【期末复习】第三章 圆的基本性质解答题精选（含解析）
文档属性
| 名称 | 【期末复习】第三章 圆的基本性质解答题精选（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-12-18 07:59:01 | ||
图片预览
文档简介
绝密★启用前
期末复习第三章圆的基本性质解答题精选
题号
一
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得 分
解答题（共40小题）
1．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（I）如图①，若BC为⊙O的直径，求BD、CD的长；
（II）如图②，若∠CAB=60°，求BD、BC的长．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心AC为半径作弧AD交AB于D，求AD的长．
3．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）点M的坐标为 ；
（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．
4．如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD=BE，弦CM、CN分别过点D、E．
（1）求证：CD=CE．
（2）求证：=．
5．如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求四边形ACBD的面积．
6．如图，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于D、E两点，连接ED
（1）求证：△CDE为等腰三角形；
（2）若CD=3，BC=4，求AD的长和⊙O的半径．
7．已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点 E．
（1）当∠BAC为锐角时，如图①，求证：∠CBE=∠BAC；
（2）当∠BAC为钝角时，如图②，CA的延长线与⊙O相交于点E，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
8．如图是一座跨河拱桥，桥拱是圆弧形，跨度AB为16米，拱高CD为4米．
（1）求桥拱的半径R．
（2）若大雨过后，桥下水面上升到EF的位置，且EF的宽度为12米，求拱顶C到水面EF的高度．
9．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求弦BD的长．
10．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB=90°．
（1）求证：=
（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO=3，AE=4，求线段AC的长．
11．已知如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为多少？
12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与点A，B重合），设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当α=40°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
13．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB、OC、BD、CD．
（1）求证：四边形OBDC是菱形；
（2）若∠ABO=15°，求∠ADC的度数．
15．如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C．
（1）请完成以下操作：
①以点O为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①⊙D的半径= （结果保留根号）．
②点（﹣2，0）在⊙D ；（填“上”、“内”、“外”）
③弧AC的度数为 ．
16．小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P1P2=；他还证明了线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式是：x=，y=；
启发应用
请利用上面的信息，解答下面的问题：
如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．
17．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；
（2）若AB=8，∠BAC=45°，求：图中阴影部分的面积．
18．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=10m，水面宽AB=12m，某天下雨后，水管水面上升了2m，求此时排水管水面的宽CD．
19．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若CD=2，AB=8，求半径的长．
20．如图，某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，污水水面宽度为30cm，污水深度为50cm，则修理人员应准备的新管道内径为多大？
21．如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB=2，EF=，=120°．
（1）求出圆洞门⊙O的半径；
（2）求立柱CE的长度．
22．如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于D点．
（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，弦AC的长为6，连接AD，求线段AD、CD的长．
23．如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
（1）求证：AC=BD；
（2）若AC=2，BC=4，大圆的半径R=5，求小圆的半径r的值；
（3）若AC?BC等于12，请直接写出两圆之间圆环的面积．（结果保留π）
24．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”大意为：有个圆柱形木头，埋在墙壁中（如图所示），不知道其大小，用锯沿着面AB锯掉裸露在外面的木头，锯口深1寸，锯道AB长度为1尺，问这块圆柱形木料的半径是多少寸？（注：1尺=10寸）
25．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=1寸，CD=10寸，求直径AB的长．
请你解答这个问题．
26．在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图当PQ∥AB时，求PQ的长；
（2）当点P在BC上移动时，线段PQ长的最大值为 ；此时，∠POQ的度数为 ．
27．在附中中心花园的草坪上，有一些自动旋转喷泉水装置，它的喷灌区域是一个扇形，小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图，如图，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，喷灌起终点A，B两点的距离为12米，求这种装置能够喷的草坪面积．
28．如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．
（1）当∠B+∠D=90°时，求证：H是CD的中点；
（2）若H为CD的中点，且CD=2，BD=，求AB的长．
29．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5，CD=，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．
（1）求圆O的半径；
（2）如果AE=6，求EF的长．
30．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
31．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，BC=6，AC=8，OE⊥AE，垂足为E，交⊙O于点P，连结BP交AC于D．
（1）求PE的长；
（2）求△BOP的面积．
32．如图，在以AB为直径的半圆中，将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D，若AD=5，DB=7．
（1）求BC的长；
（2）求圆心到BC的距离．
33．如图，半圆O的直径AB=6，弦CD的长为3，点C，D在半圆上运动，D点在上且不与A点重合，但C点可与B点重合．
（1）若的长=π时，求的长；
（2）取CD的中点M，在CD运动的过程中，求点M到AB的距离的最小值．
34．如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的中线，AE∥BC，射线BE交AD于点F，交⊙O于点G，点F是BE的中点，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；
（2）若BC=2AB，求证：=．
35．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求
（1）求半圆的半径长；
（2）BE的长度．
36．如图，圆O是△ABC的外接圆，AC是直径，过O作OD∥BC交AB于点D．延长DO交圆O于点E，作EF⊥AC于点F，连接DF并延长交直线BC于点G，连接EG．
（1）求证：FC=GC；
（2）四边形EDBG是哪种特殊四边形？请说明理由．
37．如图△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为的中点．
（1）求证：OF∥BD；
（2）若点F恰好为线段OC的中点，且⊙O的半径R=6cm．求图中阴影部分（弧AC与弦AC围成的图形）的面积．
38．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，
（1）如图1，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹）；
（2）如图2，求桥弧AB所在圆的半径R．
39．Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD．
（Ⅰ）如图①，求∠ODE的大小；
（Ⅱ）如图②，连接OC交DE于点F，若OF=CF，求∠A的大小．
40．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上．
（1）如图1，MA=6，MB=8，∠NOB=60°，求NB的长；
（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究∠MCP、∠NAB、∠MBA之间的数量关系，并证明．
参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（I）如图①，若BC为⊙O的直径，求BD、CD的长；
（II）如图②，若∠CAB=60°，求BD、BC的长．
【分析】（1）利用圆周角定理可以判定△DCB是等腰直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5，再根据垂径定理求出BE即可解决问题；
【解答】解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵AD平分∠CAB，
∴=，
∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，
∴BD=CD=5，
（2）如图②，连接OB，OD，OC．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠DAB=∠CAB=30°，
∴∠DOB=2∠DAB=60°．
又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=OB=OD．
∵⊙O的直径为10，则OB=5，
∴BD=5，
∵AD平分∠CAB，
∴=，
∴OD⊥BC，设垂足为E，
∴BE=EC=OB?sin60°=，
∴BC=5．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心AC为半径作弧AD交AB于D，求AD的长．
【分析】首先过点C作CE⊥AD于点E，由∠ACB=90°，AC=3，BC=4，可求得AB的长，又由直角三角形斜边上的高等于两直角边乘积除以斜边，即可求得CE的长，由勾股定理求得AE的长，然后由垂径定理求得AD的长．
【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，则AE=DE，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB===5，
∵S△ABC=AC?BC=AB?CE，
∴CE==，
∴AE===，
∴AD=2AE=，
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）点M的坐标为 （2，0） ；
（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．
【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
（2）求出⊙M的半径，MD的长即可判断；
【解答】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）
故答案为：2，0．
（2）圆的半径AM==2，
线段MD==＜2，
所以点D在⊙M内．
【点评】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键．
4．如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD=BE，弦CM、CN分别过点D、E．
（1）求证：CD=CE．
（2）求证：=．
【分析】（1）连接OC，只要证明△COD≌△COE（SAS）即可解决问题；
（2）欲证明=，只要证明∠MOD=∠NOE即可；
【解答】（1）证明：连接OC．
∵=，
∴∠COD=∠COE，
∵OA=OB，AD=BE，
∴OD=OE，∵OC=OC，
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD=CE．
（2）分别连结OM，ON，
∵△COD≌△COE，
∴∠CDO=∠CEO，∠OCD=∠OCE，
∵OC=OM=ON，
∴∠OCM=∠OMC，∠OCN=∠ONC，
∴∠OMD=∠ONE，
∵∠ODC=∠DMO+∠MOD，∠CEO=∠CNO+∠EON，
∴∠MOD=∠NOE，
∴=．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求四边形ACBD的面积．
【分析】求得△ABC和△ABD的面积，二者的和就是四边形的面积．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
又∵CD平分∠ACB，即∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，
