第一章 三角形的初步知识好题精选（含解析）

绝密★启用前
期末复习第一章三角形的初步知识好题精选
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
　
第Ⅰ卷（选择题）
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评卷人
得 分


一．选择题（共15小题）
1．如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则下列结论：①AC=AF；②EF=BC；③∠FAB=∠EAB；④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．以下是四位同学在作△ABC的BC边上的高，其中画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，BF=20，平移距离为6，则△OEC的面积为（　　）
A．24 B．40 C．42 D．48
4．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=（　　）
A．56° B．68° C．28° D．34°
5．如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、BE的中点，且阴影面积S△CEF=1，
则△ABC的面积为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积=△BCE的面积；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
7．下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．如图，∠EOF内有一定点P，过点P的一条直线分别交射线OE于A，射线OF于B．当满足下列哪个条件时，△AOB的面积一定最小（　　）
A．OA=OB B．OP为△AOB的角平分线
C．OP为△AOB的高 D．OP为△AOB的中线
9．长为l的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（　　）
A．AD=AE B．AD＜AE C．BE=CD D．BE＜CD
11．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=120°，∠BGC=102°，则∠A的度数为（　　）
A．34° B．40° C．42° D．46°
12．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
13．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG∥CE，交AB于点G，若∠1=70°，∠2=30°，则∠3=（　　）
A．30° B．40° C．45° D．70°
14．如图，∠A=120°，且∠1=∠2=∠3和∠4=∠5=∠6，则∠BDE=（　　）
A．60°
B．70°
C．80°
D．不能确定，具体由三角形的形状确定
15．如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2017，最少经过多少次操作（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
　

第Ⅱ卷（非选择题）
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评卷人
得 分


二．填空题（共10小题）
16．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则m+n　 　b+c．
17．已知在△ABC中，AB=5，BC=7，BM是AC边上的中线，则BM的取值范围为　 　．
18．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C=110°，则∠1+∠2=　 　．
19．已知△ABC，下列说法正确的是　 　（只填序号）．
①如图（1），若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+∠A；
②如图（2），若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A；
③如图（3），若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=∠A．
20．小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE=　 　，则三角板BCE有一条边与斜边AD平行．（写出所有可能情况）
21．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC翻折而成的，若∠1=140°，∠2=25°，则∠α度数为　 　．
22．如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②∠BEF=（∠BAF+∠C）； ③∠FGD=∠ABE+∠C；④∠F=（∠BAC﹣∠C）；其中正确的是　 　．
23．如图所示，△ABC中，AD，BE，CF相交于一点，把△ABC分成六个小三角形，图中的数据表示所在的小三角形的面积，则△ABC的面积为　 　．
24．要画出∠AOB的平分线，分别在OA，OB上截取OC=OD，OE=OF，连接CF，DE，交于P点，那么∠AOB的平分线就是射线OP，要说明这个结论成立，可先说明△EOD≌△　 　，理由是　 　，得到∠OED=∠　 　，再说明△PEC≌△　 　，理由是　 　，得到PE=PF；最后说明△EOP≌△　 　，理由是　 　，从而说明了∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB．
25．如图，在第1个△ABA1中，∠B=40°，∠BAA1=∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2=∠A1 A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3=∠A2 A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为　 　； 第n个三角形中以An为顶点的内角的度数为　 　．
　
评卷人
得 分


三．解答题（共15小题）
26．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BC的异侧，AB=DE，AC=DF，BF=EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠BFD=150°，求∠ACB的度数．
27．如图，已知AB=DC，AE=DF，CE=BF．求证：AF=DE．
28．如图，我们知道在△ABC中，中线AM可以将△ABC分成两个面积相等的三角形，即S△ABM=S△ACM．
（1）参考上述结论，请尝试使用两种不同的方法将图中的四边形ABCD分成4个面积相等的小三角形；
（2）请在四边形ABCD的边上找到一点E，使得线段AE将四边形ABCD分为面积相等的两部分．
29．在△ABC中，定义∠A的平分线所在直线与∠B的外角平分线所在直线所夹的锐角∠APB为∠C的伴随角．
（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，则∠C的伴随角∠APB的度数为　 　°；
（2）小明试图探究任意△ABC中∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系，于是他动手画了∠C分别为直角、锐角、钝角的三个图如下，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再证明．
请你根据以上三个图，测量相关角度，补全表格：
图2
图3
图4
∠C的度数
90°
　 　
　 　
∠C的伴随角∠APB的度数
　 　
　 　
　 　
根据表格，小明得到了∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系的猜想：　 　；
（3）请你选择∠C是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明证明他的猜想．
