【期末复习】第二章直线与圆的位置关系解答题精选
文档属性
| 名称 | 【期末复习】第二章直线与圆的位置关系解答题精选 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-12-24 16:24:54 | ||
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文档简介
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期末复习第二章直线与圆的位置关系解答题精选
题号
一
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
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评卷人
得 分
解答题（共40小题）
1．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点P，过A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D，连接PA、PB．
（1）求证：AP平分∠CAB；
（2）若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则
①当弦AP的长是 时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；
②当的长度是 时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形．
2．已知△ABC中，点D是BC边上一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点D，与AB、AC分别交于点E、F
（Ⅰ）如图①，若∠AEF=52°，求∠C的度数．
（Ⅱ）如图②，若EF经过点O，且∠AEF=35°，求∠B的度数．
3．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）G是ED上一点，连接BE交圆于F，连接AF并延长交ED于G．若GE=2，AF=3，求EF的长．
4．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点．
（I）如图1，过P作⊙O的切线PC，切点为C．作AD⊥PC于点D，求证：∠PAC=∠DAC；
（II）如图2，过P作⊙O的割线，交点为M、N，作AD⊥PN于点D，求证：∠PAM=∠DAN．
5．如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD与点E，GC是⊙F的切线；CG交AD于点G．
（1）求证：GC⊥AD．
（2）填空：①若△BCF的面积为15，则△BDA的面积为 ．
②当∠GCD的度数为 时，四边形EFCD是菱形．
6．如图，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B，且四边形BCOE是平行四边形．
（1）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，请说明理由；
（2）若⊙O半径为1，求AD的长．
7．如图，AC是⊙O的直径，点P在线段AC的延长线上，且PC=CO，点B在⊙O上，且∠CAB=30°．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若D为圆O上任一动点，⊙O的半径为5cm时，当弧CD长为 时，四边形ADPB为菱形，当弧CD长为 时，四边形ADCB为矩形．
8．如图，AB为⊙O的直径，点D，E是位于AB两侧的半圆AB上的动点，射线DC切⊙O于点D．连接DE，AE，DE与AB交于点P，F是射线DC上一动点，连接FP，FB，且∠AED=45°．
（1）求证：CD∥AB；
（2）填空：
①若DF=AP，当∠DAE= 时，四边形ADFP是菱形；
②若BF⊥DF，当∠DAE= 时，四边形BFDP是正方形．
9．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP的长．（结果保留根号）
（2）如图②，若D为AP的中点，∠P=30°，求证：直线CD是⊙O的切线．
10．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm
求：（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长．
11．如图，AB是⊙O的直径，在圆上取点C，延长BC到D，使BC=CD，连接AD交⊙O于点E，过点C作CF⊥AD，垂足为F．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若AE=2，sin∠BAE=，求CF的长．
12．如图，已知AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MD切⊙O于点D，过点B作BN⊥MD于点C，连接AD并延长，交BN于点N．
（1）求证：AB=BN；
（2）若⊙O半径的长为3，cosB=，求MA的长．
13．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知CD=4，CA=6，
①求CB的长；
②求DF的长．
14．如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4．
（1）求∠BAC的大小；
（2）求图中阴影部分的面积．
15．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE=CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为6，∠A=35°，求的长．
16．已知：⊙O直径为4，点C是⊙O直径AB延长线上的一点，且点B是线段OC的中点，点D在⊙O上，连接DC．
（1）如图①，若线段DC所在的直线与⊙O相切，求线段DC的长；
（2）如图②，若线段DC与⊙O还有一个公共点E，且点E为DC的中点，连接OD，AE交于点F．
①判断OD与AE的位置关系，并说明理由；②求线段DC的长度．
17．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，CE是⊙O的切线．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若BC=3，CD=4，求BD的长．
18．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．
（1）求证：OM=AN；
（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．
19．如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CD=3，AD=2，求BC的长；
（3）连接AE，若∠C=45°，直接写出sin∠CAE的值．
20．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F，求∠CEF的度数．
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF；
（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由．
（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．
22．已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，∠DAB=45°．
（Ⅰ）如图①，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）如图②，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求点E到AB的距离．
23．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直径．
24．如图，⊙O的半径OA=2，AB是弦，直线EF经过点B，AC⊥EF于点C，∠BAC=∠OAB．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC=1，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
25．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD=4，⊙O的直径为10，求BD的长度．
26．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若∠BEC=30°，求证：以BC，BE，AC边的三角形为直角三角形．
27．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于P．弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连结BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）探究线段PC，PF之间的大小关系，并加以证明；
（3）若tan∠PCB=，BE=，求PF的长．
28．如图1，点A、B、P分别在两坐标轴上，∠APB=60°，PB=m，PA=2m，以点P为圆心、PB为半径作⊙P，作∠OBP的平分线分别交⊙P、OP于C、D，连接AC．
（1）求证：直线AB是⊙P的切线．
（2）设△ACD的面积为S，求S关于m的函数关系式．
（3）如图2，当m=2时，把点C向右平移一个单位得到点T，过O、T两点作⊙Q交x轴、y轴于E、F两点，若M、N分别为两弧、的中点，作MG⊥EF，NH⊥EF，垂足为G、H，试求MG+NH的值．
29．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，M为AB上一点，过点M作DM⊥AB，交弦AC于点E，交⊙O于点F，且DC=DE．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）如果DM=15，CE=10，，求⊙O半径的长．
30．如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上任一点．
（1）若∠BAC=30°，过点C作半圆O的切线交直线AB于点P．求证：△PBC≌△AOC；
（2）若AB=6，过点C作AB的平行线交半圆O于点D．当以点A，O，C，D为顶点的四边形为菱形时，求的长．
31．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB=，BC=4，求⊙O的半径．
32．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，且AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点P，点E在DC延长线上，连接BD、EB，满足∠EBC=∠CDB．
（1）求证：EB为⊙O的切线；
（2）若BC=2，OB=，求证：CD=CE；
（3）在（2）的条件下，求sin∠APD的值．
33．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE=∠DFE，DE交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若tan∠CFO=3，BE=2，求AG的长
34．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG=，AH=2，求EM的值．
35．如图，直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣1），点D在劣弧OA上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．
（1）请直接写出⊙M的直径，并求证BD平分∠ABO；
（2）在线段BD的延长线上寻找一点E，使得直线AE恰好与⊙M相切，求此时点E的坐标．
36．已知：△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作EG⊥AB于H，交BC于F，延长GE交直线MC于D，且∠MCA=∠B，求证：
（1）MC是⊙O的切线；
（2）△DCF是等腰三角形．
37．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG，连接CE．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH=3，CH=4，求EM的值．
38．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．
（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC=，求四边形OCDB的面积．
39．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）已知BD=2，CF=2，求AE和BG的长．
40．如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围 ．
参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点P，过A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D，连接PA、PB．
（1）求证：AP平分∠CAB；
（2）若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则
①当弦AP的长是 2 时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；
②当的长度是 π 时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形．
【分析】（1）利用切线的性质得OP⊥PC，再证明AC∥OP得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，所以∠1=∠2；
（2）①当∠AOP=90°，根据正方形的判定方法得到四边形AOPC为正方形，从而得到AP=2；
②根据菱形的判定方法，当AD=AP=OP=OD时，四边形ADOP为菱形，所以△AOP和△AOD为等边三角形，然后根据弧长公式计算的长度．
【解答】（1）证明：∵PC切⊙O于点P，
∴OP⊥PC，
∵AC⊥PC，
∴AC∥OP，
∴∠1=∠3，
∵OP=OA，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AP平分∠CAB；
（2）解：①当∠AOP=90°，四边形AOPC为矩形，而OA=OP，此时矩形AOPC为正方形，AP=OP=2；
②当AD=AP=OP=OD时，四边形ADOP为菱形，△AOP和△AOD为等边三角形，则∠AOP=60°，的长度==π．
故答案为2，π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了正方形和菱形的判定．
2．已知△ABC中，点D是BC边上一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点D，与AB、AC分别交于点E、F
（Ⅰ）如图①，若∠AEF=52°，求∠C的度数．
（Ⅱ）如图②，若EF经过点O，且∠AEF=35°，求∠B的度数．
【分析】（I）根据切线的性质得：BC⊥AD，由圆周角定理得：∠AFD=90°，由同角的余角相等可得：∠C=∠ADF，由同弧所对的圆周角相等可得结论；
（II）同理得：∠ADB=90°，∠AEF+∠DEO=90°，求得∠DEO=55°，根据直径和等腰三角形的性质和三角形内角和可得结论．
【解答】解：（I）如图①，连接DF，（1分）
∵BC是⊙O的切线，
∴BC⊥AD，
∴∠ADC=90°，（2分）
∴∠FAD+∠C=90°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AFD=90°，（3分）
∴∠FAD+∠ADF=90°，
∴∠C=∠ADF，（4分）
∵∠AEF=∠ADF，
∴∠C=∠AEF=52°；（5分）
（II）如图②，连接ED，
∵BC与⊙O相切于点D，
∴BC⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠ODE+∠EDB=90°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°，（7分）
∴∠AEF+∠DEO=90°，
∵∠AEF=35°，
∴∠DEO=55°，（8分）
∵AD是⊙O的直径，EF经过点O，
∴EO=OD，
∴∠ODE=∠OED=55°，（9分）
∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴∠B+∠EDB=90°，
∴∠B=∠ODE=55°．（10分）
【点评】主要考查了切线的性质和直角三角形的性质、圆周角定理等知识，要掌握这些基本性质才会在综合习题中灵活运用．
3．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）G是ED上一点，连接BE交圆于F，连接AF并延长交ED于G．若GE=2，AF=3，求EF的长．
【分析】（1）根据中位线定理证明：OD∥AC，得：DE⊥OD，可得DE为⊙O的切线；
（2）证明△GEF∽△GAE，列比例式，解方程可得结论．
【解答】（1）证明：连结OD………………………1分
