八上数学期末专题复习学案--特殊三角形的综合应用
◆考点七：特殊三角形的综合应用：
典例精讲：例7.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=∠ACB．（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若D为AB的中点，P为CD上的点，Q为PC的中点，且PE⊥AC于点E，QF⊥BC于点F，试求的立方根．
变式训练：
1.如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
2．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧，连接AE．（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）线段AE与BC有什么位置关系？请说明理由．
典例精讲：例8.已知：∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点，E为AB边上的一点．作BF⊥CE于点F，交CD于点G，过点A作AH⊥CE于点H．（1）如图1，求线段BF，AH，FH的关系；
（2）如图2，连接FD，DH，试判断△FDH的形状；（3）如图3，延长AH，CD交于点M，求证：BE=CM．
变式训练：
1．已知：如图所示，在边长为4的等边△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD=2，以AD为一边向左作等边△ADE．（1）求：△ABC的面积；
（2）判断AB与DE的位置关系是什么？请予以证明．
2．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．
（1）求证：△ABP≌△CAQ；（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
3．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，（1）求∠F的度数；（2）若CD=3，求DF的长．
典例精讲：例9..已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P．
（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系是： ．
（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．
（3）在（2）的条件下，∠APE大小是否随着∠ACB的大小发生变化而发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．
变式训练：
如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．
（I）探究：线段BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．
提示：看到这个问题后，小明猜想：BM+NC=MN，并且通过延长AC到点E，使得CE=BM，连接DE，再证明三角形全等，请你按照小明的思路写出证明过程．
（Ⅱ）若点M是AB的延长线上的一点，N是CA的延长线上的点，其它条件不变，请你再探线段BM，MN，NC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．
典例精讲：例10.如图，在△ABC中，AB=AC，AM平分∠BAC，交BC于点M，D为AC上一点，延长AB到点E，使CD=BE，连接DE，交BC于点F，过点D作DH∥AB，交BC于点H，G是CH的中点．（1）求证：DF=EF．（2）试判断GH，HF，BC之间的数量关系，并说明理由．
变式训练：
1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=18°，D是AC上一点，连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC于点E，延长ED到点F，使得DF=AB，连接AF，BF，CF，G是BC上一点，连接FG，交AC于点H，已知∠ADB=36°，BF平分∠ABC．
（1）试判断BD与AC之间的数量关系，并说明理由；（2）若BF=CF，∠BGF=∠FDC，求∠BFG的度数；
（3）求证：FH是△ACF的高．
2.如图，△AOB，△COD是等腰直角三角形，点D在AB上，（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）若AD=3，BD=1，求CD．
巩固提升：
1．在△ABC中，AB=AC．
（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=
（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并给予证明．
2．已知：如图，∠B=90°，AB∥DF，AB=4cm，BD=10cm，点C是线段BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC⊥CE．（1）如图1试说明：∠ACB=∠CED．
（2）若AC=CE，试求DE的长．
3．已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．（1）求证：AD=CE；（2）求证：AD和CE垂直．
4．在正方形ABCD中，点E是射线BC上的点，直线AF与直线AB关于直线AE对称，直线AF交射线CD于点F．
（1）当点E是线段BC的中点时，求证：AF=AB+CF．
（2）当∠BAE=30°时，求证：AF=2AB﹣2CF；
（3）当∠BAE=60°时，（2）中的结论是否还成立？若不成立，请判断AF与AB、CF之间的数量关系，并加以证明．
5．在平面直角坐标系中，点A的坐标（0，4），点C的坐标（6，0），点P是x轴上的一个动点，从点C出发，沿x轴的负半轴方向运动，速度为2个单位/秒，运动时间为t秒，点B在x轴的负半轴上，且S△AOC=3S△AOB．
（1）求点B的坐标；
（2）若点D在y轴上，是否存在点P，使以P、D、O为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由
（3）点Q是y轴上的一个动点，从点A出发，向y轴的负半轴运动，速度为2个单位/秒．若P、Q分别从C、A两点同时出发，求：t为何值时，以P、Q、O三点构成的三角形与△AOB全等
6.如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数；
（3）若∠A=∠DEF，判断△DEF是否为等腰直角三角形．
7．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD和△AFD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC于点G，连接FG．
（1）求∠DFG的度数；（2）设∠BAD=θ，
①当θ为何值时，△DFG为等腰三角形；②△DFG有可能是直角三角形吗？若有，请求出相应的θ值；若没有，请说明理由．
8.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：
（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2．
9.在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E．
（1）如图①，连结CD，AE，求证：CD=AE；（2）如图②，若AB=1，BC=2，求证：∠BDE=90°；
（3）如图③，将图②中的正三角形BEC绕B点作适当的旋转，连结AE，若有DE2+BE2=AE2，试求∠DEB的度数．
10.△ABC和△ADE都是等腰直角三角形, ∠BAC=∠DAE=90°.
