一元一次不等式应用专题复习学案
◆考点五：不等式的拓展应用：
典例精讲：
例5.（1）2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为（ ）
A. 45 B. 50 C. 55 D. 60
（2）小明用100元钱购得笔记本和笔共30件，已知每本笔记本2元，每支笔5元，那么小明最多能买笔的数目为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
（3）小明欲购买A，B两种型号的笔记本共10本（不可购买一种），要求其总价钱不超过60元，已知A型号的单价是5元，B种型号的单价是7元，则购买方案有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
（4）某市区现行出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费11元，那么甲地到乙地路程的最大值是（ ）
A．5千米 B．7千米 C．8千米 D．9千米
（5）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为( )
A．23人 B．22人 C．21人 D．不能确定
变式训练：
1．一件商品进价120元，标价a元，要按标价打6折销售，利润不会少于10%，标价a要满足_____ 2．已知5个运动员从小到大依次大1岁，他们的年龄和不超过100岁，最小的一个运动员一定不会超过 岁
3．有3人携带会议材料乘坐电梯，这三人的体重共210kg，每捆材料重20kg，电梯最大负荷为1 050kg，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载 捆材料．
4．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输及销售中估计有10%的苹果正常损耗，苹果的进价是每千克1.8元，商家要避免亏本，需把售价至少定为 元
5.某校八年级500名学生去春游，欲租用45座和60座的客车共10辆．为了安全，每辆车不能超载，则45座的客车最多租__________辆
6.暑期中，哥哥和弟弟两人计划每人编织28个中国结，已知弟弟单独编织一周(7天)不能完成，而哥哥单独编织不到一周就可完成．哥哥平均每天比弟弟多编2个．则哥哥平均每天编__________个中国结(答案取整数)
◆考点六：不等式的综合应用：
典例精讲：
例6.某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
变式训练：
1.某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元．
（1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元；
（2）该中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？
2.娃哈哈矿泉水每瓶售价1.2元，现甲、乙两家商场给出优惠政策：甲商场全部9折，乙商场20瓶以上的部分8折．若你是消费者，选哪家商场购买比较合适？
典例精讲：
例7.为保护环境，我市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？
变式训练：
1.某厂用甲、乙两种原料配置成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量以及购买这两种原料的价格如表：
甲原料
乙原料
维生素C（单位/千克）
600
100
价格（元/千克）
8
4
现配置这种饮料10千克，要求至少含有3900单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，设需要甲种原料x千克
（1）按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？
（2）若x为整数，写出所有可能的配置方案，并求出最省钱的配置方案．
2.一艘轮船从某江上游的A地匀速行驶到下游的B地，用了10h，从B地匀速行驶返回A地用时12h至13h之间（不包含12h至13h），这段水流速度为3km/h，轮船在静水里的往返速度v（v＞3）不变，（1）求v的取值范围；
（2）若v是质数（大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除）求v的值．
典例精讲：
例8.“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄
清理养鱼网箱人数/人
清理捕鱼网箱人数/人
总支出/元
A
15
9
57000
B
10
16
68000
（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
变式训练：
1.京东商城销售A、B两种型号的电风扇，销售单价分别为250元、180元，如表是近两周的销售利润情况：
销售时段
销售数量
销售利润
A种型号
B种型号
第一周
30台
60台
3300元
第二周
40台
100台
5000元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号电风扇的每台进价；
（2）若京东商城准备用不多于5万元的金额采购这两种型号的电风扇共300台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
2.商场某柜台销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
4台
1200元
第二周
5台
6台
1900元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若商场准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，商场销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
巩固提升：
1.已知中的x、y满足0＜x﹣y＜1，求k的取值范围．
2.某城市规定：出租车起步价行驶的是最远路程为3千米，越过3千米的部分按每千米另外收费，甲说：“我乘这种出租车行驶了11千米，付了17元”；乙说：“我乘这种出租车行驶了23千米，付了35元”,
