，已知了半径的长，关键是圆心角∠COB的度数．在Rt△ABO中，根据OB、OA的长，即可求得∠BOA的度数；由于OA∥BC，也就求得了∠OBC的度数，进而可在△COB中求出∠COB的度数，由此可根据扇形的面积公式求出阴影部分的面积．
【解答】解：OB是半径，AB是切线，
∵OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴sinA==，
∴∠A=30°，
∵OC=OB，BC∥OA，
∴∠OBC=∠BOA=60°，
∴△OBC是等边三角形，
因此S阴影=S扇形CBO==．
故答案为．
【点评】本题利用了平行线的性质，同底等高的三角形面积相等，切线的概念，正弦的概念，扇形的面积公式求解．
22．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 3或4 ．
【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；
【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=x．
在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，
∴x2=42+（8﹣x）2，
∴x=5，
∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
∴PM=PK=CD=2BM，
∴BM=4，PM=8，
在Rt△PBM中，PB==4．
综上所述，BP的长为3或4．
【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
23．如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0cm刻度线与量角器的0°线在同一直线上，且直径DC是直角边BC的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在量角器上所对应的度数是 60° ．
【分析】首先设半圆的圆心为O，连接OE，OA，由题意易得AC是线段OB的垂直平分线，即可求得∠AOC=∠ABC=60°，又由AE是切线，易证得Rt△AOE≌Rt△AOC，继而求得∠AOE的度数，则可求得答案．
【解答】解：设半圆的圆心为O，连接OE，OA，
∵CD=2OC=2BC，
∴OC=BC，
∵∠ACB=90°，即AC⊥OB，
∴OA=BA，
∴∠AOC=∠ABC，
∵∠BAC=30°，
∴∠AOC=∠ABC=60°，
∵AE是切线，
∴∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠ACO=90°，
∵在Rt△AOE和Rt△AOC中，
，
∴Rt△AOE≌Rt△AOC（HL），
∴∠AOE=∠AOC=60°，
∴∠EOD=180°﹣∠AOE﹣∠AOC=60°．
∴点E所对应的量角器上的刻度数是60°．
故答案为：60
【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质．此题难度适中，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
24．如图，点P是⊙O外一点，过点P作圆的两条切线PA、PB，点A、B是切点，Q是⊙O上不同于点A，B的任意一点，已知∠P=44°，则∠AQB的度数为 68°或112° ．
【分析】根据切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和得到∠AOB=180°﹣∠P=136°，然后分类讨论：当点Q在优弧AB上，如图，根据圆周角定理可计算出∠AQB=∠AOB=68°；当点Q弧AB上，如图，根据圆内接四边形的性质得∠AQ′B=180°﹣∠AQB=112°．
【解答】解：∵PA和PB为⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，PB⊥OB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°﹣∠P=180°﹣44°=136°，
当点Q在优弧AB上，如图，∠AQB=∠AOB=68°；
当点Q弧AB上，如图，∠AQ′B=180°﹣∠AQB=180°﹣68°=112°，
综上所述，∠AQB的度数为68°或112°．
故答案为68°或112°
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理．
25．如图，已知∠AOB=30°，在射线OA上取点O1，以O1为圆心的圆与OB相切；在射线O1A上取点O2，以O2为圆心，O2O1为半径的圆与OB相切；在射线O2A上取点O3，以O3为圆心，O3O2为半径的圆与OB相切；…；在射线O9A上取点O10，以O10为圆心，O10O9为半径的圆与OB相切．若⊙O1的半径为1，则⊙O10的半径长是 29 ．
【分析】作O1C、O2D、O3E分别⊥OB，易找出圆半径的规律，即可解题．
【解答】解：作O1C、O2D、O3E分别⊥OB，
∵∠AOB=30°，
∴OO1=2CO1，OO2=2DO2，OO3=2EO3，
∵O1O2=DO2，O2O3=EO3，
∴圆的半径呈2倍递增，
∴⊙On的半径为2n﹣1 CO1，
∵⊙O1的半径为1，
∴⊙O10的半径长=29，
故答案为29．
【点评】本题考查了圆切线的性质，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中找出圆半径的规律是解题的关键．
三．解答题（共15小题）
26．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是的中点，过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinE=，求AB：EF的值．
【分析】（1）先判断出∠CBA为直角，再判断出∠F为直角，进而得出AB与EF平行，再由D为的中点，利用垂径定理的逆定理得到OD垂直于AB，即可得出结论；
（2）根据角E的正弦值，设出OD=OC=OB=OA=5x，则得出CA=10x，CE=13x，进而得出CE=18x，最后判断出△ABC∽△ECF即可得出结论．
【解答】解：（1）直线EF与圆O相切，理由为：
连接OD，如图所示：
∵AC为圆O的直径，
∴∠CBA=90°，
又∵∠F=90°，
∴∠CBA=∠F=90°，
∴AB∥EF，
∴∠AMO=∠EDO，
又∵D为的中点，
∴=，
∴OD⊥AB，
∴∠AMO=90°，
∴∠EDO=90°，
∵EF过半径OD的外端，
则EF为圆O的切线，
（2）在Rt△ODE中，sinE==，
设OD=OC=OA=5x，
∴CA=10x，OE=13x，
∴CE=18x，
∵EF∥AB，
∴△ABC∽△ECF，
∴==
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．
27．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，求点A到CD所在直线的距离．
【分析】（1）已知点C在⊙O上，先连接OC，由已知CA=CD，∠CDA=30°，得∠CAO=30°，∠ACO=30°所以得到∠COD=60，根据三角形内角和定理得∠DCO=90°即能判断直线CD与⊙O的位置关系．
（2）要求点A到CD所在直线的距离，先作作AE⊥CD，垂足为E，由，∠CDA=30°，得AE=AD，在直角三角形OCD中，半径OD=4，所以OD=2OC=8，AD=OA+0D=12．从而求出AE．
【解答】解：（1）∵△ACD是等腰三角形，∠D=30°，
∴∠CAD=∠CDA=30°．
连接OC，
∵AO=CO，
∴△AOC是等腰三角形，
∴∠CAO=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°，
在△COD中，又∵∠CDO=30°，
∴∠DCO=90°
∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为E．
在Rt△COD中，∵∠CDO=30°，
∴OD=2OC=8，
AD=AO+OD=4+8=12
在Rt△ADE中，∵∠EDA=30°，
∴点A到CD边的距离为：AE==6．
【点评】此题考查的知识点是切线的判定与性质，解题的关键是运用直角三角形的性质及30°角所对直角边的性质，三角形内角和定理．
28．如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠A=22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD=45°．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若AB=2，求OC的长．
【分析】（1）连接DO，由三角形的外角与内角的关系易得∠DOC=∠C=45°，故有∠ODC=90°，即CD是圆的切线．
（2）由1知，CD=OD=AB，在直角△COD中，利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：连接DO，
∵AO=DO，
∴∠DAO=∠ADO=22.5°．
∴∠DOC=45°．
又∵∠ACD=2∠DAB，
∴∠ACD=∠DOC=45°．
∴∠ODC=90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：连接DB，
∵直径AB=2，△OCD为等腰直角三角形，
∴CD=OD=，OC==2．
【点评】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
29．如图，以AB为直径作⊙O，点C为⊙O上一点，劣弧CB沿BC翻折，交AB于点D，过A作⊙O的切线交DC的延长线于点E．
（1）求证：AC=CD；
（2）已知tanE=，AC=2，求⊙O的半径．
【分析】（1）由翻折的性质可得到CD=CD′，∠DBC=∠D′BC，然后依据相等的圆周角所对的弦相等可得到AC=CD′，最后通过等量代换可使问题得证；
（2）过点C作CF⊥AB，垂足为F，先证明∠B=∠FCD=∠E，然后利用锐角三角函数的定义可求得DF、CF、FB的长，然后依据等腰三角形三线合一的性质可证明AF=FD，从而可得到AB的长，然后可求得⊙O的半径的长．
【解答】解：（1）如图所示：
∵点D与点D′关于CB对称，
∴CD=CD′，∠DBC=∠D′BC，
∴AC=CD′．
∴AC=CD．
（2）如图所示：过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵AE为⊙O的切线，
∴∠BAE=90°，
∴∠E+∠ADC=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠B+∠CAB=90°．
∵AC=CD，
∴∠CAB=∠ADC，
∴∠E=∠B．
∵AE⊥AB，CF⊥AB，
∴CF∥AE，
∴∠FCD=∠E．
∵tanE=，
∴tanB=tan∠FCD=．
∴DF=CD=，CFCD=，FB=2CF=．
∵AC=CD，CF⊥CD，
∴AF=DF=．
∴AB=AF+BF=2．
∴⊙O的半径为．
【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义等知识点，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
30．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．
【分析】（1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，通过等量代换得到结果．
（2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式，列方程可得结果．
【解答】（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是⊙0的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE丄AB，
∴OB∥CE，
∴∠1=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2
∴∠2=∠3，
∴CB平分∠ACE；
（2）如图2，连接BD，
∵CE丄AB，
∴∠E=90°，