30．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．
31．已知：如图，AB∥CD，AE=DF，AD、BC相交于点O，BE∥CF，BE、CF分别交AD于点E、F．求证：BE=CF．
32．如图，所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上．
（1）在格点上找一点D并连接线段CD，使得CD∥AB．
（2）标上线段AC上的另一格点G，连接BG，则BG与AC的位置关系是　 　．
（3）线段　 　的长度是点B到直线AC的距离；线段BC的长度是　 　的距离；因为直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，　 　，所以线段BC、BG的大小关系为：BC　 　BG．（填“＞”或“＜”）
33．已知：C是线段AB的中点，且∠A=∠B，∠ACD=∠BCE，求证：CD=CE．
34．观察发现：
如图1，OP平分∠MON，在OM，ON上分别取OA，OB，使OA=OB，再在OP上任取一点D，连接AD，BD．请你猜想AD与BD之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：
如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系，并说明理由．
35．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
（1）若∠ACD=124°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，试说明△CAN≌△CMN．
36．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．
（1）若∠B=30°，∠C=70°，则∠CAE=　 　°，∠DAE=　 　°．
（2＞若∠B=40°，∠C=80°．则∠DAE=　 　°．
（3）通过探究，小明发现将（2）中的条件“∠B=40°，∠C=80°”改为“∠C﹣∠B=40°”，也求出了∠DAE的度数，请你写出小明的求解过程．
37．如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E
（1）填空：①如图1，若∠B=60°，则∠E=　 　；
②如图2，若∠B=90°，则∠E=　 　；
（2）如图3，若∠B=α，求∠E的度数；
（3）如图4，仿照（2）中的方法，在（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．
38．问题情景 如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．
试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A=50°，则∠ABC+∠ACB=　 　度，∠PBC+∠PCB=　 　度，∠ABP+∠ACP=　 　度；
（2）类比探索：请探究∠ABP+∠ACP与∠A的关系．
（3）类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置；使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．
39．如图，完成下列推理过程：
如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠3，∠E=∠C，AE=AC，求证：△ABC≌△ADE．
证明：∵∠E=∠C（已知），
∠AFE=∠DFC（　 　），
∴∠2=∠3（　 　），
又∵∠1=∠3（　 　），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴　 　+∠DAC=　 　+∠DAC（　 　），
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中
∵
∴△ABC≌△ADE（　 　）．
40．阅读理解：请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．
（Ⅰ）问题引入：
如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=70°，则∠BOC=　 　度；若∠A=α，则∠BOC=　 　（用含α的代数式表示）；
（Ⅱ）类比探究：
如图②，在△ABC中，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α．
试探究：∠BOC与∠A的数量关系（用含α的代数式表示），并说明理由．
（Ⅲ）知识拓展：
如图③，BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，求∠BOC的度数（用含α、n的代数式表示）．
　

参考答案与试题解析
　
一．选择题（共15小题）
1．如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则下列结论：①AC=AF；②EF=BC；③∠FAB=∠EAB；④∠EAB=∠FAC，其中正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△AEF，
∴AC=AF，EF=BC，故①②正确；
∠EAF=∠BAC，
∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故③错误；
∠EAB=∠FAC，故④正确；
综上所述，结论正确的是①②④共3个．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键．
　
2．以下是四位同学在作△ABC的BC边上的高，其中画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的高的定义画出即可．
【解答】解：△ABC的BC边上的高为AD，如图，
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图和三角形的高，能熟记三角形的高的定义是解此题的关键．
　
3．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，BF=20，平移距离为6，则△OEC的面积为（　　）
A．24 B．40 C．42 D．48
【分析】根据平移的性质得出BE=CF=6，DE=AB=10，则OE=4，根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：由平移的性质知，BE=CF=6，DE=AB=10，BF=20
∴OE=DE﹣DO=10﹣4=6，EC=20﹣6﹣6=8，
∴△OEC的面积=×6×8=24．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平移的性质及三角形的面积公式，根据平移的性质得出BE=CF=6，DE=AB=10是解题的关键．
　
4．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=（　　）
A．56° B．68° C．28° D．34°
【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF=∠DAC=34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°﹣34°=56°，
∴∠α=56°．
故选：A．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
　
5．如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、BE的中点，且阴影面积S△CEF=1，
则△ABC的面积为（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形即可解决问题；
【解答】解：∵EF=FB，
∴S△EFC=S△BFC=1，
∴S△BCE=2，
∵BD=DC，
∴S△BDE=S△DCF=1，
∵AE=ED，
∴S△ABE=S△AEB=1，S△AEC=S△EDC=1，
∴S△ABC=4，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
　