（1）请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？
（2）若丙乘这种出租车从A地到B地，至少需要50元钱，问A地到B地的距离至少是多少千米？
3.对于任意实数m，n定义一种新运算m※n=mn﹣m+3，等式的右边是通常的加减法和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3+3=15．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中恰有两个整数解，求a的取值范围．
4.甲、乙两车分别从相距200千米的A、B两地相向而行，甲乙两车均保持匀速，若甲车行驶2小时，乙车行驶3小时，两车恰好相遇；若甲车行驶4小时，乙车行驶1小时，两车也恰好相遇．（1）求甲乙两车的速度．
（2）若甲乙两车同时按原速度行驶1小时以后，甲车发生故障不动了，则乙车至少再以多大的速度行驶，才能保证在甲车出发以后3小时内与甲车相遇？
5.为绿化城市，我县绿化改造工程正如火如荼的进行．某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵，对光明路的某标段道路进行绿化改造．已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为85000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若购买甲种树苗的金额不多于购买乙种树苗的金额，至多应购买甲种树苗多少棵？
6．利民便利店欲购进A、B两种型号的LED节能灯共200盏销售，已知每盏A、B两种型号的LED节能灯的进价分别为18元、45元，拟定售价分别为28元、60元．
（1）若利民便利店计划销售完这批LED节能灯后能获利2200元，问甲、乙两种LED节能灯应分别购进多少盏？
（2）若利民便利店计划投入资金不超过6900元，且销售完这批LED节能灯后获利不少于2600元，请问有哪几种购货方案？并探究哪种购货方案获利最大．
7.“全名阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1560元，20本文学名著比20本动漫书多360元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．21世纪教育网版权所有
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于74本，总费用不超过2100，请求出所有符合条件的购书方案．
8.某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包，已知女款书包的单价60元/个，男款书包的单价55元/个．
（1）原计划募捐4000元，全部用于购买两种款式的书包共70个，那么这两种款式的书包各买多少个？
（2）在捐款活动中，由于师生捐款的积极性高涨，实际共捐款5800元，如果至少购买两种款式的书包共100个，那么女款书包最多能买多少个？
9.某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机．如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费9400元．
（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？
（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？
10.我市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？
11.友谊商店A型号笔记本电脑的售价是a元/台．最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案．方案一：每台按售价的九折销售；方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）当x=8时，应选择哪种方案，该公司购买费用最少？最少费用是多少元？
（2）若该公司采用方案二购买更合算，求x的取值范围．
12.我市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
一元一次不等式应用专题复习学案答案
◆考点五：不等式的拓展应用：
典例精讲：例5.
（1）解析：设长为8x，高为11x，
由题意得：19x+20≤115，
解得：x≤5，
故行李箱的高的最大值为：11x=55，故选择C
（2）解析：设钢笔数为x，则笔记本有30﹣x件，
则有：2（30﹣x）+5x≤100
60﹣2x+5x≤100
即3x≤40
x≤13因此小明最多能买13只钢笔．
故选B．
（3）解析：设购买A种型号的笔记本x本，则购买B种型号的笔记本（10﹣x）本，
根据题意得5x+7（10﹣x）≤60，解得x≥5，
而x＞1且10﹣x＞1，
所以5≤x＜9，
因为x为正整数，
所以x=5、6、7、8、9．
故选C．
（4）解析：依题意得：1.5（x﹣3）≤11﹣5，
x﹣3≤4，x≤7．
因此甲地到乙地路程的最大值是7千米．
故选：B．
（5）解析：设每组预定的学生人数为x，根据题意得：
，解得
∵x为整数，∴x＝22.故选择B
变式训练：
1.解析：设商品的标价a元，则售价为0.6a元，由题意，得
0.6a﹣120=10%a，
解得：a=240．
故答案为：240元．
2.解析：设最小的一个运动员为x岁，
根据题意得x+x+1+x+2+x+3+x+4≤100，
解得x≤18，
所以x的最大值为18，
即最小的一个运动员一定不会超过18岁．
故答案为18．
3.解析：设还能搭载x捆材枓，依题意得：
20x+210≤1050，
解得：x≤42．
则该电梯在此3人乘坐的情况下最多能搭载42捆材枓．
故答案为：42．
4.解析：设商家把售价应该定为每千克x元，
根据题意得：x（1﹣10%）≥1.8，
解得，x≥2，
故为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克2元．
故答案为：2．
5.解析：设45座的客车租了x辆，则60座的客车租了(10－x)辆．
根据题意，得45x＋60(10－x)≥500，
解得x≤6， ∴满足条件的最大正整数是6.
6.解析：设弟弟平均每天编x个中国结，则哥哥平均每天编(x＋2)个中国结．
由题意得：
解得2＜x＜4.