∴BC===5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠E=∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，
∴，
∴BC2=CD?CE，
∴CD==，
∴OC==，
∴⊙O的半径=．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
31．如图，⊙O的半径OA=2，AB是弦，直线EF经过点B，AC⊥EF于点C，∠BAC=∠OAB．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC=1，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）由OA=OB得到∠OAB=∠OBA，加上∠BAC=∠OAB，则∠BAC=∠OBA，于是可判断OB∥AC，由于AC⊥EF，所以OB⊥EF，则可根据切线的判定定理得到EF是⊙O的切线；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理得AD=AB，再证明Rt△AOD∽Rt△ABC，利用相似比可计算出AB=2；
（3）由AB=OB=OC=2可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，则∠ABC=30°，则可计算出BC=AC=，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S四边形AOBC﹣S扇形OAB=S△AOB+S△ABC﹣S扇形OAB进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠BAC=∠OAB，
∴∠BAC=∠OBA，
∴OB∥AC，
∵AC⊥EF，
∴OB⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OD⊥AB于点D，则AD=AB，
∵∠OAD=∠BAC，
∴Rt△AOD∽Rt△ABC，
=，即=，
∴AB=2；
（3）解：∵AB=OB=OC=2，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OB⊥BC，
∴∠ABC=30°，
∴BC=AC=，
∴S阴影部分=S四边形AOBC﹣S扇形OAB
=S△AOB+S△ABC﹣S扇形OAB
=×22+×1×﹣
=﹣π．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质和扇形面积的计算．
32．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．
【分析】（1）连接OE，证明∠OEA=90°即可；
（2）连接OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，利用垂径定理和勾股定理计算出OH的长，进而求出CE的长．
【解答】（1）证明：连接OE．
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA=∠C，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEA=90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，
由题意可知四边形OECH为矩形，
∴OH=CE，
∵BF=6，
∴BH=3，
在Rt△BHO中，OB=5，
∴OH==4，
∴CE=4．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性．
33．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DE=1，BC=2，求劣弧的长l．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠DAC，求得∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF=∠AEC=90°，于是得到结论；
（2）连接OD，DC，根据角平分线的定义得到∠DAC=∠OAC，根据三角函数的定义得到∠ECD=30°，得到∠OCD=60°，得到∠BOC=∠COD=60°，OC=2，于是得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∵∠AEC=90°，∴∠OCF=∠AEC=90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接OD，DC，
∵∠DAC=DOC，∠OAC=BOC，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DOC=∠BOC，
∴CD=CB=2，∵ED=1，
∴sin∠ECD=，
∴∠ECD=30°，
∴∠OCD=60°，
∵OC=OD，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠BOC=∠COD=60°，OC=2，
∴l==π．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
34．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，且OE⊥AC于点E，过点C作⊙O的切线，交OE的延长线于点D，交AB的延长线于点F，连接AD
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠F=，⊙O半径为1，求线段AD的长．
【分析】（1）连接OC．根据垂径定理得到AE=CE，根据全等三角形和切线的性质得到∠OCD=∠OAD=90°，于是得到结论；
（2）设AD=x，根据三角函数的定义得到FC=2，在Rt△ADF中，同理可得，FO=2x﹣1，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OC．
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴DC=DA，
在△OCD与△OAD中，，
∴△OCD≌△OAD，
∵FD切⊙O于D，
∴∠OCD=∠OAD=90°，
∴AD是⊙O的切线；
（2）设AD=x，
∵tan∠F=，OC=1，
∴在Rt△OCF中，=，
∴FC=2，
在Rt△ADF中，同理可得，FO=2x﹣1，
∴在Rt△OCF中，
FO2=FC2+CO2，
∴（2x﹣1）2=5，解得x1=，x2=（舍去），
即 AD=．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
35．如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若AC=24，AF=15，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，先证∠OCF=90°，再证明△OAF≌△OCF，得出∠OAF=∠OCF=90°即可；
（2）先求出AE、EF，再证明△OAE∽△AFE，得出比例式，即可求出半径．
【解答】解：（1）AF与⊙O相切；理由如下：连接OC；如图所示：
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCF=90°，
∵OF∥BC，
∴∠B=∠AOF，∠OCB=∠COF，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∴∠AOF=∠COF，
在△OAF和△OCF中，
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF=90°，
∴AF与⊙O相切；
（2）∵△OAF≌△OCF，
∴∠OAE=∠COE，
∴OE⊥AC，AE=AC=12，
∴EF=，
∵∠OAF=90°，
∴△OAE∽△AFE，
∴，即，
∴OA=20，即⊙O的半径为20．
【点评】本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键．
36．如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OC=1，AB=2，求图中阴影部分的面积S；
（3）若=，求sinE的值．
【分析】（1）连接OA，证明△PBO≌△PAO，则∠PBO=∠PAO=90°，于是证明PB为⊙O的切线；
（2）由S阴影=S△OAE﹣S扇形OAD，分别求出S△OAE、S扇形OAD即可；
（3）连接AD，由△ADE∽△POE，求出，由=，得到EP=2PA，因为PA=PB，所以EP=2PB，进而求出sinE．
【解答】解：（1）连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
∴△PBO≌△PAO，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB为⊙O的切线．
（2）∵OP⊥AB，
∴BC=AC=，
在Rt△OBC中，由tan∠BOC=知，∠BOC=60°，
则∠BOA=120°，OB=2，
∴Rt△OAE中，∠AOE=60°，OA=2
∴AE=2
S阴影=S△OAE﹣S扇形OAD=×2×2﹣×π×22=2﹣π
（3）连接AD，
∵BD是直径，∠BAD=90°，
由（1）知∠BCO=90°，
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴，
∵AD∥OC，
∴AD=2OC，
∵=，
∴OP=4OC，
设OC=t，则AD=2t，OP=4t
∴==，
∴EA=AP，
∴EP=2PA，
∵PA=PB，
∴EP=2PB，
∴sinE==．
【点评】本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
37．如图，P为⊙O直径AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，过点B作CP的垂线BH交⊙O于点D，连结AC，CD．
（1）求证：∠PBH=2∠HDC；
（2）若sin∠P=，BH=2，求BD的长
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥PC，则可判断OC∥DH得到∠PBH=∠POC，加上∠POC=2∠A，∠A=∠D，所以∠PBH=2∠D；
（2）在Rt△PBH中利用三角函数的定义和勾股定理计算出PB=3，PH=，再在Rt△POC中计算出OC=6，PC=3，则CH=2，连接BC，如图，证明△HCB∽△HDC，
然后利用相似比得到=，从而利用比例的性质可求出BD．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∵DH⊥PC，
∴OC∥DH，
∴∠PBH=∠POC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠1，
∴∠POC=2∠A，
而∠A=∠D，
∴∠PBH=2∠D；
（2）解：在Rt△PBH中，∵sin∠P==，
∴PB=×2=3，PH==，
在Rt△POC中，sinP==，即=，
∴OC=6，
∴PC==3，
∴CH=2，
连接BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
即∠1+∠OCB=90°，
∵∠2+∠OCB=90°，
∴∠1=∠2，
而∠1=∠A=∠D，
∴∠2=∠D，
∴△HCB∽△HDC，
∴=，即=，
∴BD=8．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
38．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC=8，tanB=，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；
（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠3=∠B，
∵∠B=∠1，
∴∠1=∠3，
在Rt△ACD中，∠1+∠2=90°，
∴∠4=180°﹣（∠2+∠3）=90°，
∴OD⊥AD，
则AD为圆O的切线；
（2）设圆O的半径为r，