(1)如图1,点D,E在AB,AC上,则BD,CE满足怎样的数量关系和位置关系?(直接写出答案)
（2）如图2,点D在△ABC内部, 点E在△ABC外部,连结BD, CE, 则BD,CE满足怎样的数量关系和位置关系?请说明理由.
(3)如图3,点D,E都在△ABC外部,连结BD, CE, CD, EB,BD, 与CE相交于H点.
①若BD=,求四边形BCDE的面积; ②若AB=3,AD=2,设CD2=x,EB2=y,求y与x之间的函数关系式.
八上数学期末专题复习学案--特殊三角形的综合应用答案
◆考点：特殊三角形的综合应用：
典例精讲：例7.
解析：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠A=∠ACB，
∴∠A=∠ACB=∠ABC，∴△ABC是等边三角形；
（2）∵D为AB的中点，∴∠ACD=∠BCD=×60°=30°，
∵PE⊥AC，QF⊥BC，∴PE=PC，QF=CQ，
∵Q为PC的中点，∴CQ=PC，∴PE=2QF，
∴，∴的立方根是2．
变式训练：
1.解析：（1）全等，理由是：
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵∠A=∠B=90°，AE=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC；
（2）是直角三角形，理由是：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3=∠4，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE是直角三角形．
2.解析：（1）理由：
∵△ABC和△DEC是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°．
∴∠BCA﹣∠DCA=∠ECD﹣∠DCA，即∠BCD=∠ACE．
在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD；
（2）∵△ACE≌△BCD．
∴∠EAC=∠B=60°
∴∠EAC=∠ACB
∴AE∥BC
典例精讲：例8.
解析：（1）∵BF⊥CE于点F，交CD于点G，AH⊥CE于点H，
∴∠ACH=∠CFB=90°．
∵∠ACB=90°，AC=BC
∴∠CAB=∠CBA=45°，
又∠HAE=∠FBE，∠AEH=∠FEB，
∴∠HAE=∠EBF，
又∵∠ACE+∠HAE=∠EBF+∠FBC=45°，
∴∠ACH=∠CBF．
在△BFC和△CHA中，
∴△BFC≌△CHA（AAS）
∴BF=CH，CF=AH，
∵CH=CF+FH，
∴BF=AH+FH
即：线段BF，AH，FH的关系为：BF=AH+FH
（2）△FDH为等腰直角三角形，理由：
∵在Rt△CDE和Rt△BFE中，∠CED=∠BEF
∴∠FBE=∠DCE，
即：∠HAD=∠FCD．
在△AHD和△DFC中，
∴△AHD≌△DFC（SAS）
∴HD=DF
又∵∠CDF+∠FDE=90°，
∴∠FDE=∠EDH=90°，
即：∠FDH=90°，
∴△FDH为等腰直角三角形．
（3）由（1）可知，BF=CH，∠HCM=∠FBE，
在△BFE与△CHM中，
∴△BFE≌△CHM（ASA），
∴BE=CM．
变式训练：
1.解析：（1）∵△ABC是等边三角形，且AD为BC边上的中线
∴AD⊥BC（三线合一），∠BAD=∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，∵AD=2，∴CD=BD=2，
∴BC=4，
∴△ABC的面积=×4×2=4
（2）解：AB与DE的位置关系是AB⊥DE，理由如下：
∵△ADE是等边三角形
∴∠ADF=60°
∵△ABC是等边三角形，AD为BC边上的中线
∴AD为∠BAC的平分线（三线合一）
∴∠FAD=∠BAC=×60°=30°
∴∠AFD=180°﹣60°﹣30°=90°
∴AB⊥DE
（说明：或证∠BFD=90°或证∠AFE=90°也可以）
2.解析：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
（2）∵△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，
∵∠BAP+∠CAP=60°，
∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°，
∴△APQ是等边三角形．
3.解析：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，
∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=3，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=6．
典例精讲：例9.解析：（1）∵△ACE和△BCD都是等边三角形，
∴∠ACE=∠DCB=60°，CA=CE，CD=CB，
∴∠ACE+∠DCE=∠DCB+∠DCE，即∠ACD=∠ECB，
在△ECB和△ACD中，
，
∴△ECB≌△ACD，
∴AD=BE，