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
又∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABC，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，……………………3分
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线………………………4分
（2）解：∵AB为直径，
∴∠BFA=90°，则∠FEA+∠FAE=90°
∵∠GEF+∠FEA=90°，
∴∠GEF=∠FAE，
又∵∠EGF=∠AGE，
∴△GEF∽△GAE，………………………………………………………6分
∴，即EG2=AG?FG，
设FG=x，则AG=3+x，
又∵EG=2，AF=3，
∴22=x（3+x），解得x=1或﹣4（舍去）．
∴FG=1，
在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF==．………………………9分
【点评】本题考查了切线的判定与性质，解一元二次方程，三角形相似的性质和判定，在圆中求线段时，常利用设未知数，利用勾股定理或相似列比例式确定等量关系，解方程得出结论．
4．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点．
（I）如图1，过P作⊙O的切线PC，切点为C．作AD⊥PC于点D，求证：∠PAC=∠DAC；
（II）如图2，过P作⊙O的割线，交点为M、N，作AD⊥PN于点D，求证：∠PAM=∠DAN．
【分析】（Ⅰ）根据切线的性质和平行线的性质证明即可；
（Ⅱ）连接BM．利用直径和内接四边形的性质解答即可．
【解答】证明：（Ⅰ）如图1，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵AD⊥PC，
∴AD∥OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
即∠PAM=∠DAN；
（Ⅱ）如图2，连接BM，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠1+∠2=90°，
∵AD⊥PN，
∴∠AND+∠3=90°，
∵ABMN时⊙O的内接四边形，
∴∠AND=∠2，
∴∠1=∠3，
即∠PAM=∠DAN．
【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质和平行线的性质证明．
5．如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD与点E，GC是⊙F的切线；CG交AD于点G．
（1）求证：GC⊥AD．
（2）填空：①若△BCF的面积为15，则△BDA的面积为 60 ．
②当∠GCD的度数为 30° 时，四边形EFCD是菱形．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠D=∠BCF，证出CF∥AD，由已知条件得出CG⊥CF，即可得出结论；
（2）①根据平行线的性质得出△BCF∽△BDA，得出，△BCF的面积：△BDA的面积=1：4，即可得出结果；
②证出△BCF是等边三角形，得出∠B=60°，CF=BF=AB，证出△ABD是等边三角形，CF=AD，证出△AEF是等边三角形，得出AE=AF=AB=AD，因此CF=DE，证出四边形EFCD是平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB=AD，FB=FC，
∴∠B=∠D，∠B=∠BCF，
∴∠D=∠BCF，
∴CF∥AD，
∴GC是⊙F的切线，
∴CG⊥CF；
∴CG⊥AD，
（2）①∵CF∥AD，
∴△BCF∽△BDA，
∴，
∴△BCF的面积：△BDA的面积=1：4，
∴△BDA的面积=4△BCF的面积=4×15=60；
故答案为：60；
②当∠GCD的度数为30°时，四边形EFCD是菱形．理由如下：
∵CG⊥CF，∠GCD=30°，
∴∠FCB=60°，
∵FB=FC，
∴△BCF是等边三角形，
∴∠B=60°，CF=BF=AB，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，CF=AD，
∴∠A=60°，
∵AF=EF，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=AF=AB=AD，
∴CF=DE，
又∵CF∥AD，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∵CF=EF，
∴四边形EFCD是菱形；
故答案为：30°．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆的半径相等、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识；熟练掌握切线的判定方法，证明CF∥AD是解决问题（1）的关键．
6．如图，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B，且四边形BCOE是平行四边形．
（1）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，请说明理由；
（2）若⊙O半径为1，求AD的长．
【分析】（1）连接OB，由已知四边形BCOE为平行四边形，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AD，可得出四边形BCDO为矩形，利用矩形的性质得到OB垂直于BC，即可得出BC为圆O的切线．
（2）先证得四边形BCDO是正方形，得出OD=DC=1，根据C是AD的中点可得AD的长．
【解答】解：（1）是，理由如下：
如图，连接OB．
∵四边形BCOE为平行四边形，
∴ED∥BC，OE=BC，
∵OE=OD，
∴OD=BC，
∴四边形ODCB是平行四边形，
∵AD为圆O的切线，
∴OD⊥AD，
∴四边形BCDO为矩形，
∴OB⊥BC，
则BC为圆O的切线．
（2）∵四边形BCDO为矩形，OD=OB，
∴四边形BCDO是正方形，
∴OD=DC=1，
∵C为AD的中点，
∴AD=2CD=2．
【点评】此题考查了切线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形和矩形的判定和性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
7．如图，AC是⊙O的直径，点P在线段AC的延长线上，且PC=CO，点B在⊙O上，且∠CAB=30°．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若D为圆O上任一动点，⊙O的半径为5cm时，当弧CD长为 cm 时，四边形ADPB为菱形，当弧CD长为 cm 时，四边形ADCB为矩形．
【分析】（1）欲证明PB是切线，只要证明OB⊥PB即可；
（2）利用菱形、矩形的性质，求出圆心角∠COD即可解决问题；
【解答】解：（1）如图连接OB、BC．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠COB=∠OAB=∠OBA=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OC，∵PC=OA=OC，
∴BC=CO=CP，
∴∠PBO=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线．
（2）①的长为cm时，四边形ADPB是菱形．
∵四边形ADPB是菱形，∠ADB=△ACB=60°，
∴∠COD=2∠CAD=60°，
∴的长==cm．
②当四边形ADCB是矩形时，易知∠COD=120°，∴的长==cm．
故答案为cm，cm；
【点评】本题考查切线的判定、菱形的性质、矩形的性质、圆周角定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，AB为⊙O的直径，点D，E是位于AB两侧的半圆AB上的动点，射线DC切⊙O于点D．连接DE，AE，DE与AB交于点P，F是射线DC上一动点，连接FP，FB，且∠AED=45°．
（1）求证：CD∥AB；
（2）填空：
①若DF=AP，当∠DAE= 67.5° 时，四边形ADFP是菱形；
②若BF⊥DF，当∠DAE= 90° 时，四边形BFDP是正方形．
【分析】（1）要证明CD∥AB，只要证明∠ODF=∠AOD即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF=∠AOD，从而可以解答本题；
（2）①根据四边形ADFP是菱形和菱形的性质，可以求得∠DAE的度数；②根据四边形BFDP是正方形，可以求得∠DAE的度数．
【解答】解：（1）如图，OD连接，
∵射线DC切⊙O于点D，
∴OD⊥CD，
∵∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，即∠ODF=∠AOD，
∴CD∥AB．
（2）①连接AF与DP交于点G，如图所示，
∵四边形ADFP是菱形，∠AED=45°，OA=OD，
∴AF⊥DP，∠AOD=90°，∠DAG=∠PAG，
∴∠AGE=90°，∠DAO=45°，
∴∠EAG=45°，∠DAG=∠PEG=22.5°，
∴∠EAD=∠DAG+∠EAG=22.5°+45°=67.5°，
故答案为：67.5°；
②∵四边形BFDP是正方形，
∴BF=FD=DP=PB，
∠DPB=∠PBF=∠BFD=∠FDP=90°，
∴此时点P与点O重合，
∴此时DE是直径，
∴∠EAD=90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查菱形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用菱形的性质和正方形的性质解答．
9．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP的长．（结果保留根号）
（2）如图②，若D为AP的中点，∠P=30°，求证：直线CD是⊙O的切线．
【分析】（1）易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；
（2）本题连接OC，证出OC⊥CD即可．首先连接AC，得出直角三角形ACP，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD=AD，再利用等腰三角形性质可证∠OCD=∠OAD=90°，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是切线，
∴∠BAP=90°．
在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，
∴BP=2AB=2×2=4．
由勾股定理，得．
（2）如图，连接OC、AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
又∵∠ACP=180°﹣∠BCA=90°．
在Rt△APC中，D为AP的中点，
∴．
∴∠4=∠3．
又∵OC=OA，
∴∠1=∠2．
∵∠2+∠4=∠PAB=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°．
即OC⊥CD．
∴直线CD是⊙O的切线．
【点评】此题考查了切线的判定和性质及解直角三角形等知识点，关键是根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半解答．
10．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm
求：（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长．
【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；
（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长．
【解答】解：（1）连接OF；
根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，
∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°；
（2）∵OB=6cm，OC=8cm，
∴BC=10cm，
∵OF⊥BC，
∴BE=BF，CG=CF
∴BE+CG=BF+CF=BC=10cm．
【点评】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．由勾股定理可求得BC的长是关键．
11．如图，AB是⊙O的直径，在圆上取点C，延长BC到D，使BC=CD，连接AD交⊙O于点E，过点C作CF⊥AD，垂足为F．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若AE=2，sin∠BAE=，求CF的长．
【分析】（1）欲证明CF是切线，只要证明OC⊥CF即可；
（2）想办法求出BE，再证明CF是△BDE的中位线即可解决问题；
【解答】解：（1）连接OC．
∵BC=CD，OB=OA，
∴OC∥AD，
∵CF⊥AD，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线．
（2）连接BE．
∵AB是直径，
∴∠BEA=90°，
∵sin∠BAE==，设BE=2k，AB=3k，
则AE=k，
∵AE=2，
∴k=2，BE=4，
∵CF∥BE，BC=CD，
∴EF=DF，
∴CF=BE=2．
【点评】本题考查切线的判定、圆周角定理、三角形的中位线定理、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用此时解决问题，属于中考常考题型．
12．如图，已知AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MD切⊙O于点D，过点B作BN⊥MD于点C，连接AD并延长，交BN于点N．
（1）求证：AB=BN；
（2）若⊙O半径的长为3，cosB=，求MA的长．
【分析】（1）本题可连接OD，由MD切⊙O于点D，得到OD⊥MD，由于BN⊥MC，得到OD∥BN，得出∠ADO=∠N，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；
（2）由（1）知，OD∥BN，得到∠MOD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵MD切⊙O于点D，
∴OD⊥MD，
∵BN⊥MC，
∴OD∥BN，
∴∠ADO=∠N，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠N，
∴AB=BN；
（2）由（1）OD∥BN，
∴∠MOD=∠B，
∴cos∠MOD=cosB=，
在Rt△MOD中，cos∠MOD═，
∵OD=OA，MO=MA+OA=3+MA，
∴，
∴MA=4.5．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键．
13．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知CD=4，CA=6，
①求CB的长；
②求DF的长．
【分析】（1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由E是 的中点得到∠EAB=∠EAD，由于∠ACB=2∠EAB，则∠ACB=∠DAB，再利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则∠DAC+∠ACB=90°，所以∠DAC+∠DAB=90°，于是根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
（2）①在Rt△ABC中，根据cosC===，可得AC=6；
②作FH⊥AB于H，由BD=BC﹣CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，推出FD=FH，设FB=x，则DF=FH=5﹣x，根据cos∠BFH=cos∠C==，构建方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：连结AD，如图，
∵E是的中点，
∴==，
∴∠EAB=∠EAD，
∵∠ACB=2∠EAB，
∴∠ACB=∠DAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAC+∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∴AC是⊙O的切线；
（2）①在Rt△ACB中，
∵cosC===，AC=6，
∴BC=9．
②作FH⊥AB于H，
∵BD=BC﹣CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，
∴FD=FH，设FB=x，则DF=FH=5﹣x，
∵FH∥AC，
∴∠HFB=∠C，
在Rt△BFH中，
∵cos∠BFH=cos∠C==，
∴=，
解得x=3，即BF的长为3，
∴DF=2
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形．
14．如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4．