在Rt△ABC中，AC=BCtanB=4，
根据勾股定理得：AB==4，
∴OA=4﹣r，
在Rt△ACD中，tan∠1=tanB=，
∴CD=ACtan∠1=2，
根据勾股定理得：AD2=AC2+CD2=16+4=20，
在Rt△ADO中，OA2=OD2+AD2，即（4﹣r）2=r2+20，
解得：r=．
【点评】此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
39．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，直线DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：BD=CD；
（2）求证：GF是⊙O的切线；
（3）当AB=18，cos∠ABD=时，求sinG的值．
【分析】（1）根据圆周角定理得出AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得出即可；
（2）连接OD，由（1）知BD=CD，再根据OA=OB知OD∥AC，从而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得证；
（3）过点D作DH⊥AB于H．利用锐角三角函数的定义求得BH=2，OH=7，则sin∠ODH=，然后结合已知条件推知∠G=∠ODH，从而得到sinG的值．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD；
（2）证明：连接OD，如图，
由（1）知，BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
又∵DG⊥AC，
∴OD⊥FG，
∴GF是⊙O的切线；
（3）过点D作DH⊥AB于H，如图，
∵∠ADB=90°，AB=18，cos∠ABD==，
∴BD=6，
又∵DH⊥AB，
∴cos∠HBD==，
∴BH=2，
∴OH=7，
∴sin∠ODH=，
∵OD⊥FG，DH⊥AB，
∴∠ODH+∠GDH=90°，∠G+∠GDH=90°，
∴∠G=∠ODH，
∴sinG=sin∠ODH=．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．
40．已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E，作EF⊥AB于点F，设EF=a．（如图1）
（1）求半圆O的半径（用a的代数式来表示）；
（2）过点E作CB的平行线交CD于点N，当NA与半圆O相切时（如图2），求∠EOC的正切值．
【分析】（1）如图1中，连接OD、OE，延长OE交CD于K，作EG⊥CD于G，则EG∥OD．只要证明GE是△OKD的中位线即可解决问题；
（2）如图2中，延长OE交CD于K，设OF=x，EF=y，则OA=2y，由Rt△CEF～Rt△EOF，可得EF2=CF?OF，即y2=x（4y﹣3x），解得=3或1，由此即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，连接OD、OE，延长OE交CD于K，作EG⊥CD于G，则EG∥OD．
∵CE平分∠DCB，
∴∠OCE=∠KCE，
∵EF⊥AB，
∴EG=EF=a，
∵OC是半圆M的直径，E为半圆M上一点，
∴∠CEO=∠CEK=90°，
∵OE=OE，
∴△COE≌△CKE，
∴OE=KE，
∵EG∥OD，
∴OD=OA=2EG=2EF=2a，
即⊙O的半径为2a．
（2）如图2中，延长OE交CD于K，设OF=x，EF=y，则OA=2y，
∵NE∥CB，EF⊥CB，NA切⊙O于A，
∴四边形AFEN是矩形，
∴NE=AF=OA﹣OF=2y﹣x，同（1）证法可得E是OK中点，
∴N是CK的中点，
∴CO=2NE=2（2y﹣x），
∴CF=CO﹣OF=4y﹣3x，
∵EF⊥AB，CE⊥EO，
∴Rt△CEF～Rt△EOF，
∴EF2=CF?OF，即y2=x（4y﹣3x），解得=3或1，
当=3时，tan∠EOC===3，
当=1时，点C与点A重合，不符合题意，故舍弃，
∴tan∠EOC=3．
【点评】本题考查切线的性质、垂径定理、三角形的中位线定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
期末复习第二章直线与圆的位置关系好题精选
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得 分
一．选择题（共15小题）
1．如图，点P为直径BA延长线上一点，PC切⊙O于C，若的度数等于120°，则∠ACP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
2．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上一点，以点E为圆心，r为半径作⊙E．若⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，则半径r的取值范围是（ ）
A．r＞ B．＜r≤4 C．＜r≤4 D．＜r≤
3．如图，⊙O上有一个动点A和一个定点B，令线段AB的中点是点P，过点B作⊙O的切线BQ，且BQ=3，现测得的长度是，的度数是120°，若线段PQ的最大值是m，最小值是n，则mn的值是（ ）
A．3 B．2 C．9 D．10
4．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，且半径为2，直线y=x与⊙P相交于点A，B，的度数为120°，则点P纵坐标的值是（ ）
A．2 B．2+ C．2 D．2+
5．如图，已知半圆O的直径AB为4，?BCDE的边长DC，DE分别与半圆O切于点F，G，边BC与半圆O交于点H，连接GH，若GH∥AB，则?BCDE的面积为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
6．已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（ ）
A．0＜x≤1 B．1≤x＜ C．0＜x≤ D．x＞
7．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接OP，则下列判断错误的是（ ）
A．∠PAO=∠PBO=90° B．OP平分∠APB
C．PA=PB D．∠AOB=
8．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1=60°，下列结论错误的是（ ）
A．MN=
B．若MN与⊙O相切，则AM=
C．l1和l2的距离为2
D．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切
9．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（ ）
A．3 B． C． D．4
10．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A． B． C． D．
11．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：
①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（ ）
A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①②③④
12．如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．S1＞S2+S3 B．△AOM∽△DMN C．∠MBN=45° D．MN=AM+CN
13．如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC为弦作⊙O，交AC于点D，OD与BC交于点E，若AB与⊙O相切，则下列结论：
①=90°；②DO∥AB； ③CD=AD；④△BDE∽△BCD；⑤．
正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
14．定义：定点A与⊙O上任意一点之间的距离的最小值称为点A与⊙O之间的距离．现有一矩形ABCD（如图），AB=14cm，BC=12cm，⊙K与矩形的边AB，BC，CD分别切于点E，F，G，则点A与⊙K的距离为（ ）
A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm
15．如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），他们的具体裁法如下：甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为S1；乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为S2；丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰Rt△的直角边上，面积记为S3；丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为S4则下列判断正确的是（ ）
①S1=S2；②S3=S4；③在S1，S2，S3，S4中，S2最小．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
第Ⅱ卷（非选择题）
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评卷人
得 分
二．填空题（共10小题）
16．已知⊙O的半径为7cm，直线l1∥l2，且l1与⊙O相切，圆心O到l2的距高为8cm，则l1与l2的距离为 cm．
17．一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为 ．
18．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=16cm，BO=12cm动点C从点A出发，在边AO上以4cm/s的速度向O点运动；与此同时，动点D从点B出发，在边BO上以3cm/s的速度向O点运动．过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心、3cm为半径的圆与直线EF相切．
19．如图是一个装有两个大小相同的球形礼品的包装盒示意图，其中两个小球之间有个等腰三角形隔板，已知矩形长为45cm，宽为20cm，两圆与矩形的边以及等腰△ABC的腰都相切，则所需的三角形隔板的底边AB长为 ．
20．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ．
21．如图，A是半径为1的⊙O的外一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥AO，连结AC，则图中的阴影部分的面积等于 ．
22．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 ．
23．如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0cm刻度线与量角器的0°线在同一直线上，且直径DC是直角边BC的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在量角器上所对应的度数是 ．
24．如图，点P是⊙O外一点，过点P作圆的两条切线PA、PB，点A、B是切点，Q是⊙O上不同于点A，B的任意一点，已知∠P=44°，则∠AQB的度数为 ．
25．如图，已知∠AOB=30°，在射线OA上取点O1，以O1为圆心的圆与OB相切；在射线O1A上取点O2，以O2为圆心，O2O1为半径的圆与OB相切；在射线O2A上取点O3，以O3为圆心，O3O2为半径的圆与OB相切；…；在射线O9A上取点O10，以O10为圆心，O10O9为半径的圆与OB相切．若⊙O1的半径为1，则⊙O10的半径长是 ．
评卷人
得 分
三．解答题（共15小题）
26．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是的中点，过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinE=，求AB：EF的值．
