八上数学期末专题复习学案--直角三角形
◆考点一：角平分线的性质：
典例精讲：
例1.（1）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为
如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA=OB，则图中全等三角形的对数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．421*
（3）如图：求作一点P，使PM=PN，并且使点P到∠AOB的两边的距离相等．
(4)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，
∠B=48°，则∠CDE的大小为（ ）
A．44° B．40° C．39° D．38°
变式训练：
1．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P是∠A与∠B两角平分线的交点 B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C．P为AC、AB两边上的高的交点 D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC=3，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在△ABC中，点D在边BC上，若∠BAD=∠CAD，AB=6，AC=3，S△ABD=3，则S△ACD=（ ）
A．3 B．6 C． D．
4.如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
◆考点二：中垂线的性质：
典例精讲：
例2.（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=8cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，则MN的长为________
（2）如图，AB=AC，∠BAC=110°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
（3）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm
(4)如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
变式训练：
如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC=
2．如图，已知在△ABC中，AB=7，BC=6，AC的垂直平分线DE交AC于点E，交AB于点D，连接CD，则△BCD的周长为
3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（ ）
A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BC C．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点
◆考点三：翻折问题：
典例精讲：
例3.（1）如图，长方形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，则CE的长为
（2）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．
如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β
变式训练：
1．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（ ）21教育网
A．∠DAB′=∠CAB′ B．∠ACD=∠B′CD C．AD=AE D．AE=CE
2．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为
3.如图，等边△ABC的边长为10cm，D、E分别是AB、AC边上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC的外部，则阴影部分图形的周长为 cm．
◆考点四：直角三角形的概念：
典例精讲：
例4.（1）下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（ ）
A．1、1、 B．5、12、13 C．3、5、7 D．6、8、10
（2）发现下列几组数据能作为三角形的边：①8，15，17；②5，12，13；③12，15，20；④7，24，25．其中能作为直角三角形的三边长的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
（3）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°
C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形
变式训练：
1.以下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（ ）
A. 4cm，8cm，7cm B.2cm，2cm，2cm C.2cm，2cm，4cm D.6cm，8cm ，10cm
2．如果a、b、c是一个直角三角形的三边，则a：b：c等于（ ）
A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：13
3．在Rt△ABC中，两边长分别为3，4，则△ABC的周长为____________
◆考点五：勾股定理：
典例精讲：
例5.(1)如图所示，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1=4，S2=8，则S3=（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．4 B．8 C．12 D．32
（2）如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD的长等于
（3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，D为线段AB的中点，则∠ACD=
变式训练：
1．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
2．如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A、B、C三点，且A、D、E、C四点在同一条直线上，∠C=90°，已测得AB=100m，BC=60m，AD=20m，EC=10m，则池塘的宽度
3．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，则三角形的面积为___________
4．如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则爬行的最短距离是 cm．
◆考点六：直角三角形的应用：
典例精讲：
例6..1.如图①，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE=AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数；
（3）当α=90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图②，判断△CPQ的形状，并加以证明．
2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=7cm，AC=25cm．点P从点A沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，点Q从点B沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发．
（1）求BC的长．（2）若运动2s时，求P、Q两点之间的距离．（3）P、Q两点运动几秒，AP=CQ．
变式训练：
1.如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠B=∠ADE，
（1）如图1，当点D为BC中点时，试说明：．
（2）如图2，联接CE，当EC⊥BC时，试说明：△ABC为等腰直角三角形．
2．已知：如图，△ABC中，AC=8，点D在AB边上，且AD=BD=CD=5，在△ABC外，作等边△ACE．（1）判断△ABC的形状，并证明；（2）求四边形ABCE的周长．
3.已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，
（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
巩固提升：
如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，AB的垂直平分线交AC于点M，交AB于点N．连接MB，若AB=8，△MBC的周长是14，则BC的长为
如图，已知△ABC中，∠BAC=140°，现将△ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，则∠DAE的度数为
3．如图，AB+AC=7，D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD的周长为
4．如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC于点D，E，连接DC，若BD=2，则线段AC
5．如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，△ABE的周长为14，则△ABC的周长为