∵直角△ABD中，AD=BD，
则AD=BD=AB=5，
则S△ABD=AD?BD=×5×5=25（cm2），
在直角△ABC中，BC==8（cm），
则S△ABC=AC?BC=×6×8=24，
则S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC=25+24=49（cm2）．
【点评】本题考查了圆周角定理，正确证明△ABD是等腰直角三角形是关键．
6．如图，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于D、E两点，连接ED
（1）求证：△CDE为等腰三角形；
（2）若CD=3，BC=4，求AD的长和⊙O的半径．
【分析】（1）由圆内接四边形的性质知∠B=∠EDC，根据AB=AC即∠B=∠C得∠EDC=∠C，即可得证；
（2）连接AE，得AE⊥BC，结合AB=AC知BC=2EC=4，证△ABC∽△EDC，利用相似三角形的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）∵∠EDC+∠EDA=180°、∠B+∠EDA=180°，
∴∠B=∠EDC，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴ED=EC；
（2）连接AE，
∵AB是直径，
∴AE⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BC=2EC=4，
∵∠B=∠EDC、∠C=∠C，
∴△ABC∽△EDC，
∴AB：EC=BC：CD，
又∵CD=3、BC=4，
∴AB：2=4：3，
∴AB=8，
∴AC=AB=8，AD=AC=CD=5，
∴⊙O的半径为4．
【点评】本题考查圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点 E．
（1）当∠BAC为锐角时，如图①，求证：∠CBE=∠BAC；
（2）当∠BAC为钝角时，如图②，CA的延长线与⊙O相交于点E，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
【分析】（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，得AD⊥BC，又由AB=AC，根据等腰三角形的三线合一，得AD平分∠BAC，结合圆周角定理，即可得∠BAC=2∠CBE；
（2）连接AD．根据等腰三角形的三线合一和圆内接四边形的性质，即可证明∠BAC=2∠CBE．
【解答】解：（1）连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC．
又∵∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE=∠BAC；
（2）结论成立．
理由如下：连接AD．
∵AB为直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵∠CAD+∠DAE=180°，∠CBE+∠DAE=180°，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE=∠BAC
【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．
8．如图是一座跨河拱桥，桥拱是圆弧形，跨度AB为16米，拱高CD为4米．
（1）求桥拱的半径R．
（2）若大雨过后，桥下水面上升到EF的位置，且EF的宽度为12米，求拱顶C到水面EF的高度．
【分析】（1）利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答．
（2）在Rt△OEM中，求出OM即可解决问题；
【解答】解：（1）如图，设圆心为O．连接OA，OE．
在Rt△AOD中，
∵AO2=OD2+AD2，
∴R2=64+（R﹣4）2，
解得R=10；
（2）在Rt△OEM中，
∵OE2=EM2+OM2，
∴100=36+OM2，
解得OM=8，
∴CM=8﹣6=2，
即拱顶C 到水面EF的高度是2米．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用题，解题的关键是利用垂径定理和勾股定理求线段的长．
9．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求弦BD的长．
【分析】（1）在Rt△ABC中，AB=10，AC=5，推出sin∠ABC==，推出∠ABC=30°可得∠ADC=∠ABC=30°．
（2）只要证明△BOD为等腰直角三角形，推出BD=BO即可解决问题；
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
在Rt△ABC中，AB=10，AC=5，
∴sin∠ABC==，
∴∠ABC=30°
∴∠ADC=∠ABC=30°．
（2）连接OD．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠BOD=90°，
又∵OB=OD，
∴△BOD为等腰直角三角形
∴BD=BO=5．
【点评】本题主要考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
10．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB=90°．
（1）求证：=
（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO=3，AE=4，求线段AC的长．
【分析】（1）连BO并延长BO交AC于T．只要证明BT⊥AC，利用垂径定理即可解决问题；
（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．在Rt△AFC中，求出CF，AF即可解决问题；
【解答】（1）证明：连BO并延长BO交AC于T．
∵AO=BO，
∴∠OAB=∠OBA，
又∵∠BAC+∠OAB=90°，
∴∠BAC+∠OBA=90°，
∴∠BTA=90°，
∴BT⊥AC，
∴=．
（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA=90°，
∴∠OAB+∠AED=90°，
∵∠OAB+∠BAC=90°，
∴∠AED=∠BAC=∠FEC，
∵AF为⊙O直径，
∴∠ACF=90°，
同理：∠FCE=∠BAC，
∴∠FEC=∠FCE，
∴FE=FC，
∵AO=3，AE=4，
∴OE=1，FE=FC=2，
在Rt△FCA中
∴AC==4
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆心角，弧，弦之间的关系、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．已知如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为多少？
【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE=OC=1，最后由垂径定理得出结论．
【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
在Rt△OCE中，OC=2，∠COE=30°，
∴CE=OC=1，（直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半）
∴CD=2CE=2．
【点评】本题是圆的计算题，考查了垂径定理和勾股定理的运用，是常考题型；熟练掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；在圆中的计算问题中，因为常有直角三角形存在，常利用勾股定理求线段的长．
12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与点A，B重合），设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当α=40°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OBA=40°，根据三角形内角和定理求出∠AOB，根据圆周角定理计算即可；
（2）根据三角形内角和定理和圆周角定理计算．
【解答】解：（1）连接OB，
∵∠OAB=α=40°，
∴∠OBA=40°，
∴∠AOB=100°，
∴β=∠AOB=50°；
（2）结论：α+β=90°．
理由：∵∠AOB=180°﹣2α，
∴β=∠AOB=90°﹣α，
∴α+β=90°．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是解题的关键．
13．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？
【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）连接ON，OB，通过求距离水面2米高处即ED长为2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过（MN大于3则能通过，MN小于等于3则不能通过）．先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据Rt△OEN中勾股定理求出EN的长，从而求得MN的长．
【解答】解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB=12m，
∴BD=AB=6m．
又∵CD=4m，
设OB=OC=ON=r，则OD=（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=（r﹣4）2+62，
解得r=6.5．
（2）∵CD=4m，船舱顶部为长方形并高出水面AB=2m，
∴CE=4﹣3.6=0.4（m），
∴OE=r﹣CE=6.5﹣0.4=6.1（m），
在Rt△OEN中，EN2=ON2﹣OE2=6.52﹣6.12=5.04（m2），
∴EN=（m）．
∴MN=2EN=2×≈4.48m＜5m．
∴此货船能不顺利通过这座拱桥．
【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB、OC、BD、CD．
（1）求证：四边形OBDC是菱形；
（2）若∠ABO=15°，求∠ADC的度数．
【分析】连接OD，证明△BOD和△COD都是等边三角形，得OB=BD=DC=OC，所以四边形OBDC是菱形．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∴=，
∴∠BOD=∠COD=60°，
∵OB=OD=OC，
∴△BOD和△COD都是等边三角形，
∴OB=BD=DC=OC，
∴四边形OBDC是菱形．
（2）解：连接OA．
∵AO=OB，
∴∠OBA=∠OAB=15°，
∵∠BAC=60°，
∴∠OAC=45°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠AOC=90°，
∴∠ADC=∠AOC=45°．
【点评】此题考查圆周角定理、角平分线的定义、等边三角形的判定、菱形的判定，关键是熟知有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形以及菱形的判定解答．
15．如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C．
（1）请完成以下操作：
①以点O为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①⊙D的半径= 2 （结果保留根号）．
②点（﹣2，0）在⊙D 内 ；（填“上”、“内”、“外”）
③弧AC的度数为 90° ．
【分析】（1）①根据要求建立平面直角坐标系即可；
②作弦AB，弦BC的垂直平分线，交点D即为所求；
（2）①根据勾股定理计算即可；②根据点与圆的位置关系判断即可；③求出圆心角∠ADC即可；
【解答】解：（1）①平面直角坐标系如图所示；
②如图，点D即为所求．点D（2，0）；
（2）①CD==；
②（﹣2，0）到点D的距离小于半径，
∴点（﹣2，0）在⊙D内；
③∵∠ADC=90°，
∴的度数为90°．
故答案为2，内，90°
【点评】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、平面直角坐标系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P1P2=；他还证明了线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式是：x=，y=；
启发应用
请利用上面的信息，解答下面的问题：
如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）先确定出AB=10，进而求出圆M的半径，最后用线段的中点坐标公式即可得出结论；
（2）求出CM=5和圆M的半径比较大小，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙M的直径，
∵A（8，0），B（0，6），
∴AB==10，
∴⊙M的半径为5，
由线段中点坐标公式x=，y=，得x=4，y=3，
∴M（4，3），
（2）点C在⊙M上，
理由：∵C（1，7），M（4，3），
∴CM==5，
∴点C在⊙M上．
【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是对两点间的距离公式的理解和掌握，灵活运用线段中点坐标公式和两点间距离公式．
17．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；
（2）若AB=8，∠BAC=45°，求：图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理可以证得AD垂直且平分BC，然后根据垂直平分线的性质证得AB=AC；
（2）连接OD、过D作DH⊥AB，根据扇形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）AB=AC．
理由是：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
又∵DC=BD，
∴AB=AC；
（2）连接OD、过D作DH⊥AB．
∵AB=8，∠BAC=45°，
∴∠BOD=45°，OB=OD=4，
∴DH=2
∴△OBD 的面积=
扇形OBD的面积=，阴影部分面积=．
【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，理解弧的度数和对应 圆心角的度数的关系是关键．
18．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=10m，水面宽AB=12m，某天下雨后，水管水面上升了2m，求此时排水管水面的宽CD．
【分析】先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．
【解答】解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB=12m，OE⊥AB，OA=1m，
∴OE=8m．
∵水管水面上升了2m，
∴OF=8﹣2=6m，
∴CF==8m，
∴CD=16m．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
