八上数学期末专题复习--全等的应用
◆考点四：全等的应用：
典例精讲：
例4.(1)如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°， 则四边形 ABCD 的面积为（ ）
A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
(2)如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点 D 是 BC 边上一点且
CD=1，点 P 是线段 DB 上一动点，连接 AP，以 AP 为斜边在 AP 的下方作等腰 Rt△AOP．当 P从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径长为_______________
变式训练：
1.如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN.其中正确的结论有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE.下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD的面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
典例精讲：
例5如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，O为AC的中点，AD为高，OG⊥AC，交AD的延长线于G，OB交AD于F，OE⊥OB交BC于E，过点O作OH⊥BC于H，求证：DF=HE．
变式训练：
1.如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC=2，求BE的长．
2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，点E在边BC上，点F在边AB的延长线上，BE=BF． (1)求证：△ABE≌△CBF；(2)若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．
典例精讲：
例6.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，DC＝AE，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D.(1)求证：AC＝CB；(2)若AC＝12 cm，求BD的长．
变式训练：
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在边AB上，使DB=BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．求证：AB=BF．
2．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，
（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
（2）试说明：DC⊥BE．
◆考点五：全等的综合应用：
典例精讲：例7.已知：在四边形 ABCD 中，对角线 AC.BD 相交于点 E，且AC⊥BD，作 BF⊥CD，垂足为点 F，BF 与 AC 交于点 C，∠BGE=∠ADE．（1）如图 1，求证：AD=CD；
（2）如图 2，BH 是△ABE 的中线，若 AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直 接写出图 2 中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的 2 倍．
变式训练：
1．如图，在△ABC中，∠B=∠C=45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=∠AED，连结DE．（1）当∠BAD=60°，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试写出∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
2.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
巩固提升：
1．已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC．求证：BC=DE．
2．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．
3．如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一直线上，连接BD交AC于点F.
(1)求证：△BAD≌△CAE；(2)猜想BD，CE有何特殊位置关系，并说明理由．
4．（1）如图1，AC=AE，∠1=∠2，∠C=∠E．求证：BC=DE．
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=30°，求∠C的度数．
5.已知：如图，点 A．F，E．C 在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D．
（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若点 E，G 分别为线段 FC，FD 的中点，连接 EG，且 EG=5，求 AB 的长．
6．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．
（1）求证：△ABP≌△CAQ；（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
7．如图，四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：CO平分∠ACD；（2）求证：AB+CD=AC．
8．（1）如图1：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．证明：DE=DF．
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，DE和DF分别平分∠ADB和∠ADC，求证：DE=DF．
9．如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．
（1）求证：BG=CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
10．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）证明：△BCE≌△CAD；
（2）若AD=25cm，BE=8cm，求DE的长．
11.如图，点 A.D.C.F 在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF. (1)求证：Δ ABC≌△DEF；
(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F 的度数.
12.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
(1)求证：BE＝CF；(2)如果AB＝8，AC＝6，求AE，BE的长．
13.在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD，CE相交于点F.(1)求∠EFD的度数；(2)判断FE与FD之间的数量关系，并证明你的结论．
14.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝10 cm，BC＝8 cm，D为AB的中点，点P在线段上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动．当△BPD与△CQP全等时，求点P运动的时间．
15.如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°.
(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
(1)阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中．利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是____________________；
(2)问题解决：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证BE＋CF＞EF.
八上数学期末专题复习--全等的应用答案
◆考点四：全等的应用：
典例精讲：例4.(1)解析：如图，过 A 作 AE⊥AC，交 CB 的延长线于 E，
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，
∴∠D=∠ABE， 又∵∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB， 又∵AD=AB，
∴△ACD≌△AEB，
∴AC=AE，即△ACE 是等腰直角三角形，
∴四边形 ABCD 的面积与△ACE 的面积相等，
∵S△ACE=×5×5=12.5，
∴四边形 ABCD 的面积为 12.5， 故选：B．
(2)解析：过 O 点作 OE⊥CA 于 E，OF⊥BC 于 F，连接 CO，如图，
∵△AOP 为等腰直角三角形，
∴OA=OP，∠AOP=90°，
易得四边形 OECF 为矩形，
∴∠EOF=90°，CE=CF，
∴∠AOE=∠POF，
∴△OAE≌△OPF，
∴AE=PF，OE=OF，
∴CO 平分∠ACP，
∴当 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径为一条线段，
∵AE=PF，即 AC﹣CE=CF﹣CP， 而 CE=CF，
∴CE=（AC+CP）， ∴OC=CE=（AC+CP），
当 AC=2，CP=CD=1 时，OC=×（2+1）=，
当 AC=2，CP=CB=5 时，OC=×（2+5）=，
∴当 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径长=﹣=2．
故答案：2．
变式训练：
1.解析：∵，，，
∴△ABE≌△ACF，∴，
∴，∴，故①正确；
∵△ABE≌△ACF，∴，故②正确；
∵△ABE≌△ACF，∴，
∵，
∴△ACN≌△ABM，故③正确；
，故④错误，故选择B
2.解析：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，
又∠CDE＝∠BDF，DE＝DF，∴△BDF≌△CDE(SAS)，故④正确；
由△BDF≌△CDE，可知CE＝BF，故①正确；
∵AD是△ABC的中线，∴△ABD和△ACD等底等高，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；
由△BDF≌△CDE，可知∠FBD＝∠ECD.∴BF∥CE，故③正确．故选D.
