5.5 一次函数的简单应用（2）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学上册第5章5.5一次函数的简单应用
第2课时 一次函数的简单应用（2）
【知识清单】
一、一次函数的表达式的应用：
从“数”的方面看当一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的函数值为0（即y=0）时，则自变量x的值，即为方程kx+b=0的解；从“形”的方面看函数图象与x轴交点的横坐标x的值，即为方程kx+b=0的解.
二、由两条相交的函数图象可获取的信息：
1.交点坐标用(x0,y0)表示，当x= x0，两函数值相等；
2.对于同一自变量来说，函数图象在上方，说明函数值大；反之函数值小.
【经典例题】
例题1、小明家与爷爷家相距36km，小明7点从家出发，骑自行车回爷爷家，哥哥有事要处理从家出发比弟弟晚一个小时，乘车沿相同路线回爷爷家，小明和哥哥的行进路程S（km）与时间t（时）的函数图象如图所示，则下列说法中错误的有（　　）
①小明骑自行车的平均速度是12km/h；②9点之前哥哥的速度比弟弟的慢；③哥哥在距爷爷家12km处追上小明；④哥哥比弟弟提前30分钟到爷爷家．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】一次函数图象的应用．
【分析】由图象可知，小明骑完全程用了3小时，而哥哥用了1.5小时，二人的行程都是36千米可根据公式S=tv进行计算平均速度；两个图象的交点表示二人在同一时刻到达相同的位置，由图象可知9：00二人相遇，由此可分析其行程．
【解答】①∵小明到爷爷家用时107=3（小时），行程36千米，
∴v=36÷3=12km/h.
??? 故：①正确．
②∵哥哥到爷爷家用时9.58=1.5（小时），行程36千米，
∴v=36÷1.5=24km/h，24>12 .
????????? ? 故：②错误．
③∵二人在9：00相遇，此时小明已骑车2小时，哥哥出发1小时，
∴哥哥的行程=24×1=24（千米），小明的行程=12×2=24（千米），
∴3624=12，
哥哥在距爷爷家12km处追上小明.
? ? 故：③正确．
?? ④∵哥哥到爷爷家的时间为9.5小时，弟弟到爷爷家的时间为10小时，
? 109.5=0.5(小时)，0.5时=30分钟.
即：④正确．
故：选A .
【点评】本题考查了函数图象的意义、性质；认真读图、分析变量t、S的意义及取值是解题的关键，本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取有效信息．
例题2、一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．
（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；
（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶60千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；
（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图像
【考点】一次函数图象的应用．
【分析】（1）设线段AB的解析式为y=kx+b，将（2，140），（3，0）代入，可求线段AB的解析式，根据线段AB的解析式求A点坐标，得出甲乙两地之间的距离；（2）根据相遇时：快车路程+慢车路程=甲乙两地距离，利用t=甲乙两地距离÷快车速度，求t．
【解答】如图①（1）线段AB所在直线的函数解析式为：y=kx+b，
将（2，140）、（3，0）代入得：
，解得，
所以线段AB所在直线的函数解析式为：y=140x+420，
当x=0时， y=420，
所以甲乙两地之间的距离420千米．
（2）设快车的速度为m千米/时，慢车的速度为n千米/时，
由题意得：
，解得，
所以快车的速度为80千米/时，所以
（3）如图②所示．?
【点评】本题考查了一次函数的运用．关键是通过图象，求出直线解析式，利用直线解析式求A点坐标，得出甲乙两地距离，再根据路程、速度、时间的关系解题．
【夯实基础】
1、均匀地向一个如图所示的容器中注水，最后把容器注满，在注水过程中水面高度h随时间t变化的函数图象大致是(　　)

2、自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图所示．若该用户本月用水35吨，则应交水费(??? )
?A．68．25元? B．70元??? C．75元?? ?D．84元

3、一种蚊香点燃后，室内药物物浓度y(微克/毫升)与点燃蚊香的时间x(时)之间的函数关系如图所示，则当1≤x≤4时，y的取值范围是（　　　）
?A．? B．??? C．?? ?D．
4、某儿童玩具加工厂的生产流水线每小时可生产1500件产品，生产前没有产品积压，生产2小时后安排工人装箱，若每小时可以装产品2000件，则未装箱的产品数y（件）是时间t（小时）的函数，这个函数的大致图象可能是（　　）
　

5、某超市推出免费送物品活动，顾客购买某种物品质量x（kg）与交费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，则顾客可以免费领取物品的最最小质量为__20____kg．


