第六章 图形的初步知识好题精选（含解析）

绝密★启用前
期末复习第六章图形的初步知识好题精选
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
　
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得 分


一．选择题（共15小题）
1．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（　　）
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
2．通常我们把时钟的时针与分针所成的角叫做钟面角，若某整点时刻，钟面角∠α恰好是∠α的补角的2倍，此时对应的时间应是（　　）
A．8点 B．4点 C．6点 D．8点或4点
3．如图，乐乐用边长为1的正方形做了一副七巧板，并将这副七巧板拼成一只小猫，则阴影都分的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．已知点A，B，C在同一直线上，AB=5cm，BC=3cm，则线段AC的长是（　　）
A．8cm B．2cm C．8cm或2cm D．不能确定
5．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB=300米，BC=600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（　　）
A．点A B．点B C．AB之间 D．BC之间
6．同一平面内有两个角，而且这两个角的两边分别垂直，则这两个角之间的数量关系是（　　）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．无法确定
7．如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A、B间的路程为50km，A、C间的路程为30km，现要在A、B之间建一个车站P，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（　　）
A．点C处 B．线段BC之间 C．线段AB的中点 D．线段AB之间
9．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥OF，OD平分∠AOE，下列结论：
①∠BOE的余角是∠AOE，补角是∠BOF
②∠AOD=∠DOE=∠AOE
③∠BOE=2∠COF
④∠BOF=∠COF
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．有下列说法：①射线是直线的一半；②线段AB是点A与点B的距离；③角的大小与这个角的两边所画的长短有关；④两个锐角的和一定是钝角．其中正确的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．设A1，A2，A3，A4是数轴上的四个不同点，若|A1A3|=λ|A1A2|，|A1A4|=η|A1A2|，且+=2，则称A3，A4调和分割A1，A2．已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则（　　）
A．点C可能是线段AB的中点
B．点D一定不是线段AB的中点
C．点C，D可能同时在线段AB上
D．点C，D可能同时在线段AB的延长线上
12．已知线段AB、CD，点M在线段AB上，结合图形，下列说法不正确的是（　　）
A．延长线段AB、CD，相交于点F
B．反向延长线段BA、DC，相交于点F
C．过点M画线段AB的垂线，交CD于点E
D．过点M画线段CD的垂线，交CD于点E
13．某公司员工分别住在A、B、C、D四个住宅区，A区有20人，B区有15人，C区有5人，D区有30人，四个区在同一条直线上，位置如图所示．该公司的接送车打算在此间设立一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设置在（　　）
A．D区 B．A区 C．AB两区之间 D．BC两区之间
14．我们知道，若线段上取一个点（不与两个端点重合，以下同），则图中线段的条数为1+2=3条；若线段上取两个点，则图中线段的条数为1+2+3=6条；若线段上取三个点，则图中线段的条数为1+2+3+4=10条…请用你找到的规律解决下列实际问题：杭甬铁路（即杭州﹣﹣宁波）上有萧山，绍兴，上虞，余姚4个中途站，则车站需要印的不同种类的火车票为（　　）
A．6种 B．15种 C．20种 D．30种
15．用一副三角板的内角（一个三角板的内角是45°，45°，90°；另一个是30°，60°，90°），可以画出大于0°且小于160°的不同角度的角共有（　　）
A．8种 B．9种 C．10种 D．11种
　

第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人
得 分


二．填空题（共10小题）
16．如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，且∠AOB=155°，则∠COD=　 　．
17．如图，一艘船从A点出发先沿北偏东55°方向航行，到达B点时紧急向左进行了90°的转弯，然后沿着BC方向航行，则∠CBD=　 　．
18．已知∠A=110.32°，用度、分、秒表示为∠A=　 　．
19．下列三个日常现象：
①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上
②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB来架设
其中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是　 　（填序号）
20．在直线l上有四个点A、B、C、D，已知AB=24，AC=6，点D是BC的中点，则线段AD=　 　．
21．如果两个角的两条边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，则这两个角的度数分别为　 　．
22．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN=75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为　 　．
23．如图，点A，B，C，D，E在直线l上，点P在直线l外，PC⊥l于点C，在线段PA，PB，PC，PD，PE中，最短的一条线段是　 　，理由是　 　
24．已知线段MN，在MN上逐一画点（所画点与M、N不重合），当线段上有1个点时，共有3条线段，当线段上有2个点时，共有6条线段；当线段上有3个点时，共有10条线段；直接写出当线段上有20个点时，共有线段　 　条．