典例精讲：例5
解析：∵AC=2AB．O为AC的中点，∴AB=AO=OC，
∵∠BAC=90°，OG⊥AC，∴∠BAC=∠AOG=90°，
∴∠BAC+∠AOG=180°，∴AB∥OG，∴∠G=∠BAD，
∵AD⊥BC，∴∠BDA=∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，∠ABC+∠C=90°，
∴∠C=∠BAD，∴∠C=∠G，
∵OB⊥OE，∴∠BOE=90°，
∵∠BFA=∠BDA+∠OBE=90°+∠OBE，∠OEC=∠BOE+∠OBE=90°+∠OBE，
∴∠BFA=∠OEC，
在△ABF和△COE中，，
∴△ABF≌△COE（AAS），∴BF=OE，
∵∠BFA=∠OEC，∴∠BFD=∠OEH，
在△BDF与△OEH中，，
∴△BDF≌△OHE，∴DF=HE．
变式训练：
1.解析：∵∠ABC=∠BAC=45°， ∴∠ACB=90°，AC=BC， ∵∠DAC+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE， 在△ACD和△CEB中， ? ∴△ACD≌△CEB（AAS）， ∴BE=CD=2．
2.解析：∵∠ABC=90°，∴∠ABC=∠CBF=90°． 在△ABE和△CBF中， ∴△ABE≌△CBF（SAS） （2）解：∵△ABE≌△CBF， ∴∠BAE=∠BCF． ∵∠ABC=90°，AB=CB， ∴∠BCA=∠BAC=45°． ∵∠CAE=30°， ∴∠BAE=15°， ∴∠BCF=15°． ∵∠ACF=∠BCF+∠ACB， ∴∠ACF=15°+45°=60°．
典例精讲：
例6.解析：(1)证明：∵AF⊥DC，∴∠ACF＋∠FAC＝90°，
∵∠ACF＋∠FCB＝90°，∴∠EAC＝∠FCB，
在△DBC和△ECA中，，
∴△DBC≌△ECA(AAS)，∴BC＝AC
（2）∵E是AC的中点，∴EC＝BC＝AC＝×12 cm＝6 cm，
又∵△DBC≌△ECA，∴BD＝CE，∴BD＝6 cm
变式训练：
1.证明：∵EF⊥AC，
∴∠F+∠C=90°，
∵∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠F，
在△FBD和△ABC中，
，
∴△FBD≌△ABC（AAS），∴AB=BF．
2.解析：（1）∵△ABC，△DAE是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
∠BAE=∠DAC=90°+∠CAE，
在△BAE和△DAC中
∴△BAE≌△CAD（SAS）．
（2）由（1）得△BAE≌△CAD．
∴∠DCA=∠B=45°．
∵∠BCA=45°，
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°，
∴DC⊥BE．
◆考点五：全等的综合应用：
典例精讲：
例7.解析：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，
∴∠ADE=∠CGF，
∵AC⊥BD.BF⊥CD，
∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，
∴∠DAE=∠GCF，∴AD=CD；
（2）设 DE=a，
则 AE=2DE=2a，EG=DE=a，
∴S△ADE =AE?DE=?2a?a=a2，
∵BH 是△ABE 的中线，∴AH=HE=a，
∵AD=CD.AC⊥BD，∴CE=AE=2a，
则 S△ACD =AC?DE=?（2a+2a）?a=2a2=2S ；在△ADE 和△BGE 中，
∵
∴△ADE≌△BGE（ASA），
∴BE=AE=2a，
S△BCE =CE?BE=?（2a）?2a=2a2，
S△BHG =HG?BE=?（a+a）?2a=2a2，
综上，面积等于△ADE 面积的 2 倍的三角形有△ACD.△ABE.△BCE.△BHG．
变式训练：
1.解析：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=105°，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠EDC．
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠ADC﹣∠EDC=105°﹣∠EDC=45°+∠EDC，
解得：∠CDE=30°；
（2）∠CDE=∠BAD，
理由：设∠BAD=x，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+x，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠C+∠CDE，
∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∴∠ADC﹣∠CDE=∠45°+x﹣∠CDE=45°+∠CDE，
得：∠CDE=∠BAD．
2.解析：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，
∵△ABC中，AB=AC，
∴在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=8﹣3tcm，CQ=xtcm，
∵AB=AC，∴∠B=∠C，
根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC，BP=CQ时，②当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；
①当BD=PC且BP=CQ时，8﹣3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；
②BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8﹣3t，解得：x=；
故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．
巩固提升：
1.解析：∵AB∥EC，
∴∠A=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，，
∴△ABC≌△CDE，∴BC=DE．
2.解析：连接AD，
在△ACD和△ABD中，
，
∴△ACD≌△ABD（SSS），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE=DF．
3.解析：(1)∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.