6．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是 （请将所有正确结论的序号都填上）．
7．如图，△ABC的周长为22cm，∠ABC，∠ACB的平分线交于O，OD⊥BC于D，且OD=3cm，则△ABC的面积为 cm2．
8．如图，三角形纸片ABC，AB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 cm．
9．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=
10．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠CBA交AC于点E，过E作ED⊥AB于D点，当∠A= 时，ED恰为AB的中垂线．
11．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24°
12．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
13．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）
A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm
14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
15．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=40°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．70°
16．以下列各组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．4，6，5 C．14，13，12 D．7，25，24
17．一个三角形三个内角的度数比为1：2：1，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
18．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（ ）
A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m
19．如图，已知点A（1，1）、B（2，3），且P为y轴上一动点，则PA+PB的最小值为
20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=4，则AD=
21．在Rt△ABC中，∠B=90°，若AB=3，BC=4，则斜边AC上的高BD=
22．如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 分钟后△CAP与△PQB全等．
-n-j-y
23．如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2016个等腰直角三角形的斜边长是
24．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E；
（1）若B、C在DE的同侧（如图所示）且AD=CE．求证：AB⊥AC；
（2）若B、C在DE的两侧（如图所示），其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由．
25.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，点M是AB边上的点，
点N是射线CB上的点，且MC=MN．
（1）如图1，求证：∠MCD=∠BMN．
（2）如图2，当点M在∠ACD的平分线上时，请在图2中补全图，猜想线段AM与BN有什么数量关系，并证明；
（3）如图3，当点M是BD中点时，请直接写出线段AM与BN的数量关系．
八上数学期末专题复习学案--直角三角形答案
◆考点一：角平分线的性质：
典例精讲：例1.
（1）解析：根据垂线段最短，PQ⊥OM时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴PQ=PA=3．
故答案为：3．
（2）解析：∵OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，
∴PE=PF，∠1=∠2，
在△AOP与△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴AP=BP，
在△EOP与△FOP中，
，
∴△EOP≌△FOP（AAS），
在Rt△AOP与Rt△BOP中，
，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），
∴图中有3对全等三角形．
故选：C．
（3）解：如图，点P即为所求．
（1）作∠AOB 的平分线OC；
（2）连结MN，并作MN 的垂直平分线EF，交OC于P，连结PM、PN，
则P点即为所求．
（4）解析：∵∠A=54°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCB=78°=39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°，
故选：C．
变式训练：
1.解析：∵点P到∠A的两边的距离相等，
∴点P在∠A的角平分线上；
又∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
即P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点．
故选B．
2.解析：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠DAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∵∠C=90°，
∴3∠CAD=90°，
∴∠CAD=30°，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC，
∴CD=DE=BD，
∵BC=3，
∴CD=DE=1，
故选A．
3.解析：过D作DP⊥AC交AC的延长线于P，DQ⊥AB于Q，
∵∠BAD=∠CAD，∴DP=DQ，
∵S△ABD=AB?DQ=?DQ=3，
∴DQ=1，∴DP=1，
∴S△ACD=?AC?DP=，
故选：C．
4.解析：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选：A．
◆考点二：中垂线的性质：
典例精讲：例2.
（1）解析：连接AM，AN，
∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，
∴∠C=∠B=30°，
∵AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点D，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点E，
∴AN=CN，AM=BM，
∴∠CAN=∠C=30°，∠BAM=∠B=30°，
∴∠ANC=∠AMN=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN，
∴BM=MN=CN，
∵BC=8cm，
∴MN=cm．
故答案为： cm．
（2）.解析：根据题意，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=110°，
∴∠B=35°，
又AB的垂直平分线交BC于点D，
∴∠BAD=∠B=35°，
在△BAD中，∠ADC=∠B+∠BAD=70°，
∴∠ADC=70°．
故答案选C．
（3）解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，AE=CE=AC，
∵△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，
∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，
∴AC=6cm，∴AE=3cm，
故选A．
(4)解析：∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CE=CD×cos∠C=3，
故选：D．
变式训练：
1.解析：过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BOC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠DEB=∠DFC=90°，
∴∠EAF+∠EDF=180゜，
∵∠BAC=84°，
∴∠BDC=∠EDF=96°，
故答案为：96°．
2.解析：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∵AB=7，
∴AD+BD=7，
∴CD+BD=7，
∵BC=6，
∴△BCD的周长是CD+BD+BC=7+6=13，
故答案为：13
3.解析：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C==72°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD，
∴BD平分∠ABC，故A正确；
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故B正确；
∵∠DBC=36°，∠C=72°，
∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC，故C正确；
∵BD＞CD，
∴AD＞CD，
∴点D不是线段AC的中点，故D错误．
故选D．
◆考点三：翻折问题：
典例精讲：例3.