27．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，求点A到CD所在直线的距离．
28．如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠A=22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD=45°．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若AB=2，求OC的长．
29．如图，以AB为直径作⊙O，点C为⊙O上一点，劣弧CB沿BC翻折，交AB于点D，过A作⊙O的切线交DC的延长线于点E．
（1）求证：AC=CD；
（2）已知tanE=，AC=2，求⊙O的半径．
30．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．
31．如图，⊙O的半径OA=2，AB是弦，直线EF经过点B，AC⊥EF于点C，∠BAC=∠OAB．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC=1，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
32．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．
33．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DE=1，BC=2，求劣弧的长l．
34．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，且OE⊥AC于点E，过点C作⊙O的切线，交OE的延长线于点D，交AB的延长线于点F，连接AD
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠F=，⊙O半径为1，求线段AD的长．
35．如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若AC=24，AF=15，求⊙O的半径．
36．如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OC=1，AB=2，求图中阴影部分的面积S；
（3）若=，求sinE的值．
37．如图，P为⊙O直径AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，过点B作CP的垂线BH交⊙O于点D，连结AC，CD．
（1）求证：∠PBH=2∠HDC；
（2）若sin∠P=，BH=2，求BD的长
38．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC=8，tanB=，求⊙O的半径．
39．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，直线DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：BD=CD；
（2）求证：GF是⊙O的切线；
（3）当AB=18，cos∠ABD=时，求sinG的值．
40．已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E，作EF⊥AB于点F，设EF=a．（如图1）
（1）求半圆O的半径（用a的代数式来表示）；
（2）过点E作CB的平行线交CD于点N，当NA与半圆O相切时（如图2），求∠EOC的正切值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．如图，点P为直径BA延长线上一点，PC切⊙O于C，若的度数等于120°，则∠ACP的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
【分析】连接OC，由的度数等于120°知∠AOC=60°，根据OC=OA可得△AOC是等边三角形，从而知∠ACO=60°，再根据PC切⊙O于C知∠PCO=90°，据此可得答案．
【解答】解：如图，连接OC，
∵的度数等于120°，
∴∠BOC=120°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO=60°，
∵PC切⊙O于C，
∴∠PCO=90°，
∴∠ACP=30°，
故选：C．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质．
2．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，点E是线段AD上一点，以点E为圆心，r为半径作⊙E．若⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，则半径r的取值范围是（ ）
A．r＞ B．＜r≤4 C．＜r≤4 D．＜r≤
【分析】作EH⊥AB于H，如图，设⊙E的半径为r，利用等腰三角形的性质得BD=CD=3，AD平分∠BAC，再根据勾股定理可计算出AD=4，利用直线与圆的位置关系得到EH=r，DE＜r，接着证明△AHE∽△ADB，利用相似比得到AE=r，则DE=4﹣r，所以4﹣r＜r且r≤4，然后解不等式组即可．
【解答】解：作EH⊥AB于H，如图，设⊙E的半径为r，
∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，
∴BD=CD=3，AD平分∠BAC，
∴AD==4，
∵⊙E与边AB，AC相切，而与边BC相交，
∴EH=r，DE＜r，
∵∠HAE=∠DAB，
∴△AHE∽△ADB，
∴=，即=，
∴AE=r，
∴DE=4﹣r，
∴4﹣r＜r且r≤4，
∴＜r≤．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质和直线与圆的位置关系．
3．如图，⊙O上有一个动点A和一个定点B，令线段AB的中点是点P，过点B作⊙O的切线BQ，且BQ=3，现测得的长度是，的度数是120°，若线段PQ的最大值是m，最小值是n，则mn的值是（ ）
A．3 B．2 C．9 D．10
【分析】连接OP，OB，O′点为OB的中点，如图，先利用弧长公式计算出⊙O的半径为2，再利用垂径定理得到OP⊥AB，则∠OPB=90°，于是利用圆周角定理得到点P在以OB为直径的圆上，直线QO′交⊙O′于E、F，如图，根据切线的性质得到OB⊥PQ，则利用勾股定理可计算出O′Q=，利用点与圆的位置关系得到m=+1，n=﹣1，然后计算mn即可．
【解答】解：连接OP，OB，O′点为OB的中点，如图，
设⊙O的半径为r，
根据题意得=π，解得r=2，
∵P点为AB的中点，
∴OP⊥AB，
∴∠OPB=90°，
∴点P在以OB为直径的圆上，
直线QO′交⊙O′于E、F，如图，
∴BQ为切线，
∴OB⊥PQ，
在Rt△O′BQ中，O′Q==，
∴QE=+1，QF=﹣1，
即m=+1，n=﹣1，
∴mn=（+1）（﹣1）=10﹣1=9．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．
4．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，且半径为2，直线y=x与⊙P相交于点A，B，的度数为120°，则点P纵坐标的值是（ ）
A．2 B．2+ C．2 D．2+
【分析】过点P作PH⊥AB于H，PD⊥x轴于D，交直线y=x于E，连结PA，根据切线的性质得PC⊥y轴，则P点的横坐标为2，所以E点坐标为（2，2），易得△EOD和△PEH都是等腰直角三角形，根据垂径定理由PH⊥AB得AH=AB=，根据勾股定理可得PH=1，于是根据等腰直角三角形的性质得PE=PH=，则PD=2+，
【解答】解：过点P作PH⊥AB于H，PD⊥x轴于D，交直线y=x于E，连结PA，
∵⊙P与y轴相切于点C，
∴PC⊥y轴，
∴P点的横坐标为2，
∴E点坐标为（2，2），
∴△EOD和△PEH都是等腰直角三角形，
∵PH⊥AB，
∴AH=AB=，
在△PAH中，PH=，
∴PE=PH=，
∴PD=2+，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理．
5．如图，已知半圆O的直径AB为4，?BCDE的边长DC，DE分别与半圆O切于点F，G，边BC与半圆O交于点H，连接GH，若GH∥AB，则?BCDE的面积为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【分析】连接半径，根据切线的性质得：OG⊥DE，OF⊥CD，由垂径定理得：BM=BH=EG，证明△OBM∽△OEG，得OE=2OB=4，根据平行四边形的面积公式可得结论．
【解答】解：∵四边形DEBC是平行四边形，
∴DE∥BC，
∵GH∥AB，
∴GH∥EB，
∴四边形GEBH是平行四边形，
连接OG、OF，OG交BC于M，
∵CD，DE是⊙O的切线，
∴OG⊥DE，OF⊥CD，
∴OG⊥BC，
∴BM=BH=EG，
∵BM∥EG，
∴△OBM∽△OEG，
∴=，
∴OE=2OB=4，
∴EB=2，
∴S?DEBC=EB?OF=2×2=4；
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、圆的性质、切线的性质、勾股定理和三角形相似的性质和判定，本题中作辅助线，得BM=BH=EG是关键．
6．已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的⊙O与射线AC有公共点，那么x的取值范围是（ ）
A．0＜x≤1 B．1≤x＜ C．0＜x≤ D．x＞
【分析】先化成圆和直线AC相切的情况，求此时x的值，即可得出选项．
【解答】解：
当⊙O与直线AC相切时，设切点为D，如图，
∵∠A=45°，∠ODA=90°，OD=1，
∴AD=OD=1，
由勾股定理得：AO=，即此时x=，
所以当半径为1的⊙O与射线AC有公共点，x的取值范围是0＜x，
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
7．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接OP，则下列判断错误的是（ ）
A．∠PAO=∠PBO=90° B．OP平分∠APB
C．PA=PB D．∠AOB=
【分析】根据切线的性质、切线长定理判断即可．
【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，OP平分∠APB，PA=PB，
则A、B、C正确，不符合题意；
∠AOB的度数与的度数相等，D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键．
8．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1=60°，下列结论错误的是（ ）
A．MN=
B．若MN与⊙O相切，则AM=
C．l1和l2的距离为2
D．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切
【分析】连结OA、OB，根据切线的性质和l1∥l2得到AB为⊙O的直径，则l1和l2的距离为2；当MN与⊙O相切，连结OM，ON，当MN在AB左侧时，根据切线长定理得∠AMO=∠AMN=30°，在Rt△AMO中，利用正切的定义可计算出AM=，在Rt△OBN中，由于∠ONB=∠BNM=60°，可计算出BN=，当MN在AB右侧时，AM=，所以AM的长为或；当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，易证得Rt△OAF≌Rt△OBN，则OF=ON，于是可判断MO垂直平分NF，所以OM平分∠NMF，根据角平分线的性质得OE=OA，然后根据切线的判定定理得到MN为⊙O的切线．
【解答】解：连结OA、OB，如图1，
∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，
∴OA⊥l1，OB⊥l2，
∵l1∥l2，
∴点A、O、B共线，
∴AB为⊙O的直径，
∴l1和l2的距离为2；故C正确，
作NH⊥AM于H，如图1，
则MH=AB=2，
∵∠AMN=60°，
∴sin60°=，
∴MN==；故A正确，
当MN与⊙O相切，如图2，连结OM，ON，
当MN在AB左侧时，∠AMO=∠AMN=×60°=30°，