25．十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：v+f﹣e=2，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点都3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则x+y=　 　．
　
评卷人
得 分


三．解答题（共15小题）
26．如图1，已知A、O、B三点在同一直线上，射线OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC．
（1）求∠DOE的度数；
（2）如图2，在∠AOD内引一条射线OF⊥OC，其他不变，设∠DOF=ao（oo＜a＜90o）．
a．求∠AOF的度数（用含a的代数式表示）；
b．若∠BOD是∠AOF的2倍，求∠DOF的度数．
27．如图，在数轴上点A，点B，点C表示的数分别为﹣2，1，6．
（1）线段AB的长度为　 　个单位长度，线段AC的长度为　 　个单位长度．
（2）点P是数轴上的一个动点，从A点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿数轴的正方向运动，运动时间为t秒（0≤t≤8）．用含t的代数式表示：线段BP的长为　 　个单位长度，点P在数轴上表示的数为　 　；
（3）点M，点N都是数轴上的动点，点M从点A出发以每秒4个单位长度的速度运动，点N从点C出发以每秒3个单位长度的速度运动．设点M，N同时出发，运动时间为x秒．点M，N相向运动，当点M，N两点间的距离为13个单位长度时，求x的值，并直接写出此时点M在数轴上表示的数．
28．∠AOB与∠COD有共同的顶点O，其中∠AOB=∠COD=60°．
（1）如图①，试判断∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由；
（2）如图①，若∠BOC=10°，求∠AOD的度数；
（3）如图①，猜想∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；
（4）若改变∠AOB，∠COD的位置，如图②，则（3）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请直接写出你的猜想．
29．折一折：
按下面的方法折纸，然后回答问题：
（1）∠1与∠AEC有　 　关系；
（2）∠1与∠3有　 　关系；
（3）∠2是多少度的角？请说明理由．
30．如图，点P是线段AB上一点，且AP=AB，点M是AB的中点，若PM=3cm，求AB的长度．
31．如图，平面内与A，B，C，D四点，按下列要求画图：
（1）画射线AB；
（2）画直线BC；
（3）连接AD与BC相交于点E．
32．根据条件画出图形，并回答问题
（1）三条直线a、b、c，直线a、c相交于点B，直线b、c相交于点A，直线a、b相交于点C，点D在线段AC上，点E在线段DC上．则DE=　 　﹣　 　﹣　 　；
（2）画任意∠AOB，使∠AOB＜180°，在∠AOB内部再任意作两条射线OC、OD，则图中共有　 　个角．
33．如图，直线l上依次有三点A、B、C，且AB=8、BC=16，点P为射线AB上一动点，将线段AP进行翻折得到线段PA′（点A落在直线l上点A′处、线段AP上的所有点与线段PA′上的点对应）如图
（1）若翻折后A′C=2，则翻折前线段AP=　 　
（2）若点P在线段BC上运动，点M为线段A′C的中点，求线段PM的长度；
（3）若点P在射线BC上运动，点N为B′P的中点，点M为线段A′C的中点，设AP=x，用x表示A′M+PN．
34．已知∠AOB是一个定角，记为α，在∠AOB的内部作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE．
（1）如图①，当α=120°，∠AOC=40°时，求∠DOE的度数；
（2）如图①，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转时，∠DOE的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，猜想∠DOE与α的关系，并证明；
（3）当射线OC在∠AOB外绕点O旋转到图②位置时，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）．
35．如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且满足|100+2a|+（b2+2a）2=0．
（1）点A表示的数为　 　，点B表示的数为　 　；
（2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数．
（3）在（2）的条件下，若点P运动到达B点后按原路原速立即返回，点Q继续按原速原方向运动，从P、Q在点C处相遇开始，再经过多少分钟，P、Q两点的距离为12个单位长度．
36．如图，点C在线段AB上，AM=8cm，NB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长．
（2）若点C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？请直接写出正确结论．
37．如图①，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕．
（1）图①中，若∠1=30°，求∠A′BD的度数；
（2）如果将图①的另一角∠A′BD斜折过去，使BD边与BA′重合，折痕为BE，点D的对应点为D′，如图②所示，若∠1=30°，求∠2以及∠CBE的度数；
（3）如果将图①的另一角斜折过去，使BD边落在∠1内部，折痕为BE，点D的对应点为D′，如图③所示，若∠1=40°，设∠A′BD′=α，∠EBD=β，请直接回答：①α的取值范围和β的取值范围；②α与β之间的数量关系．
38．钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．
（1）时针每分钟转动的角度为　 　°，分针每分钟转动的角度为　 　°；
（2）8点整，钟面角∠AOB=　 　°，钟面角与此相等的整点还有：　 　点；
（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数．
39．已知点C在线段AB上，且AC=6，BC=4，M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）如果AC=a，BC=b，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？
（3）如果我们这样叙述它：“已知点C与线段AB在同一直线上，线段AC=6，BC=4，M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．
40．回答问题：