（1）解析：如图，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=90°，DC=AB=6；
由勾股定理得：
AC2=AD2+DC2，而AD=8，
∴AC=10；由题意得：
∠AFE=∠B=90°，
AF=AB=6；设EF=EB，
∴CF=10﹣6=4，CE=；
由勾股定理得：
解得：，
∴CE=5，
故答案为5．
（2）解析：由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故选：A．
变式训练：
1.解析：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，
∴∠BAC=∠CAB′，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAB′，
∴AE=CE，
所以，结论正确的是D选项．故选D．
2.解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△BND中，x2+32=（9﹣x）2，
解得x=4．
故线段BN的长为4．
故答案为：4．
3.解析：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
所以AD=A′D，AE=A′E．
则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，
=BC+BD+CE+AD+AE，
=BC+AB+AC，
=30cm．
故答案为：30．
◆考点四：直角三角形的概念：
典例精讲：
例4.（1）解析：A、，能构成直角三角形，故选项错误；
B、52+122=132，能构成直角三角形，故选项错误；
C、32+52≠72，不能构成直角三角形，故选项正确；
D、62+82=102，能构成直角三角形，故选项错误．
故选：C．
（2）解析：①∵82+152=172，∴能组成直角三角形；
②∵52+122=132，∴能组成直角三角形；
③122+152≠202，∴不能组成直角三角形；
④72+242=252，∴能组成直角三角形．
故选C．
（3）解析：如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；
如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；
如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，
设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
则x+3x+2x=180°，
解得，x=30°，
则3x=90°，
那么△ABC是直角三角形，C正确；
如果a2：b2：c2=9：16：25，
则如果a2+b2=c2，
那么△ABC是直角三角形，D正确；
故选：B．
变式训练：
解析：，∴A选项错误；
，∴B选项错误；
，∴C选项错误；
，∴D选项正确。
故选择D
2.解析：A、∵12+22≠42，∴1：2：4不是直角三角形的三条边；故本选项错误；
B、∵12+32≠42，∴1：3：5不是直角三角形的三条边；故本选项错误；
C、∵32+42≠72，∴3：4：7不是直角三角形的三条边；故本选项错误；
D、∵52+122=132，∴1：2：4是直角三角形的三条边；故本选项正确．
故选D．
3.解析：当4为直角边时，斜边为5，此时周长为12，当4为斜边时，另一直角边为
，此时周长为：，故答案为：12或
◆考点五：勾股定理：
典例精讲：
例5.(1)解析：∵S1=4，
∴BC2=4，
∵S2=12，
∴AC2=8，
∴在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2=4+8=12，
∴S3=AB2=12．
故选：C．
2.解析：在直角三角形ABC中，AC=4，BC=3，
根据勾股定理，得AB=5．
在直角三角形ABD中，BD=12，
根据勾股定理，得AD=13．
3.解析：为直角三角形，且CD为斜边AB上的中线，
，，，
，
变式训练：
1.解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，
故选：C．
2.解析：在Rt△ABC中，
=80m
所以DE=AC﹣AD﹣EC=80﹣20﹣10=50m
∴池塘的宽度DE为50米．
3.解析：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
设BD=x，则有CD=14﹣x，
由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，
∴152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，
解之得：x=9，
∴AD=12，
∴S△ABC=BC?AD=×14×12=84．
4.解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
∴AB=；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
∴AB=；
∵，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25．故答案为：25
◆考点六：直角三角形的应用：
典例精讲：
例6.