在△BAD和△CAE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)
（2）BD⊥CE.理由如下：由(1)可知△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE.∵∠BAC＝90°，
∴∠ABD＋∠AFB＝90°.又∵∠AFB＝∠DFC，
∴∠ACE＋∠DFC＝90°，∴∠BDC＝90°，即BD⊥CE
4.解析：（1）证明：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中
，
∴△ABC≌△ADE，
∴BC=DE；
（2）解：∵D为BC中点，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°．
5.解析：（1）∵AB∥DC，
∴∠A=∠C，
在△ABE 与△CDF 中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）∵点 E，G 分别为线段 FC，FD 的中点，
∴ED=CD，
∵EG=5，
∴CD=10，
∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD=10．
6.解析：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，
∵∠BAP+∠CAP=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°，
∴△APQ是等边三角形．
7.解析：（1）过O点作OE⊥AC于点E．
∵∠ABD=90°且OA平分∠BAC
∴OB=OE，
又∵O是BD中点
∴OB=OD，
∴OE=OD，
∵OE⊥AC，∠D=90°
∴点O在∠ACD 的角平分线上
∴OC平分∠ACD．
（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中
∵
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴AB=AE，
在Rt△CDO和Rt△CEO中
∵
∴Rt△CDO≌Rt△CEO（HL），
∴CD=CE，
∴AB+CD=AE+CE=AC．
8.解析：（1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF；
（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE平分∠ADB，DF平分和∠ADC，
∴∠ADE=∠ADF=45°，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴DE=DF．
9.解：（1）∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD
又∵∠BDG=∠CDF，
在△BGD与△CFD中，
∵
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG=CF．
（2）BE+CF＞EF．
∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．
10.解析：（1）∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC=∠ACB=∠ADC=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD；
（2）∵△BCE≌△CAD，
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE=25﹣8=17（cm）．
11.解析：（1）∵AC=AD+DC， DF=DC+CF，且 AD=CF
∴AC=DF
在△ABC 和△DEF 中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）由（1）可知，∠F=∠ACB
∵∠A=55°，∠B=88°
∴∠ACB=180°－（∠A+∠B）=180°－（55°+88°）=37°
∴∠F=∠ACB=37°
12.(1)解析：连接DB，DC，∵DG⊥BC且平分BC，
∴∠DGB＝∠DGC＝90°，BG＝CG.又DG＝DG，
∴△DGB≌△DGC，
∴DB＝DC.∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠AED＝∠DFC＝90°.
(3分)在Rt△DBE和Rt△DCF中，，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL)，∴BE＝CF.
（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE＝AF.
∵AC＋CF＝AF，∴AE＝AC＋CF.
∵AE＝AB－BE，∴AC＋CF＝AB－BE，即6＋BE＝8－BE，
∴BE＝1，∴AE＝8－1＝7
13.解析：(1)∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝30°.
∵AD，CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，
∴∠FAC＝∠BAC＝15°，∠FCA＝∠ACB＝45°.
∴∠AFC＝180°－∠FAC－∠FCA＝120°，∴∠EFD＝∠AFC＝120°
（2）证明：如图，在AC上截取AG＝AE，连接FG，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAF＝∠GAF.
在△FAE和△FAG中，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴FE＝FG，∠AFE＝∠AFG.
∵∠EFD＝120°，∴∠DFC＝60°，∠AFG＝∠AFE＝60°，
∴∠CFG＝60°＝∠DFC.∵EC平分∠BCA，∴∠DCF＝∠FCG＝45°.
在△FGC和△FDC中，∵
∴△FGC≌△FDC(ASA)，∴FG＝FD，∴FE＝FD
14.解：∵D为AB的中点，AB＝10 cm，
∴BD＝AD＝5 cm.设点P运动的时间是x s，
若BD与CQ是对应边，则BD＝CQ，
∴5＝3x，解得x＝，此时BP＝＝5 (cm)，
CP＝8－5＝3 (cm)，BP≠CP，故舍去；
若BD与CP是对应边，则BD＝CP，∴5＝8－3x，解得x＝1，符合题意．
综上可知，点P运动的时间是秒
15.解析：(1)BD＝CE，BD⊥CE.
证明：延长BD交CE于M，易证△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠BME＝∠MBC＋∠BCM＝∠MBC＋∠ACE＋∠ACB
＝∠MBC＋∠ABD＋∠ACB＝∠ABC＋∠ACB＝90°，
∴BD⊥CE (2)仍有BD＝CE，BD⊥CE，理由同(1)
16.延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG.
∵点D是BC的中点，
∴DB＝DC.
∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF，
∴△BDG≌△CDF(SAS)．
∴BG＝CF.
∵ED⊥FD，
∴∠EDF＝∠EDG＝90°.
又∵ED＝ED，FD＝DG，
∴△EDF≌△EDG.
∴EF＝EG.
∵在△BEG中，BE＋BG＞EG，
∴BE＋CF＞EF.