6．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积=△BCE的面积；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC=∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG=∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．
【解答】解：∵BE是中线，
∴AE=CE，
∴△ABE的面积=△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF=∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ACB+∠CAD=90°，
∴∠ABC=∠CAD，
∵∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG=∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠ACB=∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB=2∠ACF，
∴∠BAD=2∠ACF，
即∠FAG=2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出BH=CH，故④错误；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．
　
7．下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】结合已知条件与全等三角形的判定方法进行思考，要综合运用判定方法求解．注意高的位置的讨论．
【解答】解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；
②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；
如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE=AC，
同理：B′E′=A′C′，
∴BE=B′E′，AE=A′E′，
∴△ABE≌△A′B′E′，
∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，
∴∠CAD=∠C′A′D′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
∴△BAC≌△B′A′C′．
③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；要根据选项提供的已知条件逐个分析，分析时看是否符合全等三角形的判定方法，注意SSA是不能判得三角形全等的．
　
8．如图，∠EOF内有一定点P，过点P的一条直线分别交射线OE于A，射线OF于B．当满足下列哪个条件时，△AOB的面积一定最小（　　）
A．OA=OB B．OP为△AOB的角平分线
C．OP为△AOB的高 D．OP为△AOB的中线
【分析】当点P是AB的中点时S△AOB最小；过点P的另一条直线CD交OE、OF于点C、D，设PD＜PC，过点A作AG∥OF交CD于G，由全等三角形的性质可以得出S四边形AODG=S△AOB，S四边形AODG＜S△COD，从而求得S△AOB＜S△COD，即可得出结论；
【解答】解：当点P是AB的中点时S△AOB最小；
如图，过点P的另一条直线CD交OE、OF于点C、D，设PD＜PC，过点A作AG∥OF交CD于G，
在△APG和△BPD中，
，
∴△APG≌△BPD（ASA），
S四边形AODG=S△AOB．
∵S四边形AODG＜S△COD，
∴S△AOB＜S△COD，
∴当点P是AB的中点时S△AOB最小；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，四边形的面积和三角形的面积的关系，解答时建立数学模型解答是关键．
　
9．长为l的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由围成两个三角形是全等三角形，可得两个三角形的周长相等，根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出两个不等式，解不等式可出结论．
【解答】解：∵围成两个全等的三角形可得两个三角形的周长相等
∴x+y+z=，∵y+z＞x
∴可得x＜，
又因为x为最长边大于
∴x≥
综上可得≤x＜
故选：A．
【点评】本题考查三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，且最长边不能小于周长．
　
10．如图，有一△ABC，今以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于D点，以C为圆心，AC长为半径画弧，交BC于E点．若∠B=40°，∠C=36°，则关于AD、AE、BE、CD的大小关系，下列何者正确？（　　）
A．AD=AE B．AD＜AE C．BE=CD D．BE＜CD
【分析】由∠C＜∠B利用大角对大边得到AB＜AC，进一步得到BE+ED＜ED+CD，从而得到BE＜CD．
【解答】解：∵∠C＜∠B，
∴AB＜AC，
∵AB=BD AC=EC
∴BE+ED＜ED+CD，
∴BE＜CD．
故选：D．
【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是正确的理解题意，了解大边对大角．
　
11．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=120°，∠BGC=102°，则∠A的度数为（　　）
A．34° B．40° C．42° D．46°
【分析】设∠GBC=x，∠DCB=y，在△BFC和△BGC中，根据三角形内角和定理列方程，相加可得：3x+3y的值，即可求得∠A的度数．
【解答】解：设∠GBC=x，∠DCB=y，
在△BFC中，2x+y=180°﹣120°=60°①，
在△BGC中，x+2y=180°﹣102°=78°②，
解得：①+②：3x+3y=138°，
∴∠A=180°﹣（3x+3y）=180°﹣138°=42°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理、三等分线的定义，利用整体的思想解决问题比较简便．
　
12．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC=∠1，∠BEC=∠2，则以下结论①∠1=2∠2，②∠BOC=3∠2，③∠BOC=90°+∠1，④∠BOC=90°+∠2正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1=2∠2，∠BOC=90°+∠1，∠BOC=90°+∠2．
【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE=∠ACD，∠DBE=∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2=∠DCE﹣∠DBE，
=（∠ACD﹣∠ABC）
=∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，
∴∠OBC=ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠1）
=90°+∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO=∠ACB，∠ACE=ACD，
∴∠OCE=（∠ACB+∠ACD）=×180°=90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC=∠OCE+∠2=90°+∠2，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．
　
13．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG∥CE，交AB于点G，若∠1=70°，∠2=30°，则∠3=（　　）
A．30° B．40° C．45° D．70°
【分析】根据角平分线的定义得到∠1=∠ECF，根据平行线的性质得到∠F=∠ECF，根据三角形的外角的性质列式计算即可．