（1）已知∠AOB的度数为54°，在∠AOB的内部有一条射线OC，满足∠AOC=∠COB，在∠AOB所在平面上另有一条射线OD，满足∠BOD=∠AOC，如图1和图2所示，求∠COD的度数．
（2）已知线段AB长为12cm，点C是线段AB上一点，满足AC=CB，点D是直线AB上满足BD=AC．请画出示意图，求出线段CD的长．
　

参考答案与试题解析
　
一．选择题（共15小题）
1．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（　　）
A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【分析】根据垂线段最短、直线和线段的性质即可得到结论．
【解答】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；
B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；
C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；
D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．
故选：A．
【点评】本题考查了垂线段最短，直线和线段的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
　
2．通常我们把时钟的时针与分针所成的角叫做钟面角，若某整点时刻，钟面角∠α恰好是∠α的补角的2倍，此时对应的时间应是（　　）
A．8点 B．4点 C．6点 D．8点或4点
【分析】根据题意，由∠α恰好是∠α的补角的2倍可得关于∠α的方程，求得∠α的度数，进一步得到对应的时间即可．
【解答】解：根据题意有∠α=2（180﹣∠α），
解得∠α=120°，
则此时对应的时间应是8点或4点．
故选：D．
【点评】本题考查钟面角、补角的定义，和为180°的两角互为补角．
　
3．如图，乐乐用边长为1的正方形做了一副七巧板，并将这副七巧板拼成一只小猫，则阴影都分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由七巧板的制作过程可知，这只小猫的头部是用正方形的四分之一拼成的，所以面积是正方形面积的四分之一．
【解答】解：小猫的头部的图形是①⑤⑥，在右图中三角形⑦的一半与⑥相等，
则图中①+⑤+⑥正好是正方形的四分之一，
即阴影部分的面积是原正方形面积的．
故选：A．
【点评】此题主要考查了七巧板，根据图形之间的关系得出面积关系是解题关键．
　
4．已知点A，B，C在同一直线上，AB=5cm，BC=3cm，则线段AC的长是（　　）
A．8cm B．2cm C．8cm或2cm D．不能确定
【分析】分类讨论，C在线段AB上，C在线段AB的延长线上，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：若C在线段AB上，
，
则AC=AB﹣BC=5﹣3=2（cm）；
若C在线段AB的延长线上，
，
则AC=AB+BC=5+3=8（cm），
故选：C．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，分类讨论是解题关键．
　
5．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB=300米，BC=600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（　　）
A．点A B．点B C．AB之间 D．BC之间
【分析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．
【解答】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×300+10×900=13500（米），
②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+10×600=15000（米），
③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×900+15×600=36000（米），
④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（300﹣m）+10（900﹣m）=13500+5m＞13500，
⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（300+n）+15n+10（600﹣n）=15000+35n＞13500．
∴该停靠点的位置应设在点A；
故选：A．
【点评】考查了比较线段的长短，此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．
　
6．同一平面内有两个角，而且这两个角的两边分别垂直，则这两个角之间的数量关系是（　　）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．无法确定
【分析】作出图形，然后写出两个角的关系即可．
【解答】解：如图，这两个角之间的数量关系是：相等或互补．
故选C．
【点评】本题考查了垂线，难点在于分情况讨论，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．
　
7．如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：B．
【点评】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
　
8．如图，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A、B间的路程为50km，A、C间的路程为30km，现要在A、B之间建一个车站P，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（　　）
A．点C处 B．线段BC之间 C．线段AB的中点 D．线段AB之间
【分析】设P、C间的路程为xkm，分类讨论，当点P在点C的左侧和点P在点C的右侧，用含x的代数式表示车站到三个村庄的路程之和，再设车站到三个村庄的路程之和为ykm，就可以得出y=50+x，由一次函数的解析式的性质就可以得出结论．
【解答】解：设P、C间的路程为xkm，由题意，得
如图1，当点P在点C的左侧．
车站到三个村庄的路程之和为：30﹣x+x+20+x=x+50（km）；
如图2，当点P在点C的右侧，
车站到三个村庄的路程之和为：30+x+x+20﹣x=x+50（km）．
综上所述：车站到三个村庄的路程之和为（x+50）km；
设车站到三个村庄的路程之和为y，由题意，得
y=50+x，
∵k=1＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=0时，y最小=50．
