浙教版初中数学九年级上册第4.3相似三角形同步练习含答案

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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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九年级上册 第4章 相似三角形 （第3节）
一、单选题（共10题；共20分）
1.下列命题是真命题的是（? ）
A.两直线平行，同位角相等 B.相似三角形的面积比等于相似比
C.菱形的对角线相等 D.相等的两个角是对顶角
2.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为 ， 和 ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为（??? ）
A.?3cm????????????????????????????????????B.?4cm????????????????????????????????????C.?4.5cm????????????????????????????????????D.?5cm
3.已知 与 相似，且相似比为 ，则 与 的面积比（? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
4.已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（?? ）
A.?32??????????????????????????????????????????B.?8??????????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????????D.?16
5.如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），过点A作AB⊥x轴于点B．将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD，则CD的长度是（?? ）

A.?2?????????????????????????????????????????B.?1?????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?2
6. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（?? ）
A.?（6+ ）米?????????????????????????B.?12米?????????????????????????C.?（4﹣2 ）米?????????????????????????D.?10米
7. 若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（?? ）
A.?1：2???????????????????????????????????B.?1：4???????????????????????????????????C.?1：5???????????????????????????????????D.?1：16
8.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值(? )
A.?只有1个???????????????????????????B.?可以有2个???????????????????????????C.?可以有3个???????????????????????????D.?有无数个
9.如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(?? )

A.?（6，0）???????????????????????????B.?（6，3）???????????????????????????C.?（6，5）???????????????????????????D.?（4，2）
10. 平面直角坐标中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y=﹣ 图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（?? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个??????????????????? ????????????D.?4个
二、填空题（共6题；共6分）
11.已知 且 ，则 =________．
12. 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为________．
13. 如图，已知△ABC是面积为 的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于________（结果保留根号）．
14. 如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为________．
15. 如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y= （k≠0）在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD．若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为________．
16. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是________．
①EF= OE；②S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；③BE+BF= OA；④在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE= ；⑤OG?BD=AE2+CF2 ．

三、综合题（共6题；共72分）
17.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（ ， ），点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．





18.如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．

（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？
（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．
19.综合题【再现】如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE= BC．（不需要证明）

（1）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明．

（2）【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形ABCD中，满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？你添加的条件是：________．（只添加一个条件）
（3）如图③，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC，BD相交于点O．若AO=OC，四边形ABCD面积为5，则阴影部分图形的面积和为________．







20.在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B、C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC．

（1）求∠D的度数；
（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH．
①如图1，连接GH、AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；
②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求k的值．




21.如图，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；
（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ= MN时，求菱形对角线MN的长．







22.如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．

（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．


答案
一、单选题
1.A 2.C 3.D 4.C 5.A 6.A 7.A 8.B 9.B 10.D
二、填空题
11.
12.113°或92°
13.
14.a
15.y=2x
16.①②③⑤
三、综合题
17.（1）解：设直线AD的解析式为y=kx+b，将A（ ， ），D（0，1）代入得： ，
解得： ．
故直线AD的解析式为：y= x+1；
（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），
∴OB=2，
∵点D的坐标为（0，1），
∴OD=1，
∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），
∴OC=3，
∴BC=5
∵△BOD与△BEC相似，
∴ 或 ，
∴ = = 或 ，
∴BE=2 ，CE= ，或CE= ，
∵BC?EF=BE?CE，
∴EF=2，CF= =1，
∴E（2，2），或（3， ）．
18.（1）解：在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4，
∴C（0，4），
∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），
∴B（10，4），
把B、D坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+4；
（2）解：由题意可设P（t，4），则E（t，﹣ t2+ t+4），
∴PB=10﹣t，PE=﹣ t2+ t+4﹣4=﹣ t2+ t，
∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，
∴△PBE∽△OCD，
∴ = ，即BP?OD=CO?PE，
∴2（10﹣t）=4（﹣ t2+ t），解得t=3或t=10（不合题意，舍去），
∴当t=3时，∠PBE=∠OCD；
（3）解：当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，
∴∠CQO+∠AQB=90°，
∵∠CQO+∠OCQ=90°，
∴∠OCQ=∠AQB，
∴Rt△COQ∽Rt△QAB，
∴ = ，即OQ?AQ=CO?AB，
设OQ=m，则AQ=10﹣m，
∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8，
①当m=2时，CQ= =2 ，BQ= =4 ，
∴sin∠BCQ= = ，sin∠CBQ= = ，
∴PM=PC?sin∠PCQ= t，PN=PB?sin∠CBQ= （10﹣t），
∴ t= （10﹣t），解得t= ，
②当m=8时，同理可求得t= ，
∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为 或 ．
19.（1）解：【探究】平行四边形．
理由：如图1，连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF= AC，
同理HG∥AC，HG= AC，
综上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四边形EFGH是平行四边形．
（2）AC=BD
（3）
20.（1）解：∵AB2+AC2=100=BC2 ，
∴∠BAC=90°，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠D=∠BAC=90°
（2）解：①四边形AGDH为正方形，
理由：如图1，