∵x取正整数，
∴x＝3，∴x＋2＝5，
故哥哥平均每天编5个中国结
◆考点六：不等式的综合应用：
典例精讲：例6.
解析：（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，
根据题意可得：，
解得：x=20，
经检验得：x=20是原方程的根，
则2.5x=50，
答：乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；
（2）设购买甲图书本数为x，则购买乙图书的本数为：2x+8，
故50x+20（2x+8）≤1060，
解得：x≤10，
故2x+8≤28，
答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．
变式训练：
1.解析：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，
可得：，
解得：，
答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元，12元；
（2）设购买A型放大镜m个，根据题意可得：20a+12×（75﹣a）≤1180，
解得：x≤35，
答：最多可以购买35个A型放大镜．
2.解析：显然若买20瓶以下，甲商场比较优惠．
若购买20瓶以上，设消费者购买x瓶矿泉水时乙商场比甲商场优惠．
由题意得：1.2×0.9x＞1.2×20+（x﹣20）×1.2×0.8．
解得x＞40
答：购买40瓶以下时甲商场优惠，购买40瓶时两家商场一样．
购买40瓶以上时，乙商场比较优惠．
典例精讲：例7.
解析：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，
由题意得，解得．
答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得
，
解得：6≤a≤8，
所以a=6，7，8；
则（10﹣a）=4，3，2；
三种方案：①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆；
（3）①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；
②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；
③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；
故购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．
变式训练：
1.解析：（1）设需甲种原料的质量xkg，则需乙种原料的质量（10﹣x）kg，
根据题意，得：，
解得：5.8≤x≤8；
（2）∵x为整数，
∴x可取6或7或8，
则可能的配置方案为：
方案一、甲原料6kg、乙原料4kg，所需费用为6×8+4×4=64元；
方案二、甲原料7kg、乙原料3kg，所需费用为7×8+3×4=68元；
方案三、甲原料8kg、乙原料2kg，所需费用为8×8+2×4=72元；
最省钱的方案为甲原料6kg、乙原料4kg．
2.解析：（1）由题意得，从A到B的速度为：（v+3）千米/时，从B到A的速度为：（v﹣3）千米/时，
∵从B地匀速返回A地用时12h至13h之间（不包含12h至13h），
∴，
解得：23＜v＜33．
故v的取值范围是23＜v＜33．
（2）∵v是质数，
∴v的值是29或31．
典例精讲：例8.
解析：（1）设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：清理养鱼网箱的人均费用为2000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000元；
（2）设m人清理养鱼网箱，则（40﹣m）人清理捕鱼网箱，
根据题意，得：，
解得：18≤m＜20，
∵m为整数，
∴m=18或m=19，
则分配清理人员方案有两种：
方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱；
方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱．
变式训练：
1.解析：（1）设A种型号的风扇每台进价x元，B种型号的风扇每台进价y元，由题意得：
，
解得：，
答：A种型号的风扇每台进价200元，B种型号的风扇每台进价150元；
（2）设A种型号的电风扇能采购a台，由题意得：
200a+150（300﹣a）≤50000，
解得：a≤100，
∴a最大为100台，
答：A种型号的电风扇最多能采购台．
2.解析：（1）设A型电风扇单价为x元，B型单价y元，则
，
解得：，
答：A型电风扇单价为200元，B型单价150元；
（2）设A型电风扇采购a台，则
160a+120（50﹣a）≤7500，
解得：a≤，
则最多能采购37台；
（3）依题意，得：
（200﹣160）a+（150﹣120）（50﹣a）＞1850，
解得：a＞35，
则35＜a≤，
∵a是正整数，
∴a=36或37，
方案一：采购A型36台B型14台；
方案二：采购A型37台B型13台．
巩固提升：
1.解析：解方程组，
得：x﹣y=2k+2，
∵0＜x﹣y＜1，
∴0＜2k+2＜1，
解得：﹣1＜k＜﹣．
2.解析：（1）设起步价为x元，超过3千米后每千米的车费是y元，由题意，得