6、如图，小明购买一种羽毛球所付款金额y（元）与购买量x（个）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买10个羽毛球比分10次购买每次购买1个可节省 .
7、栽种了一颗20cm高的玉米苗，它的生长高度y（厘米）与时间x（天）的关系，并画出如图所示的图象（AB是线段，直线BC平行x轴）．
（1）这颗玉米，多少天以后停止长高？
（2）求直线AC的解析式，并求这颗玉米最高长多少厘米？
8、某产品生产车间有工人20名．已知每名工人每天可生产甲种产品24个或乙种产品20个，且每生产一个甲种产品可获得利润120元，每生产一个乙种产品可获得利润200元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人生产甲种产品，其余工人生产乙种产品．
（1）请写出此车间每天获取利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；
（2）若要使此车间每天获取利润为64320元，要派多少名工人去生产甲种产品？
（3）若生产甲种产品的人数大于生产乙种产品人数的，而小于生产乙种产品人数的，要使获取利润最大，你认为安排多少名工人去生产乙种产品才合适？
【提优特训】
9、某校举行趣味运动会，甲、乙两名学生同时从A地到B地，甲先骑自行车到B地后跑步回A地，乙则是先跑步到B地后骑自行车回A地（骑自行车的速度快于跑步的速度），最后两人恰好同时回到A地．已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快．若学生离A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示如下（实线表示甲的图象，虚线表示乙的图象），则正确的是（　　）
10、某村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量y（件）关于时间x（月）的函数图象如图所示，则该厂对这种产品来说（　　）
A、1月至2月每月生产总量平稳增加，3，4，5三个月每个月的产量不变
B、1月至2月每月生产总量平均增加，3，4，5三个月每个月的产量不变
C、1月至2月只有原来生产的产品，3，4，5三个月每个月的产量不变
D、1月至2月每月生产总量不变，3，4，5三个月每月生产总量平稳增加
11、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P从起点B出发，沿BC、CD逆时针方向向终点D匀速运动．设点P所走过路程为x，则线段AP、AD与矩形的边所围成的图形面积为y，则下列图象中能大致反映y与x函数关系的是（　　）
12、如图，平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（10，5），BA⊥y轴，垂足为A，点Q从原点O出发向x轴正方向运动，同时，点P从点B出发向点A运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，若点Q与点P的速度之比为2︰3，则下列说法正确的是（　　）
A．线段PQ始终经过点（2，4） B．线段PQ始终经过点（4，2）
C．线段PQ始终经过点（3，2） D．线段PQ不可能始终经过某一定点
13、星期日上午8点30分李峰从家中出发骑自行车到距家1200米处的超市购物，如图是8点40分时这段时间内他与家的距离随时间变化的图象．根据此图象，请你用简短的语句分别叙述小王在8点40分至8点45分与9点5分至9点25分这两段时间内活动的情况：
8点40分至8点45分： ；9点5分至9点25分： ．
14、冬天来临某商店购进一批棉手套，经试销发现，若按每双26元的价格销售，则每月能售出320双；若按每双31元的价格出售，则每月能售出230双，假定每月的销售量y（双）是价格x（元）的一次函数，则该一个函数的表达式为 .
15、某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离y（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下5个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；
②快递车从甲地到乙地用了3小时；
③甲、乙两地之间的距离为120千米；
④图中点B的坐标为；
⑤快递车从乙地返回时的速度为90千米/时，
以上5个结论正确的是 .