（1）求∠BAC的大小；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据切线的性质得到∠DBA=90°，根据三角形内角和定理求出∠BOC，根据圆周角定理计算；
（2）过O作OE⊥CA于点E，根据勾股定理求出OE、AC，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵DB为⊙O的切线，
∴∠DBA=90°，
∵∠D=30°，
∴∠BOC=60°，
∴；
（2）如图，过O作OE⊥CA于点E，
∵∠BOC=60°，
∴∠COA=120°，
∵OC=OA=4，∠OAE=30°，
∴，，
∴S阴影=S扇形COA﹣S△COA==．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理以及扇形面积的计算，掌握切线的性质定理、扇形面积公式是解题的关键．
15．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE=CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为6，∠A=35°，求的长．
【分析】（1）根据垂径定理、切线的性质定理证明；
（2）根据圆周角定理求出∠COD，根据弧长公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE=CE，
∴AB⊥CD，
∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，
∴CD∥BF；
（2）解：连接OD、OC，
∵∠A=35°，
∴∠BOD=2∠A=70°，
∴∠COD=2∠BOD=140°，
∴的长==．
【点评】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握切线的性质定理、弧长的计算公式是解题的关键．
16．已知：⊙O直径为4，点C是⊙O直径AB延长线上的一点，且点B是线段OC的中点，点D在⊙O上，连接DC．
（1）如图①，若线段DC所在的直线与⊙O相切，求线段DC的长；
（2）如图②，若线段DC与⊙O还有一个公共点E，且点E为DC的中点，连接OD，AE交于点F．
①判断OD与AE的位置关系，并说明理由；②求线段DC的长度．
【分析】（1）依据线段DC所在的直线与⊙O相切，可得OD⊥CD，再根据勾股定理进行计算，即可得到CD的长；
（2）①依据AB是直径，可得∠AEB=90°，再根据点E为DC的中点，点B是线段OC的中点，可得BE是△COD的中位线，进而得到OD与AE的位置关系；②依据三角形中位线定理可得OF的长，进而得出DF的长，再根据勾股定理即可得到DE的长，可得CD的长．
【解答】解：（1）如图①，连接OD，
∵线段DC所在的直线与⊙O相切，
∴OD⊥CD，
又∵点B是线段OC的中点，⊙O直径为4，
∴CO=AB=4，OD=2，
∴Rt△COD中，CD==2；
（2）①OD⊥AE
证明：如图②，连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵点E为DC的中点，点B是线段OC的中点，
∴BE是△COD的中位线，
∴BE∥OD，BE=OD=1，
∴∠AFO=∠AEB=90°，
∴OD⊥AE；
②∵OD⊥AE，
∴F是AF的中点，
又∵O是AB的中点，
∴OF=BE=×OD=，
∴DF=2﹣=，
∵Rt△ABE中，AE==，
∴EF=，
∴Rt△DEF中，DE==，
∴CD=2DE=2．
【点评】本题考查了切线的性质，三角形中位线定理，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．解题时注意：若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
17．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，CE是⊙O的切线．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若BC=3，CD=4，求BD的长．
【分析】（1）证出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）连接DE，交OC于F，由圆周角定理得出AD⊥DE，由平行四边形的性质得出OF⊥DE，由垂径定理得出DF=EF=DE，由勾股定理求出OC，由三角形的面积求出DF的长，即可得出AD的长，进而由BD=AB﹣AD求得BD．
【解答】（1）证明：∵CE是⊙O的切线，
∴∠OEC=90°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO=BC，OC=AB，OC∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC，
在△EOC和△DOC中，，
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接DE，交OC于F，如图所示：BC=3，CD=4，
∵CE、CD是⊙O的切线，
∴CE=CD=4，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=3，
∴OE=3，
在Rt△CEO中，CE=4，OE=3，
由勾股定理得：OC==5，
∴AB=OC=5，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，即AD⊥DE，
由三角形的面积公式得：×CD×OD=×OC×DF，
∴DF===，
∴DE=2DF=，
在Rt△ADE中，AE=6，DE=，
由勾股定理得AD==，
∴BD=AB﹣AD=5﹣=．
【点评】本题考查了切线的性质和判定，平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，垂径定理，三角形的面积的应用，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
18．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．
（1）求证：OM=AN；
（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．
【分析】（1）只要证明四边形ANMO是矩形即可解决问题；
（2）只要证明OM=MP，设OM=x，则NP=9﹣x，在Rt△MNP中，有x2=32+（9﹣x）2，解方程即可；
【解答】（1）证明：如图连接OA，则OA⊥AP，
∵MN⊥AP
∴MN∥OA
∵OM∥AP
∴四边形ANMO是矩形，
OM=AN
（2）连接OB，则OB⊥BP
∴∠OBM=∠MNP=90°，
∵OA=MN，OA=OB，OM∥AP
∴OB=MN，∠OMB=∠NPM，
∴△OBM≌△MNP，
∴OM=MP，
设OM=x，则NP=9﹣x，
在Rt△MNP中，有x2=32+（9﹣x）2，
∴x=5，即OM=5．
【点评】本题考查切线的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
19．如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CD=3，AD=2，求BC的长；
（3）连接AE，若∠C=45°，直接写出sin∠CAE的值．
【分析】（1）连接DO，DB，由圆周角定理就可以得出∠ADB=90°，可以得出∠CDB=90°，根据E为BC的中点可以得出DE=BE，就有∠EDB=∠EBD，OD=OB可以得出∠ODB=∠OBD，由等式的性质就可以得出∠ODE=90°就可以得出结论．
（2）判断出△BCD∽△ACB，即可得到结论；
（3）作EF⊥CD于F，设EF=x，由∠C=45°，得出△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得BE=CE=x，AB=BC=2x，AE=x，进而就可求得sin∠CAE的值．
【解答】解：（1）连接OD，BD，
∴OD=OB
∴∠ODB=∠OBD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°．
∵E为BC的中点，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，
即∠EDO=∠EBO．
∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠EBO=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接BD，∵AB是直径，
∴∠BDC=∠ABC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB
∴，
∴∴BC2=AC?CD
∵CD=3，AD=2，
∴AC=5，
∴BC2=5×3=15，
∴BC=；
（3）作EF⊥CD于F，设EF=x，
∵∠C=45°，
∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，
∴CF=EF=x，
∴BE=CE=x，
∴AB=BC=2x，
在RT△ABE中，AE==x，
∴sin∠CAE==．
【点评】本题考查了圆周角定理的运用，直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，切线的判定定理的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质，解答时正确添加辅助线是关键．
20．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F，求∠CEF的度数．
【分析】（1）连接OC，利用等角的余角相等即可证明；
（2）根据三角形的外角的性质证明∠CEF=∠CFE即可求解．
【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵CD是⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∴∠DCO=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∵AB是直径，
∴∠1+∠B=90°，
∴∠3=∠B．
（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，
∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，
∵∠ECF=90°，
∴∠CEF=∠CFE=45°．
【点评】本题考查切线的性质以及三角形的外角的性质，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF；
（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由．
（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．
【分析】（1）连接OC，先证出∠3=∠2，由SAS证明△OAF≌△OCF，得对应角相等∠OAF=∠OCF，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；
（2）先由勾股定理求出OF，再由三角形的面积求出AE，根据垂径定理得出AC=2AE．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O直径，
∴∠BCA=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，
∴OF⊥AC，
∵OC=OA，
∴∠B=∠1，
∴∠3=∠2，
在△OAF和△OCF中，
，
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°，
∴∠OAF=90°，
∴FA⊥OA，
∴AF是⊙O的切线；
（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，
∴OF===5
∵FA⊥OA，OF⊥AC，
∴AC=2AE，△OAF的面积=AF?OA=OF?AE，
∴3×4=5×AE，
解得：AE=，
∴AC=2AE=．
【点评】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理以及三角形面积的计算；熟练掌握切线的判定，并能进行推理计算是解决问题的关键．
22．已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，∠DAB=45°．
（Ⅰ）如图①，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）如图②，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求点E到AB的距离．
【分析】（1）连接OD，则∠AOD为直角，由四边形ABCD是平行四边形，则AB∥DC．从而得出∠CDO=90°，即可证出答案．
（2）作EF⊥AB于F，连接BE，根据圆周角定理得∠AEB=90°，然后根据勾股定理求得BE，然后根据sin∠BAE==求得EF即可．
【解答】解：（1）CD与圆O相切．
证明：如图①，连接OD，则∠AOD=2∠DAB=2×45°=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠CDO=∠AOD=90°．
∴OD⊥CD．
∴CD与圆O相切．
（2）如图②，作EF⊥AB于F，连接BE，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，AB=2×3=6．
∵AE=5，
∴BE==，
∵sin∠BAE==．
∴=
∴EF=．
【点评】本题考查了切线的判定和性质、平行四边形的性质以及圆周角定理，注意辅助线的作法是解此题的关键．
23．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直径．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，则∠1=∠B，根据圆周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC==，则设DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后证明△ADE∽△DFC，再利用相似比可计算AE即可．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，AD=DC，
∴∠C=∠B，∠1=∠C，
∴∠1=∠B，
又∵∠E=∠B，
∴∠1=∠E，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，
∵DA=DC，
∴CF=AC=3，
在Rt△CDF中，∵sinC==，
设DF=4x，DC=5x，
∴CF==3x，
∴3x=3，解得x=1，
∴DC=5，
∴AD=5，
∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴=，即=，解得AE=，
即⊙O的直径为．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．
24．如图，⊙O的半径OA=2，AB是弦，直线EF经过点B，AC⊥EF于点C，∠BAC=∠OAB．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC=1，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）由OA=OB得到∠OAB=∠OBA，加上∠BAC=∠OAB，则∠BAC=∠OBA，于是可判断OB∥AC，由于AC⊥EF，所以OB⊥EF，则可根据切线的判定定理得到EF是⊙O的切线；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理得AD=AB，再证明Rt△AOD∽Rt△ABC，利用相似比可计算出AB=2；
（3）由AB=OB=OC=2可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，则∠ABC=30°，则可计算出BC=AC=，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S四边形AOBC﹣S扇形OAB=S△AOB+S△ABC﹣S扇形OAB进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠BAC=∠OAB，
∴∠BAC=∠OBA，
∴OB∥AC，
∵AC⊥EF，
∴OB⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OD⊥AB于点D，则AD=AB，
∵∠OAD=∠BAC，
∴Rt△AOD∽Rt△ABC，
=，即=，
∴AB=2；
（3）解：∵AB=OB=OC=2，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OB⊥BC，
∴∠ABC=30°，
∴BC=AC=，
∴S阴影部分=S四边形AOBC﹣S扇形OAB
=S△AOB+S△ABC﹣S扇形OAB
=×22+×1×﹣
=﹣π．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质和扇形面积的计算．
25．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD=4，⊙O的直径为10，求BD的长度．
【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为⊙O的切线；
