4.5 相似三角形的性质
及其应用(3)
数学浙教版 九年级上
4.5 相似三角形的性质
及其应用(3)
教学目标
1.能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题．
2.进一步检验数学的应用价值．
重点和难点
本节教学的重点是运用相似三角形的性质解决简单的实际问题．
由于学生缺乏一定的生活经验，让他们设计测量树高的方案有一定的难度，所以例3的方案设计是本节教学的难点．
如图：有一路灯杆，小明在灯光下看到自己的影子，那么
（1）在图中有相似三角形吗？如有，请写出．
（2）如果已知，，小明身高为，你能求得路灯杆的高吗？
解：（1）．
（2）∵ ，
∴ 解得，
答：路灯杆高6.4m．
例5 如图，屋架跨度的一半，高度，现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度，在水平位置．求的长度（精确到m）．
解：由题意，得，
∴ ．
又∵ ，
∴ △ABC∽△OPQ，
∴ ，
∴ (m)．
答：的长约为m．
例6 数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方法：
方法一：如图，把镜子放在离树()点处，然后沿着直线后退到，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得，观察者目高；
请你自己写出求解过程，
并与同伴探讨，还有其
他测量树高的方法吗？
例6 数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方法：
方法二：如图，把长为的标杆直立在地面上，量出树的影长为，标杆影长为．
分别根据上述两种不同方
法求出树高（精确到0.1m）
F
D
C
E
B
A
解：方法一：由，
∴ 即，
∴ m．
答：测量树高约为m．
方法二：由，
∴ 即，
∴ m．
答：测量树高约为m．
如图，已知零件的外径为，要求它的厚度，需先求出内孔的直径，现用一个交叉卡钳（两条尺长和相等）去量，若，且量得，求厚度．
分析：
如图，要想求厚度，根据条件可知，首先得求出内孔直径．而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出AB的长度．
O
解：∵ ，
且．
∴ ．
∵ ，
又∵，
∴，
∴ ．
O
如图，是一块锐角三角形余料，边毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？
N
M
Q
P
E
D
C
B
A
解：设正方形PQMN是符合要求的的高与相交于点，设正方形的边长为毫米，
∵ ，∴ ．
∴
即，得
答：这个正方形零件的边长是毫米．
N
M
Q
P
E
D
C
B
A
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)
2 测距(不能直接测量的两点间的距离)
二、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决
三、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解
解决实际问题时（如测高、测距），
一般有以下步骤：①审题 ②构建图形 ③利用相似解决问题
课堂小结
1．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的几分之几？
解：缩小到原来的．
2．如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高
AB＝1.2m．当BC＝2.4m时，点B离地面的距离
BE＝1.4m，求此时点A离地面的距离(精确到0.1m)．
解：过点B作BG⊥AD，垂足为G，
易证△ABG∽△CBE，
∵
∵
(m)
∴
∴ AD＝AG＋GD＝AG＋BE(m)．
3．如图，正方形城邑DEFG的四面正中各有城门，出北门20步的A处(HA＝20步)有一树木，出南门14步到C处(KG＝14步)，再向西行1 775步到B处(CB＝1 775步)，正好看到A处的树木(点D在直线AB上)．求城邑的边长．
(本题是我国古代数学名著
《九章算术》中“勾股”章的
第二十题，原文是：“今有
邑方不知大小，各中开门，
出北门二十步有木，出南门
十四步，折而西行一千七百
七十五步见木．问邑方几何？”)
解：设正方形的边长为x，由已知可得△ADH∽△ABC，
∴ ，
即
化简，得x2＋34x－71000＝0．
解这个方程，得x1＝250，x2＝－284(舍去)．
所以城邑的边长为250步．
4．小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度(如图)，当1m长的直立竹竿的影长为1.5m时，测量旗杆落在地上的影长为21m，落在墙上的影长为2m．求旗杆的高度．
解：设旗杆的高度为x(m)，
由题意，得，解得 x＝16．
答：旗杆的高度为16m．
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
中小学教育资源及组卷应用平台
4.5 相似三角形的性质及应用(3)
学习目标 1．能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题． 2．进一步检验数学的应用价值．
学习过程
如图：有一路灯杆AB，小明在灯光下看到自己的影子DF，那么 (1)在图中有相似三角形吗？如有，请写出． (2)如果已知BD＝3m，DF＝1m，小明身高为1.6m，你能求得路灯杆的高吗？
例5 如图，屋架跨度的一半OP＝5m，高度OQ＝2.25m，现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度 AC＝1.20m，AB在水平位置．求AB的长度(精确到0.01m)．