故答案为：AD=BE；
（2）AD=BE成立．
证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形，
∴EC=AC，BC=DC，
∠ACE=∠BCD=60°，
∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD，
在△ECB和△ACD中，
，
∴△ECB≌△ACD（SAS），
∴BE=AD；
（3）∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°，
如图2，设BE与AC交于Q，
由（2）可知△ECB≌△ACD，
∴∠BEC=∠DAC，
又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°，
∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．
变式训练：
解析：（1）MN=BM+NC．理由如下：
延长AC至E，使得CE=BM（或延长AB至E，使得BE=CN），并连接DE．
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD与△ECD中，
∵，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∴△DMN≌△DEN，∴MN=BM+NC．
（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．
理由：在CA上截取CE=BM．
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
∴∠MBD=∠DCE=90°，
在△BMD和△CED中
∵，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴DE=DM，
在△MDN和△EDN中
∵，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC﹣CE=NC﹣BM．
典例精讲：例10.
解析：（1）∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，
∵DH∥AB，∴∠DHC=∠ABC，∠DHF=∠EBF，∴DH=DC，
∵DC=BE，∴DH=BE，
在△DHF和△EBF中，
，
∴△DGF≌△EBF，∴DF=EF．
（2）结论：GH+HF=BC．
理由：∵△DGF≌△EBF，∴FH=BF，
∵CG=GH，
∴GH+FH=CH+BH=（CH+BH）=BC．
变式训练：
1.解析：（1）结论：BD=AC．
理由：∵∠ADB=∠DBC+∠DCB，∠ADB=36°，∠ACB=18°，
∴∠DBC=∠DCB=18°，∴DB=DC，
∵∠ABC=90°，∴∠DBA=∠DAB=72°，
∴DA=DB，∴DB=DA=DC，∴BD=AC．
（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°∴∠FDC=∠FGB=∠DEC+∠DCE=108°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBG=×90°=45°
∴∠BFG=180°﹣∠FBG﹣∠FGB=180°﹣45°﹣108°=27°．
（3）∵∠CGH=180°﹣∠BGF=72°，
∴∠CHG=180°﹣∠CGH﹣∠GCH=180°﹣72°﹣18°=90°，
∴FG⊥AC，
∴FH是△ACF的高．
2.解析：（1）证明：∵△AOB，△COD是等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD=90°﹣∠AOD，
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD（SAS）；
（2）解：∵△AOB，△COD是等腰直角三角形，
∴OC=OD，OA=OB，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠B=∠OAB=45°，
∵△AOC≌△BOD，BD=1，
∴AC=BD=1，∠CAO=∠B=45°，
∵∠OAB=45°，
∴∠CAD=45°+45°=90°，
在Rt△CAD中，由勾股定理得：CD=
巩固提升：
1.解析：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAD=30°，∴∠BAD=∠CAD=30°，
∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠EDC=15°；
（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠BAD=40°，∴∠BAD=∠CAD=40°，
∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=70°，∴∠EDC=20°；
（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=∠BAD）；理由如下：