，解得：，
答：这种出租车的起步价是3元，以及超过3千米后，每千米的车费是1.5元；
（2）设A地到B地的距离至少是a千米，根据题意得：
5+（a﹣3）×1.5≥50，
解得：a≥33，
答：A地到B地的距离至少是33千米．
3.解析：由题意可知：2※x=2x﹣2+3=2x+1，
∵a＜2※x＜7，
∴a＜2x+1＜7，
∴＜x＜3，
∵该不等式的解集有两个整数解，
∴该整数解为1或2，
∴0≤＜1，
∴1≤a＜3．
4.解：（1）设甲车的速度为xkm/h，乙车的速度为ykm/h，
根据题意得，解得，
答：甲车的速度为40km/h，乙车的速度为40km/h；
（2）设乙车再以akm/h的速度行驶，
根据题意得40×1+40×1+（3﹣1）a≥200，
解得a≥60，
答：乙车至少再以60km/h的速度行驶，才能保证在甲车出发以后3小时内与甲车相遇．
5.解析：（1）解：设需购买甲种树苗x棵，需购买乙种树苗y棵，
根据题意得
解得：，
答：需购买甲种树苗350棵，需购买乙种树苗50棵；
（2）解：设购买甲、乙树苗的棵数分别是x，y．
根据题意得：，
解得：x≤240．
答：至多应购买甲种树苗240棵．
6.解：（1）设购进甲种LED节能灯x盏，购进乙种LED节能灯y盏，
根据题意，得：，
解得：，
答：购进甲种LED节能灯160盏，购进乙种LED节能灯40盏；
（2）设购进甲种LED节能灯a盏，则购进乙种LED节能灯盏，
根据题意，得：，
解得：≤a≤80，
∵a为整数，∴购货方案有如下三种：
①购进甲种LED节能灯78盏，则购进乙种LED节能灯122盏，此时获利为：78×10+122×15=2610（元）；
②购进甲种LED节能灯79盏，则购进乙种LED节能灯121盏，此时获利为：79×10+121×15=2605（元）；
③购进甲种LED节能灯80盏，则购进乙种LED节能灯120盏，此时获利为：80×10+120×15=2600（元）；
故方案①获利最大．
7.解：（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，
可得：，
解得：，
答：每本文学名著和动漫书各为38元和20元；
（2）设学校要求购买文学名著x本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：
，
解得：，
因为取整数，
所以x取27，28，29；
方案一：文学名著27本，动漫书47本；
方案二：文学名著28本，动漫书48本；
方案三：文学名著29本，动漫书49本．
8.解析：（1）设原计划买女款书包男款书包x个，男款书包y个，
根据题意，得：，
解得：，
答：原计划买女款书包30个，则男款书包40个．
（2）设购买女款书包a个，则男款书包个，
根据题意得：60a+55≤5800，
解得：a≤60，
答：女款书包最多能买60个．
9.解析：（1）设每台A型电脑的价格为x元，每台B型打印机的价格为y元，
根据题意，得：，
解得：
答：每台A型电脑的价格为3500元，每台B型打印机的价格为1200元；
（2）设学校购买a台B型打印机，则购买A型电脑为（a﹣1）台，
根据题意，得：3500（a﹣1）+1200a≤20000，
解得：a≤5，
答：该学校至多能购买5台B型打印机．
10.解析：（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，
根据题意得：
解得：．
答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．
（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，
根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，
解得：a≤．
∵a为整数，
∴a≤41．
答：A种奖品最多购买41件．
11.解析：设购买A型号笔记本电脑x台时的费用为w元，
（1）当x=8时，
方案一：w=90%a×8=7.2a，
方案二：w=5a+（8﹣5）a×80%=7.4a，
∴当x=8时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7.2a元；
（2）∵若该公司采用方案二购买更合算，
∴x＞5，
方案一：w=90%ax=0.9ax，
方案二：当x＞5时，w=5a+（x﹣5）a×80%=5a+0.8ax﹣4a=a+0.8ax，
则0.9ax＞a+0.8ax，
x＞10，
∴x的取值范围是x＞10．
12.解析：（1）设温情提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，
根据题意得，2x+3×3x=550，
∴x=50，
经检验，符合题意，
∴3x=150元，
即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；
（2）设购买温情提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个，
根据题意得，意，
∴50≤y≤52，
∵y为正整数，
∴y为50，51，52，共3种方案；
即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个，
根据题意，费用为50y+150（100﹣y）=﹣100y+15000，
当y=52时，所需资金最少，最少是9800元．