16、某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程．开始时风速平均每小时增加2km/h，4h后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均增加4km/h．一段时间，风速保持不变．当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减1千米/时．第40h时，测得风速为17km/h，结合风速及时间的图象，回答下列问题：
（1）在y轴（　　）内填入相应的数值；
（2）沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？
（3）求出当x≥25时，风速y（km/h）
与时间x（h）之间的函数关系式．
（4）若风速达到或超过20km/h，
称为强沙尘暴，则强沙尘暴持续多少时间？
17、某房地产开发公司计划开发A、B两种户型的住房共100套，该公司所筹资金不少于4377万元，但不超过4386万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：
A
B
成本(万元/套)
42
45
售价(万元/套)
50
55
(1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案?
(2)该公司如何建房获得利润最大?
(3)根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元(a>0)，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大?（注：利润=售价-成本）
18、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y，图中的折线表示y与x之间的函数关系.
（1）甲、乙两地之间的距离为多少千米；
（2）请解释图中点B的实际意义；?
（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，
并写出自变量x的取值范围；?
（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．
在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列
快车比第一列快车晚出发多少小时？
【中考链接】
19．2018年黑龙江齐齐哈尔17．（3.00分）在平面直角坐标系中，点A（，1）在射线OM上，点B（，3）在射线ON上，以AB为直角边作Rt△ABA1，
以BA1为直角边作第二个Rt△BA1B1，以A1B1为直角边作
第三个Rt△A1B1A2，…，依次规律，
得到Rt△B2017A2018B2018，则点B2018的纵坐标为　 　．
20、2018年江苏连云港24．某村在推进美丽乡村活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖．经过调査．获取信息如下：
购买数量低于5000块
购买数量不低于5000块
红色地砖
原价销售
以八折销售
蓝色地砖
原价销售
以九折销售
如果购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；如果购买红色地砖10000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元．
（1）红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元？
（2）经过测算，需要购置地砖12000块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过6000块，如何购买付款最少？请说明理由．
21、2018江苏南通25．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题：
（1）慢车的速度为　 　km/h，快车的速度为　 　km/h；
（2）解释图中点C的实际意义并求出点C的坐标；
（3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km．

22、2018?怀化20．某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．
(1)求y与x的函数表达式，其中0≤x≤21；
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