在Rt△AMO中，tan∠AMO=，即AM==，
在Rt△OBN中，∠ONB=∠BNM=60°，tan∠ONB=，即BN==，
当MN在AB右侧时，AM=，
∴AM的长为 或；故B错误，
当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，如图2，
∵OA=OB，
∴Rt△OAF≌Rt△OBN，
∴OF=ON，
∴MO垂直平分NF，
∴OM平分∠NMF，
∴OE=OA，
∴MN为⊙O的切线．故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．
9．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（ ）
A．3 B． C． D．4
【分析】当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．设EF=x，由切割线定理表示出DE，可证明△CDE∽△AOE，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得△ABE面积．
【解答】解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
连接AC，
∵∠AOC=∠ADC=90°，AC=AC，OC=CD，
∴Rt△AOC≌Rt△ADC，
∴AD=AO=2，
连接CD，设EF=x，
∴DE2=EF?OE，
∵CF=1，
∴DE=，
∴△CDE∽△AOE，
∴=，
即=，
解得x=，
S△ABE===．
故选：B．
【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
10．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．
【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：
S=，
又∵r=，
∴a+b=2r+c，
将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．
又∵内切圆的面积是πr2，
∴它们的比是．
故选：B．
【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．
11．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：
①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（ ）
A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①②③④
【分析】连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，求出∠ABC=∠ABD，求出弧AC=弧AD，根据垂径定理求出即可；求出∠P+∠PCD=90°和∠P=∠DCO即可求出PC是圆的切线；采用反证法求出∠B=30°，但已知没有给出此条件，即可判断③；求出CF=AG，推出CQ=OZ，证△OCQ≌△BOZ，推出OQ=BZ，即可判断④．
【解答】解：连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，
∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，
∵∠AOD=2∠ABC，
∴∠ABC=∠ABD，
∴弧AC=弧AD，
∵AB是直径，
∴CD⊥AB，
∴①正确；
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠PCD=90°，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC=∠P，
∴∠PCD+∠OCD=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是切线，∴②正确；
假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，
∴3∠ABC=90°，
∴∠ABC=30°，
已知没有给出∠B=30°，∴③错误；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵EF⊥BC，
∴AC∥EF，
∴弧CF=弧AG，
∴AG=CF，
∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，
∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，
∴OZ=CQ，
∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，
∴△OCQ≌△BOZ，
∴OQ=BZ=BG，
∴④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了切线的判定、全等三角形的性质和判定、圆周角定理、垂径定理等知识点的运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，但有一定的难度．
12．如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．S1＞S2+S3 B．△AOM∽△DMN C．∠MBN=45° D．MN=AM+CN
【分析】（1）如图作MP∥AO交ON于点P，当AM=MD时，求得S1=S2+S3，
（2）利用MN是⊙O的切线，四边形ABCD为正方形，求得△AOM∽△DMN．
（3）作BP⊥MN于点P，利用Rt△MAB≌Rt△MPB和Rt△BPN≌Rt△BCN来证明C，D成立．
【解答】解：（1）如图，作MP∥AO交ON于点P，
∵点O是线段AE上的一个动点，当AM=MD时，
S梯形ONDA=（OA+DN）?AD
S△MNO=S△MOP+S△MPN=MP?AM+MP?MD=MP?AD，
∵（OA+DN）=MP，
∴S△MNO=S梯形ONDA，
∴S1=S2+S3，
∴不一定有S1＞S2+S3，
（2）∵MN是⊙O的切线，
∴OM⊥MN，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°，
∴∠AOM=∠DMN，
在△AMO和△DMN中，
，
∴△AOM∽△DMN．
故B成立；
（3）如图，作BP⊥MN于点P，
∵MN，BC是⊙O的切线，
∴∠PMB=∠MOB，∠CBM=∠MOB，
∵AD∥BC，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠AMB=∠PMB，
在Rt△MAB和Rt△MPB中，
∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）
∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，
在Rt△BPN和Rt△BCN中，
∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）
∴PN=CN，∠PBN=∠CBN，
∴∠MBN=∠MBP+∠PBN，
MN=MP+PN=AM+CN．
故C，D成立，
综上所述，A不一定成立，
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质，关键是作出辅助线利用三角形全等证明．
13．如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，∠ACB=45°，以BC为弦作⊙O，交AC于点D，OD与BC交于点E，若AB与⊙O相切，则下列结论：
①=90°；②DO∥AB； ③CD=AD；④△BDE∽△BCD；⑤．
正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，由圆周角∠ACB等于45°得到圆心角∠BOD为90°，进而得到=90°，故选项①正确，又OD=OB，所以三角形BOD为等腰直角三角形，由∠A和∠ACB的度数，利用三角形的内角和定理求出∠ABC的度数为75°，由AB与圆切线，根据切线的性质得到∠OBA为直角，用∠ABO的度数减去∠ABC的度数求出∠CBO的度数，由根据∠BOE为直角，求出∠OEB为75°，根据内错角相等，得到OD与AB平行，故选项②正确，又三角形OBD为等腰三角形，故∠ODB为45°，又∠ACB为45°，等量代换得到两个角相等，又∠CBD为公共角，根据两对对应角相等的两三角形相似得到三角形BED与三角形BCD相似，由相似得比例，由BD为OD的倍，等量代换即可得到BE等于DE的倍，故选项⑤正确，而选项③不一定成立．
【解答】解：∵圆心角∠BOD与圆周角∠ACB都对，且∠ACB=45°，
∴∠BOD=2∠ACB=90°，
∴=90°，故选项①正确；
∵∠A=60°，∠ACB=45°，
∴∠ABC=180°﹣60°﹣45°=75°，
又∵AB与⊙O相切，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∴∠OBE=∠OBA﹣∠ABC=90°﹣75°=15°，又∠BOD=90°，
∴∠OEB=180°﹣∠BOD﹣∠OBE=180°﹣90°﹣15°=75°，
∴∠ABC=∠OEB，
∴DO∥AB，故选项②正确；
∵D不一定为AC中点，即CD不一定等于AD，
故选项③不一定成立；
∵OB=OD，∠BOD=90°，
∴∠ODB=∠OBD=45°，
∴∠ODB=∠ACB，
又∵∠DBE=∠CBD，
∴△BDE∽△BCD，故选项④正确；
连接OC，∵OD∥AB，
∴∠CDO=∠A=60°，又OC=OD，
∴△CDO为等边三角形，
∴OC=OD=CD，
∵△BDE∽△BCD，
∴，
又∵OBD为等腰直角三角形，
∴BD=OD=CD，
∴EB=DE，即=，选项⑤正确，
综上，正确的结论有4个．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．
14．定义：定点A与⊙O上任意一点之间的距离的最小值称为点A与⊙O之间的距离．现有一矩形ABCD（如图），AB=14cm，BC=12cm，⊙K与矩形的边AB，BC，CD分别切于点E，F，G，则点A与⊙K的距离为（ ）
A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm
【分析】连接EK，AK，根据题目定义知道AH就是点A与⊙K的距离，由切线的性质，可求出EK=6cm，进而求出AE=8cm；由勾股定理求出AK=10cm，减去⊙K的半径即得距离．
【解答】解：连接KE，KF，KG、AK，交⊙K于H点，
∵ABCD是矩形，⊙K与矩形的边AB，BC，CD分别切于点E，F，G，
∴EK=FK=KG，
∴四边形BEKF、四边形FKGC均为正方形，
∴BF=FC=EK=6cm；
∵AB=14cm，
∴AE=8cm，AK=10cm，
∴AH=AK﹣KH=10﹣6=4cm，
∴点A与⊙K的距离为4cm．
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对切线的性质及勾股定理的理解及运用．
15．如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），他们的具体裁法如下：甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为S1；乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为S2；丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰Rt△的直角边上，面积记为S3；丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为S4则下列判断正确的是（ ）
①S1=S2；②S3=S4；③在S1，S2，S3，S4中，S2最小．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】分别计算结果再比较大小．具体如下：若设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，只要把四个图中阴影部分的面积都用等腰直角三角形的腰长表示，就可比较它们的大小．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可求图1中S1=；设图2中正方形的边长为x，根据等腰直角三角形的性质求得x的值，所以可知S2=；在图3中，设半圆的半径为r，根据切线长定理可求得S3=（﹣）π；在图4中，设三角形的内切圆半径为R，根据切线长定理可求得R=1﹣，所以S4=（）π；根据以上计算的值进行比较即可判断．