19．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若CD=2，AB=8，求半径的长．
【分析】（1）连接OB，根据垂径定理得出=，故可得出∠BOD=∠AOD=52°，再由圆周角定理即可得出结论；
（2）设半径为R，在Rt△AOC中，构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）连接OB，
∵OD⊥AB，
∴=，
∴∠BOD=∠AOD=52°，
∴∠DEB=∠BOD=26°；
（2）∵OD⊥AB，AB=8，
∴AC=CB=4，设半径为R，
在Rt△OAC中，R2=42+（R﹣2）2，
∴R=5．
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键，学会利用参数构建方程解决问题．
20．如图，某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，污水水面宽度为30cm，污水深度为50cm，则修理人员应准备的新管道内径为多大？
【分析】连接OC，OA，根据C为AB中点可知OC⊥AB，AC=AB，设圆形管道的半径为r，则OC=50﹣r，再根据勾股定理求出r的值即可．
【解答】解：连接OC，OA，
∵污水面宽AB=30m，C为AB中点，
∴OC⊥AB，AC=AB=15cm．
∵C点距管道底部的距离为50cm，
∴OC=50﹣r，
在Rt△OAC中，
∵AC2+OC2=OA2，即152+（50﹣r）2=r2，解得r=27.25（cm），
∴圆形管道的直径=2r=54.5cm．
答：圆形管道的直径为54.5cm．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
21．如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB=2，EF=，=120°．
（1）求出圆洞门⊙O的半径；
（2）求立柱CE的长度．
【分析】（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．在Rt△BOH中，解直角三角形即可解决问题；
（2）作OM⊥EC于M，连接OC．在Rt△OMC中，解直角三角形即可；
【解答】解：（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．
∵的度数为120°，AO=BO，
∴∠BOH=×120°=60°，
∴AH=BH=，
在Rt△BOH中，sin∠BOH=，
∴OB=2，即圆洞门⊙O的半径为2；
（2）作OM⊥EC于M，连接OC．
∵Rt△BOH中，OH=1，
∵EH=，易证四边形OMEH是矩形，
∴OM=EH=，ME=OH=1，
在Rt△OMC中，CM==，
∴CE=ME+CM=1+=，
∴立柱CE的长度为．
【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于D点．
（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，弦AC的长为6，连接AD，求线段AD、CD的长．
【分析】（1）连接OD，由∠1=∠3，∠1=∠2得到∠2=∠3，根据平行线的判定得到CE∥OD，由于CE⊥AB，则OD⊥AB，根据垂径定理得到=，于是判断点P的位置不发生改变．
（2）过点A作CD的垂线，垂足为G，构造等腰直角△AGC，直角△AGD中，由勾股定理求得DG=4，故CD=CG+DG．
【解答】解：（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置不会变；
理由如下：连接OD．
∵CD平分∠OCE，
∴∠1=∠3，
而OC=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CE∥OD，
∵CE⊥AB，
∴OD⊥AB，
∴=，即点D为半圆AB的中点．
（2）∵在直角△AOD中，OA=OD=5，
∴AD=5．
过点A作CD的垂线，垂足为G，
∵∠ACD=∠AOD=45°，
∴△AGC是等腰直角三角形，
∵AC=6，
∴AG=CG=3．
在直角△AGD中，DG==4，
∴CD=CG+DG=3+4=7，
∴线段AD的长度为5，线段CD的长度为7．
【点评】此题考查了平行线的判定、圆周角定理．此题难度适中，注意数形结合思想与转化思想的应用．
23．如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
（1）求证：AC=BD；
（2）若AC=2，BC=4，大圆的半径R=5，求小圆的半径r的值；
（3）若AC?BC等于12，请直接写出两圆之间圆环的面积．（结果保留π）
【分析】（1）过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可知E为CD和AB的中点，则可证得结论；
（2）连接OC、OA，由条件可求得CD的长，则可求得CE和AE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理可求得OE的长，在Rt△COE中可求得OC的长；
（3）连接OA，OC，作OE⊥AB于点E，由垂径定理可得AE=BE．由勾股定理可得：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，继而可得OA2﹣OC2=AE2﹣CE2=（AE+CE）（AE﹣CE）=BC?AC=12，则可求得圆环的面积．
【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，如图1，
由垂径定理可得AE=BE，CE=DE，
∴AE﹣CE=BE﹣DE，
∴AC=BD；
（2）解：连接OC、OA，如图2，
∵AC=2，BC=4，
∴AB=2+4=6，
∴AE=3，
∴CE=AE﹣AC=3﹣2=1，
在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2=OA2﹣AE2=52﹣32=16，
在Rt△COE中，由勾股定理可得OC2=CE2+OE2=12+16=17，
∴OC=，即小圆的半径r为；
（3）解：连接OA，OC，作OE⊥AB于点E，如图2，由垂径定理可得AE=BE．
在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，
∴OA2﹣AE2=OC2﹣CE2，
∴OA2﹣OC2=AE2﹣CE2=（AE+CE）（AE﹣CE）=（BE+CE）?AC=BC?AC=12，
∴OA2﹣OC2=12，
∴圆环的面积为：πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=12π．
【点评】此题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
24．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”大意为：有个圆柱形木头，埋在墙壁中（如图所示），不知道其大小，用锯沿着面AB锯掉裸露在外面的木头，锯口深1寸，锯道AB长度为1尺，问这块圆柱形木料的半径是多少寸？（注：1尺=10寸）
【分析】由勾股定理OA2=OD2+AD2，代入数据即可求得．
【解答】解：∵AB⊥CD，∴AD=BD，
∵AB=10，∴AD=5，
在Rt△AOD中，
∵OA2=OD2+AD2，
∴OA2=（OA﹣1）2+52，
∴OA=13，
答：这块圆柱形木料的半径是13寸
【点评】本题考查圆柱形木料直径的求法，考查系勾股定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
25．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=1寸，CD=10寸，求直径AB的长．
请你解答这个问题．
【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．
【解答】解：如图所示，连接OC．
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD=10寸，
∴CE=DE=CD=5寸，
设OC=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2=OC2，
即（x﹣1）2+52=x2，
解得：x=13，
∴AB=26寸，
即直径AB的长为26寸．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
26．在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图当PQ∥AB时，求PQ的长；
（2）当点P在BC上移动时，线段PQ长的最大值为 ；此时，∠POQ的度数为 60° ．
【分析】（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理求出PQ；
（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ的长，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP=OB=，再求出即可．
【解答】解：（1）解：（1）连结OQ，如图1，
∵PQ∥AB，OP⊥PQ，
∴OP⊥AB，
在Rt△OBP中，∵tan∠B=，
∴OP=3tan30°=，
在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，
∴PQ==；
（2）连结OQ，如图2，
在Rt△OPQ中，PQ==，
当OP的长最小时，PQ的长最大，
此时OP⊥BC，则OP=OB=，
∴PQ长的最大值为=，
在Rt△QPO中，tan∠POQ===，
则∠POQ=60°，
故答案为：，60°．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．也考查了解直角三角形．
27．在附中中心花园的草坪上，有一些自动旋转喷泉水装置，它的喷灌区域是一个扇形，小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图，如图，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，喷灌起终点A，B两点的距离为12米，求这种装置能够喷的草坪面积．
【分析】过O作OC⊥AB于C，求出∠AOB度数，求出∠OAB，解直角三角形求出OA，根据扇形的面积公式求出即可．
【解答】解：
过O作OC⊥AB于C，则∠ACO=90°，
∵OC过O，OC⊥AB，AB=12米，
∴AC=BC=6米，
∵旋转喷水装置的旋转角度为240°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAC=∠OBC=（180°﹣120°）=30°，
∴OA===4（米），
∴这种装置能够喷的草坪面积是=32π（平方米）．
【点评】本题考查了垂径定理、解直角三角形、旋转的性质、扇形的面积计算等知识点，能求出半径OA的长度是解此题的关键．
28．如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．
（1）当∠B+∠D=90°时，求证：H是CD的中点；
（2）若H为CD的中点，且CD=2，BD=，求AB的长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BHD=90°，根据垂径定理得出即可；
（2）根据垂径定理求出DH，根据勾股定理求出BH，根据勾股定理得出关于R的方程，求出R即可．
【解答】（1）证明：∵∠B+∠D=90°，
∴∠BHD=180°﹣90°=90°，
即AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CH=DH，
即H是CD的中点；
（2）解：
连接OD，
∵H为CD的中点，CD=2，AB过O，
∴DH=CH=CD=，AB⊥CD，
∴∠BHD=90°，
由勾股定理得：BH===1，
设⊙O的半径为R，则AB=2R，OB=OD=R，
在Rt△OHD中，由勾股定理得：OH2+DH2=OD2，
即（R﹣1）2+（）2=R2，
解得：R=，
∴AB=2×=3．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键．
29．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5，CD=，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．
（1）求圆O的半径；
（2）如果AE=6，求EF的长．
【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得：DH=2，设圆O的半径为r，根据勾股定理列方程可得结论；
（2）过O作OG⊥AE于G，证明△AGO∽△AHF，列比例式可得AF的长，从而得EF的长．
【解答】解：（1）连接OD，
∵直径AB⊥弦CD，CD=4，
∴DH=CH=CD=2，
在Rt△ODH中，AH=5，
设圆O的半径为r，
根据勾股定理得：OD2=（AH﹣OA）2+DH2，即r2=（5﹣r）2+20，
解得：r=4.5，
则圆的半径为4.5；
（2）过O作OG⊥AE于G，
∴AG=AE=×6=3，
∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，
∴△AGO∽△AHF，
∴，
∴，
∴AF=，
∴EF=AF﹣AE=﹣6=．
【点评】本题考查了垂径定理，在有关圆的几何证明或几何计算中常用到；利用三角形相似比或勾股定理进行计算几何是常用的方法．
30．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
【分析】（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；
（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=AC，分两种情况：
①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得结论；
②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵PC=PB，
∴∠PCB=∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥CD；
（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC=DH，
在Rt△ABC中，∵AB=DH，
∴tan∠ACB==，
∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，
∴∠ADB=60°，BC=AC，
∴DH=AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠ADM=90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE+∠ABD=90°，
∵∠AMD=∠ABD，
∴∠ADM=∠BDE，
∵DH=AC，
∴DH=OD，
∴∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°
∵∠ADB=60°，
∴∠ADM+∠BDE=40°，