∴当车站建在村庄C处，车站到三个村庄的路程之和最小．
故选：A．
【点评】本题考查了分类讨论思想的运用，一次函数的解析式的运用，代数式的运用，解答时求得车站到三个村庄的路程之和是关键．
　
9．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥OF，OD平分∠AOE，下列结论：
①∠BOE的余角是∠AOE，补角是∠BOF
②∠AOD=∠DOE=∠AOE
③∠BOE=2∠COF
④∠BOF=∠COF
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据余角、补角、角平分线的定义进行选择即可．
【解答】解：∵直线AB、CD相交于点O，OE⊥OF，
∴∠BOE的补角是∠AOE，余角是∠BOF，故①错误；
∵OD平分∠AOE，
∴∠AOD=∠DOE=∠AOE，故②正确；
无法证明③④正确，故③④错误；
故选：A．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角以及余角、补角、角平分线的定义，掌握余角、补角、角平分线的定义是解题的关键．
　
10．有下列说法：①射线是直线的一半；②线段AB是点A与点B的距离；③角的大小与这个角的两边所画的长短有关；④两个锐角的和一定是钝角．其中正确的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据射线的定义和射线、直线没有长度极快判断①；根据两点间的距离的定义即可判断②，根据角的特点即可判断③，举出反例即可判断④．
【解答】解：∵射线是指直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形，没有长度，直线也没有长度，∴①的说法错误；
∵点A与点B的距离是指线段AB的长度，是一个数，而线段是一个图形，∴②错误；
∵角的大小与这个角的两边的长短无关，∴③错误；
∵当这两个锐角的度数是10°和20°时，10°+20°=30°，30°的角是锐角，不是钝角，∴④错误；
∴正确的个数是0个，
故选：A．
【点评】本题考查了学生对角的定义，直线、射线的定义，两点间的距离的定义的理解和运用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
　
11．设A1，A2，A3，A4是数轴上的四个不同点，若|A1A3|=λ|A1A2|，|A1A4|=η|A1A2|，且+=2，则称A3，A4调和分割A1，A2．已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则（　　）
A．点C可能是线段AB的中点
B．点D一定不是线段AB的中点
C．点C，D可能同时在线段AB上
D．点C，D可能同时在线段AB的延长线上
【分析】由题意可设A（0，0）、B（1，0）、C（c，0）、D（d，0），结合条件，根据题意考查方程的解的情况，用排除法选出正确的答案即可．
【解答】解：由已知不妨设A（0，0）、B（1，0）、C（c，0）、D（d，0），
则（c，0）=λ（1，0），（d，0）=μ（1，0），
∴λ=c，μ=d；
代入+=2得：（1），
若C是线段AB的中点，则c=，代入（1），d不存在，故C不可能是线段AB的中点，A错误；
同理D不可能是线段AB的中点，故B正确；
若C，D同时在线段AB上，则0≤c≤1，0≤d≤1，代入（1）得c=d=1，此时C和D点重合，与条件矛盾，故C错误．
若C，D同时在线段AB的延长线上时，则λ＞1．μ＞1，
∴与+=2矛盾，
∴C、D不可能同时在线段AB的延长线上，D错误．
故选：B．
【点评】本题为新定义问题，考查信息的处理能力．正确理解新定义的含义是解决此题的关键．
　
12．已知线段AB、CD，点M在线段AB上，结合图形，下列说法不正确的是（　　）
A．延长线段AB、CD，相交于点F
B．反向延长线段BA、DC，相交于点F
C．过点M画线段AB的垂线，交CD于点E
D．过点M画线段CD的垂线，交CD于点E
【分析】根据线段和垂线段的定义，结合图形进行分析即可．
【解答】解：A、延长线段AB、CD，相交于点F，说法正确；
B、反向延长线段BA、DC，相交于点F，说法正确；
C、过点M画线段AB的垂线，交CD于点E，说法正确；
D、过点M画线段CD的垂线，交CD于点E，说法错误；
故选：D．
【点评】此题主要考查了直线、射线、线段，关键是正确掌握三线的特点．
　
13．某公司员工分别住在A、B、C、D四个住宅区，A区有20人，B区有15人，C区有5人，D区有30人，四个区在同一条直线上，位置如图所示．该公司的接送车打算在此间设立一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设置在（　　）
A．D区 B．A区 C．AB两区之间 D．BC两区之间
【分析】根据题意分别计算停靠点分别在各点是员工步行的路程和，选择最小的即可解答．
【解答】解：∵当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：20×800+15×400+5×200=23000m；
当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×400+5×600+30×800=33000m；
当停靠点在AB两区之间时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：20×（400﹣x）+15x+5×（200+x）+30×（400+x）=（30x+21000）m；
当停靠点在BC两区之间时，设距离B区x米，所有员工步行到停靠点路程和是：20×（400+x）+15x+5×（200﹣x）+30×（400﹣x）=21000m．
∴当停靠点在BC两区之间时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在BC两区之间．
故选：D．
【点评】此题考查了比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键．要能把线段的概念在现实中进行应用．
　
14．我们知道，若线段上取一个点（不与两个端点重合，以下同），则图中线段的条数为1+2=3条；若线段上取两个点，则图中线段的条数为1+2+3=6条；若线段上取三个点，则图中线段的条数为1+2+3+4=10条…请用你找到的规律解决下列实际问题：杭甬铁路（即杭州﹣﹣宁波）上有萧山，绍兴，上虞，余姚4个中途站，则车站需要印的不同种类的火车票为（　　）
A．6种 B．15种 C．20种 D．30种
【分析】相当于一条线段上有4个点，又火车票是要说往返的．
【解答】解：故有2（1+2+3+4+5）=30．
故选：D．
【点评】注意根据规律计算的同时，还要注意火车票需要考虑往返情况．
　
15．用一副三角板的内角（一个三角板的内角是45°，45°，90°；另一个是30°，60°，90°），可以画出大于0°且小于160°的不同角度的角共有（　　）