【解答】解：图1中，设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，图1中阴影正方形的对角线长为，S1=；
图2中，设正方形的边长为x，则3x=，x=，S2=；
图3中，设半圆的半径为r，则1+r=，r=﹣1，S3=（﹣）π；
图4中，设三角形的内切圆半径为R，则2﹣2R=，解得R=1﹣，S4=（）π；
根据以上计算的值进行比较，S3=S4，在S1，S2，S3，S4中，S2最小，所以正确的是②③．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质及内切圆的性质，切线长定理等内容，范围较广．
二．填空题（共10小题）
16．已知⊙O的半径为7cm，直线l1∥l2，且l1与⊙O相切，圆心O到l2的距高为8cm，则l1与l2的距离为 1或15 cm．
【分析】根据直线与圆的位置关系由l1与⊙O相切得到O点到l1的距离为7cm，而圆心O到l2的距离89cm，根据平行线间的距离的定义得到当圆心O在两平行直线之间：l1与l2之间的距离=8cm+7cm；当圆心O在两平行直线的同侧：l1与l2之间的距离为8cm﹣7cm．
【解答】解：∵l1与⊙O相切，
∴O点到l1的距离为7cm，
当圆心O在两平行直线之间：l1与l2之间的距离=8cm+7cm=15cm；
当圆心O在两平行直线的同侧：l1与l2之间的距离为8cm﹣7cm=1cm，
∴l1到l2的距离为1cm或15cm．
故答案为：1或15．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；当直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了平行线间的距离．
17．一直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的内切圆半径为 2 ．
【分析】如图，作辅助线，首先证明四边形ODCF为正方形；求出AB的长度；证明AF=AE，BD=BE问题即可解决．
【解答】解：如图，⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F；
其中AC=8，BC=6；连接OD、OF；
则OD⊥BC，OF⊥AC；OD=OF；
∵∠C=90°，
∴四边形ODCF为正方形，
∴CD=CF=R（R为⊙O的半径）；
由勾股定理得：
AB2=AC2+BC2=36+64=100，
∴AB=10；由切线的性质定理的：
AF=AE，BD=BE；
∴CD+CF=AC+BC﹣AB=6+8﹣10=4，
∴R=2，
它的内切圆半径为2．
【点评】该题主要考查了三角形的内切圆的性质、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、解答．
18．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=16cm，BO=12cm动点C从点A出发，在边AO上以4cm/s的速度向O点运动；与此同时，动点D从点B出发，在边BO上以3cm/s的速度向O点运动．过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心、3cm为半径的圆与直线EF相切．
【分析】当以点C为圆心，3cm为半径的圆与直线EF相切时，即CF=3cm，又因为∠EFC=∠O=90°，所以△EFC∽△DCO，利用对应边的比相等即可求出EF的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值，要注意t的取值范围为0≤t≤4．
【解答】解：当以点C为圆心，3cm为半径的圆与直线EF相切时，
此时，CF=3，
由题意得：AC=4t，BD=3t
∴OC=16﹣4t，OD=12﹣3t，
∵点E是OC的中点，
∴CE=OC=8﹣2t，
∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO，
∴△EFC∽△DOC，
∴=，
∴
∴EF==，
由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2，
∴（8﹣2t）2=3 2+（）2，
解得：t=或t=，
∵0≤t≤4，
∴t=．
则当点C运动了s时，以C点为圆心、3cm为半径的圆与直线EF相切．
故答案为：．
【点评】本题考查圆的切线性质，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等知识，题目综合程度较高，很好地考查学生综合运用知识的能力．
19．如图是一个装有两个大小相同的球形礼品的包装盒示意图，其中两个小球之间有个等腰三角形隔板，已知矩形长为45cm，宽为20cm，两圆与矩形的边以及等腰△ABC的腰都相切，则所需的三角形隔板的底边AB长为 9cm ．
【分析】如图，过C作CE⊥AB于E，根据已知条件得到CE=MN=20cm，CN=ME=22.5cm，根据切线的性质得到DM=MH=HN=NG=10cm，CG=CF=12.5cm，AD=AF，设AD=AF=x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，过C作CE⊥AB于E，
∵矩形长为45cm，宽为20cm，
∴CE=MN=20cm，CN=ME=22.5cm，
∵两圆与矩形的边以及等腰△ABC的腰都相切，
∴DM=MH=HN=NG=10cm，CG=CF=12.5cm，AD=AF，
设AD=AF=x，
∴AE=22.5﹣10﹣x=12.5﹣x，AC=x+12.5，
∵AE2+CE2=AC2，
∴（12.5﹣x）2+202=（12.5+x）2，
∴x=8，
∴AB=2AE=9cm，
故答案为：9cm．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
20．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y=﹣x+3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 2 ．
【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ最小，根据全等三角形的性质得到AP=3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，作AP⊥直线y=﹣x+3，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，
∵A的坐标为（﹣1，0），
设直线与x轴，y轴分别交于C，B，
∴B（0，3），C（4，0），
∴OB=3，AC=5，
∴BC==5，
∴AC=BC，
在△APC与△BOC中，，
∴△APC≌△BOC，
∴AP=OB=3，
∴PQ==2．
∵PQ2=PA2﹣1，此时PA最小，所以此时切线长PQ也最小，最小值为2．
【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
21．如图，A是半径为1的⊙O的外一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥AO，连结AC，则图中的阴影部分的面积等于 ．
【分析】△OBC与△BCA是同底等高，则它们的面积相等，因此阴影部分的面积实际是扇形OCB的面积；扇形OCB中，已知了半径的长，关键是圆心角∠COB的度数．在Rt△ABO中，根据OB、OA的长，即可求得∠BOA的度数；由于OA∥BC，也就求得了∠OBC的度数，进而可在△COB中求出∠COB的度数，由此可根据扇形的面积公式求出阴影部分的面积．
【解答】解：OB是半径，AB是切线，
∵OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴sinA==，
∴∠A=30°，
∵OC=OB，BC∥OA，
∴∠OBC=∠BOA=60°，
∴△OBC是等边三角形，
因此S阴影=S扇形CBO==．
故答案为．
【点评】本题利用了平行线的性质，同底等高的三角形面积相等，切线的概念，正弦的概念，扇形的面积公式求解．
22．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为 3或4 ．
【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；
【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=x．
在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，
∴x2=42+（8﹣x）2，
∴x=5，
∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．
∴PM=PK=CD=2BM，
∴BM=4，PM=8，
在Rt△PBM中，PB==4．
综上所述，BP的长为3或4．
【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
23．如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0cm刻度线与量角器的0°线在同一直线上，且直径DC是直角边BC的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在量角器上所对应的度数是 60° ．
【分析】首先设半圆的圆心为O，连接OE，OA，由题意易得AC是线段OB的垂直平分线，即可求得∠AOC=∠ABC=60°，又由AE是切线，易证得Rt△AOE≌Rt△AOC，继而求得∠AOE的度数，则可求得答案．
【解答】解：设半圆的圆心为O，连接OE，OA，
∵CD=2OC=2BC，
∴OC=BC，
∵∠ACB=90°，即AC⊥OB，
∴OA=BA，
∴∠AOC=∠ABC，
∵∠BAC=30°，
∴∠AOC=∠ABC=60°，
∵AE是切线，
∴∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠ACO=90°，
∵在Rt△AOE和Rt△AOC中，
，
∴Rt△AOE≌Rt△AOC（HL），
∴∠AOE=∠AOC=60°，
∴∠EOD=180°﹣∠AOE﹣∠AOC=60°．
∴点E所对应的量角器上的刻度数是60°．
故答案为：60
【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质．此题难度适中，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
24．如图，点P是⊙O外一点，过点P作圆的两条切线PA、PB，点A、B是切点，Q是⊙O上不同于点A，B的任意一点，已知∠P=44°，则∠AQB的度数为 68°或112° ．
【分析】根据切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和得到∠AOB=180°﹣∠P=136°，然后分类讨论：当点Q在优弧AB上，如图，根据圆周角定理可计算出∠AQB=∠AOB=68°；当点Q弧AB上，如图，根据圆内接四边形的性质得∠AQ′B=180°﹣∠AQB=112°．
【解答】解：∵PA和PB为⊙O的两条切线，
∴OA⊥PA，PB⊥OB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=180°﹣∠P=180°﹣44°=136°，
当点Q在优弧AB上，如图，∠AQB=∠AOB=68°；
当点Q弧AB上，如图，∠AQ′B=180°﹣∠AQB=180°﹣68°=112°，
综上所述，∠AQB的度数为68°或112°．
故答案为68°或112°
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理．