延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠E=∠EMC，
∴∠B=∠EMC，
∴AB∥DE，
同理：DF∥AC，
∴四边形AGDH为平行四边形，
∵∠D=90°，
∴四边形AGDH为矩形，
∵GH⊥AD，
∴四边形AGDH为正方形；
②当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，
理由：如图2，

点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M，
∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，
∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，
只有点D在BC边上时，面积才有可能最大，
如图3，

点D在BC上，
∵DG∥AC，
∴△BGD∽△BAC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴AH=8﹣ GA，
S矩形AGDH=AG×AH=AG×（8﹣ AG）=﹣ AG2+8AG，
当AG=﹣ =3时，S矩形AGDH最大，此时，DG=AH=4，
即：当AG=3，AH=4时，S矩形AGDH最大，
在Rt△BGD中，BD=5，
∴DC=BC﹣BD=5，
即：点D为BC的中点，
∵AD= BC=5，
∴PA=AD=5，
延长PA，∵EF∥BC，QP⊥EF，
∴QP⊥BC，
∴PQ是EF，BC之间的距离，
∴D是EF的距离为PQ的长，
在△ABC中， AB×AC= BC×AQ
∴AQ=4.8
∵△DEF∽△ABC，
∴k=
21.（1）解：∵OB=OC=6，
∴B（6，0），C（0，﹣6），
∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为y= x2﹣2x﹣6，
∵y= x2﹣2x﹣6= （x﹣2）2﹣8，
∴点D的坐标为（2，﹣8）；
（2）解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G，

设F（x， x2﹣2x﹣6），则FG=| x2﹣2x﹣6|，
在y= x2﹣2x﹣6中，令y=0可得 x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，
∴A（﹣2，0），
∴OA=2，则AG=x+2，
∵B（6，0），D（2，﹣8），
∴BE=6﹣2=4，DE=8，
当∠FAB=∠EDB时，且∠FGA=∠BED，
∴△FAG∽△BDE，
∴ = ，即 = = ，
当点F在x轴上方时，则有 = ，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此进F点坐标为（7， ）；
当点F在x轴上方时，则有 =﹣ ，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此进F点坐标为（5，﹣ ）；
综上可知F点的坐标为（7， ）或（5，﹣ ）；
（3）解：∵点P在x轴上，
∴由菱形的对称性可知P（2，0），
如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，

∵PQ= MN，
∴MT=2PT，
设PT=n，则MT=2n，
∴M（2+2n，n），
∵M在抛物线上，
∴n= （2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n= 或n= ，
∴MN=2MT=4n= +1；
当MN在x轴下方时，同理可设PT=n，则M（2+2n，﹣n），
∴﹣n= （2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n= 或n= （舍去），
∴MN=2MT=4n= ﹣1；
综上可知菱形对角线MN的长为 +1或 ﹣1．
22.（1）解：把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=﹣x2+bx+c得，
解得
∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4，
配方得y=﹣（x﹣1）2+5，
∴点M的坐标为（1，5）；
（2）解：设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，
解得
∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F

把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1）
∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；
（3）解：连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）

∵MG=1，GC=5﹣4=1
∴MC= = = ，
把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，则点N坐标为（﹣1，5），
∵NG=GC，GM=GC，
∴∠NCG=∠GCM=45°，
∴∠NCM=90°，
由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点
①若有△PCM∽△BDC，则有
∵BD=1，CD=3，
∴CP= = = ，
∵CD=DA=3，
∴∠DCA=45°，
若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，
∵∠PCH=45°，CP=
∴PH= =
把x= 代入y=﹣x+4，解得y= ，
∴P1（ ）；
同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=﹣ 代入y=﹣x+4，解得y=
∴P2（ , ）；
②若有△PCM∽△CDB，则有
∴CP= =3
∴PH=3 ÷ =3，
若点P在y轴右侧，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；
若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7
∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）．
∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（ ），P2（ , ，P3（3，1），P4（﹣3，7）．
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