A．8种 B．9种 C．10种 D．11种
【分析】用三角板画出角，无非是用角度加减法．
【解答】解：比如：画个75°的角，先用30°在纸上画出来，再45°角叠加就画出了75°角了；
同理可画出30°、45°、60°、90°、15°、105°、120°、135°、150°的角．
（因为45°﹣30°=15°、45°+30°=75°、90°+45°=135°、90°+60°=150°、45°+30°=75°、60°+45°=105°）
故选：C．
【点评】用三角板直接画特殊角的步骤：先画一条射线，再把三角板所画角的一边与射线重合，顶点与射线端点重合，最后沿另一边画一条射线，标出角的度数．
　
二．填空题（共10小题）
16．如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，且∠AOB=155°，则∠COD=　25°　．
【分析】先根据直角三角板的性质得出∠AOC+∠DOB=180°，进而可得出∠COD的度数．
【解答】解：∵△AOC△BOD是一副直角三角板，
∴∠AOC+∠DOB=180°，
∴∠AOB+∠COD=∠DOB+∠AOD+∠COD=∠DOB+∠AOC=90°+90°=180°，
∵∠AOB=155°，
∴∠COD=180°﹣∠AOB=180°﹣155°=25°，
故答案为：25°
【点评】本题考查的是角的计算，熟知直角三角板的特点是解答此题的关键．
　
17．如图，一艘船从A点出发先沿北偏东55°方向航行，到达B点时紧急向左进行了90°的转弯，然后沿着BC方向航行，则∠CBD=　55°　．
【分析】由AE∥BF，可得∠FBG=∠EAB=55°，再根据∠CBG=∠DBF=90°，即可得出∠DBC=∠FBG=55°．
【解答】解：如图，由AE∥BF，可得∠FBG=∠EAB=55°，
又∵∠CBG=∠DBF=90°，
∴∠DBC=∠FBG=55°，
故答案为：55°．
【点评】本题考查了方向角，解决本题的关键是利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
　
18．已知∠A=110.32°，用度、分、秒表示为∠A=　110°19′12″　．
【分析】进行度、分、秒转化运算，注意以60为进制．
【解答】解：∠A=110.32°=110°19′12″．
故答案为：110°19′12″．
【点评】考查了度分秒的换算，此类题是进行度、分、秒转化运算，相对比较简单，注意以60为进制即可．
　
19．下列三个日常现象：
①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上
②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB来架设
其中，可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是　②③　（填序号）
【分析】直接利用线段的性质分析得出答案．
【解答】解：①可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是：
②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB来架设．
故答案为：②③．
【点评】此题主要考查了线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．
　
20．在直线l上有四个点A、B、C、D，已知AB=24，AC=6，点D是BC的中点，则线段AD=　15或9　．
【分析】分类讨论：C在线段AB的反向延长向上；C在线段AB上；根据线段的和差，可得BC的长，根据线段中点的性质，可得答案．
【解答】解：如图1，当C在线段AB的反向延长向上时，由线段的和差，得BC=AB+AC=24+6=30，
由线段中点的性质，得AD=BC=×30=15；
如图2，当C在线段AB上时，由线段的和差，得BC=AB﹣AC=24﹣6=18，
由线段中点的性质，得AD=BC=×18=9．
故答案为：15或9．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
　
21．如果两个角的两条边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，则这两个角的度数分别为　48°、132°或20°、20°．　．
【分析】分两种情况进行讨论，依据两个角的两条边分别垂直画出图形，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，即可得到这两个角的度数．
【解答】解：如图，α+β=180°，β=4α﹣60°，
解得α=48°，β=132°；
如图，α=β，β=4α﹣60°，
解得α=β=20°；
综上所述，这两个角的度数分别为48°、132°或20°、20°．
故答案为：48°、132°或20°、20°．
【点评】本题考查了垂线，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．
　
22．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN=75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为　3或或　．
【分析】分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可．
【解答】解：当∠NPQ=∠MPN时，
15t=（75°+5t），
解得t=3；
当∠NPQ=∠MPN时，
15t=（75°+5t），
解得t=．
当∠NPQ=∠MPN时，
15t=（75°+5t），
解得t=．
故t的值为3或或．
故答案为：3或或．
【点评】本题考查了旋转的性质，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“巧分线”的定义是解题的关键．
　
23．如图，点A，B，C，D，E在直线l上，点P在直线l外，PC⊥l于点C，在线段PA，PB，PC，PD，PE中，最短的一条线段是　PC　，理由是　垂线段最短　
【分析】点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长，根据定义即可选出答案．
【解答】解：根据点到直线的距离的定义得出线段PC的长是点P到直线l的距离，从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
故答案是：PC；垂线段最短．
【点评】本题考查了对点到直线的距离的应用，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．
　
24．已知线段MN，在MN上逐一画点（所画点与M、N不重合），当线段上有1个点时，共有3条线段，当线段上有2个点时，共有6条线段；当线段上有3个点时，共有10条线段；直接写出当线段上有20个点时，共有线段　231　条．