25．如图，已知∠AOB=30°，在射线OA上取点O1，以O1为圆心的圆与OB相切；在射线O1A上取点O2，以O2为圆心，O2O1为半径的圆与OB相切；在射线O2A上取点O3，以O3为圆心，O3O2为半径的圆与OB相切；…；在射线O9A上取点O10，以O10为圆心，O10O9为半径的圆与OB相切．若⊙O1的半径为1，则⊙O10的半径长是 29 ．
【分析】作O1C、O2D、O3E分别⊥OB，易找出圆半径的规律，即可解题．
【解答】解：作O1C、O2D、O3E分别⊥OB，
∵∠AOB=30°，
∴OO1=2CO1，OO2=2DO2，OO3=2EO3，
∵O1O2=DO2，O2O3=EO3，
∴圆的半径呈2倍递增，
∴⊙On的半径为2n﹣1 CO1，
∵⊙O1的半径为1，
∴⊙O10的半径长=29，
故答案为29．
【点评】本题考查了圆切线的性质，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中找出圆半径的规律是解题的关键．
三．解答题（共15小题）
26．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O直径，D是的中点，过点D作CB的垂线，分别交CB、CA延长线于点F、E．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinE=，求AB：EF的值．
【分析】（1）先判断出∠CBA为直角，再判断出∠F为直角，进而得出AB与EF平行，再由D为的中点，利用垂径定理的逆定理得到OD垂直于AB，即可得出结论；
（2）根据角E的正弦值，设出OD=OC=OB=OA=5x，则得出CA=10x，CE=13x，进而得出CE=18x，最后判断出△ABC∽△ECF即可得出结论．
【解答】解：（1）直线EF与圆O相切，理由为：
连接OD，如图所示：
∵AC为圆O的直径，
∴∠CBA=90°，
又∵∠F=90°，
∴∠CBA=∠F=90°，
∴AB∥EF，
∴∠AMO=∠EDO，
又∵D为的中点，
∴=，
∴OD⊥AB，
∴∠AMO=90°，
∴∠EDO=90°，
∵EF过半径OD的外端，
则EF为圆O的切线，
（2）在Rt△ODE中，sinE==，
设OD=OC=OA=5x，
∴CA=10x，OE=13x，
∴CE=18x，
∵EF∥AB，
∴△ABC∽△ECF，
∴==
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．
27．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，CA=CD，∠CDA=30°．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，求点A到CD所在直线的距离．
【分析】（1）已知点C在⊙O上，先连接OC，由已知CA=CD，∠CDA=30°，得∠CAO=30°，∠ACO=30°所以得到∠COD=60，根据三角形内角和定理得∠DCO=90°即能判断直线CD与⊙O的位置关系．
（2）要求点A到CD所在直线的距离，先作作AE⊥CD，垂足为E，由，∠CDA=30°，得AE=AD，在直角三角形OCD中，半径OD=4，所以OD=2OC=8，AD=OA+0D=12．从而求出AE．
【解答】解：（1）∵△ACD是等腰三角形，∠D=30°，
∴∠CAD=∠CDA=30°．
连接OC，
∵AO=CO，
∴△AOC是等腰三角形，
∴∠CAO=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°，
在△COD中，又∵∠CDO=30°，
∴∠DCO=90°
∴CD是⊙O的切线，即直线CD与⊙O相切．
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为E．
在Rt△COD中，∵∠CDO=30°，
∴OD=2OC=8，
AD=AO+OD=4+8=12
在Rt△ADE中，∵∠EDA=30°，
∴点A到CD边的距离为：AE==6．
【点评】此题考查的知识点是切线的判定与性质，解题的关键是运用直角三角形的性质及30°角所对直角边的性质，三角形内角和定理．
28．如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠A=22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD=45°．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若AB=2，求OC的长．
【分析】（1）连接DO，由三角形的外角与内角的关系易得∠DOC=∠C=45°，故有∠ODC=90°，即CD是圆的切线．
（2）由1知，CD=OD=AB，在直角△COD中，利用勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：连接DO，
∵AO=DO，
∴∠DAO=∠ADO=22.5°．
∴∠DOC=45°．
又∵∠ACD=2∠DAB，
∴∠ACD=∠DOC=45°．
∴∠ODC=90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：连接DB，
∵直径AB=2，△OCD为等腰直角三角形，
∴CD=OD=，OC==2．
【点评】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
29．如图，以AB为直径作⊙O，点C为⊙O上一点，劣弧CB沿BC翻折，交AB于点D，过A作⊙O的切线交DC的延长线于点E．
（1）求证：AC=CD；
（2）已知tanE=，AC=2，求⊙O的半径．
【分析】（1）由翻折的性质可得到CD=CD′，∠DBC=∠D′BC，然后依据相等的圆周角所对的弦相等可得到AC=CD′，最后通过等量代换可使问题得证；
（2）过点C作CF⊥AB，垂足为F，先证明∠B=∠FCD=∠E，然后利用锐角三角函数的定义可求得DF、CF、FB的长，然后依据等腰三角形三线合一的性质可证明AF=FD，从而可得到AB的长，然后可求得⊙O的半径的长．
【解答】解：（1）如图所示：
∵点D与点D′关于CB对称，
∴CD=CD′，∠DBC=∠D′BC，
∴AC=CD′．
∴AC=CD．
（2）如图所示：过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵AE为⊙O的切线，
∴∠BAE=90°，
∴∠E+∠ADC=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠B+∠CAB=90°．
∵AC=CD，
∴∠CAB=∠ADC，
∴∠E=∠B．
∵AE⊥AB，CF⊥AB，
∴CF∥AE，
∴∠FCD=∠E．
∵tanE=，
∴tanB=tan∠FCD=．
∴DF=CD=，CFCD=，FB=2CF=．
∵AC=CD，CF⊥CD，
∴AF=DF=．
∴AB=AF+BF=2．
∴⊙O的半径为．
【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义等知识点，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
30．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．
【分析】（1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，通过等量代换得到结果．
（2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式，列方程可得结果．
【解答】（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是⊙0的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE丄AB，
∴OB∥CE，
∴∠1=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2
∴∠2=∠3，
∴CB平分∠ACE；
（2）如图2，连接BD，
∵CE丄AB，
∴∠E=90°，
∴BC===5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠E=∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，
∴，
∴BC2=CD?CE，
∴CD==，
∴OC==，
∴⊙O的半径=．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
31．如图，⊙O的半径OA=2，AB是弦，直线EF经过点B，AC⊥EF于点C，∠BAC=∠OAB．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC=1，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）由OA=OB得到∠OAB=∠OBA，加上∠BAC=∠OAB，则∠BAC=∠OBA，于是可判断OB∥AC，由于AC⊥EF，所以OB⊥EF，则可根据切线的判定定理得到EF是⊙O的切线；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理得AD=AB，再证明Rt△AOD∽Rt△ABC，利用相似比可计算出AB=2；
（3）由AB=OB=OC=2可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，则∠ABC=30°，则可计算出BC=AC=，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S四边形AOBC﹣S扇形OAB=S△AOB+S△ABC﹣S扇形OAB进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠BAC=∠OAB，
∴∠BAC=∠OBA，
∴OB∥AC，
∵AC⊥EF，
∴OB⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OD⊥AB于点D，则AD=AB，
∵∠OAD=∠BAC，
∴Rt△AOD∽Rt△ABC，
=，即=，
∴AB=2；
（3）解：∵AB=OB=OC=2，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OB⊥BC，
∴∠ABC=30°，
∴BC=AC=，
∴S阴影部分=S四边形AOBC﹣S扇形OAB
=S△AOB+S△ABC﹣S扇形OAB
=×22+×1×﹣
=﹣π．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质和扇形面积的计算．
32．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．
【分析】（1）连接OE，证明∠OEA=90°即可；
（2）连接OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，利用垂径定理和勾股定理计算出OH的长，进而求出CE的长．
【解答】（1）证明：连接OE．
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA=∠C，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEA=90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，
由题意可知四边形OECH为矩形，
∴OH=CE，
∵BF=6，
∴BH=3，
在Rt△BHO中，OB=5，
∴OH==4，
∴CE=4．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性．
33．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若DE=1，BC=2，求劣弧的长l．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠DAC，求得∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF=∠AEC=90°，于是得到结论；