∴∠BDE=∠ADM=20°，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，
由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，
∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．
【点评】本题考查圆的有关性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解直角三角形等知识，考查了运算能力、推理能力，并考查了分类思想．
31．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，BC=6，AC=8，OE⊥AE，垂足为E，交⊙O于点P，连结BP交AC于D．
（1）求PE的长；
（2）求△BOP的面积．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理求出OE，计算即可；
（2）过O作OF⊥BP于F，证明△PED∽△BCD，根据相似三角形的性质求出ED、OF，根据三角形的面积公式计算．
【解答】解：（1）在直角△ABC中，BC=6，AC=8，
∴AB==10，
∵OE⊥AC，
∴AE=CD=AC=4，
由三角形中位线定理得，OE=BC=3，
∴PE=5﹣3=2；
（2）过O作OF⊥BP于F，
由（1）可知OE⊥AC，BC⊥AC，
∴OP∥BC，
∴△PED∽△BCD，
∴===，
∵CE=AC=4，
∴ED=1，
∴PD=，BD=3，
∴PB=4，BF=2，
∴OF=，
∴S△BOP=×4×=10．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
32．如图，在以AB为直径的半圆中，将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D，若AD=5，DB=7．
（1）求BC的长；
（2）求圆心到BC的距离．
【分析】（1）根据折叠的性质知：=；若连接CD、AC，则∠DBC+∠BCD=∠CAD，即∠CAD=∠CDA；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE=AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长．
（2）设圆心到BC的距离为h，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）连接CA、CD；
根据折叠的性质，得：=；
∴∠CAB=∠CBD+∠BCD；
∵∠CDA=∠CBD+∠BCD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∴∠CAD=∠CDA，即△CAD是等腰三角形；
过C作CE⊥AB于E，则AE=DE=2.5；
∴BE=BD+DE=9.5；
在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：
BC2=BE?AB=9.5×12=114；
故BC=．
（2）设圆心到BC的距离为h，圆的半径为r=6，
由（1）知，Rt△ECB中，BE=9.5，BC=，
∴，
∵，
∴h=，
故圆心到BC的距离为．
【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键．
33．如图，半圆O的直径AB=6，弦CD的长为3，点C，D在半圆上运动，D点在上且不与A点重合，但C点可与B点重合．
（1）若的长=π时，求的长；
（2）取CD的中点M，在CD运动的过程中，求点M到AB的距离的最小值．
【分析】（1）由题意可知：△OCD是等边三角形，从而可求出弧CD的长度，再求出半圆弧的长度后，即可求出弧BC的长度．
（2）过点M做ME⊥AB于点E，连接OM，由垂径定理可求出DM的长度，再有勾股定理即可求出OM的长度，最后根据ME2=OM2﹣OE2可知ME取最小值，则只需要OE最大即可，从而可求出ME的长度．
【解答】解：（1）连接OD、OC，
∵CD=OC=OD=3，
∴△CDO是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴==π，
又∵半圆弧的长度为：×6π=3π，
∴=3π﹣π﹣=
（2）过点M做ME⊥AB于点E，
连接OM，
再CD运动的过程中，CD=3，
由垂径定理可知：DM=，
∴由勾股定理可知：OM==
∴由勾股定理可知：ME2=OM2﹣OE2
若ME取最小值，则只需要OE最大即可，
当C与B重合时，
此时OE最大，
∵CD=OC=3，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠MOC=30°，OM=，
此时ME=OM=
即点M到AB的距离的最小值为．
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．
34．如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的中线，AE∥BC，射线BE交AD于点F，交⊙O于点G，点F是BE的中点，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；
（2）若BC=2AB，求证：=．
【分析】（1）根据三角形中位线的性质和平行四边形的判定证明即可；
（2）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴D是BC的中点，
∵F是BE的中点，
∴DF是△BCE的中位线，
∴DF∥CE，
∴AD∥CE，
∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AE=CD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BC=2CD，
∴BC=2AE，
∵BC=2AB，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵AE∥BC，
∴∠AEB=∠DBE，
∴∠ABE=∠DBE，
∴．
【点评】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是根据三角形中位线的性质和平行四边形的判定证明．
35．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求
（1）求半圆的半径长；
（2）BE的长度．
【分析】（1）根据垂径定理的推论得到OD⊥AC，AE=AC，设圆的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）设圆的半径为r，
∵D是弧AC中点，
∴OD⊥AC，AE=AC=4，
在Rt△AOE中，OA2=OE2+AE2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得，r=5，即圆的半径长为5；
（2）连接BC，
∵AO=OB，AE=EC，
∴BC=2OE=6，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BE==2．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
36．如图，圆O是△ABC的外接圆，AC是直径，过O作OD∥BC交AB于点D．延长DO交圆O于点E，作EF⊥AC于点F，连接DF并延长交直线BC于点G，连接EG．
（1）求证：FC=GC；
（2）四边形EDBG是哪种特殊四边形？请说明理由．
【分析】（1）证明△AOD≌△EOF，得到∠ODF=∠OFD，根据OD∥BC，得到∠FGC=∠ODF，得到∠CFG=∠FGC，得到答案；
（2）证明∠EGC=∠EFC=90°，根据三个角是直角是四边形是矩形得到答案．
【解答】证明（1）∵AC为直径，∴∠ABC=90°，
∵OD∥BC，∴∠ADO=∠ABC=90°，
在△AOD和△EOF中，
，
∴△AOD≌△EOF，
∴OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵OD∥BC，∴∠FGC=∠ODF，
又∠GFC=∠OFD，
∴∠CFG=∠FGC，
∴FC=GC；
（2）四边形EDBG是矩形，理由如下：
连接AE、EC，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∴∠OAE=∠OFD，
∴AE∥DG，
∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
又CF=CG，
∴CE是FG的垂直平分线，
∴△EFC≌△EGC，
∴∠EGC=∠EFC=90°，
又∠EDB=90°，∠ABC=90°，
∴四边形EDBG是矩形．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆、矩形的判定，正确运用直径所对的圆周角是直角、半径相等证明三角形全等是解题的关键，解答时，注意构造直径所对的圆周角．
37．如图△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为的中点．
（1）求证：OF∥BD；
（2）若点F恰好为线段OC的中点，且⊙O的半径R=6cm．求图中阴影部分（弧AC与弦AC围成的图形）的面积．
【分析】（1）由点C为弧AD的中点，根据垂径定理的推论得OC⊥AD，再根据圆周角定理由AB为直径得∠BDA=90°，然后根据平行线的判定即可得到OF∥BD；
（2）由于点F为OC的中点，即OF=OC=OA=3，根据含30度的直角三角形三边的关系易得∠FAO=30°，则∠AOF=60°，AF=OF=3，然后根据扇形的面积公式和阴影部分（弓形）面积=S扇形AOC﹣S△AOC进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵点C为弧AD的中点，
∴OC⊥AD，
∵AB为直径，
∴∠BDA=90°，
∴BD⊥AD，
∴OF∥BD；
（2）解：∵OC⊥AD，
∴OF=OC=OA=3，
而OF⊥AF，
∴∠FAO=30°，
∴∠AOF=60°，AF=OF=3，
∴阴影部分（弓形）面积=S扇形AOC﹣S△AOC
=﹣?6?3=6π﹣9．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和扇形的面积公式．
38．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，
（1）如图1，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹）；
（2）如图2，求桥弧AB所在圆的半径R．
【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AB，BC的中垂线交于点O，则点O是桥弧所在圆的圆心；
（2）首先连接OA，由（1）可得：△AOD为直角三角形，D是AB的中点，CD=10，即可求得AD的长，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，即可求得拱桥的半径R．
【解答】解：（1）如图1所示；
（2）连接OA．如图2．
由（1）中的作图可知：△AOD为直角三角形，D是AB的中点，CD=10，
∴AD=AB=20．
∵CD=10，
∴OD=R﹣10．
在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，
∴R2=202+（R﹣10）2．
解得：R=25．
即桥弧AB所在圆的半径R为25米．
【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度不大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
39．Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD．
（Ⅰ）如图①，求∠ODE的大小；
（Ⅱ）如图②，连接OC交DE于点F，若OF=CF，求∠A的大小．
【分析】（Ⅰ）连接OE，BD，利用全等三角形的判定和性质解答即可；
（Ⅱ）利用中位线的判定和定理解答即可．
【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，
∵E点是BC的中点，
∴DE=BC=BE，
∵OD=OB，OE=OE，
∴△ODE≌△OBE，
∴∠ODE=∠OBE，
∵∠ABC=90°，
∴∠ODE=90°；
（Ⅱ）∵CF=OF，CE=EB，
∴FE是△COB的中位线，
∴FE∥OB，
∴∠AOD=∠ODE，
由（Ⅰ）得∠ODE=90°，
∴∠AOD=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO=．
【点评】此题考查了圆周角定理，关键是根据学生对全等三角形的判定方法及切线的判定等知识的掌握情况解答．
40．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上．
（1）如图1，MA=6，MB=8，∠NOB=60°，求NB的长；
（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究∠MCP、∠NAB、∠MBA之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）只要证明△OBN是等边三角形即可解决问题；
（2）结论：∠MCP+∠MBA+∠NAB=90°．方法一：如图2中，画⊙O，延长MC交⊙O于点Q，连接NQ，NB．关键是证明CP∥QN；
方法二：如图2﹣1中，连接MO，OP，NO，BN．关键是证明∠MCP=∠NBM；
【解答】解：（1）如图1，∵AB是半圆O的直径，
∴∠M=90°，
在Rt△AMB中，AB=，
∴AB=10．
∴OB=5，
∵OB=ON，
又∵∠NOB=60°，
∴△NOB是等边三角形，
∴NB=OB=5．
（2）结论：∠MCP+∠MBA+∠NAB=90°．
理由：方法一：如图2中，
画⊙O，延长MC交⊙O于点Q，连接NQ，NB．
∵MC⊥AB，
又∵OM=OQ，
∴MC=CQ，
即 C是MQ的中点，
又∵P是MQ的中点，
∴CP是△MQN的中位线，
∴CP∥QN，
∴∠MCP=∠MQN，
∵∠MQN=∠MON，∠MBN=∠MON，
∴∠MQN=∠MBN，
∴∠MCP=∠MBN，
∵AB是直径，
∴∠ANB=90°，
∴在△ANB中，∠NBA+∠NAB=90°，
∴∠MBN+∠MBA+∠NAB=90°，
即∠MCP+∠MBA+∠NAB=90°．
方法二：如图2﹣1中，连接MO，OP，NO，BN．
∵P是MN中点，
又∵OM=ON，
∴OP⊥MN，
且∠MOP=∠MON，
∵MC⊥AB，
∴∠MCO=∠MPO=90°，
∴设OM的中点为Q，
则 QM=QO=QC=QP，
∴点C，P在以OM为直径的圆上，
在该圆中，∠MCP=∠MOP=∠MQP，
又∵∠MOP=∠MON，
∴∠MCP=∠MON，
在半圆O中，∠NBM=∠MON，
∴∠MCP=∠NBM，
∵AB是直径，
∴∠ANB=90°，
∴在△ANB中，∠NBA+∠NAB=90°，
∴∠NBM+∠MBA+∠NAB=90°，
即∠MCP+∠MBA+∠NAB=90°．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、平行线的性质、直径的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．hrasce20；邮箱：zhrasce20@163.com；学号：6322261