1.解析：（1）如图1，∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=AD；
（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°﹣α，
∴∠BAM+∠ABM=180°﹣α，
∴△ABM中，∠AMB=180°﹣α；
（3）△CPQ为等腰直角三角形．
证明：如图2，由（1）可得，BE=AD，
∵AD，BE的中点分别为点P、Q，
∴AP=BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP=∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP=CQ，且∠ACP=∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB=90°，
∴∠BCQ+∠PCB=90°，
∴∠PCQ=90°，
∴△CPQ为等腰直角三角形．
2.解析：（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=7cm，AC=25cm，
∴BC=cm．
（2）如图，连结PQ，
BP=7﹣2=5，BQ=6×2=12，
在直角△BPQ中，由勾股定理得到：PQ=（cm）；
（3）设t秒后，AP=CQ．则t=24﹣6t，
解得 ．
答：P、Q两点运动秒，AP=CQ．
变式训练：
1.解析：（1）∵点D为BC中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠BAC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠B=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
又∵∠B=∠ADE，
∴∠EDC=∠BAD=∠BAC．
（2）∵AB=AC，AD=AE，且∠B=∠ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，有，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE=∠ACB，
∵EC⊥BC，
∴∠ACB=∠ACE=45°，∠B=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
2．解析：（1）结论：△ABC的是直角三角形；
∵AD=BD=CD，
∴∠1 =∠2，∠3 =∠4，
∴∠1+∠4=∠2 +∠3，
又∵∠1+∠2+∠3 +∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）在直角三角形△ABC中AC=8，AB=10，
∴BC=6，
又∵△ACE是等边三角形．
∴AE=CE =8，
∴四边形ABCE的周长为AB+BC+AE+CE=32．
3.解析：（1）证明：连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=AD．
∴∠B=∠DAC=45°
又BE=AF，
∴△BDE≌△ADF（SAS）．
∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．
∴△DEF为等腰直角三角形．
（2）解：△DEF为等腰直角三角形．
证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：
连接AD，
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一），
∴∠DAC=∠ABD=45°．
∴∠DAF=∠DBE=135°．
又AF=BE，
∴△DAF≌△DBE（SAS）．
∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．
∴△DEF仍为等腰直角三角形．
巩固提升：
1.解析：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，
∵AB=8，△MBC的周长是14，
∴BC=14﹣8=6．
故答案为：6．
2.解析：如图，∵∠BAC=140°，
∴∠B+∠C=180°﹣140°=40°；
由题意得：∠B=∠DAB（设为α），∠C=∠EAC（设为β），
∴∠ADE=2α，∠AED=2β，
∴∠DAE=180°﹣2（α+β）=180°﹣80°=100°，
故答案为100°．
3.解析：∵AB+AC=7，D是AB上一点，点D在BC的垂直平分线上，
∴BD=CD，
∴△ACD的周长=AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC=7．
故答案为：7．
4.解析：∵∠ACB=60°，∠B=90°，
∴∠A=30°，
∵DE是斜边AC的中垂线，
∴DA=DC，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠DCB=30°，
∴BC=BD=2，
∴AC=2BC=4．
5.解析：∵BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，
∴BE=EC，BC=2BD=8；
又∵△ABE的周长为14，
∴AB+AE+BE=AB+AE+EC=AB+AC=14；
∴△ABC的周长是：AB+AC+BC=14+8=22；
故答案是：22．
6.解析：①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2，
∵AD=AD，PR=PS，
∴AR=AS，∴①正确；
②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴②正确；
③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，
不满足三角形全等的条件，故③错误；
④如图，连接RS，与AP交于点D．
在△ARD和△ASD中，
，
所以△ARD≌△ASD．
∴RD=SD，∠ADR=∠ADS=90°．
所以AP垂直平分RS，故④正确．
故答案为：①②④．
7.解析：如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠ABC、∠ACB的平分线，OD⊥BC，