【分析】根据题意在MN上1个点有1+2=3条线段，2个点可组成1+2+3=6条线段，进而可得答案．
【解答】解：由题意可得：当在MN上有20个点时，共有线段：1+2+3+…+20+21=（1+21）×21=231，
故答案为：231．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，任意两点有一条线段，根据规律是解题关键．
　
25．十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：v+f﹣e=2，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点都3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则x+y=　14　．
【分析】得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值．
【解答】解：∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2=36条棱，
那么24+f﹣36=2，解得f=14，
∴x+y=14．
故答案为：14．
【点评】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．难点是熟练掌握欧拉定理．
　
三．解答题（共15小题）
26．如图1，已知A、O、B三点在同一直线上，射线OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC．
（1）求∠DOE的度数；
（2）如图2，在∠AOD内引一条射线OF⊥OC，其他不变，设∠DOF=ao（oo＜a＜90o）．
a．求∠AOF的度数（用含a的代数式表示）；
b．若∠BOD是∠AOF的2倍，求∠DOF的度数．
【分析】（1）根据角平分线的性质解答即可；
（2）a．根据互余解答即可．
b．根据∠BOD是∠AOF的2倍，列方程可得α的值．
【解答】解：（1）∵点A，O，B在同一条直线上，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC
∴∠COD+∠COE=（∠AOC+∠BOC）=90°，
∴∠DOE=90°；
（2）a．∵OC⊥OF，
∴∠COF=90°，
∵∠DOF=αo，
∴∠COD=90°﹣α°，
∵∠AOD=∠COD，
∴∠AOF=∠AOD﹣∠DOF=90°﹣α°﹣α°=（90﹣2α）°，
b．∵∠BOD是∠AOF的2倍，
∴180°﹣（90﹣α）°=2（90﹣2α）°，
α=18°，
即∠DOF=18°．
【点评】此题主要考查了垂线和角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．
　
27．如图，在数轴上点A，点B，点C表示的数分别为﹣2，1，6．
（1）线段AB的长度为　3　个单位长度，线段AC的长度为　8　个单位长度．
（2）点P是数轴上的一个动点，从A点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿数轴的正方向运动，运动时间为t秒（0≤t≤8）．用含t的代数式表示：线段BP的长为　（3﹣t）或（t﹣3）　个单位长度，点P在数轴上表示的数为　﹣2+t　；
（3）点M，点N都是数轴上的动点，点M从点A出发以每秒4个单位长度的速度运动，点N从点C出发以每秒3个单位长度的速度运动．设点M，N同时出发，运动时间为x秒．点M，N相向运动，当点M，N两点间的距离为13个单位长度时，求x的值，并直接写出此时点M在数轴上表示的数．
【分析】（1）根据两点间的距离公式可求线段AB的长度，线段AC的长度；
（2）先根据路程=速度×时间求出点P运动的路程，再分点P在点B的左边和右边两种情况求解；
（3）根据等量关系点M、N两点间的距离为13个单位长度列出方程求解即可．
【解答】解：（1）线段AB的长度为1﹣（﹣2）=3个单位长度，线段AC的长度为6﹣（﹣2）=8个单位长度；
（2）线段BP的长为：点P在点B的左边为3﹣t，点P在点B的右边为t﹣3，
点P在数轴上表示的数为﹣2+t；
（3）依题意有：
4x+3x﹣8=13，
解得x=3．
此时点M在数轴上表示的数是﹣2+4×3=10．
故答案为：（1）3；8；（2）（3﹣t）或（t﹣3）；﹣2+t．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
　
28．∠AOB与∠COD有共同的顶点O，其中∠AOB=∠COD=60°．
（1）如图①，试判断∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由；
（2）如图①，若∠BOC=10°，求∠AOD的度数；
（3）如图①，猜想∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；
（4）若改变∠AOB，∠COD的位置，如图②，则（3）的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请直接写出你的猜想．
【分析】（1）利用角的和差定义证明即可；
（2）求出∠AOC即可解决问题；
（3）结论：∠AOD+∠COB=120°．利用角的和差定义证明即可；
（4）不成立．猜想：∠AOD+∠BOC=240°，根据周角的性质证明即可；
【解答】解：（1）结论：∠AOC=∠BOD．
理由：∵∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOC+∠BOC=∠BOD+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD．
（2）∵∠BCO=10°，∠AOB=60°，
∴∠AOC=50°，
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=50°+60°=110°．
（3）猜想：∠AOD+∠COB=120°．
理由：∵∠AOB=∠COD=60°．
∴∠AOD=∠AOB+∠COD﹣∠COB=120°﹣∠COB，
∴∠AOD+∠COB=120°．
（4）不成立．猜想：∠AOD+∠BOC=240°，
理由：∵∠AOB=∠COD=60°．
∴∠AOD+∠BOC=360°﹣60°﹣60°=240°．
【点评】本题考查角的计算，角的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．
　
29．折一折：
按下面的方法折纸，然后回答问题：
（1）∠1与∠AEC有　互补　关系；
（2）∠1与∠3有　互余　关系；
（3）∠2是多少度的角？请说明理由．
【分析】（1）根据互为邻补角的两个角的和等于180°解答；
（2）根据翻折的性质解答；
（3）根据平角等于180°列式计算即可得解