期末复习第三章圆的基本性质解答题精选
题号
一
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得 分
解答题（共40小题）
1．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（I）如图①，若BC为⊙O的直径，求BD、CD的长；
（II）如图②，若∠CAB=60°，求BD、BC的长．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心AC为半径作弧AD交AB于D，求AD的长．
3．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）点M的坐标为 ；
（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．
4．如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD=BE，弦CM、CN分别过点D、E．
（1）求证：CD=CE．
（2）求证：=．
5．如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求四边形ACBD的面积．
6．如图，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于D、E两点，连接ED
（1）求证：△CDE为等腰三角形；
（2）若CD=3，BC=4，求AD的长和⊙O的半径．
7．已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点 E．
（1）当∠BAC为锐角时，如图①，求证：∠CBE=∠BAC；
（2）当∠BAC为钝角时，如图②，CA的延长线与⊙O相交于点E，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
8．如图是一座跨河拱桥，桥拱是圆弧形，跨度AB为16米，拱高CD为4米．
（1）求桥拱的半径R．
（2）若大雨过后，桥下水面上升到EF的位置，且EF的宽度为12米，求拱顶C到水面EF的高度．
9．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求弦BD的长．
10．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB=90°．
（1）求证：=
（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO=3，AE=4，求线段AC的长．
11．已知如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为多少？
12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与点A，B重合），设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当α=40°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
13．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB、OC、BD、CD．
（1）求证：四边形OBDC是菱形；
（2）若∠ABO=15°，求∠ADC的度数．
15．如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C．
（1）请完成以下操作：
①以点O为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①⊙D的半径= （结果保留根号）．
②点（﹣2，0）在⊙D ；（填“上”、“内”、“外”）
③弧AC的度数为 ．
16．小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P1P2=；他还证明了线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式是：x=，y=；
启发应用
请利用上面的信息，解答下面的问题：
如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．
17．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；
（2）若AB=8，∠BAC=45°，求：图中阴影部分的面积．
18．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=10m，水面宽AB=12m，某天下雨后，水管水面上升了2m，求此时排水管水面的宽CD．
19．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若CD=2，AB=8，求半径的长．
20．如图，某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，污水水面宽度为30cm，污水深度为50cm，则修理人员应准备的新管道内径为多大？
21．如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB=2，EF=，=120°．
（1）求出圆洞门⊙O的半径；
（2）求立柱CE的长度．
22．如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于D点．
（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，弦AC的长为6，连接AD，求线段AD、CD的长．
23．如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
（1）求证：AC=BD；
（2）若AC=2，BC=4，大圆的半径R=5，求小圆的半径r的值；
（3）若AC?BC等于12，请直接写出两圆之间圆环的面积．（结果保留π）
24．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”大意为：有个圆柱形木头，埋在墙壁中（如图所示），不知道其大小，用锯沿着面AB锯掉裸露在外面的木头，锯口深1寸，锯道AB长度为1尺，问这块圆柱形木料的半径是多少寸？（注：1尺=10寸）
25．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=1寸，CD=10寸，求直径AB的长．
请你解答这个问题．
26．在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图当PQ∥AB时，求PQ的长；
（2）当点P在BC上移动时，线段PQ长的最大值为 ；此时，∠POQ的度数为 ．
27．在附中中心花园的草坪上，有一些自动旋转喷泉水装置，它的喷灌区域是一个扇形，小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图，如图，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，喷灌起终点A，B两点的距离为12米，求这种装置能够喷的草坪面积．
28．如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．
（1）当∠B+∠D=90°时，求证：H是CD的中点；
（2）若H为CD的中点，且CD=2，BD=，求AB的长．
29．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5，CD=，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．
（1）求圆O的半径；
（2）如果AE=6，求EF的长．
30．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
31．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，BC=6，AC=8，OE⊥AE，垂足为E，交⊙O于点P，连结BP交AC于D．
（1）求PE的长；
（2）求△BOP的面积．
32．如图，在以AB为直径的半圆中，将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D，若AD=5，DB=7．
（1）求BC的长；
（2）求圆心到BC的距离．
33．如图，半圆O的直径AB=6，弦CD的长为3，点C，D在半圆上运动，D点在上且不与A点重合，但C点可与B点重合．
（1）若的长=π时，求的长；
（2）取CD的中点M，在CD运动的过程中，求点M到AB的距离的最小值．
34．如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的中线，AE∥BC，射线BE交AD于点F，交⊙O于点G，点F是BE的中点，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；
（2）若BC=2AB，求证：=．
35．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求
（1）求半圆的半径长；
（2）BE的长度．
36．如图，圆O是△ABC的外接圆，AC是直径，过O作OD∥BC交AB于点D．延长DO交圆O于点E，作EF⊥AC于点F，连接DF并延长交直线BC于点G，连接EG．
（1）求证：FC=GC；
（2）四边形EDBG是哪种特殊四边形？请说明理由．
37．如图△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为的中点．
（1）求证：OF∥BD；
（2）若点F恰好为线段OC的中点，且⊙O的半径R=6cm．求图中阴影部分（弧AC与弦AC围成的图形）的面积．
38．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，
（1）如图1，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹）；
（2）如图2，求桥弧AB所在圆的半径R．
39．Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD．
（Ⅰ）如图①，求∠ODE的大小；
（Ⅱ）如图②，连接OC交DE于点F，若OF=CF，求∠A的大小．
40．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上．
（1）如图1，MA=6，MB=8，∠NOB=60°，求NB的长；
（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究∠MCP、∠NAB、∠MBA之间的数量关系，并证明．
参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（I）如图①，若BC为⊙O的直径，求BD、CD的长；
（II）如图②，若∠CAB=60°，求BD、BC的长．
【分析】（1）利用圆周角定理可以判定△DCB是等腰直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5，再根据垂径定理求出BE即可解决问题；
【解答】解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵AD平分∠CAB，
∴=，
∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，
∴BD=CD=5，
（2）如图②，连接OB，OD，OC．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠DAB=∠CAB=30°，
∴∠DOB=2∠DAB=60°．
又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=OB=OD．
∵⊙O的直径为10，则OB=5，
∴BD=5，
∵AD平分∠CAB，
∴=，
∴OD⊥BC，设垂足为E，
∴BE=EC=OB?sin60°=，
∴BC=5．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心AC为半径作弧AD交AB于D，求AD的长．
【分析】首先过点C作CE⊥AD于点E，由∠ACB=90°，AC=3，BC=4，可求得AB的长，又由直角三角形斜边上的高等于两直角边乘积除以斜边，即可求得CE的长，由勾股定理求得AE的长，然后由垂径定理求得AD的长．
【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，则AE=DE，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB===5，
∵S△ABC=AC?BC=AB?CE，
∴CE==，
∴AE===，
∴AD=2AE=，
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）点M的坐标为 （2，0） ；
（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．
【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
（2）求出⊙M的半径，MD的长即可判断；
【解答】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）
故答案为：2，0．
（2）圆的半径AM==2，
线段MD==＜2，
所以点D在⊙M内．
【点评】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键．
4．如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD=BE，弦CM、CN分别过点D、E．
（1）求证：CD=CE．
（2）求证：=．
【分析】（1）连接OC，只要证明△COD≌△COE（SAS）即可解决问题；
（2）欲证明=，只要证明∠MOD=∠NOE即可；
【解答】（1）证明：连接OC．
∵=，
∴∠COD=∠COE，
∵OA=OB，AD=BE，
∴OD=OE，∵OC=OC，
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD=CE．
（2）分别连结OM，ON，
∵△COD≌△COE，
∴∠CDO=∠CEO，∠OCD=∠OCE，
∵OC=OM=ON，
∴∠OCM=∠OMC，∠OCN=∠ONC，
∴∠OMD=∠ONE，
∵∠ODC=∠DMO+∠MOD，∠CEO=∠CNO+∠EON，
∴∠MOD=∠NOE，
∴=．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求四边形ACBD的面积．
【分析】求得△ABC和△ABD的面积，二者的和就是四边形的面积．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
又∵CD平分∠ACB，即∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，
∵直角△ABD中，AD=BD，
则AD=BD=AB=5，
则S△ABD=AD?BD=×5×5=25（cm2），
在直角△ABC中，BC==8（cm），
则S△ABC=AC?BC=×6×8=24，
则S四边形ADBC=S△ABD+S△ABC=25+24=49（cm2）．