（2）连接OD，DC，根据角平分线的定义得到∠DAC=∠OAC，根据三角函数的定义得到∠ECD=30°，得到∠OCD=60°，得到∠BOC=∠COD=60°，OC=2，于是得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∵∠AEC=90°，∴∠OCF=∠AEC=90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接OD，DC，
∵∠DAC=DOC，∠OAC=BOC，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DOC=∠BOC，
∴CD=CB=2，∵ED=1，
∴sin∠ECD=，
∴∠ECD=30°，
∴∠OCD=60°，
∵OC=OD，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠BOC=∠COD=60°，OC=2，
∴l==π．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
34．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，且OE⊥AC于点E，过点C作⊙O的切线，交OE的延长线于点D，交AB的延长线于点F，连接AD
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠F=，⊙O半径为1，求线段AD的长．
【分析】（1）连接OC．根据垂径定理得到AE=CE，根据全等三角形和切线的性质得到∠OCD=∠OAD=90°，于是得到结论；
（2）设AD=x，根据三角函数的定义得到FC=2，在Rt△ADF中，同理可得，FO=2x﹣1，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OC．
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴DC=DA，
在△OCD与△OAD中，，
∴△OCD≌△OAD，
∵FD切⊙O于D，
∴∠OCD=∠OAD=90°，
∴AD是⊙O的切线；
（2）设AD=x，
∵tan∠F=，OC=1，
∴在Rt△OCF中，=，
∴FC=2，
在Rt△ADF中，同理可得，FO=2x﹣1，
∴在Rt△OCF中，
FO2=FC2+CO2，
∴（2x﹣1）2=5，解得x1=，x2=（舍去），
即 AD=．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
35．如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若AC=24，AF=15，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，先证∠OCF=90°，再证明△OAF≌△OCF，得出∠OAF=∠OCF=90°即可；
（2）先求出AE、EF，再证明△OAE∽△AFE，得出比例式，即可求出半径．
【解答】解：（1）AF与⊙O相切；理由如下：连接OC；如图所示：
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCF=90°，
∵OF∥BC，
∴∠B=∠AOF，∠OCB=∠COF，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∴∠AOF=∠COF，
在△OAF和△OCF中，
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF=90°，
∴AF与⊙O相切；
（2）∵△OAF≌△OCF，
∴∠OAE=∠COE，
∴OE⊥AC，AE=AC=12，
∴EF=，
∵∠OAF=90°，
∴△OAE∽△AFE，
∴，即，
∴OA=20，即⊙O的半径为20．
【点评】本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键．
36．如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若OC=1，AB=2，求图中阴影部分的面积S；
（3）若=，求sinE的值．
【分析】（1）连接OA，证明△PBO≌△PAO，则∠PBO=∠PAO=90°，于是证明PB为⊙O的切线；
（2）由S阴影=S△OAE﹣S扇形OAD，分别求出S△OAE、S扇形OAD即可；
（3）连接AD，由△ADE∽△POE，求出，由=，得到EP=2PA，因为PA=PB，所以EP=2PB，进而求出sinE．
【解答】解：（1）连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
∴△PBO≌△PAO，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB为⊙O的切线．
（2）∵OP⊥AB，
∴BC=AC=，
在Rt△OBC中，由tan∠BOC=知，∠BOC=60°，
则∠BOA=120°，OB=2，
∴Rt△OAE中，∠AOE=60°，OA=2
∴AE=2
S阴影=S△OAE﹣S扇形OAD=×2×2﹣×π×22=2﹣π
（3）连接AD，
∵BD是直径，∠BAD=90°，
由（1）知∠BCO=90°，
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴，
∵AD∥OC，
∴AD=2OC，
∵=，
∴OP=4OC，
设OC=t，则AD=2t，OP=4t
∴==，
∴EA=AP，
∴EP=2PA，
∵PA=PB，
∴EP=2PB，
∴sinE==．
【点评】本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
37．如图，P为⊙O直径AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，过点B作CP的垂线BH交⊙O于点D，连结AC，CD．
（1）求证：∠PBH=2∠HDC；
（2）若sin∠P=，BH=2，求BD的长
【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥PC，则可判断OC∥DH得到∠PBH=∠POC，加上∠POC=2∠A，∠A=∠D，所以∠PBH=2∠D；
（2）在Rt△PBH中利用三角函数的定义和勾股定理计算出PB=3，PH=，再在Rt△POC中计算出OC=6，PC=3，则CH=2，连接BC，如图，证明△HCB∽△HDC，
然后利用相似比得到=，从而利用比例的性质可求出BD．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∵DH⊥PC，
∴OC∥DH，
∴∠PBH=∠POC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠1，
∴∠POC=2∠A，
而∠A=∠D，
∴∠PBH=2∠D；
（2）解：在Rt△PBH中，∵sin∠P==，
∴PB=×2=3，PH==，
在Rt△POC中，sinP==，即=，
∴OC=6，
∴PC==3，
∴CH=2，
连接BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
即∠1+∠OCB=90°，
∵∠2+∠OCB=90°，
∴∠1=∠2，
而∠1=∠A=∠D，
∴∠2=∠D，
∴△HCB∽△HDC，
∴=，即=，
∴BD=8．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
38．如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC=8，tanB=，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，求出∠4为90°，即可得证；
（2）设圆的半径为r，利用锐角三角函数定义求出AB的长，再利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB=OD，
∴∠3=∠B，
∵∠B=∠1，
∴∠1=∠3，
在Rt△ACD中，∠1+∠2=90°，
∴∠4=180°﹣（∠2+∠3）=90°，
∴OD⊥AD，
则AD为圆O的切线；
（2）设圆O的半径为r，
在Rt△ABC中，AC=BCtanB=4，
根据勾股定理得：AB==4，
∴OA=4﹣r，
在Rt△ACD中，tan∠1=tanB=，
∴CD=ACtan∠1=2，
根据勾股定理得：AD2=AC2+CD2=16+4=20，
在Rt△ADO中，OA2=OD2+AD2，即（4﹣r）2=r2+20，
解得：r=．
【点评】此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
39．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，直线DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：BD=CD；
（2）求证：GF是⊙O的切线；
（3）当AB=18，cos∠ABD=时，求sinG的值．
【分析】（1）根据圆周角定理得出AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得出即可；
（2）连接OD，由（1）知BD=CD，再根据OA=OB知OD∥AC，从而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得证；
（3）过点D作DH⊥AB于H．利用锐角三角函数的定义求得BH=2，OH=7，则sin∠ODH=，然后结合已知条件推知∠G=∠ODH，从而得到sinG的值．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD；
（2）证明：连接OD，如图，
由（1）知，BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
又∵DG⊥AC，
∴OD⊥FG，
∴GF是⊙O的切线；
（3）过点D作DH⊥AB于H，如图，
∵∠ADB=90°，AB=18，cos∠ABD==，
∴BD=6，
又∵DH⊥AB，
∴cos∠HBD==，
∴BH=2，
∴OH=7，
∴sin∠ODH=，
∵OD⊥FG，DH⊥AB，
∴∠ODH+∠GDH=90°，∠G+∠GDH=90°，
∴∠G=∠ODH，
∴sinG=sin∠ODH=．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．
40．已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E，作EF⊥AB于点F，设EF=a．（如图1）
（1）求半圆O的半径（用a的代数式来表示）；
（2）过点E作CB的平行线交CD于点N，当NA与半圆O相切时（如图2），求∠EOC的正切值．
【分析】（1）如图1中，连接OD、OE，延长OE交CD于K，作EG⊥CD于G，则EG∥OD．只要证明GE是△OKD的中位线即可解决问题；
（2）如图2中，延长OE交CD于K，设OF=x，EF=y，则OA=2y，由Rt△CEF～Rt△EOF，可得EF2=CF?OF，即y2=x（4y﹣3x），解得=3或1，由此即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，连接OD、OE，延长OE交CD于K，作EG⊥CD于G，则EG∥OD．
∵CE平分∠DCB，
∴∠OCE=∠KCE，
∵EF⊥AB，
∴EG=EF=a，
∵OC是半圆M的直径，E为半圆M上一点，
∴∠CEO=∠CEK=90°，
∵OE=OE，
∴△COE≌△CKE，
∴OE=KE，
∵EG∥OD，
∴OD=OA=2EG=2EF=2a，
即⊙O的半径为2a．
（2）如图2中，延长OE交CD于K，设OF=x，EF=y，则OA=2y，
∵NE∥CB，EF⊥CB，NA切⊙O于A，
∴四边形AFEN是矩形，
∴NE=AF=OA﹣OF=2y﹣x，同（1）证法可得E是OK中点，
∴N是CK的中点，
∴CO=2NE=2（2y﹣x），
∴CF=CO﹣OF=4y﹣3x，
∵EF⊥AB，CE⊥EO，
∴Rt△CEF～Rt△EOF，
∴EF2=CF?OF，即y2=x（4y﹣3x），解得=3或1，
当=3时，tan∠EOC===3，
当=1时，点C与点A重合，不符合题意，故舍弃，
∴tan∠EOC=3．
【点评】本题考查切线的性质、垂径定理、三角形的中位线定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．