【解答】解：∵CE平分∠ACD，
∴∠1=∠ECF，
∵FG∥CE，
∴∠F=∠ECF，
∵∠FCD=∠3+∠BAC，∠BAC=∠2+∠F，
∴∠FCD=∠3+∠2+∠F，
∴∠1+∠ECF=∠3+∠2+∠F，
∴∠2+∠3=∠1，
又∵∠1=70°，∠2=30°，
∴∠3=70°﹣30°=40°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
　
14．如图，∠A=120°，且∠1=∠2=∠3和∠4=∠5=∠6，则∠BDE=（　　）
A．60°
B．70°
C．80°
D．不能确定，具体由三角形的形状确定
【分析】首先在△ABC中，求出∠ABC和∠ACB的和，再利用∠1=∠2=∠3和∠4=∠5=∠6，求出∠DBC和∠DCB的在和，△BCD中点E就是三角形三个内角平分线的交点，由此求得结论即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣120°=60°，
∵∠1=∠2=∠3，∠4=∠5=∠6，
∴∠DBC+∠DCB=40°，
BE、CE分别是∠DBC、∠DCB的角平分线，
∴DE平分∠BDC，
而∠BDC=180°﹣40°=140°，
∴∠BDE=70°．　
故选：B．
【点评】此题考查三角形的内角和，角平分线的性质，以及三角形中三条内角的平分线交于一点等知识点．
　
15．如图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2017，最少经过多少次操作（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】先根据已知条件求出△A1B1C1及△A2B2C2的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．
【解答】解：△ABC与△A1BB1底相等（AB=A1B），高为1：2（BB1=2BC），故面积比为1：2，
∵△ABC面积为1，
∴S△A1B1B=2．
同理可得，S△C1B1C=2，S△AA1C=2，
∴S△A1B1C1=S△C1B1C+S△AA1C+S△A1B1B+S△ABC=2+2+2+1=7；
同理可证△A2B2C2的面积=7×△A1B1C1的面积=49，
第三次操作后的面积为7×49=343，
第四次操作后的面积为7×343=2401．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2017，最少经过4次操作．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形的面积，此题属规律性题目，解答此题的关键是找出相邻两次操作之间三角形面积的关系，再根据此规律求解即可．
　
二．填空题（共10小题）
16．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则m+n　＞　b+c．
【分析】在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE=PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n＞b+c．
【解答】解：如图，在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，
∵AD是∠A的外角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACP和△AEP中，
，
∴△ACP≌△AEP（SAS），
∴PE=PC，
在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，
∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，
∴m+n＞b+c．
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查三角形全等的证明，全等三角形的性质，三角形的三边关系，作辅助线构造以m、n、b、c的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点．
　
17．已知在△ABC中，AB=5，BC=7，BM是AC边上的中线，则BM的取值范围为　1＜BM＜6　．
【分析】延长BM到D，使BM=DM，通过证明△BMC≌△AMD，可得AD=BC，根据三角形的三边关系，得出即可．
【解答】解：延长BM到D，使BM=DM，连接AD．
∵BM是中线，
∴AM=MC，∠BMC=∠AMD，
∴△BMC≌△AMD（SAS），
∴AD=BC=7，又BM=a，
∴2＜2a＜12，
∴1＜BM＜6．
故答案为：1＜BM＜6
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
　
18．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C=110°，则∠1+∠2=　80°　．
【分析】连接AA′．首先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．
【解答】解：连接AA′．
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C=110°，
∴∠A′BC+∠A′CB=70°，
∴∠ABC+∠ACB=140°，
∴∠BAC=180°﹣140°=40°，
∵∠1=∠DAA′+∠DA′A，∠2=∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′=∠DA′A，∠EAA′=∠EA′A，
∴∠1+∠2=2（∠DAA′+∠EAA′）=2∠BAC=80°，
故答案为80°．
【点评】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
　
19．已知△ABC，下列说法正确的是　①②③　（只填序号）．
①如图（1），若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+∠A；
②如图（2），若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠A；
③如图（3），若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=∠A．
【分析】①正确．三角形的内角和为180°，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∠P=180°﹣（∠ABC+∠ACB），从而得证；
②正确．根据三角形外角平分线的性质可得∠BCP=（∠A+∠ABC）、∠PBC=（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠P=90°﹣∠A．
③正确．根据角平分线的定义可得∠PBC=∠ABC，∠PCE=∠ACE，由外角的性质可得∠ACE=∠ABC+∠A，∠PCE=∠PBC+∠P，等量代换求出结果；
【解答】解：①正确．∵P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，
∴∠P=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣90°+∠A=90°+∠A；
②正确．∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，
∴∠BCP=∠BCE=（∠A+∠ABC），∠PBC=∠CBF=（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得：
∠BPC=180°﹣∠BCP﹣∠PBC
=180°﹣[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]
=180°﹣（∠A+180°）
=90°﹣∠A．
③正确．∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCE=∠ACE，
∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，
∴∠ACE=∠ABC+∠A，∠PCE=∠PBC+∠P，
∴∠ACE=∠ABC+∠A，
∴∠ABC+∠A=∠PBC+∠P，
∠P=∠A；