【点评】本题考查了圆周角定理，正确证明△ABD是等腰直角三角形是关键．
6．如图，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于D、E两点，连接ED
（1）求证：△CDE为等腰三角形；
（2）若CD=3，BC=4，求AD的长和⊙O的半径．
【分析】（1）由圆内接四边形的性质知∠B=∠EDC，根据AB=AC即∠B=∠C得∠EDC=∠C，即可得证；
（2）连接AE，得AE⊥BC，结合AB=AC知BC=2EC=4，证△ABC∽△EDC，利用相似三角形的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）∵∠EDC+∠EDA=180°、∠B+∠EDA=180°，
∴∠B=∠EDC，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴ED=EC；
（2）连接AE，
∵AB是直径，
∴AE⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BC=2EC=4，
∵∠B=∠EDC、∠C=∠C，
∴△ABC∽△EDC，
∴AB：EC=BC：CD，
又∵CD=3、BC=4，
∴AB：2=4：3，
∴AB=8，
∴AC=AB=8，AD=AC=CD=5，
∴⊙O的半径为4．
【点评】本题考查圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点 E．
（1）当∠BAC为锐角时，如图①，求证：∠CBE=∠BAC；
（2）当∠BAC为钝角时，如图②，CA的延长线与⊙O相交于点E，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
【分析】（1）连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，得AD⊥BC，又由AB=AC，根据等腰三角形的三线合一，得AD平分∠BAC，结合圆周角定理，即可得∠BAC=2∠CBE；
（2）连接AD．根据等腰三角形的三线合一和圆内接四边形的性质，即可证明∠BAC=2∠CBE．
【解答】解：（1）连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC．
又∵∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE=∠BAC；
（2）结论成立．
理由如下：连接AD．
∵AB为直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵∠CAD+∠DAE=180°，∠CBE+∠DAE=180°，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE=∠BAC
【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．
8．如图是一座跨河拱桥，桥拱是圆弧形，跨度AB为16米，拱高CD为4米．
（1）求桥拱的半径R．
（2）若大雨过后，桥下水面上升到EF的位置，且EF的宽度为12米，求拱顶C到水面EF的高度．
【分析】（1）利用直角三角形，根据勾股定理和垂径定理解答．
（2）在Rt△OEM中，求出OM即可解决问题；
【解答】解：（1）如图，设圆心为O．连接OA，OE．
在Rt△AOD中，
∵AO2=OD2+AD2，
∴R2=64+（R﹣4）2，
解得R=10；
（2）在Rt△OEM中，
∵OE2=EM2+OM2，
∴100=36+OM2，
解得OM=8，
∴CM=8﹣6=2，
即拱顶C 到水面EF的高度是2米．
【点评】此题主要考查了垂径定理的应用题，解题的关键是利用垂径定理和勾股定理求线段的长．
9．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求弦BD的长．
【分析】（1）在Rt△ABC中，AB=10，AC=5，推出sin∠ABC==，推出∠ABC=30°可得∠ADC=∠ABC=30°．
（2）只要证明△BOD为等腰直角三角形，推出BD=BO即可解决问题；
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
在Rt△ABC中，AB=10，AC=5，
∴sin∠ABC==，
∴∠ABC=30°
∴∠ADC=∠ABC=30°．
（2）连接OD．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠BOD=90°，
又∵OB=OD，
∴△BOD为等腰直角三角形
∴BD=BO=5．
【点评】本题主要考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
10．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB=90°．
（1）求证：=
（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO=3，AE=4，求线段AC的长．
【分析】（1）连BO并延长BO交AC于T．只要证明BT⊥AC，利用垂径定理即可解决问题；
（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．在Rt△AFC中，求出CF，AF即可解决问题；
【解答】（1）证明：连BO并延长BO交AC于T．
∵AO=BO，
∴∠OAB=∠OBA，
又∵∠BAC+∠OAB=90°，
∴∠BAC+∠OBA=90°，
∴∠BTA=90°，
∴BT⊥AC，
∴=．
（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDA=90°，
∴∠OAB+∠AED=90°，
∵∠OAB+∠BAC=90°，
∴∠AED=∠BAC=∠FEC，
∵AF为⊙O直径，
∴∠ACF=90°，
同理：∠FCE=∠BAC，
∴∠FEC=∠FCE，
∴FE=FC，
∵AO=3，AE=4，
∴OE=1，FE=FC=2，
在Rt△FCA中
∴AC==4
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，圆心角，弧，弦之间的关系、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．已知如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为多少？
【分析】根据垂径定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根据圆周角定理得到∠COE=30°，根据直角三角形的性质得到CE=OC=1，最后由垂径定理得出结论．
【解答】解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
在Rt△OCE中，OC=2，∠COE=30°，
∴CE=OC=1，（直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半）
∴CD=2CE=2．
【点评】本题是圆的计算题，考查了垂径定理和勾股定理的运用，是常考题型；熟练掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；在圆中的计算问题中，因为常有直角三角形存在，常利用勾股定理求线段的长．
12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与点A，B重合），设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当α=40°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OBA=40°，根据三角形内角和定理求出∠AOB，根据圆周角定理计算即可；
（2）根据三角形内角和定理和圆周角定理计算．
【解答】解：（1）连接OB，
∵∠OAB=α=40°，
∴∠OBA=40°，
∴∠AOB=100°，
∴β=∠AOB=50°；
（2）结论：α+β=90°．
理由：∵∠AOB=180°﹣2α，
∴β=∠AOB=90°﹣α，
∴α+β=90°．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是解题的关键．
13．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.6m，求此货船是否能顺利通过拱桥？
【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；
（2）连接ON，OB，通过求距离水面2米高处即ED长为2时，桥有多宽即MN的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过（MN大于3则能通过，MN小于等于3则不能通过）．先根据半弦，半径和弦心距构造直角三角形求出半径的长，再根据Rt△OEN中勾股定理求出EN的长，从而求得MN的长．
【解答】解：（1）如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB=12m，
∴BD=AB=6m．
又∵CD=4m，
设OB=OC=ON=r，则OD=（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=（r﹣4）2+62，
解得r=6.5．
（2）∵CD=4m，船舱顶部为长方形并高出水面AB=2m，
∴CE=4﹣3.6=0.4（m），
∴OE=r﹣CE=6.5﹣0.4=6.1（m），
在Rt△OEN中，EN2=ON2﹣OE2=6.52﹣6.12=5.04（m2），
∴EN=（m）．
∴MN=2EN=2×≈4.48m＜5m．
∴此货船能不顺利通过这座拱桥．
【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB、OC、BD、CD．
（1）求证：四边形OBDC是菱形；
（2）若∠ABO=15°，求∠ADC的度数．
【分析】连接OD，证明△BOD和△COD都是等边三角形，得OB=BD=DC=OC，所以四边形OBDC是菱形．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∴=，
∴∠BOD=∠COD=60°，
∵OB=OD=OC，
∴△BOD和△COD都是等边三角形，
∴OB=BD=DC=OC，
∴四边形OBDC是菱形．
（2）解：连接OA．
∵AO=OB，
∴∠OBA=∠OAB=15°，
∵∠BAC=60°，
∴∠OAC=45°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠AOC=90°，
∴∠ADC=∠AOC=45°．
【点评】此题考查圆周角定理、角平分线的定义、等边三角形的判定、菱形的判定，关键是熟知有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形以及菱形的判定解答．
15．如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C．
（1）请完成以下操作：
①以点O为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①⊙D的半径= 2 （结果保留根号）．
②点（﹣2，0）在⊙D 内 ；（填“上”、“内”、“外”）
③弧AC的度数为 90° ．
【分析】（1）①根据要求建立平面直角坐标系即可；
②作弦AB，弦BC的垂直平分线，交点D即为所求；
（2）①根据勾股定理计算即可；②根据点与圆的位置关系判断即可；③求出圆心角∠ADC即可；
【解答】解：（1）①平面直角坐标系如图所示；
②如图，点D即为所求．点D（2，0）；
（2）①CD==；
②（﹣2，0）到点D的距离小于半径，
∴点（﹣2，0）在⊙D内；
③∵∠ADC=90°，
∴的度数为90°．
故答案为2，内，90°
【点评】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、平面直角坐标系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16．小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用勾股定理得到结论：P1P2=；他还证明了线段P1P2的中点P（x，y）的坐标公式是：x=，y=；
启发应用
请利用上面的信息，解答下面的问题：
如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），C（1，7），⊙M经过原点O及点A、B．
（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；
（2）判断点C与⊙M的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）先确定出AB=10，进而求出圆M的半径，最后用线段的中点坐标公式即可得出结论；
（2）求出CM=5和圆M的半径比较大小，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙M的直径，
∵A（8，0），B（0，6），
∴AB==10，
∴⊙M的半径为5，
由线段中点坐标公式x=，y=，得x=4，y=3，
∴M（4，3），
（2）点C在⊙M上，
理由：∵C（1，7），M（4，3），
∴CM==5，
∴点C在⊙M上．
【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是对两点间的距离公式的理解和掌握，灵活运用线段中点坐标公式和两点间距离公式．
17．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；
（2）若AB=8，∠BAC=45°，求：图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理可以证得AD垂直且平分BC，然后根据垂直平分线的性质证得AB=AC；
（2）连接OD、过D作DH⊥AB，根据扇形的面积公式解答即可．
【解答】解：（1）AB=AC．
理由是：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
又∵DC=BD，
∴AB=AC；
（2）连接OD、过D作DH⊥AB．
∵AB=8，∠BAC=45°，
∴∠BOD=45°，OB=OD=4，
∴DH=2
∴△OBD 的面积=
扇形OBD的面积=，阴影部分面积=．
【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，理解弧的度数和对应 圆心角的度数的关系是关键．
18．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=10m，水面宽AB=12m，某天下雨后，水管水面上升了2m，求此时排水管水面的宽CD．
【分析】先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．
【解答】解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB=12m，OE⊥AB，OA=1m，
∴OE=8m．
∵水管水面上升了2m，
∴OF=8﹣2=6m，
∴CF==8m，
∴CD=16m．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