例6 数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方法： 方法一：如图，把镜子放在离树(AB)8m点E处，然后沿着直线BE后退到D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.8m，观察者目高CD＝1.6m；
方法二：如图，把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80m，标杆影长为1.47m．
如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)去量，若OA∶OC＝OB∶OD＝n，且量得CD＝b，求厚度x．
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120毫米，高AD＝80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
作业题
1．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的几分之几？
2．如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.2m．当BC＝2.4m时，点B离地面的距离BE＝1.4m，求此时点A离地面的距离(精确到0.1m)．
3．如图，正方形城邑DEFG的四面正中各有城门，出北门20步的A处(HA＝20步)有一树木，出南门14步到C处(KG＝14步)，再向西行1 775步到B处(CB＝1 775步)，正好看到A处的树木(点D在直线AB上)．求城邑的边长． (本题是我国古代数学名著《九章算术》中“勾股”章的第二十题，原文是：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”)
4．小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度(如图)，当1m长的直立竹竿的影长为1.5m时，测量旗杆落在地上的影长为21m，落在墙上的影长为2m．求旗杆的高度．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
4.5 相似三角形的性质及应用(3)
教学目标 1．能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题． 2．进一步检验数学的应用价值． 重点和难点 本节教学的重点是运用相似三角形的性质解决简单的实际问题． 由于学生缺乏一定的生活经验，让他们设计测量树高的方案有一定的难度，所以例3的方案设计是本节教学的难点．
教学设计
本例是运用“相似三角形的对应边成比例”来解决有关线段的计算问题，由于图形中的线段比较多，相关的两个三角形不是很明显，所以教学时应注意抓住问题的实质． (1)根据题目的条件和所要求的问题，能否运用相似三角形的有关知识来解决？ (2)根据已知条件和所求，应说明哪两个三角形的相似？ (3)根据什么条件可以判定这两个三角形相似？
安排此例的目的有三个： 一是能较好地运用相似三角形的知识解决实际问题； 二是创设的问题情境是学生所熟悉的，有利于激发学生的参与热情； 三是能提供多种方案，有利于学生思维的发散和知识的综合运用． 课本提供的方法一要运用光学的原理——入射角等于反射角，学生在前面已经多次接触，并没有太大的难度，所以找两个相似三角形的对应边应该没有困难．
方法二也是利用光学的知识——太阳光线可以看做是平行的，从而可以得到两组内角对应相等，利用“相似三角形的对应边成比例”求解． 在学生完成上述两个问题的解答后，应及时提问：还有其他测量树高的方法吗？并通过学生的合作讨论完成．具体组织形式可按如下的方式： (1)提出问题后让学生独立画图、尝试． (2)在独立思考的基础上进行合作讨论，修正、改进设计的测量方案，提出更合理、可操作的方案． (3)对于各组讨论的结果全班进行汇总、交流．
作业题
1．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的几分之几？ 解：缩小到原来的．
2．如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB＝1.2m．当BC＝2.4m时，点B离地面的距离BE＝1.4m，求此时点A离地面的距离(精确到0.1m)． 解：过点B作BG⊥AD，垂足为G， 易证△ABG∽△CBE， ∵ ∵ (m) ∴ ∴ AD＝AG＋GD＝AG＋BE(m)．
3．如图，正方形城邑DEFG的四面正中各有城门，出北门20步的A处(HA＝20步)有一树木，出南门14步到C处(KG＝14步)，再向西行1 775步到B处(CB＝1 775步)，正好看到A处的树木(点D在直线AB上)．求城邑的边长． (本题是我国古代数学名著《九章算术》中“勾股”章的第二十题，原文是：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”) 解：设正方形的边长为x，由已知可得△ADH∽△ABC， ∴ ，即 化简，得x2＋34x－71000＝0． 解这个方程，得x1＝250，x2＝－284(舍去)． 所以城邑的边长为250步．
4．小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度(如图)，当1m长的直立竹竿的影长为1.5m时，测量旗杆落在地上的影长为21m，落在墙上的影长为2m．求旗杆的高度． 解：设旗杆的高度为x(m)， 由题意，得，解得 x＝16． 答：旗杆的高度为16m．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