故答案为①②③．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
　
20．小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，他发现若∠ACE=　30°或120°或165°　，则三角板BCE有一条边与斜边AD平行．（写出所有可能情况）
【分析】分三种情形画出图形分别求解即可解决问题；
【解答】解：有三种情形：
①如图1中，当AD∥BC时．
∵AD∥BC，
∴∠D=∠BCD=30°，
∵∠ACE+∠ECD=∠ECD+∠DCB=90°，
∴∠ACE=∠DCB=30°．
②如图2中，当AD∥CE时，∠DCE=∠D=30°，可得∠ACE=90°+30°=120°．
③如图2中，当AD∥BE时，延长BC交AD于M．
∵AD∥BE，
∴∠AMC=∠B=45°，
∴∠ACM=180°﹣60°﹣45°=75°，
∴∠ACE=75°+90°=165°，
综上所述，满足条件的∠ACE的度数为30°或120°或165°．
故答案为30°或120°或165°．
【点评】本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考常考题型．
　
21．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC翻折而成的，若∠1=140°，∠2=25°，则∠α度数为　80°　．
【分析】依据∠1=140°，∠2=25°，可得∠3=15°，利用翻折变换前后对应角不变，得出∠2=∠EBA，∠3=∠ACD，进而得出∠BCD+∠CBE的度数，再根据三角形外角性质，即可得到∠α的度数．
【解答】解：∵∠1=140°，∠2=25°，
∴∠3=15°，
由折叠可得，∠2=∠EBA=25°，∠3=∠ACD=15°，
∴∠EBC=50°，∠BCD=30°，
∴由三角形外角性质可得，∠α=∠EBC+∠DCB=80°，
故答案为：80°．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及三角形外角的性质的运用，利用翻折变换前后对应角不变得出是解题关键．
　
22．如图，在△ABC中，BD、BE分别是△ABC的高线和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②∠BEF=（∠BAF+∠C）； ③∠FGD=∠ABE+∠C；④∠F=（∠BAC﹣∠C）；其中正确的是　①②③④　．
【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确；
②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
③根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
④证明∠DBE=∠BAC﹣∠C，根据①的结论，证明结论正确；
【解答】解：①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F=90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE=90°，
∵∠FGD=∠BGH，
∴∠DBE=∠F，故①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∠BEF=∠CBE+∠C，
∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，
∠BAF=∠ABC+∠C
∴2∠BEF=∠BAF+∠C，即∠BEF=（∠BAF+∠C），故②正确；
③∵∠AEB=∠EBC+∠C，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD=∠FEB，
∴∠BGH=∠ABE+∠C，故③正确，
④∠ABD=90°﹣∠BAC，
∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=∠ABE﹣90°+∠BAC=∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∵∠CBD=90°﹣∠C，
∴∠DBE=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
由①得，∠DBE=∠F，
∴∠F=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴∠F=（∠BAC﹣∠C）；故④正确；
故答案为①②③④，
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
　
23．如图所示，△ABC中，AD，BE，CF相交于一点，把△ABC分成六个小三角形，图中的数据表示所在的小三角形的面积，则△ABC的面积为　315　．
【分析】根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比，求解，从而不难求得△ABC的面积．
【解答】解：如右图所示，
设S△APE=x，S△BPF=y，
∵S△BDP=40，S△CDP=30，S△CEP=35，
∴==，
∴=①，
同理可得=②，
解关于①②的方程组，得
，
故S△ABC=40+30+35+70+84+56=315．
故答案为315．
【点评】本题考查三角形面积的知识，难度不大，关键是设出未知三角形的面积，然后根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比列式求解．
　
24．要画出∠AOB的平分线，分别在OA，OB上截取OC=OD，OE=OF，连接CF，DE，交于P点，那么∠AOB的平分线就是射线OP，要说明这个结论成立，可先说明△EOD≌△　FOC　，理由是　SAS　，得到∠OED=∠　OFC　，再说明△PEC≌△　PFD　，理由是　ASA　，得到PE=PF；最后说明△EOP≌△　FOP　，理由是　SSS　，从而说明了∠AOP=∠BOP，即OP平分∠AOB．
【分析】求∠AOB的平分线可利用三角形全等的性质作图．
【解答】解：作法：
（1）分别在OA，OB上截取OC=OD，OE=OF，连接CF，DE，交于P点，
（2）连接OP即可，
∵OE=OF，∠EOF=∠EOF，OC=OD，
∴△EOD≌△FOC，∠OED=∠OFC，
在△PEC与△PFD中，∵∠OED=∠OFC，∠CPE=∠DPF，CE=DF，
∴△PEC≌△PFD，
故PE=PF，
在△EOP与△FOP中，OE=OF，PE=PF，OP=OP，
故△EOP≌△FOP，
故∠AOP=∠BOP，
即OP平分∠AOB．
【点评】此题考查了利用三角形全等求角平分线的方法，比较简便，是常用的方法．
　
25．如图，在第1个△ABA1中，∠B=40°，∠BAA1=∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2=∠A1 A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3=∠A2 A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为　17.5°　； 第n个三角形中以An为顶点的内角的度数为　　．
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形的以An为顶点的底角的度数．
【解答】解：∵在△ABA1中，∠B=40°，AB=A1B，
∴∠BA1A=（180°﹣∠B）=（180°﹣40°）=70°，
∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1=∠BA1A=×70°=35°；
同理可得，∠DA3A2=×70°=17.5°，∠EA4A3=×70°，
以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数=．
故答案为；17.5°，．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，进而找出规律是解答此题的关键．
　
三．解答题（共15小题）
26．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BC的异侧，AB=DE，AC=DF，BF=EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠BFD=150°，求∠ACB的度数．