∠AED=∠CDE+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE，
∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD=2∠CDE．
故答案为：15°；20°．
2.解析：（1）如图1，∵AB∥DF，∠B=90°，
∴∠EDC=180°﹣∠ABC=90°，∴∠CED+∠ECD=90°，
∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠ECD=90°，∴∠ACB=∠CED；
（2）如图2，∵∠EDC=90°，∠B=90°，
∴∠B=∠EDC，
由（1）可得，∠ACB=∠CED，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE，
∴DE=BC，AB=CD=4（cm），
∴BC=BD﹣CD=10﹣4=6（cm），
∴DE=6（cm）．
3.解析：（1）证明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC，
即∠ABD=CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE；
（2）延长AD分别交BC和CE于G和F，如图所示：
∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD=∠BCE，
∵∠BAD+∠ABC∠∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，
又∵∠BGA=∠CGF，
∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，
∴∠AFC=∠ABC=90°，
∴AD⊥CE．
4.解析：（1）如图1，
过点E作EG⊥AF与点G，连接EF．
由折叠知，△ABE≌△AGE，∴AG=AB，BE=GE
∵BE=CE，∴GE=CE，
∵在Rt△EGF和Rt△ECF中，
∴Rt△EGF≌Rt△ECF，∴FG=FC
∵AF=AG+FG， ∴AF=AB+FC，
（2）如图2，延长AF、BC交于点H．
由折叠知，∠BAE=∠HAE=30°，
∴∠H=30° ∴AH=2AB
同理：FH=2FC
∵AF=AH﹣FH， ∴AF=2AB﹣2FC，
（3）由折叠知，∠BAE=∠HAE=60°，
∴∠DAE=∠DAF=30°，
∴△AIF为等边三角形， ∴AF=AI=FI
由（2）可得AE=2AB， IE=2IC
∵IC=FC﹣FI， ∴IC=FC﹣AF， ∴IE=2FC﹣2AF
∵AI=AE﹣IE， ∴AF=2AB﹣（2FC﹣2AF）=2FC﹣2AB，
5.解：（1）∵点A的坐标（0，4），点C的坐标（6，0），
∴OA=4，OC=6，
∴S△AOC=OC?OA=×6×4=12，
∵S△AOC=3S△AOB．S△AOB=4，
设B（x，0），
∵点B在x轴的负半轴上，
∴OB=﹣x，
∴S△AOB=OB?OA=×（﹣x）×4=4，
∴x=﹣2，∴B（﹣2，0）；
（2）∵P在x轴上，D在y轴，
∴∠POD=∠AOB=90°，
∵以P、D、O为顶点的三角形与△AOB全等，
∴①△POD≌△AOB，∴OD=OB=2，
∴D（﹣2，0）或（2，0）
②△DOP≌△AOB，∴OD=OA=4，
∴D（4，0）或（﹣4，0），
即：满足条件的D的坐标为（0，4），（0，﹣4），（0，2），（0，﹣2）．
（3）∵P在x轴上，Q在y轴，
∴∠POQ=∠AOB=90°，
由运动知，CP=2t，AQ=2t，
∴OP=|2t﹣6|，OQ=|2t﹣4|，
当0＜t＜2时，OP=6﹣2t，OQ=4﹣2t，
以P、Q、O为顶点的三角形与△AOB全等，
∴①△POQ≌△AOB，
∴OQ=OB=2=4﹣2t，∴t=1
OP=OA=4=6﹣2t，∴t=1，
∴满足条件，即：t=1s
②△QOP≌△AOB，
∴OQ=OA=4=4﹣2t，
∴t=0，OP=OB=2=6﹣2t，∴t=2，
∴不满足条件，舍去；
当2＜t＜3时，OP=6﹣2t，OQ=2t﹣4，
以P、Q、O为顶点的三角形与△AOB全等，
∴①△POQ≌△AOB，
∴OQ=OB=2=2t﹣4，∴t=3，
OP=OA=4=6﹣2t，∴t=1，
∴不满足条件，舍去；
②△QOP≌△AOB，
∴OQ=OA=4=2t﹣4，
∴t=4，OP=OB=2=6﹣2t，∴t=2，
∴不满足条件，舍去；
当t＞3时，OP=2t﹣6，OQ=2t﹣4，
以P、Q、O为顶点的三角形与△AOB全等，
∴①△POQ≌△AOB，
∴OQ=OB=2=2t﹣4，∴t=3
OP=OA=4=2t﹣6，∴t=5，
∴不满足条件，舍去；，
②△QOP≌△AOB，∴OQ=OA=4=2t﹣4，
∴t=4，OP=OB=2=2t﹣6，∴t=4，
∴满足条件，即：t=4s
即：满足条件的时间t=1s或4s．
6.解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDE和△CEF中，，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵∠DEC=∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠CEF=∠BDE，