19．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若CD=2，AB=8，求半径的长．
【分析】（1）连接OB，根据垂径定理得出=，故可得出∠BOD=∠AOD=52°，再由圆周角定理即可得出结论；
（2）设半径为R，在Rt△AOC中，构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）连接OB，
∵OD⊥AB，
∴=，
∴∠BOD=∠AOD=52°，
∴∠DEB=∠BOD=26°；
（2）∵OD⊥AB，AB=8，
∴AC=CB=4，设半径为R，
在Rt△OAC中，R2=42+（R﹣2）2，
∴R=5．
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键，学会利用参数构建方程解决问题．
20．如图，某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，污水水面宽度为30cm，污水深度为50cm，则修理人员应准备的新管道内径为多大？
【分析】连接OC，OA，根据C为AB中点可知OC⊥AB，AC=AB，设圆形管道的半径为r，则OC=50﹣r，再根据勾股定理求出r的值即可．
【解答】解：连接OC，OA，
∵污水面宽AB=30m，C为AB中点，
∴OC⊥AB，AC=AB=15cm．
∵C点距管道底部的距离为50cm，
∴OC=50﹣r，
在Rt△OAC中，
∵AC2+OC2=OA2，即152+（50﹣r）2=r2，解得r=27.25（cm），
∴圆形管道的直径=2r=54.5cm．
答：圆形管道的直径为54.5cm．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
21．如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB=2，EF=，=120°．
（1）求出圆洞门⊙O的半径；
（2）求立柱CE的长度．
【分析】（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．在Rt△BOH中，解直角三角形即可解决问题；
（2）作OM⊥EC于M，连接OC．在Rt△OMC中，解直角三角形即可；
【解答】解：（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．
∵的度数为120°，AO=BO，
∴∠BOH=×120°=60°，
∴AH=BH=，
在Rt△BOH中，sin∠BOH=，
∴OB=2，即圆洞门⊙O的半径为2；
（2）作OM⊥EC于M，连接OC．
∵Rt△BOH中，OH=1，
∵EH=，易证四边形OMEH是矩形，
∴OM=EH=，ME=OH=1，
在Rt△OMC中，CM==，
∴CE=ME+CM=1+=，
∴立柱CE的长度为．
【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于D点．
（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；
（2）若⊙O的半径为5，弦AC的长为6，连接AD，求线段AD、CD的长．
【分析】（1）连接OD，由∠1=∠3，∠1=∠2得到∠2=∠3，根据平行线的判定得到CE∥OD，由于CE⊥AB，则OD⊥AB，根据垂径定理得到=，于是判断点P的位置不发生改变．
（2）过点A作CD的垂线，垂足为G，构造等腰直角△AGC，直角△AGD中，由勾股定理求得DG=4，故CD=CG+DG．
【解答】解：（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置不会变；
理由如下：连接OD．
∵CD平分∠OCE，
∴∠1=∠3，
而OC=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CE∥OD，
∵CE⊥AB，
∴OD⊥AB，
∴=，即点D为半圆AB的中点．
（2）∵在直角△AOD中，OA=OD=5，
∴AD=5．
过点A作CD的垂线，垂足为G，
∵∠ACD=∠AOD=45°，
∴△AGC是等腰直角三角形，
∵AC=6，
∴AG=CG=3．
在直角△AGD中，DG==4，
∴CD=CG+DG=3+4=7，
∴线段AD的长度为5，线段CD的长度为7．
【点评】此题考查了平行线的判定、圆周角定理．此题难度适中，注意数形结合思想与转化思想的应用．
23．如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．
（1）求证：AC=BD；
（2）若AC=2，BC=4，大圆的半径R=5，求小圆的半径r的值；
（3）若AC?BC等于12，请直接写出两圆之间圆环的面积．（结果保留π）
【分析】（1）过O作OE⊥AB于点E，由垂径定理可知E为CD和AB的中点，则可证得结论；
（2）连接OC、OA，由条件可求得CD的长，则可求得CE和AE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理可求得OE的长，在Rt△COE中可求得OC的长；
（3）连接OA，OC，作OE⊥AB于点E，由垂径定理可得AE=BE．由勾股定理可得：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，继而可得OA2﹣OC2=AE2﹣CE2=（AE+CE）（AE﹣CE）=BC?AC=12，则可求得圆环的面积．
【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，如图1，
由垂径定理可得AE=BE，CE=DE，
∴AE﹣CE=BE﹣DE，
∴AC=BD；
（2）解：连接OC、OA，如图2，
∵AC=2，BC=4，
∴AB=2+4=6，
∴AE=3，
∴CE=AE﹣AC=3﹣2=1，
在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2=OA2﹣AE2=52﹣32=16，
在Rt△COE中，由勾股定理可得OC2=CE2+OE2=12+16=17，
∴OC=，即小圆的半径r为；
（3）解：连接OA，OC，作OE⊥AB于点E，如图2，由垂径定理可得AE=BE．
在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，
∴OA2﹣AE2=OC2﹣CE2，
∴OA2﹣OC2=AE2﹣CE2=（AE+CE）（AE﹣CE）=（BE+CE）?AC=BC?AC=12，
∴OA2﹣OC2=12，
∴圆环的面积为：πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=12π．
【点评】此题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
24．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”大意为：有个圆柱形木头，埋在墙壁中（如图所示），不知道其大小，用锯沿着面AB锯掉裸露在外面的木头，锯口深1寸，锯道AB长度为1尺，问这块圆柱形木料的半径是多少寸？（注：1尺=10寸）
【分析】由勾股定理OA2=OD2+AD2，代入数据即可求得．
【解答】解：∵AB⊥CD，∴AD=BD，
∵AB=10，∴AD=5，
在Rt△AOD中，
∵OA2=OD2+AD2，
∴OA2=（OA﹣1）2+52，
∴OA=13，
答：这块圆柱形木料的半径是13寸
【点评】本题考查圆柱形木料直径的求法，考查系勾股定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
25．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=1寸，CD=10寸，求直径AB的长．
请你解答这个问题．
【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．
【解答】解：如图所示，连接OC．
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD=10寸，
∴CE=DE=CD=5寸，
设OC=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2=OC2，
即（x﹣1）2+52=x2，
解得：x=13，
∴AB=26寸，
即直径AB的长为26寸．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
26．在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图当PQ∥AB时，求PQ的长；
（2）当点P在BC上移动时，线段PQ长的最大值为 ；此时，∠POQ的度数为 60° ．
【分析】（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理求出PQ；
（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ的长，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP=OB=，再求出即可．
【解答】解：（1）解：（1）连结OQ，如图1，
∵PQ∥AB，OP⊥PQ，
∴OP⊥AB，
在Rt△OBP中，∵tan∠B=，
∴OP=3tan30°=，
在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，
∴PQ==；
（2）连结OQ，如图2，
在Rt△OPQ中，PQ==，
当OP的长最小时，PQ的长最大，
此时OP⊥BC，则OP=OB=，
∴PQ长的最大值为=，
在Rt△QPO中，tan∠POQ===，
则∠POQ=60°，
故答案为：，60°．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．也考查了解直角三角形．
27．在附中中心花园的草坪上，有一些自动旋转喷泉水装置，它的喷灌区域是一个扇形，小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图，如图，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，喷灌起终点A，B两点的距离为12米，求这种装置能够喷的草坪面积．
【分析】过O作OC⊥AB于C，求出∠AOB度数，求出∠OAB，解直角三角形求出OA，根据扇形的面积公式求出即可．
【解答】解：
过O作OC⊥AB于C，则∠ACO=90°，
∵OC过O，OC⊥AB，AB=12米，
∴AC=BC=6米，
∵旋转喷水装置的旋转角度为240°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAC=∠OBC=（180°﹣120°）=30°，
∴OA===4（米），
∴这种装置能够喷的草坪面积是=32π（平方米）．
【点评】本题考查了垂径定理、解直角三角形、旋转的性质、扇形的面积计算等知识点，能求出半径OA的长度是解此题的关键．
28．如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．
（1）当∠B+∠D=90°时，求证：H是CD的中点；
（2）若H为CD的中点，且CD=2，BD=，求AB的长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BHD=90°，根据垂径定理得出即可；
（2）根据垂径定理求出DH，根据勾股定理求出BH，根据勾股定理得出关于R的方程，求出R即可．
【解答】（1）证明：∵∠B+∠D=90°，
∴∠BHD=180°﹣90°=90°，
即AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CH=DH，
即H是CD的中点；
（2）解：
连接OD，
∵H为CD的中点，CD=2，AB过O，
∴DH=CH=CD=，AB⊥CD，
∴∠BHD=90°，
由勾股定理得：BH===1，
设⊙O的半径为R，则AB=2R，OB=OD=R，
在Rt△OHD中，由勾股定理得：OH2+DH2=OD2，
即（R﹣1）2+（）2=R2，
解得：R=，
∴AB=2×=3．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键．
29．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5，CD=，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．
（1）求圆O的半径；
（2）如果AE=6，求EF的长．
【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得：DH=2，设圆O的半径为r，根据勾股定理列方程可得结论；
（2）过O作OG⊥AE于G，证明△AGO∽△AHF，列比例式可得AF的长，从而得EF的长．
【解答】解：（1）连接OD，
∵直径AB⊥弦CD，CD=4，
∴DH=CH=CD=2，
在Rt△ODH中，AH=5，
设圆O的半径为r，
根据勾股定理得：OD2=（AH﹣OA）2+DH2，即r2=（5﹣r）2+20，
解得：r=4.5，
则圆的半径为4.5；
（2）过O作OG⊥AE于G，
∴AG=AE=×6=3，
∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，
∴△AGO∽△AHF，
∴，
∴，
∴AF=，
∴EF=AF﹣AE=﹣6=．
【点评】本题考查了垂径定理，在有关圆的几何证明或几何计算中常用到；利用三角形相似比或勾股定理进行计算几何是常用的方法．
30．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
【分析】（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；
（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=AC，分两种情况：
①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得结论；
②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵PC=PB，
∴∠PCB=∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥CD；
（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC=DH，
在Rt△ABC中，∵AB=DH，
∴tan∠ACB==，
∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，
∴∠ADB=60°，BC=AC，
∴DH=AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠ADM=90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE+∠ABD=90°，
∵∠AMD=∠ABD，
∴∠ADM=∠BDE，
∵DH=AC，
∴DH=OD，
∴∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°
∵∠ADB=60°，
∴∠ADM+∠BDE=40°，
∴∠BDE=∠ADM=20°，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，