【分析】（1）根据BF=EC，可以得到BC=EF，然后根据题目中的条件，利用全等三角形的判定即可证明结论成立；
（2）根据邻补角互补和全等三角形的性质可以得到∠ACB的度数．
【解答】（1）证明：∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）∵∠BFD=150°，∠BFD+∠DFE=180°，
∴∠DFE=30°，
由（1）知，△ABC≌△DEF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴∠ACB=30°．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
　
27．如图，已知AB=DC，AE=DF，CE=BF．求证：AF=DE．
【分析】易证CF=BE，可证△CDF≌△BAE，进而可以求证△CDE≌△BAF，即可解题．
【解答】解：∵CE=BF，
∴CF=BE，
在△CDF和△BAE中，
，
∴△CDF≌△BAE（SSS），
∴∠C=∠B，
在△CDE和△BAF中，
，
∴△CDE≌△BAF（SAS），
∴DE=AF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△CDF≌△BAE是解题的关键．
　
28．如图，我们知道在△ABC中，中线AM可以将△ABC分成两个面积相等的三角形，即S△ABM=S△ACM．
（1）参考上述结论，请尝试使用两种不同的方法将图中的四边形ABCD分成4个面积相等的小三角形；
（2）请在四边形ABCD的边上找到一点E，使得线段AE将四边形ABCD分为面积相等的两部分．
【分析】（1）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，据此进行判断即可．
（2）四边形ABCD的面积等于△ABD'的面积，依据E为BD'的中点，即可得到AE将四边形ABCD分为面积相等的两部分．
【解答】解：（1）如图所示，（答案不唯一）
（2）如图，∵AC∥DD'，
∴S△ACD=S△ACD'，
∴四边形ABCD的面积等于△ABD'的面积，
又∵E为BD'的中点，
∴AE将△ABD'分为面积相等的两部分，
即AE将四边形ABCD分为面积相等的两部分．
【点评】本题主要考查了三角形的面积，解题时注意：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
　
29．在△ABC中，定义∠A的平分线所在直线与∠B的外角平分线所在直线所夹的锐角∠APB为∠C的伴随角．
（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，则∠C的伴随角∠APB的度数为　45　°；
（2）小明试图探究任意△ABC中∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系，于是他动手画了∠C分别为直角、锐角、钝角的三个图如下，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再证明．
请你根据以上三个图，测量相关角度，补全表格：
图2
图3
图4
∠C的度数
90°
　80°　
　120°　
∠C的伴随角∠APB的度数
　45°　
　40°　
　60°　
根据表格，小明得到了∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系的猜想：　∠APB=∠C　；
（3）请你选择∠C是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明证明他的猜想．
【分析】（1）由三角形外角的性质可知∠APB+∠BAC=∠1=（∠BAC+∠C）=×150°=75°，然后求得即可；
（2）根据测量结果直接得出即可；
（3）根据三角形外角的性质可得结论．
【解答】解：（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠1=（∠BAC+∠C）=×150°=75°，
∵∠1=∠APB+∠BAC，
∴75°=∠APB+30°，
∴∠APB=45°，
故答案为45；
（2）
图2
图3
图4
∠C的度数
90°
80°
120°
∠C的伴随角∠APB的度数
45°
40°
60°
根据表格，小明得到了∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系的猜想：
∠APB=∠C；
（3）证明：如图3，∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠BAC．
又∵BE平分∠ABD，
∴∠1=∠ABD，
∵∠APB=∠1﹣∠BAP，
∴∠APB=∠ABD﹣∠BAC，
∴∠APB=（∠ABD﹣∠BAC）．
∴∠APB=∠C．
【点评】本题考查了三角形内角和与外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．
　
30．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．
【分析】（1）①根据SAS即可判断；
②利用全等三角形的性质，判断出对应边，根据时间．路程、速度之间的关系即可解决问题；
（2）求出Q的运动路程，与根据三角形ABC周长的整数倍进行比较，即可得出相遇点的位置．
【解答】解：（1）①△BPD与△CQP全等，
∵点P的运动速度是1cm/s，
∴点Q的运动速度是1cm/s，
∴运动1秒时，BP=CQ=1cm，
∵BC=6cm，
∴CP=5cm，
∵AB=10，D为AB的中点，
∴BD=5，
∴BD=CP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BPD≌△CQP．
②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则BP≠CQ，
若△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，
此时，点P运动3cm，需3秒，而点Q运动5cm，
∴点Q的运动速度是cm/s．
（2）设经过t秒时，P、Q第一次相遇，
∵P的速度是1厘米/秒，Q的速度是厘米/秒，
∴10+10+t=t，
解得：t=30，
此时点Q的路程=30×=50（厘米），
∵50＜2×26，
∴此时点Q在BC上，
∴经过30秒后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及数形结合思想的运用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．解题时注意全等三角形的对应边相等．
　
31．已知：如图，AB∥CD，AE=DF，AD、BC相交于点O，BE∥CF，BE、CF分别交AD于点E、F．求证：BE=CF．
【分析】欲证明BE=CF，只要证明△ABE≌△DCF即可；
【解答】证明：∵AB∥CD，BE∥CF，
∴∠ABO=∠DCO，∠EBO=∠FCO，∠A=∠D，
∴∠ABE=∠FCD，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=CF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
　
32．如图，所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上．
（1）在格点上找一点D并连接线段CD，使得CD∥AB．
（2）标上线段AC上的另一格点G，连接BG，则BG与AC的位置关系是　BG⊥AC　．
（3）线段　BG　的长度是点B到直线AC的距离；线段BC的长度是　点B到直线CD　的距离；因为直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，　垂线段最短　，所以线段BC、BG的大小关系为：BC　＞　BG．（填“＞”或“＜”）
【分析】（1）根据平行线的判定和性质即可解决问题；
（2）利用等腰三角形的性质即可判断；
（3）根据点D到直线的距离的概念，垂线段最短即可解决问题；
【解答】解：（1）如图线段CD即为所求；
（2）如图，BG⊥AC．
故答案为BG⊥AC；
（3）线段BG的长度是点B到直线AC的距离；线段BC的长度是点B到CD的距离；因为直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以线段BC、BG的大小关系为：BC＞BG．