（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2，从而求得AF的值，进而就可求得BD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC=FD=5，OF=CD=4．
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．
∴AF===3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴FB=AF=3．
∴BD=DF+BF=5+3=8．
【点评】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．
26．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若∠BEC=30°，求证：以BC，BE，AC边的三角形为直角三角形．
【分析】（1）连接OC，可证得OC∥AD，结合条件可证得∠DAC=∠CAB，可证得结论；
（2）由条件可得∠BCP=∠CAB，∠BCF=∠ACF，结合外角性质可得∠PCF=∠PFC，可证得结论；
（3）连接AE，可知BE=AE，根据条件可得到BE与AB的关系，以及BC、AC和AB的关系，再结合勾股定理的逆定理可得到结论．
【解答】证明：（1）如图1，连接OC，
∵DP是⊙O的切线，
∴OC⊥DP，
又∵AD⊥DP，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）∵PD是⊙O的切线，
∴∠BCP=∠CAB，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAF+∠ACF=∠BCF+∠PCB，
即∠CFP=∠PCF，
∴PC=PF，即△PCF为等腰三角形；
（3）如图2，连接AE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴AE=BE，
又∵AB为直径，
∴BE=AB，
∵∠CEB=30°，
∴∠CAB=30°，
∴在Rt△ABC中，BC=AB，AC=AB，
∴BC2+BE2=AB2=AC2，
∴以BC，BE，AC边的三角形为直角三角形．
【点评】本题主要考查切线的性质和等腰三角形的判定及勾股定理的逆定理，在（1）中根据平行得到角之间的关系是解题的关键，在（2）中注意弦切角定理的应用，在（3）中用AB分别表示出BE、BC、AC是解题的关键．
27．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于P．弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连结BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）探究线段PC，PF之间的大小关系，并加以证明；
（3）若tan∠PCB=，BE=，求PF的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥CD，则AD∥OC，根据等边对等角，以及平行线的性质即可证得；
（2）根据圆周角定理以及三角形的外角的性质定理证明∠PFC=∠PCF，根据等角对等边即可证得；
（3）证明△PCB∽△PAC，根据相似三角形的性质求得PB与PC的比值，在直角△POC中利用勾股定理即可列方程求解．
【解答】解：（1）连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，
∴∠OCP=∠D=90°，
∴OC∥AD．
∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．即AC平分∠DAB．
（2）PC=PF．
证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠ACD=90°
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．
又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．
∴∠PFC=∠PCF．
∴PC=PF．
（3）连接AE．
∵∠ACE=∠BCE，
∴=，
∴AE=BE．
又∵AB是直径，
∴∠AEB=90°．
AB=，
∴OB=OC=5．
∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC．
∴．
∵tan∠PCB=tan∠CAB=．
∴=．
设PB=3x，则PC=4x，在Rt△POC中，（3x+5）2=（4x）2+52，
解得x1=0，．
∵x＞0，∴，
∴PF=PC=．
【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
28．如图1，点A、B、P分别在两坐标轴上，∠APB=60°，PB=m，PA=2m，以点P为圆心、PB为半径作⊙P，作∠OBP的平分线分别交⊙P、OP于C、D，连接AC．
（1）求证：直线AB是⊙P的切线．
（2）设△ACD的面积为S，求S关于m的函数关系式．
（3）如图2，当m=2时，把点C向右平移一个单位得到点T，过O、T两点作⊙Q交x轴、y轴于E、F两点，若M、N分别为两弧、的中点，作MG⊥EF，NH⊥EF，垂足为G、H，试求MG+NH的值．
【分析】（1）根据切线的判定定理证得∠ABP=90°后即可判定切线；
（2）连接PC，根据∠APB=90°﹣∠OBP=∠OBA，∠OBC=∠PBC，得到∠ADB=∠PBC+∠PBC=∠ABD，从而得到∠CPA=∠POB=90°，利用三角形的面积公式得到S=m2；
（3）作TJ⊥x轴，TK⊥y轴，连接ET、FT，得到△ETJ≌△FTK，从而得到NH=NR=OF和MG=，最后求得MG+NH=（OE+OF）=×4=2
【解答】解：（1）∵∠POB=90°，∠APB=60°，
∴PB=m，
∴PO=PB=m，OB=，
又∵PA=2m，
∴OA=，
在RT△OAB中，AB=
∴PA2+AB2=PA2
∴∠ABP=90°，
∵PB是⊙P的半径，
∴直线AB是⊙P的切线．
（2）连接PC，
∵∠APB=90°﹣∠OBP=∠OBA，∠OBC=∠PBC，
∴∠ADB=∠PBC+∠PBC=∠ABD
∴AD=AB=m，
又∵PB=PC=m，
∴PC∥OB
∴∠CPA=∠POB=90°，
∴S△ACD=AD×CP=×m×m=m2；
（3）作TJ⊥x轴，TK⊥y轴，连接ET、FT，
当m=2时，PO=m，由（2）知∠CPA=90°，
∴C点为 （1，﹣2），
∴T为（2，﹣2，）TJ=TK=2，
∴点T在∠EOF的平分线上，
∴
∴TE=TF，
∴△ETJ≌△FTK，
∴EF=FK，
∴OE+OF=OJ﹣EJ+OK+FK=OJ+OK=4
延长NH交⊙Q于R，连接QN，QR，∵∠EOF=90°，
∴EF为⊙Q的直径，∴=
∴
∴NR=OF
∴NH=NR=OF
同理MG=
∴MG+NH=（OE+OF）=×4=2
【点评】本题考查了圆的综合知识，难度较大，一般为中考题的压轴题．
29．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，M为AB上一点，过点M作DM⊥AB，交弦AC于点E，交⊙O于点F，且DC=DE．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）如果DM=15，CE=10，，求⊙O半径的长．
【分析】（1）连接OC，由OA=OC，DC=DE，利用等边对等角得到两对角相等，根据DM垂直于AC，得到一对角互余，等量代换得到∠OCD=90°，即可得到DC为圆O的切线；
（2）过D作DG垂直于AC，连接CB，利用三线合一得到G为CE中点，由CE长求出EG长，利用对顶角相等得到∠DEG=∠AEM，确定出cos∠DEG=cos∠AEM，在直角三角形DEG中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，再利用勾股定理求出DG的长，由DM﹣DE求出EM的长，由一对直角相等，一对对顶角相等得到三角形AEM与三角形DEG相似，由相似得比例求出AM与AE的长，AE+EC求出AC的长，由AB为圆的直径，得到三角形ABC为直角三角形，利用锐角三角函数定义表示出cosA，即可求出AB的长，进而确定出圆的半径．
【解答】（1）证明：如图，连结OC，
∵OA=OC，DC=DE，
∴∠A=∠OCA，∠DCE=∠DEC，
又∵DM⊥AB，
∴∠A+∠AEM=∠OCA+∠DEC=90°，
∴∠OCA+∠DCE=∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切线；
（2）如图所示，过D作DG⊥AC，连接CB，
∵DC=DE，CE=10，
∴EG=CE=5，
∵cos∠DEG=cos∠AEM==，
∴DE=13，
∴DG==12，
∵DM=5，
∴EM=DM﹣DE=2，
∵∠AME=∠DGE=90°，∠AEM=∠DEG，
∴△AEM∽△DEG，
∴==，即==，
∴AM=，AE=，
∴AC=AE+EC=，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴cosA==，
∴AB=，
则圆O的半径为AB=．
【点评】此题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
30．如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上任一点．
（1）若∠BAC=30°，过点C作半圆O的切线交直线AB于点P．求证：△PBC≌△AOC；
（2）若AB=6，过点C作AB的平行线交半圆O于点D．当以点A，O，C，D为顶点的四边形为菱形时，求的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，推出△OBC是等边三角形，根据等边三角形和外角的性质得到∠AOC=∠PBC=120°，根据切线的性质得到∠OCP=90°，根据全等三角形的判定即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到OA=AD=CD=OC，连接OD，得到△AOD与△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOD=∠COD=60°，求得∠BOC=60°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC=BC，∠OBC=∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠PBC=120°，
∵CP是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，
∴∠ACO=∠PCB，
在△PBC与△AOC中，，
∴△PBC≌△AOC（ASA）；
（2）如图1，连接OD，BD，CD，
∵四边形AOCD是菱形，
∴OA=AD=CD=OC，
则，OA=OD=OC，
∴△AOD与△COD是等边三角形，
∴∠AOD=∠COD=60°，
∴∠BOC=60°，
∴的长==π；
如图2，同理∠BOC=120°，
∴的长==2π，
综上所述，的长为π或2π．
【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定，菱形的性质，圆周角定理，弧长的计算，正确的作出图形是解题的关键．
31．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB=，BC=4，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE，求出∠DCE=∠AEO=∠DAC，求出∠CEO=90°，根据切线的判定求出即可；
（2）解直角三角形求出AB=2，根据勾股定理求出AC，同理求出DE、CE，根据勾股定理得出关于R的方程，求出方程的解即可．
【解答】（1）直线CE与⊙O相切，
证明：连接OE，
∵OA=OE，
∴∠DAC=∠AEO，
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠AEO=∠ACB=∠DCE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠ACB=∠DAC，
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠DAC=∠DCE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠AEO+∠DEC=90°，
∴∠OEC=180°﹣90°=90°，
即OE⊥EC，
∵OE为半径，
∴直线CE与⊙O相切；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，
在Rt△ACB中，AB=BC×tan∠ACB=4×=2，
由勾股定理得：AC==2，
∵∠ACB=∠DCE，
∴tan∠DCE=tan∠ACB=，
在Rt△DCE中，CD=AB=2，
DE=DC×tan∠DCE=2×=1，
由勾股定理得：DE==，
设⊙O的半径为R，
在Rt△COE中，CO2=CE2+OE2，
（2﹣R）2=R2+（）2，
解得：R=，
即⊙O的半径是．
【点评】本题考查了矩形的性质、切线的判定、平行线的性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
32．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，且AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点P，点E在DC延长线上，连接BD、EB，满足∠EBC=∠CDB．
（1）求证：EB为⊙O的切线；
（2）若BC=2，OB=，求证：CD=CE；
（3）在（2）的条件下，求sin∠APD的值．
【分析】（1）只要证明BE⊥AB即可；
（2）连接OD，作CH⊥AB于H，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．易证四边形PECF是正方形，设边长为a．想办法求出CD，EC即可；
（3）在Rt△OPD中，根据sin∠APD=计算即可；
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵∠EBC=∠CDB，∠CDB=∠A，
∴∠EBC+∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AB⊥BE，
∴BE是为⊙O的切线；
（2）解：连接OD，作CH⊥AB于H，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．易证四边形PECF是正方形，设边长为a．
在Rt△ABC中，AC===4，
∴CH==，
∴BH==，
∵?4?a+?2?a=?2?，
∴a=，
∵=，
∴PA=2PB，
∴PB=，OP=，PC=，
∵CH∥BE，
∴=，
∴=
∴EC=2，
∵CD平分∠ACB，
∴=，
∴OD⊥AB，
∴PD==，
∴CD=PD+PC=3，
∴CD=CE；
（3）解：在Rt△OPD中，sin∠APD===．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形、勾股定理平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
33．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE=∠DFE，DE交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若tan∠CFO=3，BE=2，求AG的长
【分析】（1）连接OD，如图，先证明∠CFO=∠CDE，再证明∠C=∠ODC，然后利用∠CFO+∠C=90°，得到∠CDE+∠C=90°，则OD⊥DE，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）设OF=x，则OB=3x，则可表示出BF=2x，再利用∠CDE=∠DFE得到ED=EF=2x+2，然后在Rt△ODE中，根据勾股定理列方程，再解方程求出x即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠CDE=∠DFE，∠DFE=∠CFO，
∴∠CFO=∠CDE，（1分）
∵OC⊥AB，
∴∠CFO+∠C=90°，
∴∠CDE+∠C=90°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，（3分）
∴∠ODE=∠CDE+∠ODF=90°，即OD⊥DE，
∴GE是⊙O的切线；（4分）
（2）解：∵tan∠CFO==3，
∴设OF=x，则OB=OC=3x，BF=2x，
∵∠CDE=∠DFE，
∴ED=EF=2x+2，
在Rt△ODE中，（3x）2+（2x+2）2=（2+3x）2，x=1，（5分）
∴OD=3，DE=4，OE=5，AE=8，
∵AG是⊙O的切线，
∴∠GAE=∠ODE=90°，
∵∠E=∠E，
∴△AGE∽△DOE，（6分）
∴，即，
∴AG=6．（8分）
【点评】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．常见的辅助线有：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； 有切点时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
34．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG=，AH=2，求EM的值．
