第1章 二次根式单元测试卷（含解析）

绝密★启用前
第一章二次根式单元测试卷
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
　
第Ⅰ卷（选择题）
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评卷人
得 分


一．选择题（共10小题，3*10=30）
1．下列根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．3﹣2= B．?（÷）=
C．（﹣）÷=2 D．﹣3=
3．已知下列各式，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知y=，则xy的值为（　　）
A．8 B．±8 C．±9 D．9
5．若=，则x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x≤﹣3 C．﹣3≤x≤3 D．不存在
6．如果m＜0，化简|﹣m|的结果是（　　）
A．﹣2m B．2m C．0 D．﹣m
7．若a+|a|=0，则等于（　　）
A．2﹣2a B．2a﹣2 C．﹣2 D．2
8．已知x=，y=，则x2y+xy2=（　　）
A．2 B．2 C．10+2 D．5+
9．化简，结果是（　　）
A．2 B．4﹣4x C．4x﹣4 D．﹣2
10．已知a=2+，b=2﹣，且（7a2﹣28a+m）（5b2﹣20b﹣10）=10，则m的值为（　　）
A．﹣19 B．﹣20 C．19 D．20
第Ⅱ卷（非选择题）
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评卷人
得 分


二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．化简=　 　．
12．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
13．已知，则x3y+xy3=　 　．
14．当1＜x＜2时，化简+|1﹣x|的正确结果是　 　．
15．已知a、b为一等腰三角形的两边长，且满足等式2+3=b﹣4，则此等腰三角形的周长是　 　．
16．如果，化简+=　 　．
17．若x、y是实数，且y=，则5x+6y=　 　．
18．古希腊的几何学家海伦（约公元50年）在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积S与a，b，c之间的关系式是S=，其中P=．若三角形的三边长分别为4，6，8，则该三角形的面积为　 　．
　
评卷人
得 分


三．解答题（共7小题，46分）
19．（6分）计算
（1）（2﹣1）2+（+2）（﹣2）
（2）（﹣2）×﹣6．
20．（6分）（1）计算：（）﹣（）+2
（2）已知：x=﹣1，求代数式x2+2x﹣2的值．
21．（6分）先化简，再求值：（﹣），其中a=17﹣12，b=3+2
22．（6分）请认真阅读下列这道例题的解法，并完成后面两问的作答：
例：已知y=+2018，求的值．
解：由，解得：x=2017，∴y=2018．
∴．
请继续完成下列两个问题：
（1）若x、y为实数，且y＞+2，化简：；
（2）若y?=y+2，求的值．
23．（6分）先观察下列的计算，再完成：
==；
==；
（1）请你直接写出下面的结果：
=　 　；=　 　；
（2）根据你的猜想、归纳，运用规律计算：+…+
24．（8分）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b=m2+2n2+2mn，∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=　 　，b=　 　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：
　 　+　 　=（　 　+　 　）2；
（3）化简：=　 　．
25．（8分）观察下列各式：
=1+﹣=1
=1+﹣=1
=1+﹣=1
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）=　 　
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：　 　；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
　