故答案为：BG，点B到直线CD，垂线段最短，＞．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计，平行线的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
　
33．已知：C是线段AB的中点，且∠A=∠B，∠ACD=∠BCE，求证：CD=CE．
【分析】求CD=CE，可通过证它们所在的三角形全等，即证△CBD≌△CAE即可．
【解答】证明：∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC，
∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD（ASA），
∴CD=CE
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，注意简单的线段相等，可以通过全等三角形来证明，要注意利用此题中的图形条件，等角的补角相等．
　
34．观察发现：
如图1，OP平分∠MON，在OM，ON上分别取OA，OB，使OA=OB，再在OP上任取一点D，连接AD，BD．请你猜想AD与BD之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：
如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）只要证明△OAD≌△OBD即可；
（2）如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG，只要证明△AEF≌△AGF，△CFG≌△CFD即可解决问题；
【解答】解：（1）AD=BD．
理由：∵OP平分∠MON，
∴∠DOA=∠DOB，
∵OA=OB，OD=OD，
∴△OAD≌△OBD，
∴AD=DB．
（2）FE=FD．
理由：如图2，在AC上截取AG=AE，连接FG，
∴△AEF≌△AGF，
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG．
∵∠ACB是直角，即∠ACB=90°，
又∵∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∵AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
∴∠FAC+∠FCA=15°+45°=60°=∠AFE，
∴∠AFE=∠AFG=∠CFD=60°，
∴∠CFG=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠CFG=∠CFD，
又FC为公共边，
∴△CFG≌△CFD，
∴FG=FD，
∴FE=FD．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
　
35．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．
（1）若∠ACD=124°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，试说明△CAN≌△CMN．
【分析】（1）根据AB∥CD，∠ACD=124°，得出∠CAB=56°，再根据AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．
（2）根据∠CAM=∠MAB，∠MAB=∠CMA，得出∠CAM=∠CMA，再根据CN⊥AD，CN=CN，即可得出△ACN≌△MCN．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠CAB=180°，
又∵∠ACD=124°，
∴∠CAB=56°，
由作法知，AM是∠CAB的平分线，
∴∠MAB=∠CAB=28°；
（2）∵AM平分∠CAB，
∴∠CAM=∠MAB，
∵AB∥CD，
∴∠MAB=∠CMA，
∴∠CAM=∠CMA，
又∵CN⊥AM，
∴∠ANC=∠MNC，
在△ACN和△MCN中，，
∴△ACN≌△MCN（AAS）．
【点评】此题考查了作图﹣复杂作图，用到的知识点是全等三角形的判定、平行线的性质、角平分线的性质等，解题的关键是证出∠CAM=∠CMA．
　
36．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．
（1）若∠B=30°，∠C=70°，则∠CAE=　40　°，∠DAE=　30　°．
（2＞若∠B=40°，∠C=80°．则∠DAE=　20　°．
（3）通过探究，小明发现将（2）中的条件“∠B=40°，∠C=80°”改为“∠C﹣∠B=40°”，也求出了∠DAE的度数，请你写出小明的求解过程．
【分析】（1）根据三角形的高求出∠ADC=90°，再根据三角形内角和定理求出求出∠BAC和∠DAC，根据角平分线定义求出∠CAE，即可求出答案；
（2）根据三角形的高求出∠ADC=90°，再根据三角形内角和定理求出求出∠BAC和∠DAC，根据角平分线定义求出∠CAE，即可求出答案；
（3）根据三角形的高求出∠ADC=90°，再根据三角形内角和定理求出求出∠BAC和∠DAC，根据角平分线定义求出∠CAE，最后代入求出即可．
【解答】解：（1）∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣（∠B+∠C）=80°，
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=BAC=40°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=70°，
∴∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=20°，
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=40°﹣20°=30°，
故答案为：40，30；
（2）∵∠B=40°，∠C=80°，
∴∠BAC=180°﹣（∠B+∠C）=60°，
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=BAC=30°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=80°，
∴∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=10°，
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=30°﹣10°=20°，
故答案为：20；
（3）∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°﹣（∠B+∠C），
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=BAC=[180°﹣（∠B+∠C）]=90°﹣∠B﹣C，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=90°﹣∠C，
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=90°﹣B﹣∠C﹣（90°﹣∠C）
=C﹣B
=（∠C﹣∠B）
=40°
=20°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和三角形的角平分线、三角形的高等知识点，能求出∠CAE和∠CAD的度数是解此题的关键，求解过程类似．
　
37．如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E
（1）填空：①如图1，若∠B=60°，则∠E=　30°　；
②如图2，若∠B=90°，则∠E=　45°　；
（2）如图3，若∠B=α，求∠E的度数；
（3）如图4，仿照（2）中的方法，在（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．
【分析】（1）①根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°，再根据角平分线的定义可得∠FAC﹣∠ACE=30°，可求∠E的度数；