【分析】（1）连接OE，如图，利用EG=FG得到∠GFE=∠GEF，则∠GEF=∠AFC，然后利用∠AFC+∠FAH=90°得到∠GEF+∠OEA=90°，然后根据切线的判定定理得到EG是⊙O的切线；
（2）连接OC，设⊙O的半径为r，先证明∠G=∠ACH，则在Rt△ACH中利用正切定义可计算出CH=4，再在Rt△OCH中利用勾股定理得到（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，然后证明Rt△OEM∽Rt△CHA，从而利用相似比可计算出EM的长．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵EG=FG，
∴∠GFE=∠GEF，
而∠GFE=∠AFC，
∴∠GEF=∠AFC，
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE，
∵AB⊥CD，
∴∠AFC+∠FAH=90°
∴∠GEF+∠OEA=90°，即∠GEO=90°，
∴OE⊥GE，
∴EG是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，设⊙O的半径为r，
∵GE∥AC，
∴∠G=∠ACH，
在Rt△ACH中，∵tan∠ACH==，
∴CH=2AH=2×2=4，
在Rt△OCH中，（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，
∵GE∥AC，
∴∠M=∠CAH，
∴Rt△OEM∽Rt△CHA，
∴=，即=，
∴EM=．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了解直角三角形．
35．如图，直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣1），点D在劣弧OA上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．
（1）请直接写出⊙M的直径，并求证BD平分∠ABO；
（2）在线段BD的延长线上寻找一点E，使得直线AE恰好与⊙M相切，求此时点E的坐标．
【分析】（1）根据勾股定理可得AB的长，即⊙M的直径，根据同弧所对的圆周角可得BD平分∠ABO；
（2）作辅助构建切线AE，根据特殊的三角函数值可得∠OAB=30°，分别计算EF和AF的长，可得点E的坐标．
【解答】解：∵点A（，0）与点B（0，﹣1），
∴OA=，OB=1，
∴AB==2，
∵AB是⊙M的直径，
∴⊙M的直径为2，
∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
即BD平分∠ABO；
（2）如图，过点A作AE⊥AB于E，交BD的延长线于点E，过E作EF⊥OA于F，即AE是切线，
∵在Rt△ACB中，tan∠OAB===，
∴∠OAB=30°，
∵∠ABO=90°，
∴∠OBA=60°，
∴∠ABC=∠OBC==30°，
∴OC=OB?tan30°=1×=，
∴AC=OA﹣OC=，
∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，
∴∠EAC=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=AC=，
∴AF=AE=，EF==1，
∴OF=OA﹣AF=，
∴点E的坐标为（，1）．
【点评】此题属于圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
36．已知：△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作EG⊥AB于H，交BC于F，延长GE交直线MC于D，且∠MCA=∠B，求证：
（1）MC是⊙O的切线；
（2）△DCF是等腰三角形．
【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠2+∠3=90°，再证明∠1=∠3得到∠1+∠2=90°，即∠OCM=90°，然后根据切线的判定定理可得到结论；
（2）利用EG⊥AB得到∠B+∠BFH=90°，利用对顶角相等得到∠4+∠B=90°，而根据切线的性质得到∠5+∠3=90°，从而得到∠4=∠5，然后根据等腰三角形的判定定理可得结论．
【解答】证明：（1）连接OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠2+∠3=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠3，
而∠1=∠B，
∴∠1=∠3，
∴∠1+∠2=90°，
即∠OCM=90°，
∴OC⊥CM，
∴MC是⊙O的切线；
（2）∵EG⊥AB，
∴∠B+∠BFH=90°，
而∠BFH=∠4，
∴∠4+∠B=90°，
∵MD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠5+∠3=90°，
而∠3=∠B，
∴∠4=∠5，
∴△DCF是等腰三角形．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．
37．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG，连接CE．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH=3，CH=4，求EM的值．
【分析】（1）连接OE，由FG=EG得∠GEF=∠GFE=∠AFH，由OA=OE知∠OAE=∠OEA，根据CD⊥AB得∠AFH+∠FAH=90°，从而得出∠GEF+∠AEO=90°，即可得证；
（2）连接OC，设OA=OC=r，再Rt△OHC中利用勾股定理求得r=，再证△AHC∽△MEO得=，据此求解可得．
【解答】解：（1）如图，连接OE，
∵FG=EG，
∴∠GEF=∠GFE=∠AFH，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵CD⊥AB，
∴∠AFH+∠FAH=90°，
∴∠GEF+∠AEO=90°，
∴∠GEO=90°，
∴GE⊥OE，
∴EG是⊙O的切线；
（2）连接OC，设⊙O的半径为r，
∵AH=3、CH=4，
∴OH=r﹣3，OC=r，
则（r﹣3）2+42=r2，
解得：r=，
∵GM∥AC，
∴∠CAH=∠M，
∵∠OEM=∠AHC，
∴△AHC∽△MEO，
∴=，即=，
解得：EM=．
【点评】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质．
38．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．
（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC=，求四边形OCDB的面积．
【分析】（1）连接DO并延长交PM于E，如图，利用折叠的性质得OC=DC，BO=BD，则可判断四边形OBDC为菱形，所以OD⊥BC，△OCD和△OBD都是等边三角形，从而计算出∠COP=∠EOP=60°，接着证明PM∥BC得到OE⊥PM，所以OE=OP，根据切线的性质得到OC⊥PC，则OC=OP，从而可判定PM是⊙O的切线；
（2）先在Rt△OPC中计算出OC=1，然后根据等边三角形的面积公式计算四边形OCDB的面积．
【解答】解：（1）PM与⊙O相切．
理由如下：
连接DO并延长交PM于E，如图，
∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，
∴OC=DC，BO=BD，
∴OC=DC=BO=BD，
∴四边形OBDC为菱形，
∴OD⊥BC，
∴△OCD和△OBD都是等边三角形，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∴∠COP=∠EOP=60°，
∵∠MPB=∠ADC，
而∠ADC=∠ABC，
∴∠ABC=∠MPB，
∴PM∥BC，
∴OE⊥PM，
∴OE=OP，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴OC=OP，
∴OE=OC，
而OE⊥PM，
∴PM是⊙O的切线；
（2）在Rt△OPC中，OC=PC=×=1，
∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2××12=．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了直线与圆的关系、圆周角定理和折叠的性质．
39．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）已知BD=2，CF=2，求AE和BG的长．
【分析】（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再根据OA=OB知OD∥AC，从而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得证；
（2）连接BE．BE∥GF，推出△AEB∽△AFG，可得=，由此构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）连接OD，AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
又∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵DG⊥AC，
∴OD⊥FG，
∴直线FG与⊙O相切；
（2）连接BE．∵BD=2，
∴，
∵CF=2，
∴DF==4，
∵AB是直径，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
∴BE⊥AC，∵DF⊥AC，
∴DF∥BE，
∴EF=FC，
∴BE=2DF=8，
∵cos∠C=cos∠ABC，
∴=，
∴=，
∴AB=10，
∴AE==6，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥GF，
∴△AEB∽△AFG，
∴=，
∴=，
∴BG=．
【点评】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及中位线定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
40．如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围 ＜AP＜或AP=5 ．
【分析】（1）连接PF，则PF⊥CD，由AB⊥AC和四边形ABCD是平行四边形，得PF∥AC，可证明△DPF∽△DAC，列比例式可得AP的长；
（2）有两种情况：
①与边AD、CD分别有两个公共点；②⊙P过点A、C、D三点．
【解答】解：（1）如图2所示，连接PF，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，
设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，
∵⊙P与边CD相切于点F，
∴PF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴，
∴，
∴x=，AP=；
（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，
S?ABCD==10PG，
PG=，
①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
②⊙P过点A、C、D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
此时AP=5，
综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP=5．
故答案为：＜AP＜或AP=5．
【点评】本题是圆与平行四边形的综合题，考查了圆的切线的性质、勾股定理、平行四边形性质和面积公式，第2问注意利用分类讨论的思想，并利用数形结合解决问题．
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日期：2018/12/21 18:55:00；用户：zhrasce20；邮箱：zhrasce20@163.com；学号：6322261
期末复习第二章直线与圆的位置关系解答题精选
题号
一
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
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评卷人
得 分
解答题（共40小题）
1．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点P，过A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D，连接PA、PB．
（1）求证：AP平分∠CAB；
（2）若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则
①当弦AP的长是 时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；
②当的长度是 时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形．
2．已知△ABC中，点D是BC边上一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点D，与AB、AC分别交于点E、F
（Ⅰ）如图①，若∠AEF=52°，求∠C的度数．
（Ⅱ）如图②，若EF经过点O，且∠AEF=35°，求∠B的度数．
3．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）G是ED上一点，连接BE交圆于F，连接AF并延长交ED于G．若GE=2，AF=3，求EF的长．
4．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点．
（I）如图1，过P作⊙O的切线PC，切点为C．作AD⊥PC于点D，求证：∠PAC=∠DAC；
（II）如图2，过P作⊙O的割线，交点为M、N，作AD⊥PN于点D，求证：∠PAM=∠DAN．
5．如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD与点E，GC是⊙F的切线；CG交AD于点G．
（1）求证：GC⊥AD．
（2）填空：①若△BCF的面积为15，则△BDA的面积为 ．
②当∠GCD的度数为 时，四边形EFCD是菱形．
6．如图，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B，且四边形BCOE是平行四边形．
（1）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，请说明理由；
（2）若⊙O半径为1，求AD的长．
7．如图，AC是⊙O的直径，点P在线段AC的延长线上，且PC=CO，点B在⊙O上，且∠CAB=30°．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若D为圆O上任一动点，⊙O的半径为5cm时，当弧CD长为 时，四边形ADPB为菱形，当弧CD长为 时，四边形ADCB为矩形．
8．如图，AB为⊙O的直径，点D，E是位于AB两侧的半圆AB上的动点，射线DC切⊙O于点D．连接DE，AE，DE与AB交于点P，F是射线DC上一动点，连接FP，FB，且∠AED=45°．
（1）求证：CD∥AB；
（2）填空：
①若DF=AP，当∠DAE= 时，四边形ADFP是菱形；
②若BF⊥DF，当∠DAE= 时，四边形BFDP是正方形．
9．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP的长．（结果保留根号）
（2）如图②，若D为AP的中点，∠P=30°，求证：直线CD是⊙O的切线．
10．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm
求：（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长．
11．如图，AB是⊙O的直径，在圆上取点C，延长BC到D，使BC=CD，连接AD交⊙O于点E，过点C作CF⊥AD，垂足为F．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若AE=2，sin∠BAE=，求CF的长．
12．如图，已知AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MD切⊙O于点D，过点B作BN⊥MD于点C，连接AD并延长，交BN于点N．
（1）求证：AB=BN；
（2）若⊙O半径的长为3，cosB=，求MA的长．
13．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知CD=4，CA=6，
①求CB的长；
②求DF的长．
14．如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4．
（1）求∠BAC的大小；
（2）求图中阴影部分的面积．
15．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE=CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为6，∠A=35°，求的长．
16．已知：⊙O直径为4，点C是⊙O直径AB延长线上的一点，且点B是线段OC的中点，点D在⊙O上，连接DC．