∴∠DEF=∠B，
又∵在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，
∴∠B=65°，
∴∠DEF=65°；
（3）由（1）知：△DEF是等腰三角形，即DE=EF，
由（2）知，∠DEF=∠B，
而∠B不可能为直角，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形．
7.解析：（1）∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°．
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF∠BAD=∠FAD=θ，
∴AF=AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG=∠CAG．
在△AGF和△AGC中，
AF=AC，∠FAG=∠CAG，AG=AG，
∴△AGF≌△AGC（SAS），
∴∠AFG=∠C．
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．
答：∠DFG的度数为80°；
（2）①当GD=GF时，
∴∠GDF=∠GFD=80°．
∵∠ADG=40°+θ，
∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，
∴θ=10°．
当DF=GF时，
∴∠FDG=∠FGD．
∵∠DFG=80°，
∴∠FDG=∠FGD=50°．
∴40°+50°+40°+2θ=180°，
∴θ=25°．
当DF=DG时，
∴∠DFG=∠DGF=80°，
∴∠GDF=20°，
∴40°+20°+40°+2θ=180°，
∴θ=40°．
∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形；
②当∠GDF=90°时，
∵∠DFG=80°，
∴40°+90°+40°+2θ=180°，
∴θ=5°．
当∠DGF=90°时，
∵∠DFG=80°，
∴∠GDF=10°，
∴40°+10°+40°+2θ=180°，
∴θ=45°
∴当θ=5°或45°时，△DFG为直角三角形．
8.解析：（1）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形
∴∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC EC=DC
∴∠ECA=∠DCB，
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD （SAS）．
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴AE=DB
∴∠EAC=∠B=45°=∠CAB，
∴∠EAD=90°，
∴DE2=AE2+AD2=AD2+DB2．
9.解析：（1）∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴CD=AE．
（2）证明：如图②中，取BE中点F，连接DF．
∵BD=AB=1，BE=BC=2，∠ABD=∠EBC=60°，
∴BF=EF=1=BD，∠DBF=60°，
∴△DBF是等边三角形，
∴DF=BF=EF，∠DFB=60°，
∵∠BFD=∠FED+∠FDE，
∴∠FDE=∠FED=30°
∴∠EDB=180°﹣DEB∠DBE﹣∠DEB=90°．
（3）解：如图③中，连接DC，
∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD=AB=BD，BC=BE=EC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=DC．
∵DE2+BE2=AE2，BE=CE，
∴DE2+CE2=CD2，
∴∠DEC=90°，
∵∠BEC=60°，
∴∠DEB=∠DEC﹣∠BEC=30°．
10.解析：(1)BD=CE BD⊥CE
(2) ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC, ∠CAE=∠DAE-∠DAC
∴∠BAD=∠CAE ∴△ABD≌△ACE， ∴BD=CE
延长BD,分别交AC,CE于F,G. BD=CE
∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD=∠ACE
∵∠AFB=∠GFC， ∴∠CGF=∠BAF=90°, BD⊥CE
(3) ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC, ∠CAE=∠DAE+∠DAC,
∴∠BAD=∠CAE， ∴△ABD≌△ACE
∴BD=CE ∠ABD=∠ACE
∵∠1=∠2
∴∠BHC=∠BAC=90°
∴S四边形BCDE=S△BCE+S△DCE== =
∵∠BHC=90°
∴CD2+EB2=CH2+HD2+EH2+HB2=CH2+HB2+EH2+HD2=BC2+DE2
=()2+()2=26， ∴y=26-x