【解答】解：（1）由图可知，∠1+∠AEC=180°，
∴∠1与∠AEC互补；
（2）由翻折的性质可得∠1+∠3=×180°=90°，
∴∠1与∠3互余；
（3）∠2=180°﹣（∠1+∠3）=180°﹣90°=90°．
故答案为：互补，互余．
【点评】本题考查了余角和补角，角的计算，翻折变换的性质，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．
　
30．如图，点P是线段AB上一点，且AP=AB，点M是AB的中点，若PM=3cm，求AB的长度．
【分析】结合图形表示出PM与AB的关系为PM=AB﹣AB，再代入数据求解即可．
【解答】解：如图，∵M是AB的中点，
∴AM=AB，
∴PM=AM﹣AP=AB﹣AB=AB，
∵PM=3cm，
∴AB=10PM=30cm．
【点评】考查了两点间的距离，作出图形，整理出AB与PM的关系是解本题的关键．
　
31．如图，平面内与A，B，C，D四点，按下列要求画图：
（1）画射线AB；
（2）画直线BC；
（3）连接AD与BC相交于点E．
【分析】（1）画射线AB，以A为端点向AB方向延长；
（2）画直线BC，连接BC并向两方无限延长，
（3）连接各点，其交点即为点E
【解答】解：如图所示：
【点评】此题主要考查了基本作图中线段、射线、直线作法以及如何延长一条线段等，解答此题，要熟悉直线、射线、线段的概念，并熟悉基本工具的用法．
　
32．根据条件画出图形，并回答问题
（1）三条直线a、b、c，直线a、c相交于点B，直线b、c相交于点A，直线a、b相交于点C，点D在线段AC上，点E在线段DC上．则DE=　AC　﹣　AD　﹣　EC　；
（2）画任意∠AOB，使∠AOB＜180°，在∠AOB内部再任意作两条射线OC、OD，则图中共有　6　个角．
【分析】根据题意，正确画出图形，结合图形求解即可．
【解答】解：（1）DE=AC﹣AD﹣EC；
（2）6个．
【点评】考查直线、线段、射线及角的概念．解题的关键是正确画出图形，注意图形结合的解题思想．
　
33．如图，直线l上依次有三点A、B、C，且AB=8、BC=16，点P为射线AB上一动点，将线段AP进行翻折得到线段PA′（点A落在直线l上点A′处、线段AP上的所有点与线段PA′上的点对应）如图
（1）若翻折后A′C=2，则翻折前线段AP=　11　
（2）若点P在线段BC上运动，点M为线段A′C的中点，求线段PM的长度；
（3）若点P在射线BC上运动，点N为B′P的中点，点M为线段A′C的中点，设AP=x，用x表示A′M+PN．
【分析】（1）先根据线段的和差关系求出AC，进一步得到AA′，再根据翻折的定义即可求解；
（2）分①当A′在线段BC上，②当A′在l上且在C的右侧，进行讨论即可求解；
（3）分①当8＜x＜12，此时，A′在C的左侧，②当x＞12 此时，A′在C的右侧，③当x＞24时，点C落在C’，进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）AC=AB+BC=8+16=24，
AA′=AC﹣A′C=24﹣2=22，
AP=22÷2=11．
故答案为：11；
（2）①当A′在线段BC上，
由题知PA=PA′，
∵M为AC中点，
∴MA′=MC，
∴PM=PA′+A′M
=
=
=
=12；
②当A′在l上且在C的右侧，
∵M为A′C中点，
∴MA′=MC，
∴PM=PA′﹣A′M
=
=
=
=12，
综上：PM=12；
（3）①当8＜x＜12，此时，A′在C的左侧，
PB’=PB=x﹣8，
∵N为BP中点，
∴，
∵A′C=24﹣2x，
∵M为A′C中点，
∴，
∴=；
②当x＞12，此时，A′在C的右侧，
PB′=PB=x﹣8，
，
A′C=2x﹣24
∵M为A′C中点，
∴，
∴=；
③当x＞24时，点C落在C’，不予考虑（考虑了则M为A′C’中点，得），
∴．
【点评】本题考查了两点之间的距离的应用，分类讨论的思想是解此题的关键．
　
34．已知∠AOB是一个定角，记为α，在∠AOB的内部作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE．
（1）如图①，当α=120°，∠AOC=40°时，求∠DOE的度数；
（2）如图①，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转时，∠DOE的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，猜想∠DOE与α的关系，并证明；
（3）当射线OC在∠AOB外绕点O旋转到图②位置时，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）．
【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE=∠COE+∠COD；
（2）结合角的特点∠DOE=∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算；
（3）根据周角的定义，结合角的特点∠DOE=∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算．
【解答】解：（1）∵α=120°，∠AOC=40°，
∴∠BOC=80°，
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COE=∠BOC=40°，∠COD=∠AOC=20°，
∴∠DOE=60°；
（2）∵∠BOC=α﹣∠AOC，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COE=∠BOC=α﹣∠AOC，∠COD=∠AOC，
∴∠DOE=∠COE+∠COD=α；
（3）∠DOE=（360°﹣α）=180°﹣α．
【点评】考查了角的计算，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．
　
35．如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且满足|100+2a|+（b2+2a）2=0．
（1）点A表示的数为　﹣50　，点B表示的数为　10　；
（2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数．
（3）在（2）的条件下，若点P运动到达B点后按原路原速立即返回，点Q继续按原速原方向运动，从P、Q在点C处相遇开始，再经过多少分钟，P、Q两点的距离为12个单位长度．
【分析】（1）由非负数的性质即可求解；
（2）根据相遇问题可列方程可得相遇所需时间，即可求点C所表示的数；
（3）根据相遇问题可列方程，可求得时间的值．
【解答】解：（1）∵|100+2a|+（b2+2a）2=0，
∴a=﹣50，b=±10（负值舍去）
∴点A表示的数为﹣50，点B表示的数为10；
故答案为：﹣50，10；
（2）设P、Q两点同时运动t秒相遇
3t+t=60，