（1）如图①，若线段DC所在的直线与⊙O相切，求线段DC的长；
（2）如图②，若线段DC与⊙O还有一个公共点E，且点E为DC的中点，连接OD，AE交于点F．
①判断OD与AE的位置关系，并说明理由；②求线段DC的长度．
17．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，CE是⊙O的切线．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若BC=3，CD=4，求BD的长．
18．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．
（1）求证：OM=AN；
（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．
19．如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CD=3，AD=2，求BC的长；
（3）连接AE，若∠C=45°，直接写出sin∠CAE的值．
20．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F，求∠CEF的度数．
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF；
（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由．
（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．
22．已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，∠DAB=45°．
（Ⅰ）如图①，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）如图②，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求点E到AB的距离．
23．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直径．
24．如图，⊙O的半径OA=2，AB是弦，直线EF经过点B，AC⊥EF于点C，∠BAC=∠OAB．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC=1，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
25．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD=4，⊙O的直径为10，求BD的长度．
26．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若∠BEC=30°，求证：以BC，BE，AC边的三角形为直角三角形．
27．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于P．弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连结BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）探究线段PC，PF之间的大小关系，并加以证明；
（3）若tan∠PCB=，BE=，求PF的长．
28．如图1，点A、B、P分别在两坐标轴上，∠APB=60°，PB=m，PA=2m，以点P为圆心、PB为半径作⊙P，作∠OBP的平分线分别交⊙P、OP于C、D，连接AC．
（1）求证：直线AB是⊙P的切线．
（2）设△ACD的面积为S，求S关于m的函数关系式．
（3）如图2，当m=2时，把点C向右平移一个单位得到点T，过O、T两点作⊙Q交x轴、y轴于E、F两点，若M、N分别为两弧、的中点，作MG⊥EF，NH⊥EF，垂足为G、H，试求MG+NH的值．
29．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，M为AB上一点，过点M作DM⊥AB，交弦AC于点E，交⊙O于点F，且DC=DE．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）如果DM=15，CE=10，，求⊙O半径的长．
30．如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上任一点．
（1）若∠BAC=30°，过点C作半圆O的切线交直线AB于点P．求证：△PBC≌△AOC；
（2）若AB=6，过点C作AB的平行线交半圆O于点D．当以点A，O，C，D为顶点的四边形为菱形时，求的长．
31．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB=，BC=4，求⊙O的半径．
32．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，且AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点P，点E在DC延长线上，连接BD、EB，满足∠EBC=∠CDB．
（1）求证：EB为⊙O的切线；
（2）若BC=2，OB=，求证：CD=CE；
（3）在（2）的条件下，求sin∠APD的值．
33．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE=∠DFE，DE交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若tan∠CFO=3，BE=2，求AG的长
34．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG=，AH=2，求EM的值．
35．如图，直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣1），点D在劣弧OA上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．
（1）请直接写出⊙M的直径，并求证BD平分∠ABO；
（2）在线段BD的延长线上寻找一点E，使得直线AE恰好与⊙M相切，求此时点E的坐标．
36．已知：△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作EG⊥AB于H，交BC于F，延长GE交直线MC于D，且∠MCA=∠B，求证：
（1）MC是⊙O的切线；
（2）△DCF是等腰三角形．
37．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG，连接CE．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH=3，CH=4，求EM的值．
38．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．
（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC=，求四边形OCDB的面积．
39．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）已知BD=2，CF=2，求AE和BG的长．
40．如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围 ．
参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点P，过A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D，连接PA、PB．
（1）求证：AP平分∠CAB；
（2）若P是直径AB上方半圆弧上一动点，⊙O的半径为2，则
①当弦AP的长是 2 时，以A，O，P，C为顶点的四边形是正方形；
②当的长度是 π 时，以A，D，O，P为顶点的四边形是菱形．
【分析】（1）利用切线的性质得OP⊥PC，再证明AC∥OP得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，所以∠1=∠2；
（2）①当∠AOP=90°，根据正方形的判定方法得到四边形AOPC为正方形，从而得到AP=2；
②根据菱形的判定方法，当AD=AP=OP=OD时，四边形ADOP为菱形，所以△AOP和△AOD为等边三角形，然后根据弧长公式计算的长度．
【解答】（1）证明：∵PC切⊙O于点P，
∴OP⊥PC，
∵AC⊥PC，
∴AC∥OP，
∴∠1=∠3，
∵OP=OA，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AP平分∠CAB；
（2）解：①当∠AOP=90°，四边形AOPC为矩形，而OA=OP，此时矩形AOPC为正方形，AP=OP=2；
②当AD=AP=OP=OD时，四边形ADOP为菱形，△AOP和△AOD为等边三角形，则∠AOP=60°，的长度==π．
故答案为2，π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了正方形和菱形的判定．
2．已知△ABC中，点D是BC边上一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点D，与AB、AC分别交于点E、F
（Ⅰ）如图①，若∠AEF=52°，求∠C的度数．
（Ⅱ）如图②，若EF经过点O，且∠AEF=35°，求∠B的度数．
【分析】（I）根据切线的性质得：BC⊥AD，由圆周角定理得：∠AFD=90°，由同角的余角相等可得：∠C=∠ADF，由同弧所对的圆周角相等可得结论；
（II）同理得：∠ADB=90°，∠AEF+∠DEO=90°，求得∠DEO=55°，根据直径和等腰三角形的性质和三角形内角和可得结论．
【解答】解：（I）如图①，连接DF，（1分）
∵BC是⊙O的切线，
∴BC⊥AD，
∴∠ADC=90°，（2分）
∴∠FAD+∠C=90°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AFD=90°，（3分）
∴∠FAD+∠ADF=90°，
∴∠C=∠ADF，（4分）
∵∠AEF=∠ADF，
∴∠C=∠AEF=52°；（5分）
（II）如图②，连接ED，
∵BC与⊙O相切于点D，
∴BC⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠ODE+∠EDB=90°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°，（7分）
∴∠AEF+∠DEO=90°，
∵∠AEF=35°，
∴∠DEO=55°，（8分）
∵AD是⊙O的直径，EF经过点O，
∴EO=OD，
∴∠ODE=∠OED=55°，（9分）
∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴∠B+∠EDB=90°，
∴∠B=∠ODE=55°．（10分）
【点评】主要考查了切线的性质和直角三角形的性质、圆周角定理等知识，要掌握这些基本性质才会在综合习题中灵活运用．
3．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）G是ED上一点，连接BE交圆于F，连接AF并延长交ED于G．若GE=2，AF=3，求EF的长．
【分析】（1）根据中位线定理证明：OD∥AC，得：DE⊥OD，可得DE为⊙O的切线；
（2）证明△GEF∽△GAE，列比例式，解方程可得结论．
【解答】（1）证明：连结OD………………………1分
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
又∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABC，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，……………………3分
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线………………………4分
（2）解：∵AB为直径，
∴∠BFA=90°，则∠FEA+∠FAE=90°
∵∠GEF+∠FEA=90°，
∴∠GEF=∠FAE，
又∵∠EGF=∠AGE，
∴△GEF∽△GAE，………………………………………………………6分
∴，即EG2=AG?FG，
设FG=x，则AG=3+x，
又∵EG=2，AF=3，
∴22=x（3+x），解得x=1或﹣4（舍去）．
∴FG=1，
在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF==．………………………9分
【点评】本题考查了切线的判定与性质，解一元二次方程，三角形相似的性质和判定，在圆中求线段时，常利用设未知数，利用勾股定理或相似列比例式确定等量关系，解方程得出结论．
4．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点．
（I）如图1，过P作⊙O的切线PC，切点为C．作AD⊥PC于点D，求证：∠PAC=∠DAC；
（II）如图2，过P作⊙O的割线，交点为M、N，作AD⊥PN于点D，求证：∠PAM=∠DAN．
【分析】（Ⅰ）根据切线的性质和平行线的性质证明即可；
（Ⅱ）连接BM．利用直径和内接四边形的性质解答即可．
【解答】证明：（Ⅰ）如图1，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵AD⊥PC，
∴AD∥OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
即∠PAM=∠DAN；
（Ⅱ）如图2，连接BM，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠1+∠2=90°，
∵AD⊥PN，
∴∠AND+∠3=90°，
∵ABMN时⊙O的内接四边形，
∴∠AND=∠2，
∴∠1=∠3，
即∠PAM=∠DAN．
【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质和平行线的性质证明．
5．如图，在△ABD中，AB=AD，以AB为直径的⊙F交BD于点C，交AD与点E，GC是⊙F的切线；CG交AD于点G．
（1）求证：GC⊥AD．
（2）填空：①若△BCF的面积为15，则△BDA的面积为 60 ．
②当∠GCD的度数为 30° 时，四边形EFCD是菱形．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠D=∠BCF，证出CF∥AD，由已知条件得出CG⊥CF，即可得出结论；
（2）①根据平行线的性质得出△BCF∽△BDA，得出，△BCF的面积：△BDA的面积=1：4，即可得出结果；
②证出△BCF是等边三角形，得出∠B=60°，CF=BF=AB，证出△ABD是等边三角形，CF=AD，证出△AEF是等边三角形，得出AE=AF=AB=AD，因此CF=DE，证出四边形EFCD是平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB=AD，FB=FC，
∴∠B=∠D，∠B=∠BCF，
∴∠D=∠BCF，
∴CF∥AD，
∴GC是⊙F的切线，
∴CG⊥CF；
∴CG⊥AD，
（2）①∵CF∥AD，
∴△BCF∽△BDA，
∴，
∴△BCF的面积：△BDA的面积=1：4，
∴△BDA的面积=4△BCF的面积=4×15=60；
故答案为：60；
②当∠GCD的度数为30°时，四边形EFCD是菱形．理由如下：
∵CG⊥CF，∠GCD=30°，
∴∠FCB=60°，
∵FB=FC，
∴△BCF是等边三角形，
∴∠B=60°，CF=BF=AB，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，CF=AD，
∴∠A=60°，
∵AF=EF，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=AF=AB=AD，
∴CF=DE，
又∵CF∥AD，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∵CF=EF，
∴四边形EFCD是菱形；
故答案为：30°．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆的半径相等、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识；熟练掌握切线的判定方法，证明CF∥AD是解决问题（1）的关键．
6．如图，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于点B，且四边形BCOE是平行四边形．
（1）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，请说明理由；
（2）若⊙O半径为1，求AD的长．
【分析】（1）连接OB，由已知四边形BCOE为平行四边形，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AD，可得出四边形BCDO为矩形，利用矩形的性质得到OB垂直于BC，即可得出BC为圆O的切线．
（2）先证得四边形BCDO是正方形，得出OD=DC=1，根据C是AD的中点可得AD的长．
【解答】解：（1）是，理由如下：
如图，连接OB．
∵四边形BCOE为平行四边形，
∴ED∥BC，OE=BC，
∵OE=OD，
∴OD=BC，
∴四边形ODCB是平行四边形，
∵AD为圆O的切线，
∴OD⊥AD，
∴四边形BCDO为矩形，
∴OB⊥BC，
则BC为圆O的切线．
（2）∵四边形BCDO为矩形，OD=OB，