参考答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题）
1．下列根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先化简为最简二次根式后即可判定．
【解答】解：=2，
（A）原式=，故A与2不是同类二次根式；
（B）原式=2，故B与2不是同类二次根式；
（C）原式=4，故C与2不是同类二次根式；
（D）原式=3，故D与2是同类二次根式；
故选：D．
【点评】本题考查同类二次根式的定义，解题的关键是熟练运用同类二次根式的定义，本题属于基础题型．
2．下列计算正确的是（　　）
A．3﹣2= B．?（÷）=
C．（﹣）÷=2 D．﹣3=
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得．
【解答】解：A、3与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B、?（÷）=?==，此选项正确；
C、（﹣）÷=（5﹣）÷=5﹣，此选项错误；
D、﹣3=﹣2=﹣，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则．
3．已知下列各式，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【解答】解：（A）原式=2，故A不是最简二次根式；
（B）原式﹣，故B不是最简二次根式；
（C）原式=，故C不是最简二次根式；
故选：D．
【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
4．已知y=，则xy的值为（　　）
A．8 B．±8 C．±9 D．9
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式组求x，再求y．
【解答】解：依题意有，
解得x=3，
所以y=2，
即xy=32=9．
故选：D．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
5．若=，则x的取值范围是（　　）
A．x≥3 B．x≤﹣3 C．﹣3≤x≤3 D．不存在
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x+3≥0且x﹣3≥0，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：要使=有意义，必须x+3≥0且x﹣3≥0，
解得：x≥3，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的乘法，能根据二次根式的乘法得出不等式组是解此题的关键．
6．如果m＜0，化简|﹣m|的结果是（　　）
A．﹣2m B．2m C．0 D．﹣m
【分析】由m＜0，利用二次根式的性质=|a|及绝对值的性质计算可得．
【解答】解：∵m＜0，
∴原式=||m|﹣m|
=|﹣m﹣m|
=|﹣2m|
=﹣2m，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质：=|a|及绝对值的性质．
7．若a+|a|=0，则等于（　　）
A．2﹣2a B．2a﹣2 C．﹣2 D．2
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：∵a+|a|=0，
∴|a|=﹣a，
则a≤0，
故原式=2﹣a﹣a=2﹣2a．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
8．已知x=，y=，则x2y+xy2=（　　）
A．2 B．2 C．10+2 D．5+
【分析】先根据x、y的值计算出x+y、xy的值，再代入原式=xy（x+y）计算可得．
【解答】解：∵x=，y=，
∴x+y=+=2，
xy=（）（）=3﹣2=1，
则原式=xy（x+y）=1×2=2，
故选：B．
【点评】本题主要考查分母有理化，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
9．化简，结果是（　　）
A．2 B．4﹣4x C．4x﹣4 D．﹣2
【分析】先由二次根式的意义可求得x的取值范围，再利用二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：
∵=﹣（）2，
∴2x﹣3≥0，解得x≥，
∴2x﹣1＞0，
∴原式=|2x﹣1|﹣（2x﹣3）=2x﹣1﹣2x+3=2，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，利用二次根式的定义求得x的取值范围是解题的关键．
10．已知a=2+，b=2﹣，且（7a2﹣28a+m）（5b2﹣20b﹣10）=10，则m的值为（　　）
A．﹣19 B．﹣20 C．19 D．20
【分析】根据a=2+，b=2﹣，应用完全平方公式，化简（7a2﹣28a+m）（5b2﹣20b﹣10）=10，即可求出m的值为多少．
【解答】解：∵a=2+，b=2﹣，
∴（7a2﹣28a+m）（5b2﹣20b﹣10）
=[7（a﹣2）2+m﹣28][5（b﹣2）2﹣30]
=（7×7+m﹣28）（5×7﹣30）
=5（m+21）
=10
∴m+21=2，
解得m=﹣19．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分母有理化的方法，以及完全平方公式的应用，要熟练掌握．
　
二．填空题（共8小题）
11．化简=　　．
【分析】根据二次根式的化简，可以解答本题．
【解答】解：==，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解答本题的关键是明确二次根式化简的方法．
12．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥1　．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
13．已知，则x3y+xy3=　10　．
【分析】由已知得x+y=2，xy=1，把x3y+xy3分解因式再代入计算．
【解答】解：∵，
∴x+y=2，xy=1，
∴x3y+xy3=xy（x2+y2）
=xy[（x+y）2﹣2xy]
=（2）2﹣2
=10．
【点评】解题时注意，灵活应用二次根式的乘除法法则，切忌把x、y直接代入求值．
14．当1＜x＜2时，化简+|1﹣x|的正确结果是　1　．
【分析】根据二次根式的性质得出|x﹣2|+|1﹣x|，再去掉绝对值符号合并即可．
【解答】解：当1＜x＜2时，x﹣2＜0，1﹣x＜0，
则原式=|x﹣2|+|1﹣x|
=2﹣x+x﹣1
=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的性质和绝对值的应用，主要考查学生的化简能力．
15．已知a、b为一等腰三角形的两边长，且满足等式2+3=b﹣4，则此等腰三角形的周长是　10　．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a的值，然后代入求出b的值，再根据三角形的周长公式分情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得，3a﹣6≥0且2﹣a≥0，