参考答案
1、A 2、C 3、B 4、D 5、20， 6、2 9、C 10、C 11、A 12、B
13、在家中，在购物 14、y=18x+788 15、①②④⑤ 19、32019
7、解：（1）∵BC∥x轴，
∴从第70天开始这颗玉米的高度不变.
答：这颗玉米从栽种起，70天以后停止长高.
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵经过点A（0，20），B（25，75），
∴由题意得，
解得，
∴直线AB的解析式为(0当x=70时，( cm).
答：直线AB的解析式为(08、解：（1）根据题意得：y=24x×120+20（20x）×200=1120x+80000.
（2）当y=64320时，有64320=1120x+80000，解得：x=14.
∴要派14名工人去生产甲种产品。
（3）根据题意可得，，
解得：，
∵x取整数，∴x=9，10，11.
又∵y=1120x+80000，k=1120<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=9时，该工厂获得的利润最大，
∴209=11（名），
所以要派11名工人去生产乙种产品才合适.
15、解：①设快递车从甲地到乙地的速度为x千米/时，则
3(x60)=120，解得x=100，故①正确；
②甲、乙两地之间的距离为：120+3×60=300（km），300÷100=3（h），
故②正确；
③因为120千米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲、乙两地之间的距离，故③错误；
④因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，
所以图中点B的横坐标为，纵坐标为，故④正确；
⑤设快递车从乙地返回时的速度为y千米/时，则，
y=90，故⑤正确．
故答案为；①②④⑤．
16、解：（1）2×4=8，
则8+4×（10-4）=32；
（2）32÷1+25=57小时；
（3）根据图象，设直线CD解析式为y=kx+b，
方法①直线CD经过（25，32）（57，0），
得，解得，∴y=x+57（25≤x≤57）；
方法②直线CD经过（25，32）（40，17），
得，解得，∴y=x+57（25≤x≤57）；
方法③直线y=32 (x25)×1=x+57（25≤x≤57）.
（4）解：方法①（32-20）÷4=3h
25-10=15h
（32-20）÷1=12h
3+15+12=30h
方法②根据图象，设直线AB解析式为y=mx+n，
直线AB经过（4，8）（10，32），
得，解得，∴y=4x8（4≤x≤10）；
当y=20时，x+57=20，4x8=20，
解得， x1=37，x2=7，
∴x1 x2=377=30.
答：强沙尘暴持续30小时.
17、解：（1）设公司建A户型x套，则建B户型（100-x）套，
由题意得： 4377≤42x+45(100-x )?≤4386
解得：38≤x≤41????经检验，符合题意。
∵x取整数，∴x=38、39、40、41.
∴该公司有以下四种建房方案：
①A户型：38套，B户型62套；② A户型：39套，B户型61套；
③A户型：40套，B户型60套；④A户型：41套，B户型59套.
（2）∵每套A户型获利：4250=8万元，
每套B户型获利：5545=10万元。
∴每套B户型获利﹥每套A户型获利，方案一获利最大.
即建48套A户型，32套B户型时获利最大。
（3）由题意得：A户型住房的售价提高a万元后：
每套A户型获利（8+a）万元，每套B户型仍获利10万元.
∴当8+a﹤10，即a﹤2时，方案一获利最大；
当8+a=10， 即a=2时，四种方案获利一样多；
当8+a﹥10，即a﹥2时，方案四获利最大.
18、解：（1）900；
（2）图中点B的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇；
（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，所以慢车的速度为；
???????? 当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为，所以快车的速度为150km/h；
（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，
所以快车行驶到达乙地，此时两车
之间的距离为，
所以点C的坐标为（6，450）.
? 设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
把（4，0），（6，450）代入得
? 解得所以，线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=225x900
? 自变量x的取值范围是4≤x≤6；
（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．把x=4.5代入y=225x900，得y=112.5，
此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h。
19、【分析】根据题意，分别找到AB、A1B1、A2B2……及 BA1、B1A2、B2A3……线段长度递增规律即可.
【解答】解：由已知可知
点A、A1、A2、A3……A2018
各点在正比例函数y=的图象上，
点B、B1、B2、B3……B2018
各点在正比例函数y=的图象上，
两个函数相减得到横坐标不变的情况下
两个函数图象上点的纵坐标的差为：①
由已知，Rt△A1B1A2，…，到Rt△B2017A2018B2018 都有一个锐角为30°
∴当A（B）点横坐标为时，由①AB=2，则BA1=2，则点A1横坐标为，B1 点纵坐标为9=32
当A1（B1）点横坐标为3时，由①A1B1=6，则B1A2=6，则点A2横坐标为，B2点纵坐标为27=33
当A2（B2）点横坐标为9时，由①A2B2=18，则B2A3=18，则点A3横坐标为，B3点纵坐标为81=34
依此类推
点B2018的纵坐标为32019
故答案为：32019
【点评】本题是平面直角坐标系规律探究题，考查了含有特殊角的直角三角形各边数量关系，解答时注意数形结合．
20、【分析】（1）根据题意结合表格中数据，购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；购买红色地砖10000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元，分别得出方程得出答案；
（2）利用已知得出x的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案．
【解答】解：（1）设红色地砖每块a元，蓝色地砖每块b元，由题意可得：
，解得：，
答：红色地砖每块8元，蓝色地砖每块10元；
（2）设购置蓝色地砖x块，则购置红色地砖（12000x）块，所需的总费用为y元，
由题意可得：，
解得：x≥4000，
又x≤6000，
所以蓝砖块数x的取值范围：4000≤x≤6000，
当4000≤x＜5000时，
y=10x+×0.8（12000﹣x）
=76800+3.6x，
所以x=4000时，y有最小值91200，
当5000≤x≤6000时，y=0.9×10x+8×0.8（1200﹣x）=2.6x+76800，
所以x=5000时，y有最小值89800，
∵89800<91200，
∴购买蓝色地砖5000块，红色地砖7000块，费用最少，最少费用为89800元．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
21、【分析】（1）由图象可知，两车同时出发．等量关系有两个：
3.6×（慢车的速度+快车的速度）=720，（93.6）×慢车的速度=3.6×快车的速度，设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h，依此列出方程组，求解即可；
（2）点C表示快车到达乙地，然后求出快车行驶完全程的时间从而求出点C的横坐标，再求出相遇后两辆车行驶的路程得到点C的纵坐标，从而得解；
（3）分相遇前相距500km和相遇后相遇500km两种情况求解即可．
【解答】解：（1）设慢车的速度为akm/h，
快车的速度为bkm/h，
根据题意，得，解得，
故答案为80，120；
（2）图中点C的实际意义是：快车到达乙地；
∵快车走完全程所需时间为720÷120=6（h），
∴点C的横坐标为6，
纵坐标为（80+120）×（63.6）=480，
即点C（6，480）；
（3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为500km．
即相遇前：（80+120）x=720500，
解得x=1.1，
相遇后：∵点C（6，480），
∴慢车行驶20km两车之间的距离为500km，
∵慢车行驶20km需要的时间是( h)，
∴x=6+0.25=6.25（h），
故x=1.1 h或6.25 h，两车之间的距离为500km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，(3)要分相遇前与相遇后两种情况讨论，这也是本题容易出错的地方．
22、【分析】(1)根据购买两种树苗所需费用=A种树苗费用+B种树苗费用，即可解答；
(2)根据购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，列出不等式，确定x的取值范围，再根据（1）得出的y与x之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案．
【解答】解：(1)根据题意，得：y=90x+70（21x）=20x+1470，
所以函数解析式为：y=20x+1470；
(2)∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，
∴21x解得：x>10.5，
又∵y=20x+1470，且x取整数，
∴当x=11时，y有最小值=1690，
∴使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元．