∴四边形BCDO是正方形，
∴OD=DC=1，
∵C为AD的中点，
∴AD=2CD=2．
【点评】此题考查了切线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形和矩形的判定和性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
7．如图，AC是⊙O的直径，点P在线段AC的延长线上，且PC=CO，点B在⊙O上，且∠CAB=30°．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若D为圆O上任一动点，⊙O的半径为5cm时，当弧CD长为 cm 时，四边形ADPB为菱形，当弧CD长为 cm 时，四边形ADCB为矩形．
【分析】（1）欲证明PB是切线，只要证明OB⊥PB即可；
（2）利用菱形、矩形的性质，求出圆心角∠COD即可解决问题；
【解答】解：（1）如图连接OB、BC．
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠COB=∠OAB=∠OBA=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OC，∵PC=OA=OC，
∴BC=CO=CP，
∴∠PBO=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线．
（2）①的长为cm时，四边形ADPB是菱形．
∵四边形ADPB是菱形，∠ADB=△ACB=60°，
∴∠COD=2∠CAD=60°，
∴的长==cm．
②当四边形ADCB是矩形时，易知∠COD=120°，∴的长==cm．
故答案为cm，cm；
【点评】本题考查切线的判定、菱形的性质、矩形的性质、圆周角定理、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，AB为⊙O的直径，点D，E是位于AB两侧的半圆AB上的动点，射线DC切⊙O于点D．连接DE，AE，DE与AB交于点P，F是射线DC上一动点，连接FP，FB，且∠AED=45°．
（1）求证：CD∥AB；
（2）填空：
①若DF=AP，当∠DAE= 67.5° 时，四边形ADFP是菱形；
②若BF⊥DF，当∠DAE= 90° 时，四边形BFDP是正方形．
【分析】（1）要证明CD∥AB，只要证明∠ODF=∠AOD即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF=∠AOD，从而可以解答本题；
（2）①根据四边形ADFP是菱形和菱形的性质，可以求得∠DAE的度数；②根据四边形BFDP是正方形，可以求得∠DAE的度数．
【解答】解：（1）如图，OD连接，
∵射线DC切⊙O于点D，
∴OD⊥CD，
∵∠AED=45°，
∴∠AOD=2∠AED=90°，即∠ODF=∠AOD，
∴CD∥AB．
（2）①连接AF与DP交于点G，如图所示，
∵四边形ADFP是菱形，∠AED=45°，OA=OD，
∴AF⊥DP，∠AOD=90°，∠DAG=∠PAG，
∴∠AGE=90°，∠DAO=45°，
∴∠EAG=45°，∠DAG=∠PEG=22.5°，
∴∠EAD=∠DAG+∠EAG=22.5°+45°=67.5°，
故答案为：67.5°；
②∵四边形BFDP是正方形，
∴BF=FD=DP=PB，
∠DPB=∠PBF=∠BFD=∠FDP=90°，
∴此时点P与点O重合，
∴此时DE是直径，
∴∠EAD=90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查菱形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用菱形的性质和正方形的性质解答．
9．已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．
（1）如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP的长．（结果保留根号）
（2）如图②，若D为AP的中点，∠P=30°，求证：直线CD是⊙O的切线．
【分析】（1）易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；
（2）本题连接OC，证出OC⊥CD即可．首先连接AC，得出直角三角形ACP，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD=AD，再利用等腰三角形性质可证∠OCD=∠OAD=90°，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是切线，
∴∠BAP=90°．
在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，
∴BP=2AB=2×2=4．
由勾股定理，得．
（2）如图，连接OC、AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
又∵∠ACP=180°﹣∠BCA=90°．
在Rt△APC中，D为AP的中点，
∴．
∴∠4=∠3．
又∵OC=OA，
∴∠1=∠2．
∵∠2+∠4=∠PAB=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°．
即OC⊥CD．
∴直线CD是⊙O的切线．
【点评】此题考查了切线的判定和性质及解直角三角形等知识点，关键是根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半解答．
10．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm
求：（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长．
【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；
（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长．
【解答】解：（1）连接OF；
根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，
∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBF+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°；
（2）∵OB=6cm，OC=8cm，
∴BC=10cm，
∵OF⊥BC，
∴BE=BF，CG=CF
∴BE+CG=BF+CF=BC=10cm．
【点评】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．由勾股定理可求得BC的长是关键．
11．如图，AB是⊙O的直径，在圆上取点C，延长BC到D，使BC=CD，连接AD交⊙O于点E，过点C作CF⊥AD，垂足为F．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若AE=2，sin∠BAE=，求CF的长．
【分析】（1）欲证明CF是切线，只要证明OC⊥CF即可；
（2）想办法求出BE，再证明CF是△BDE的中位线即可解决问题；
【解答】解：（1）连接OC．
∵BC=CD，OB=OA，
∴OC∥AD，
∵CF⊥AD，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线．
（2）连接BE．
∵AB是直径，
∴∠BEA=90°，
∵sin∠BAE==，设BE=2k，AB=3k，
则AE=k，
∵AE=2，
∴k=2，BE=4，
∵CF∥BE，BC=CD，
∴EF=DF，
∴CF=BE=2．
【点评】本题考查切线的判定、圆周角定理、三角形的中位线定理、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用此时解决问题，属于中考常考题型．
12．如图，已知AB是⊙O的直径，点M在BA的延长线上，MD切⊙O于点D，过点B作BN⊥MD于点C，连接AD并延长，交BN于点N．
（1）求证：AB=BN；
（2）若⊙O半径的长为3，cosB=，求MA的长．
【分析】（1）本题可连接OD，由MD切⊙O于点D，得到OD⊥MD，由于BN⊥MC，得到OD∥BN，得出∠ADO=∠N，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；
（2）由（1）知，OD∥BN，得到∠MOD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵MD切⊙O于点D，
∴OD⊥MD，
∵BN⊥MC，
∴OD∥BN，
∴∠ADO=∠N，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠N，
∴AB=BN；
（2）由（1）OD∥BN，
∴∠MOD=∠B，
∴cos∠MOD=cosB=，
在Rt△MOD中，cos∠MOD═，
∵OD=OA，MO=MA+OA=3+MA，
∴，
∴MA=4.5．
【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键．
13．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，AE与BC交于点F，∠C=2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知CD=4，CA=6，
①求CB的长；
②求DF的长．
【分析】（1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由E是 的中点得到∠EAB=∠EAD，由于∠ACB=2∠EAB，则∠ACB=∠DAB，再利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则∠DAC+∠ACB=90°，所以∠DAC+∠DAB=90°，于是根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
（2）①在Rt△ABC中，根据cosC===，可得AC=6；
②作FH⊥AB于H，由BD=BC﹣CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，推出FD=FH，设FB=x，则DF=FH=5﹣x，根据cos∠BFH=cos∠C==，构建方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：连结AD，如图，
∵E是的中点，
∴==，
∴∠EAB=∠EAD，
∵∠ACB=2∠EAB，
∴∠ACB=∠DAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAC+∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∴AC是⊙O的切线；
（2）①在Rt△ACB中，
∵cosC===，AC=6，
∴BC=9．
②作FH⊥AB于H，
∵BD=BC﹣CD=5，∠EAB=∠EAD，FD⊥AD，FH⊥AB，
∴FD=FH，设FB=x，则DF=FH=5﹣x，
∵FH∥AC，
∴∠HFB=∠C，
在Rt△BFH中，
∵cos∠BFH=cos∠C==，
∴=，
解得x=3，即BF的长为3，
∴DF=2
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形．
14．如图，BD是⊙O的切线，B为切点，连接DO与⊙O交于点C，AB为⊙O的直径，连接CA，若∠D=30°，⊙O的半径为4．
（1）求∠BAC的大小；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据切线的性质得到∠DBA=90°，根据三角形内角和定理求出∠BOC，根据圆周角定理计算；
（2）过O作OE⊥CA于点E，根据勾股定理求出OE、AC，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵DB为⊙O的切线，
∴∠DBA=90°，
∵∠D=30°，
∴∠BOC=60°，
∴；
（2）如图，过O作OE⊥CA于点E，
∵∠BOC=60°，
∴∠COA=120°，
∵OC=OA=4，∠OAE=30°，
∴，，
∴S阴影=S扇形COA﹣S△COA==．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理以及扇形面积的计算，掌握切线的性质定理、扇形面积公式是解题的关键．
15．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，且DE=CE，⊙O的切线BF与弦AD的延长线交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为6，∠A=35°，求的长．
【分析】（1）根据垂径定理、切线的性质定理证明；
（2）根据圆周角定理求出∠COD，根据弧长公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，DE=CE，
∴AB⊥CD，
∵BF是⊙O的切线，
∴AB⊥BF，
∴CD∥BF；
（2）解：连接OD、OC，
∵∠A=35°，
∴∠BOD=2∠A=70°，
∴∠COD=2∠BOD=140°，
∴的长==．
【点评】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握切线的性质定理、弧长的计算公式是解题的关键．
16．已知：⊙O直径为4，点C是⊙O直径AB延长线上的一点，且点B是线段OC的中点，点D在⊙O上，连接DC．
（1）如图①，若线段DC所在的直线与⊙O相切，求线段DC的长；
（2）如图②，若线段DC与⊙O还有一个公共点E，且点E为DC的中点，连接OD，AE交于点F．
①判断OD与AE的位置关系，并说明理由；②求线段DC的长度．
【分析】（1）依据线段DC所在的直线与⊙O相切，可得OD⊥CD，再根据勾股定理进行计算，即可得到CD的长；
（2）①依据AB是直径，可得∠AEB=90°，再根据点E为DC的中点，点B是线段OC的中点，可得BE是△COD的中位线，进而得到OD与AE的位置关系；②依据三角形中位线定理可得OF的长，进而得出DF的长，再根据勾股定理即可得到DE的长，可得CD的长．
【解答】解：（1）如图①，连接OD，
∵线段DC所在的直线与⊙O相切，
∴OD⊥CD，
又∵点B是线段OC的中点，⊙O直径为4，
∴CO=AB=4，OD=2，
∴Rt△COD中，CD==2；
（2）①OD⊥AE
证明：如图②，连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵点E为DC的中点，点B是线段OC的中点，
∴BE是△COD的中位线，
∴BE∥OD，BE=OD=1，
∴∠AFO=∠AEB=90°，
∴OD⊥AE；
②∵OD⊥AE，
∴F是AF的中点，
又∵O是AB的中点，
∴OF=BE=×OD=，
∴DF=2﹣=，
∵Rt△ABE中，AE==，
∴EF=，
∴Rt△DEF中，DE==，
∴CD=2DE=2．
【点评】本题考查了切线的性质，三角形中位线定理，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．解题时注意：若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
17．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD，CE，CE是⊙O的切线．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若BC=3，CD=4，求BD的长．
【分析】（1）证出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）连接DE，交OC于F，由圆周角定理得出AD⊥DE，由平行四边形的性质得出OF⊥DE，由垂径定理得出DF=EF=DE，由勾股定理求出OC，由三角形的面积求出DF的长，即可得出AD的长，进而由BD=AB﹣AD求得BD．
【解答】（1）证明：∵CE是⊙O的切线，
∴∠OEC=90°，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO=BC，OC=AB，OC∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC，
在△EOC和△DOC中，，
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接DE，交OC于F，如图所示：BC=3，CD=4，
∵CE、CD是⊙O的切线，
∴CE=CD=4，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=3，
∴OE=3，
在Rt△CEO中，CE=4，OE=3，
由勾股定理得：OC==5，
∴AB=OC=5，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，即AD⊥DE，
由三角形的面积公式得：×CD×OD=×OC×DF，
∴DF===，
∴DE=2DF=，
在Rt△ADE中，AE=6，DE=，
由勾股定理得AD==，
∴BD=AB﹣AD=5﹣=．
【点评】本题考查了切线的性质和判定，平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，垂径定理，三角形的面积的应用，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
18．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．