由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，
∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．
【点评】本题考查圆的有关性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解直角三角形等知识，考查了运算能力、推理能力，并考查了分类思想．
31．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，BC=6，AC=8，OE⊥AE，垂足为E，交⊙O于点P，连结BP交AC于D．
（1）求PE的长；
（2）求△BOP的面积．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理求出OE，计算即可；
（2）过O作OF⊥BP于F，证明△PED∽△BCD，根据相似三角形的性质求出ED、OF，根据三角形的面积公式计算．
【解答】解：（1）在直角△ABC中，BC=6，AC=8，
∴AB==10，
∵OE⊥AC，
∴AE=CD=AC=4，
由三角形中位线定理得，OE=BC=3，
∴PE=5﹣3=2；
（2）过O作OF⊥BP于F，
由（1）可知OE⊥AC，BC⊥AC，
∴OP∥BC，
∴△PED∽△BCD，
∴===，
∵CE=AC=4，
∴ED=1，
∴PD=，BD=3，
∴PB=4，BF=2，
∴OF=，
∴S△BOP=×4×=10．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
32．如图，在以AB为直径的半圆中，将弧BC沿弦BC折叠交AB于点D，若AD=5，DB=7．
（1）求BC的长；
（2）求圆心到BC的距离．
【分析】（1）根据折叠的性质知：=；若连接CD、AC，则∠DBC+∠BCD=∠CAD，即∠CAD=∠CDA；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE=AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长．
（2）设圆心到BC的距离为h，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）连接CA、CD；
根据折叠的性质，得：=；
∴∠CAB=∠CBD+∠BCD；
∵∠CDA=∠CBD+∠BCD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∴∠CAD=∠CDA，即△CAD是等腰三角形；
过C作CE⊥AB于E，则AE=DE=2.5；
∴BE=BD+DE=9.5；
在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：
BC2=BE?AB=9.5×12=114；
故BC=．
（2）设圆心到BC的距离为h，圆的半径为r=6，
由（1）知，Rt△ECB中，BE=9.5，BC=，
∴，
∵，
∴h=，
故圆心到BC的距离为．
【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键．
33．如图，半圆O的直径AB=6，弦CD的长为3，点C，D在半圆上运动，D点在上且不与A点重合，但C点可与B点重合．
（1）若的长=π时，求的长；
（2）取CD的中点M，在CD运动的过程中，求点M到AB的距离的最小值．
【分析】（1）由题意可知：△OCD是等边三角形，从而可求出弧CD的长度，再求出半圆弧的长度后，即可求出弧BC的长度．
（2）过点M做ME⊥AB于点E，连接OM，由垂径定理可求出DM的长度，再有勾股定理即可求出OM的长度，最后根据ME2=OM2﹣OE2可知ME取最小值，则只需要OE最大即可，从而可求出ME的长度．
【解答】解：（1）连接OD、OC，
∵CD=OC=OD=3，
∴△CDO是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴==π，
又∵半圆弧的长度为：×6π=3π，
∴=3π﹣π﹣=
（2）过点M做ME⊥AB于点E，
连接OM，
再CD运动的过程中，CD=3，
由垂径定理可知：DM=，
∴由勾股定理可知：OM==
∴由勾股定理可知：ME2=OM2﹣OE2
若ME取最小值，则只需要OE最大即可，
当C与B重合时，
此时OE最大，
∵CD=OC=3，
∴△ODC是等边三角形，
∴∠MOC=30°，OM=，
此时ME=OM=
即点M到AB的距离的最小值为．
【点评】本题考查圆的综合问题，涉及垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质等知识，综合程度较高，属于中等题型．
34．如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的中线，AE∥BC，射线BE交AD于点F，交⊙O于点G，点F是BE的中点，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；
（2）若BC=2AB，求证：=．
【分析】（1）根据三角形中位线的性质和平行四边形的判定证明即可；
（2）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴D是BC的中点，
∵F是BE的中点，
∴DF是△BCE的中位线，
∴DF∥CE，
∴AD∥CE，
∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）∵四边形ADCE是平行四边形，
∴AE=CD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BC=2CD，
∴BC=2AE，
∵BC=2AB，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵AE∥BC，
∴∠AEB=∠DBE，
∴∠ABE=∠DBE，
∴．
【点评】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是根据三角形中位线的性质和平行四边形的判定证明．
35．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求
（1）求半圆的半径长；
（2）BE的长度．
【分析】（1）根据垂径定理的推论得到OD⊥AC，AE=AC，设圆的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（2）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）设圆的半径为r，
∵D是弧AC中点，
∴OD⊥AC，AE=AC=4，
在Rt△AOE中，OA2=OE2+AE2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得，r=5，即圆的半径长为5；
（2）连接BC，
∵AO=OB，AE=EC，
∴BC=2OE=6，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BE==2．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
36．如图，圆O是△ABC的外接圆，AC是直径，过O作OD∥BC交AB于点D．延长DO交圆O于点E，作EF⊥AC于点F，连接DF并延长交直线BC于点G，连接EG．
（1）求证：FC=GC；
（2）四边形EDBG是哪种特殊四边形？请说明理由．
【分析】（1）证明△AOD≌△EOF，得到∠ODF=∠OFD，根据OD∥BC，得到∠FGC=∠ODF，得到∠CFG=∠FGC，得到答案；
（2）证明∠EGC=∠EFC=90°，根据三个角是直角是四边形是矩形得到答案．
【解答】证明（1）∵AC为直径，∴∠ABC=90°，
∵OD∥BC，∴∠ADO=∠ABC=90°，
在△AOD和△EOF中，
，
∴△AOD≌△EOF，
∴OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵OD∥BC，∴∠FGC=∠ODF，
又∠GFC=∠OFD，
∴∠CFG=∠FGC，
∴FC=GC；
（2）四边形EDBG是矩形，理由如下：
连接AE、EC，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∴∠OAE=∠OFD，
∴AE∥DG，
∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
又CF=CG，
∴CE是FG的垂直平分线，
∴△EFC≌△EGC，
∴∠EGC=∠EFC=90°，
又∠EDB=90°，∠ABC=90°，
∴四边形EDBG是矩形．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆、矩形的判定，正确运用直径所对的圆周角是直角、半径相等证明三角形全等是解题的关键，解答时，注意构造直径所对的圆周角．
37．如图△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为的中点．
（1）求证：OF∥BD；
（2）若点F恰好为线段OC的中点，且⊙O的半径R=6cm．求图中阴影部分（弧AC与弦AC围成的图形）的面积．
【分析】（1）由点C为弧AD的中点，根据垂径定理的推论得OC⊥AD，再根据圆周角定理由AB为直径得∠BDA=90°，然后根据平行线的判定即可得到OF∥BD；
（2）由于点F为OC的中点，即OF=OC=OA=3，根据含30度的直角三角形三边的关系易得∠FAO=30°，则∠AOF=60°，AF=OF=3，然后根据扇形的面积公式和阴影部分（弓形）面积=S扇形AOC﹣S△AOC进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵点C为弧AD的中点，
∴OC⊥AD，
∵AB为直径，
∴∠BDA=90°，
∴BD⊥AD，
∴OF∥BD；
（2）解：∵OC⊥AD，
∴OF=OC=OA=3，
而OF⊥AF，
∴∠FAO=30°，
∴∠AOF=60°，AF=OF=3，
∴阴影部分（弓形）面积=S扇形AOC﹣S△AOC
=﹣?6?3=6π﹣9．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和扇形的面积公式．
38．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，
（1）如图1，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O（保留作图痕迹）；
（2）如图2，求桥弧AB所在圆的半径R．
【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AB，BC的中垂线交于点O，则点O是桥弧所在圆的圆心；
（2）首先连接OA，由（1）可得：△AOD为直角三角形，D是AB的中点，CD=10，即可求得AD的长，然后在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，即可求得拱桥的半径R．
【解答】解：（1）如图1所示；
（2）连接OA．如图2．
由（1）中的作图可知：△AOD为直角三角形，D是AB的中点，CD=10，
∴AD=AB=20．
∵CD=10，
∴OD=R﹣10．
在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，
∴R2=202+（R﹣10）2．
解得：R=25．
即桥弧AB所在圆的半径R为25米．
【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度不大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
39．Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD．
（Ⅰ）如图①，求∠ODE的大小；
（Ⅱ）如图②，连接OC交DE于点F，若OF=CF，求∠A的大小．
【分析】（Ⅰ）连接OE，BD，利用全等三角形的判定和性质解答即可；
（Ⅱ）利用中位线的判定和定理解答即可．
【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，
∵E点是BC的中点，
∴DE=BC=BE，
∵OD=OB，OE=OE，
∴△ODE≌△OBE，
∴∠ODE=∠OBE，
∵∠ABC=90°，
∴∠ODE=90°；
（Ⅱ）∵CF=OF，CE=EB，
∴FE是△COB的中位线，
∴FE∥OB，
∴∠AOD=∠ODE，
由（Ⅰ）得∠ODE=90°，
∴∠AOD=90°，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO=．
【点评】此题考查了圆周角定理，关键是根据学生对全等三角形的判定方法及切线的判定等知识的掌握情况解答．
40．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上．
（1）如图1，MA=6，MB=8，∠NOB=60°，求NB的长；
（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究∠MCP、∠NAB、∠MBA之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）只要证明△OBN是等边三角形即可解决问题；
（2）结论：∠MCP+∠MBA+∠NAB=90°．方法一：如图2中，画⊙O，延长MC交⊙O于点Q，连接NQ，NB．关键是证明CP∥QN；
方法二：如图2﹣1中，连接MO，OP，NO，BN．关键是证明∠MCP=∠NBM；
【解答】解：（1）如图1，∵AB是半圆O的直径，
∴∠M=90°，
在Rt△AMB中，AB=，
∴AB=10．
∴OB=5，
∵OB=ON，
又∵∠NOB=60°，
∴△NOB是等边三角形，
∴NB=OB=5．
（2）结论：∠MCP+∠MBA+∠NAB=90°．
理由：方法一：如图2中，
画⊙O，延长MC交⊙O于点Q，连接NQ，NB．
∵MC⊥AB，
又∵OM=OQ，
∴MC=CQ，
即 C是MQ的中点，
又∵P是MQ的中点，
∴CP是△MQN的中位线，
∴CP∥QN，
∴∠MCP=∠MQN，
∵∠MQN=∠MON，∠MBN=∠MON，
∴∠MQN=∠MBN，
∴∠MCP=∠MBN，
∵AB是直径，
∴∠ANB=90°，
∴在△ANB中，∠NBA+∠NAB=90°，
∴∠MBN+∠MBA+∠NAB=90°，
即∠MCP+∠MBA+∠NAB=90°．
方法二：如图2﹣1中，连接MO，OP，NO，BN．
∵P是MN中点，
又∵OM=ON，
∴OP⊥MN，
且∠MOP=∠MON，
∵MC⊥AB，
∴∠MCO=∠MPO=90°，
∴设OM的中点为Q，
则 QM=QO=QC=QP，
∴点C，P在以OM为直径的圆上，
在该圆中，∠MCP=∠MOP=∠MQP，
又∵∠MOP=∠MON，
∴∠MCP=∠MON，
在半圆O中，∠NBM=∠MON，
∴∠MCP=∠NBM，
∵AB是直径，
∴∠ANB=90°，
∴在△ANB中，∠NBA+∠NAB=90°，
∴∠NBM+∠MBA+∠NAB=90°，
即∠MCP+∠MBA+∠NAB=90°．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、平行线的性质、直径的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．hrasce20；邮箱：zhrasce20@163.com；学号：6322261
同课章节目录