②根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB=∠B=90°，再根据角平分线的定义可得∠FAC﹣∠ACE=45°，可求∠E的度数；
（2）根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB=∠B=α，再根据角平分线的定义可得∠FAC﹣∠ACE=α，可求∠E的度数；
（3）根据角平分线的定和义可得三角形的外角性质可得∠G=∠HAC﹣∠ACG=∠FAC﹣∠ACE=（∠FAC﹣∠ACE），可求∠G的度数．
【解答】解：（1）①∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠FAC=∠DAC，∠ACE=∠ACB，
∴∠E=∠FAC﹣∠ACE=∠B=30°；
②∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠FAC=∠DAC，∠ACE=∠ACB，
∴∠E=∠FAC﹣∠ACE=∠B=45°；
（2）∠DAC﹣∠ACB=∠B=α，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠FAC=∠DAC，∠ACE=∠ACB，
∴∠E=∠FAC﹣∠ACE=∠B=α；
（3）∵AG，CG分别是∠EAB与∠ECB的角平分线，
∴∠G=∠HAC﹣∠ACG=∠FAC﹣∠ACE=（∠FAC﹣∠ACE）=×∠B=α．
【点评】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．
　
38．问题情景 如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．
试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A=50°，则∠ABC+∠ACB=　130　度，∠PBC+∠PCB=　90　度，∠ABP+∠ACP=　40　度；
（2）类比探索：请探究∠ABP+∠ACP与∠A的关系．
（3）类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置；使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．
【分析】（1）已知∠A=50°，根据三角形内角和定理易求∠ABC+∠ACB的度数．已知∠P=90°，根据三角形内角和定理易求∠PBC+∠PCB的度数，进而得到∠ABP+∠ACP的度数；
（2）由（1）中∠ABC+∠ACB的度数，∠PBC+∠PCB的度数，相减即可得到∠ABP+∠ACP与∠A的关系．
（3）由于在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，同理在△PBC中，∠PBC+∠PCB=90°，相减即可得到∠ACP﹣∠ABP=90°﹣∠A．
【解答】解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，
∵∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP+∠ACP=130°﹣90°=40°．
故答案为：130，90，40；
（2）结论：∠ABP+∠ACP=90°﹣∠A．
证明：∵90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A=180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°，
∴∠ABP+∠ACP=90°﹣∠A．
（3）不成立； 存在∠ACP﹣∠ABP=90°﹣∠A．
理由：△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∵∠MPN=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴（∠ABC+∠ACB）﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣∠A﹣90°，
即∠ABC+∠ACP+∠PCB﹣∠ABP﹣∠ABC﹣∠PCB=90°﹣∠A，
∴∠ACP﹣∠ABP=90°﹣∠A．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB的度数．
　
39．如图，完成下列推理过程：
如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠3，∠E=∠C，AE=AC，求证：△ABC≌△ADE．
证明：∵∠E=∠C（已知），
∠AFE=∠DFC（　对顶角相等　），
∴∠2=∠3（　三角形内角和定理　），
又∵∠1=∠3（　已知　），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴　∠1　+∠DAC=　∠2　+∠DAC（　等式的性质　），
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中
∵
∴△ABC≌△ADE（　ASA　）．
【分析】首先证明∠2=∠3，再证明∠BAC=∠DAE，进而可利用SAS判定三角形全等即可．
【解答】证明：∵∠E=∠C（已知），
∠AFE=∠DFC（对顶角相等），
∴∠2=∠3（三角形内角和定理），
又∵∠1=∠3（已知），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC（等式的性质），
即∠BAC=∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
故答案为：对顶角相等；三角形内角和定理；已知；∠1；∠2；等式的性质；ASA．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
　
40．阅读理解：请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．
（Ⅰ）问题引入：
如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=70°，则∠BOC=　125　度；若∠A=α，则∠BOC=　90°+α　（用含α的代数式表示）；
（Ⅱ）类比探究：
如图②，在△ABC中，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α．
试探究：∠BOC与∠A的数量关系（用含α的代数式表示），并说明理由．
（Ⅲ）知识拓展：
如图③，BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，求∠BOC的度数（用含α、n的代数式表示）．
【分析】（Ⅰ）由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB，在△BOC中利用三角形内角和定理可求得∠BOC；
（Ⅱ）根据三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，结合角平分线的定义即可得到∠AOC与∠B+∠D之间的关系；
（Ⅲ）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=﹣α．
【解答】解：（Ⅰ）∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=110°，
∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=55°，
∴∠BOC=125°；
∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣α，
∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=90°﹣α，
∴∠BOC=90°+α；
（Ⅱ）∠BOC=120°+α．
理由如下：
∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=120°+α．
（3）∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠DBC+∠ECB）
=180°﹣（180°+∠A）
=?180°﹣．
故答案为：125°；90°+α．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．