解得t=15，
此时C所表示的数为﹣50+3×15=﹣5．
答：C点表示的数为﹣5；
（3）设再经过a秒钟，P、Q两点的距离为12个单位长度
①a+3a=12，解得a=3；
②a+15﹣（3a﹣15）=12，解得a=9；
③3a﹣15﹣（a+15）=12，解得a=21．
故从P、Q在点C处相遇开始，再经过3分钟或9分钟或21分钟，P、Q两点的距离为12个单位长度．
【点评】本题考查了数轴，利用数轴让学生体会“数”与“形”的结合是本题的关键．
　
36．如图，点C在线段AB上，AM=8cm，NB=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长．
（2）若点C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？请直接写出正确结论．
【分析】（1）根据图形和已知条件，M、N分别是AC、BC的中点，已知AM、NB的长，求出MC和CN的长度，从而求出MN的长度；
（2）已知M、N分别是AC、BC的中点，求出MN=（AC+BC），即MN=a．
【解答】解：（1）∵点M是线段AC的中点，
∴AM=MC；
又∵AM=8cm，
∴MC=8cm；
同理可得，CN=6cm；
∴MN=MC+CN=8+6=14cm．
（2）MN=acm．
∵M、N分别是AC、BC的中点，′
∴MC=AC，CN=CB．
∵AC+CB=acm，
∴MC+CN=acm，
即MN=acm．
【点评】本题根据线段的中点平分线段的知识求线段的长度，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
　
37．如图①，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点A落在A′处，BC为折痕．
（1）图①中，若∠1=30°，求∠A′BD的度数；
（2）如果将图①的另一角∠A′BD斜折过去，使BD边与BA′重合，折痕为BE，点D的对应点为D′，如图②所示，若∠1=30°，求∠2以及∠CBE的度数；
（3）如果将图①的另一角斜折过去，使BD边落在∠1内部，折痕为BE，点D的对应点为D′，如图③所示，若∠1=40°，设∠A′BD′=α，∠EBD=β，请直接回答：①α的取值范围和β的取值范围；②α与β之间的数量关系．
【分析】（1）根据∠A′BD=180°﹣2∠1计算即可．
（2）由∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，可得∠2=∠A′BD=60°，
（3）由折叠的性质和关系解答即可．
【解答】解：（1）∵∠1=30°，
∴∠ABC=∠1=30°，
∴∠A′BD=180°﹣∠ABC﹣∠1=120°；
（2）∵∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，
∴∠2=∠DBE=∠A′BD=60°，
∴∠CBE=∠1+∠2=30°+60°=90°．
（3）①0°＜α＜40°，50°＜β＜70°； ②2β﹣α=100°．
【点评】本题考查翻折变换，平角的性质等知识，解题的关键是利用法则不变性解决问题，属于基础题，中考常考题型．
　
38．钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间．
（1）时针每分钟转动的角度为　0.5　°，分针每分钟转动的角度为　6　°；
（2）8点整，钟面角∠AOB=　120　°，钟面角与此相等的整点还有：　4　点；
（3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数．
【分析】（1）根据时针旋转一周12小时，可得时针旋转的速度，根据分针旋转一周60分钟，可得分针旋转的速度；
（2）根据时针与分针相距的份数乘每份的度数，可得答案；
（3）根据时针旋转的角度减去分针旋转的角度，可得答案．
【解答】解：（1）时针每分钟转动的角度为0.5°，分针每分钟转动的角度为6°；
故答案为：0.5，6；
（2）0.5×60×4=120°，4点时0.5×60×4=120°，
故答案为：120，4；
（3）如图，
∠AOB=6×30+15×0.5﹣15×6=97.5°．
【点评】本题考查了钟面角，利用时针时针旋转的角度减去分针旋转的角度是解题关键．
　
39．已知点C在线段AB上，且AC=6，BC=4，M，N分别是AC，BC的中点．
（1）求线段MN的长度；
（2）如果AC=a，BC=b，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？
（3）如果我们这样叙述它：“已知点C与线段AB在同一直线上，线段AC=6，BC=4，M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．
【分析】（1）（2）在一条直线或线段上的线段的加减运算和倍数运算，首先明确线段间的相互关系，最好准确画出几何图形，再根据题意进行计算；
（3）会出现两种情况：①点C在线段AB上；②点C在AB或BA的延长线上．不要漏解．
【解答】解：（1）∵AC=6，BC=4，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴MN=（AC+CB）=×10=5；
（2）MN=，直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半；
（3）如图，有变化，会出现两种情况：
①当点C在线段AB上时，MN=（AC+BC）=5；
②当点C在AB或BA的延长线上时，MN=（AC﹣BC）=1．
【点评】考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
　
40．回答问题：
（1）已知∠AOB的度数为54°，在∠AOB的内部有一条射线OC，满足∠AOC=∠COB，在∠AOB所在平面上另有一条射线OD，满足∠BOD=∠AOC，如图1和图2所示，求∠COD的度数．
（2）已知线段AB长为12cm，点C是线段AB上一点，满足AC=CB，点D是直线AB上满足BD=AC．请画出示意图，求出线段CD的长．
【分析】（1）根据角的倍分关系先求出∠AOC、∠COB的度数，进一步得到∠BOD的度数，再根据角的和差关系可求∠COD的度数．
（2）由AB的长，即AC为BC的一半求出AC与BC的长，再由BD为AC一半求出BD的长，由BC﹣BD及BD+BC即可求出CD的长．
【解答】解：（1）∵∠AOB的度数为54°，∠AOC=∠COB，
∴∠AOC=18°，∠COB=36°，
∵∠BOD=∠AOC，
∴∠BOD=9°，
∴∠COD=36°+9°=45°；
（2））如图1，图2，分两种情况讨论：
由题意得AC=4cm，BC=8cm，BD=2cm，
由图1得CD=BC﹣BD=6cm，
由图2得CD=BC+BD=10cm．
综上所述，线段CD的长是6cm或10cm．
【点评】本题考查了两点间的距离和角的计算，熟悉线段的加减运算和角的相关运算是解题的关键．