解得a≥2且a≤2，
所以，a=2，
b﹣4=0，
解得b=4，
①当腰为2，底为4时不能构成三角形；
②当腰为4，底为2时，周长为4+4+2=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
16．如果，化简+=　1　．
【分析】由已知不等式组得出x﹣2＞0，x﹣3＜0，再根据二次根式的性质=|a|化简可得．
【解答】解：∵，
∴x﹣2＞0，x﹣3＜0，
则原式=+
=|x﹣3|+|x﹣2|
=3﹣x+x﹣2
=1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质=|a|．
17．若x、y是实数，且y=，则5x+6y=　﹣22　．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，，
解得x=﹣3，
y==﹣，
所以5x+6y=5×（﹣3）+6×（﹣）=﹣15﹣7=﹣22．
故答案为：﹣22．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
18．古希腊的几何学家海伦（约公元50年）在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积S与a，b，c之间的关系式是S=，其中P=．若三角形的三边长分别为4，6，8，则该三角形的面积为　3　．
【分析】根据如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积S与a，b，c之间的关系式是S=，其中P=，可以求得题目中所求三角形的面积．
【解答】解：∵如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积S与a，b，c之间的关系式是S=，其中P=，
∴若三角形的三边长分别为4，6，8，p=，
∴S==，
故答案为：3．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用海伦公式解答．
　
三．解答题（共7小题）
19．计算
（1）（2﹣1）2+（+2）（﹣2）
（2）（﹣2）×﹣6．
【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算；
（2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式=12﹣4+1+3﹣4
=12﹣4
（2）原式=﹣2﹣3
=3﹣6﹣3
=﹣6．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（1）计算：（）﹣（）+2
（2）已知：x=﹣1，求代数式x2+2x﹣2的值．
【分析】（1）首先化简二次根式，进而利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；
（2）直接把x的值代入进而求出答案．
【解答】解：（1）（）﹣（）+2
=（2﹣）﹣﹣+3÷5
=﹣+
=﹣；
（2）把x=﹣1，代入x2+2x﹣2，
则原式=（﹣1）2+2（﹣1）﹣2
=3﹣2+1+2﹣2﹣2
=0．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
21．先化简，再求值：（﹣），其中a=17﹣12，b=3+2
【分析】将原式利用二次根式的性质和运算法则化简为，由a=17﹣12=（3﹣2）2、b=3+2=（+1）2，代入计算可得．
【解答】解：原式=（﹣）?
=[﹣]?
=?
=，
∵a=17﹣12=32﹣2××（2）2=（3﹣2）2，
b=3+2=（）2+2+1=（+1）2，
∴原式====．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．
22．请认真阅读下列这道例题的解法，并完成后面两问的作答：
例：已知y=+2018，求的值．
解：由，解得：x=2017，∴y=2018．
∴．
请继续完成下列两个问题：
（1）若x、y为实数，且y＞+2，化简：；
（2）若y?=y+2，求的值．
【分析】根据题意给出的方法即可求出答案．
【解答】解：（1）由，
解得：x=3，
∴y＞2．
∴；
（2）由：，
解得：x=1．y=﹣2．
∴．
【点评】本题考查考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
23．先观察下列的计算，再完成：
==；
==；
（1）请你直接写出下面的结果：
=　　；=　　；
（2）根据你的猜想、归纳，运用规律计算：+…+
【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）根据前面的例子，可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）=，
=，
故答案为：；；
（2）+…+
=
=．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、数字的变化类、分母有理数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的式子的值．
24．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b=m2+2n2+2mn，∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=　m2+3n2　，b=　2mn　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：
　4　+　2　=（　1　+　1　）2；
（3）化简：=　3+　．
【分析】（1）模仿例题可以解决问题；
（2）取m=n=1，可得a=4，b=2；（答案不唯一）
（3）根据14+6=（3+）2，即可解决问题；
【解答】解：（1）∵a+b=（m+n）2，
∵a+b=m2+2mn+3n2，
∴a=m2+3n2，b=2mn．
故答案为m2+3n2，2mn．
（2）取m=n=1，可得a=4，b=2；
∴4+2=（1+）2
故答案为：4，2，1，1；
（3）∵14+6=（3+）2，
∴=3+，
故答案为3+．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．观察下列各式：
=1+﹣=1
=1+﹣=1
=1+﹣=1
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）=　1　
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：　=1+　；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
【解答】解：（1）=1=1；故答案为：1；
（2）=1+=1+；故答案为：=1+；
（3）．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．