∴OD=OE，OD=OF，
∴OD=OE=OF=3cm，
∴△ABC的面积=（AB+BC+AC）×3=33cm2；
故答案为：33．
8.解析：DE=CD，BE=BC=7cm，
∴AE=AB﹣BE=3cm，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+AE=6+3=9cm．
9.解析：连接BD
∵DE垂直平分AB
∴AD=BD
∴∠DBA=∠A=30°
∴∠CBD=30°
∴BD=2CD=4
∴AC=CD+AD=CD+BD=2+4=6．
答案6．
10.解析：当∠A=30°时，ED恰为AB的中垂线，
理由是：∵BE平分∠CDA，
∴∠CBE=∠DBE，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，
∴∠EBD=∠CBE=∠CBA=30°，
即∠A=∠EBA，
∴BE=AE，
∵ED⊥AB，
∴BD=AD，
即当∠A=30°时，ED恰为AB的中垂线，
故答案30°．
11.解析：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=24°，
∴∠ACF=72°﹣24°=48°，
故选：A．
12.解析：过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=∠ACB=30°，
故选C．
13.解析：∵AB的垂直平分AB，
∴AE=BE，BD=AD，
∵AE=3cm，△ADC的周长为9cm，
∴△ABC的周长是9+2×3=15cm，
故选：C．
14.解析：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=CE
∴∠EAC=∠C，
又∵∠B=90°，∠BAE=10°，
∴∠AEB=80°，
又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∴∠C=40°．
故选：B．
15.解：如图，由题意得：△ADE≌△BDE，
∴∠A=∠ABE=40°；
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=，
∴∠CBE=30°，
故选B．
16.解析：∵72+242=49+576=625=252．
∴如果这组数为一个三角形的三边长，能构成直角三角形．
故选：D．
17.解析：∵一个三角形三个内角度数的比为1：2：1，
∴设三角形的三个内角分别是x，2x，x，
∴x+2x+x=180°，解得x=45°，
∴2x=90°．
∴此三角形是等腰直角三角形．
故选D．
18.解析：在直角三角形AOB中，因为OA=2，OB=7
由勾股定理得：AB=，
由题意可知AB=A′B′=，
又OA′=3，根据勾股定理得：OB′=，
∴BB′=7﹣＜1．
故选A．
19.解析：作的A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交点为P，此时PA+PB最小，
PA+PB最小值=PA′+PB=A′B，
∵A′（﹣1，1），B（2，3），
∴A′B=．
故答案为
20.解析：∵∠DBC=60°，∠C=90°，
∴∠BDC=90°﹣60°=30°，
∴BD=2BC=2×4=8，
∵∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=90°﹣15°=75°，
∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=75°﹣60°=15°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD=8．
故答案为：8．
21.解析：在Rt△ABC中，∠B=90°，若AB=3，BC=4，∴AC==5，
△ABC的面积S=AB?BC=AC?BD，∴
解得BD=2.4，故答案为2.4．
22.解析：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，
分两种情况：
①若BP=AC，则x=4，
AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
②若BP=AP，则12﹣x=x，
解得：x=6，BQ=12≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；
故答案为：4．
23.解析：第一个等腰直角三角形的斜边为，
第二个等腰直角三角形的斜边为2=（）2，
第三个等腰直角三角形的斜边为2=（）3，
第四个等腰直角三角形的斜边为4=（）4，
…
第2016个等腰直角三角形的斜边为（）2016=21008．
故答案为21008．
24.解析：（1）证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∵，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠ACE．
∵∠DAB+∠DBA=90°，∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°．
∠BAC=180°﹣（∠BAD+∠CAE）=90°．
∴AB⊥AC．
（2）AB⊥AC．理由如下：
同（1）一样可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．
∴∠DAB=∠ECA，∠DBA=∠EAC，
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
25.解析：（1）证明：∵MC=MN，∴∠MCB=∠2．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，
∴∠1=∠B=45°
又∵∠MCB=∠MCD+∠1，∠2=∠BMN+∠B，
∴∠MCD=∠MCB-∠1，∠BMN=∠2-∠B．
∴∠MCD=∠BMN．
（2）猜想：AM=BN．
证明：∵CM是∠ACD的平分线，
∴∠ACM=∠MCD，
又∵∠MCD=∠BMN，
∴∠ACM=∠BMN，
又∵∠A=∠B=45°，MC=MN，
∴△ACM≌△BMN．∴AM=BN．
（3）或或．