（1）求证：OM=AN；
（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．
【分析】（1）只要证明四边形ANMO是矩形即可解决问题；
（2）只要证明OM=MP，设OM=x，则NP=9﹣x，在Rt△MNP中，有x2=32+（9﹣x）2，解方程即可；
【解答】（1）证明：如图连接OA，则OA⊥AP，
∵MN⊥AP
∴MN∥OA
∵OM∥AP
∴四边形ANMO是矩形，
OM=AN
（2）连接OB，则OB⊥BP
∴∠OBM=∠MNP=90°，
∵OA=MN，OA=OB，OM∥AP
∴OB=MN，∠OMB=∠NPM，
∴△OBM≌△MNP，
∴OM=MP，
设OM=x，则NP=9﹣x，
在Rt△MNP中，有x2=32+（9﹣x）2，
∴x=5，即OM=5．
【点评】本题考查切线的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
19．如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CD=3，AD=2，求BC的长；
（3）连接AE，若∠C=45°，直接写出sin∠CAE的值．
【分析】（1）连接DO，DB，由圆周角定理就可以得出∠ADB=90°，可以得出∠CDB=90°，根据E为BC的中点可以得出DE=BE，就有∠EDB=∠EBD，OD=OB可以得出∠ODB=∠OBD，由等式的性质就可以得出∠ODE=90°就可以得出结论．
（2）判断出△BCD∽△ACB，即可得到结论；
（3）作EF⊥CD于F，设EF=x，由∠C=45°，得出△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得BE=CE=x，AB=BC=2x，AE=x，进而就可求得sin∠CAE的值．
【解答】解：（1）连接OD，BD，
∴OD=OB
∴∠ODB=∠OBD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°．
∵E为BC的中点，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，
即∠EDO=∠EBO．
∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠EBO=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接BD，∵AB是直径，
∴∠BDC=∠ABC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB
∴，
∴∴BC2=AC?CD
∵CD=3，AD=2，
∴AC=5，
∴BC2=5×3=15，
∴BC=；
（3）作EF⊥CD于F，设EF=x，
∵∠C=45°，
∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，
∴CF=EF=x，
∴BE=CE=x，
∴AB=BC=2x，
在RT△ABE中，AE==x，
∴sin∠CAE==．
【点评】本题考查了圆周角定理的运用，直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，切线的判定定理的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质，解答时正确添加辅助线是关键．
20．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F，求∠CEF的度数．
【分析】（1）连接OC，利用等角的余角相等即可证明；
（2）根据三角形的外角的性质证明∠CEF=∠CFE即可求解．
【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵CD是⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∴∠DCO=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∵AB是直径，
∴∠1+∠B=90°，
∴∠3=∠B．
（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，
∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，
∵∠ECF=90°，
∴∠CEF=∠CFE=45°．
【点评】本题考查切线的性质以及三角形的外角的性质，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF；
（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由．
（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．
【分析】（1）连接OC，先证出∠3=∠2，由SAS证明△OAF≌△OCF，得对应角相等∠OAF=∠OCF，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；
（2）先由勾股定理求出OF，再由三角形的面积求出AE，根据垂径定理得出AC=2AE．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O直径，
∴∠BCA=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，
∴OF⊥AC，
∵OC=OA，
∴∠B=∠1，
∴∠3=∠2，
在△OAF和△OCF中，
，
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCF=90°，
∴∠OAF=90°，
∴FA⊥OA，
∴AF是⊙O的切线；
（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，
∴OF===5
∵FA⊥OA，OF⊥AC，
∴AC=2AE，△OAF的面积=AF?OA=OF?AE，
∴3×4=5×AE，
解得：AE=，
∴AC=2AE=．
【点评】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理以及三角形面积的计算；熟练掌握切线的判定，并能进行推理计算是解决问题的关键．
22．已知四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，∠DAB=45°．
（Ⅰ）如图①，判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）如图②，E是⊙O上一点，且点E在AB的下方，若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求点E到AB的距离．
【分析】（1）连接OD，则∠AOD为直角，由四边形ABCD是平行四边形，则AB∥DC．从而得出∠CDO=90°，即可证出答案．
（2）作EF⊥AB于F，连接BE，根据圆周角定理得∠AEB=90°，然后根据勾股定理求得BE，然后根据sin∠BAE==求得EF即可．
【解答】解：（1）CD与圆O相切．
证明：如图①，连接OD，则∠AOD=2∠DAB=2×45°=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠CDO=∠AOD=90°．
∴OD⊥CD．
∴CD与圆O相切．
（2）如图②，作EF⊥AB于F，连接BE，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AEB=90°，AB=2×3=6．
∵AE=5，
∴BE==，
∵sin∠BAE==．
∴=
∴EF=．
【点评】本题考查了切线的判定和性质、平行四边形的性质以及圆周角定理，注意辅助线的作法是解此题的关键．
23．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinC=，AC=6，求⊙O的直径．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由AB=AC，AD=DC得∠C=∠B，∠1=∠C，则∠1=∠B，根据圆周角定理得∠E=∠B，∠ADE=90°，所以∠1+∠EAD=90°，然后根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，根据等腰三角形的性质得CF=AC=3，在Rt△CDF中，利用正弦定义得sinC==，则设DF=4x，DC=5x，利用勾股定理得CF=3x，所以3x=3，解得x=1，于是得到DC=AD=5，然后证明△ADE∽△DFC，再利用相似比可计算AE即可．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，AD=DC，
∴∠C=∠B，∠1=∠C，
∴∠1=∠B，
又∵∠E=∠B，
∴∠1=∠E，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠E+∠EAD=90°，
∴∠1+∠EAD=90°，即∠EAC=90°，
∴AE⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥AC于点F，如图，
∵DA=DC，
∴CF=AC=3，
在Rt△CDF中，∵sinC==，
设DF=4x，DC=5x，
∴CF==3x，
∴3x=3，解得x=1，
∴DC=5，
∴AD=5，
∵∠ADE=∠DFC=90°，∠E=∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴=，即=，解得AE=，
即⊙O的直径为．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．
24．如图，⊙O的半径OA=2，AB是弦，直线EF经过点B，AC⊥EF于点C，∠BAC=∠OAB．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AC=1，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）由OA=OB得到∠OAB=∠OBA，加上∠BAC=∠OAB，则∠BAC=∠OBA，于是可判断OB∥AC，由于AC⊥EF，所以OB⊥EF，则可根据切线的判定定理得到EF是⊙O的切线；
（2）过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理得AD=AB，再证明Rt△AOD∽Rt△ABC，利用相似比可计算出AB=2；
（3）由AB=OB=OC=2可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，则∠ABC=30°，则可计算出BC=AC=，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S四边形AOBC﹣S扇形OAB=S△AOB+S△ABC﹣S扇形OAB进行计算即可．
【解答】（1）证明：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠BAC=∠OAB，
∴∠BAC=∠OBA，
∴OB∥AC，
∵AC⊥EF，
∴OB⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OD⊥AB于点D，则AD=AB，
∵∠OAD=∠BAC，
∴Rt△AOD∽Rt△ABC，
=，即=，
∴AB=2；
（3）解：∵AB=OB=OC=2，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵OB⊥BC，
∴∠ABC=30°，
∴BC=AC=，
∴S阴影部分=S四边形AOBC﹣S扇形OAB
=S△AOB+S△ABC﹣S扇形OAB
=×22+×1×﹣
=﹣π．
【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质和扇形面积的计算．
25．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD=4，⊙O的直径为10，求BD的长度．
【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为⊙O的切线；
（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2，从而求得AF的值，进而就可求得BD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC=FD=5，OF=CD=4．
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．
∴AF===3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴FB=AF=3．
∴BD=DF+BF=5+3=8．
【点评】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．
26．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：△PCF是等腰三角形；
（3）若∠BEC=30°，求证：以BC，BE，AC边的三角形为直角三角形．
【分析】（1）连接OC，可证得OC∥AD，结合条件可证得∠DAC=∠CAB，可证得结论；
（2）由条件可得∠BCP=∠CAB，∠BCF=∠ACF，结合外角性质可得∠PCF=∠PFC，可证得结论；
（3）连接AE，可知BE=AE，根据条件可得到BE与AB的关系，以及BC、AC和AB的关系，再结合勾股定理的逆定理可得到结论．
【解答】证明：（1）如图1，连接OC，
∵DP是⊙O的切线，
∴OC⊥DP，
又∵AD⊥DP，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）∵PD是⊙O的切线，
∴∠BCP=∠CAB，
又∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAF+∠ACF=∠BCF+∠PCB，
即∠CFP=∠PCF，
∴PC=PF，即△PCF为等腰三角形；
（3）如图2，连接AE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴AE=BE，
又∵AB为直径，
∴BE=AB，
∵∠CEB=30°，
∴∠CAB=30°，
∴在Rt△ABC中，BC=AB，AC=AB，
∴BC2+BE2=AB2=AC2，
∴以BC，BE，AC边的三角形为直角三角形．
【点评】本题主要考查切线的性质和等腰三角形的判定及勾股定理的逆定理，在（1）中根据平行得到角之间的关系是解题的关键，在（2）中注意弦切角定理的应用，在（3）中用AB分别表示出BE、BC、AC是解题的关键．
27．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于P．弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连结BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）探究线段PC，PF之间的大小关系，并加以证明；
（3）若tan∠PCB=，BE=，求PF的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥CD，则AD∥OC，根据等边对等角，以及平行线的性质即可证得；
（2）根据圆周角定理以及三角形的外角的性质定理证明∠PFC=∠PCF，根据等角对等边即可证得；
（3）证明△PCB∽△PAC，根据相似三角形的性质求得PB与PC的比值，在直角△POC中利用勾股定理即可列方程求解．
【解答】解：（1）连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，
∴∠OCP=∠D=90°，
∴OC∥AD．
∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．即AC平分∠DAB．
（2）PC=PF．
证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠ACD=90°
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．
又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．
∴∠PFC=∠PCF．
∴PC=PF．
（3）连接AE．
∵∠ACE=∠BCE，
∴=，
∴AE=BE．
又∵AB是直径，
∴∠AEB=90°．
AB=，
∴OB=OC=5．
∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC．
∴．
∵tan∠PCB=tan∠CAB=．
∴=．
设PB=3x，则PC=4x，在Rt△POC中，（3x+5）2=（4x）2+52，
解得x1=0，．
∵x＞0，∴，
∴PF=PC=．
【点评】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
28．如图1，点A、B、P分别在两坐标轴上，∠APB=60°，PB=m，PA=2m，以点P为圆心、PB为半径作⊙P，作∠OBP的平分线分别交⊙P、OP于C、D，连接AC．
（1）求证：直线AB是⊙P的切线．
（2）设△ACD的面积为S，求S关于m的函数关系式．
（3）如图2，当m=2时，把点C向右平移一个单位得到点T，过O、T两点作⊙Q交x轴、y轴于E、F两点，若M、N分别为两弧、的中点，作MG⊥EF，NH⊥EF，垂足为G、H，试求MG+NH的值．
【分析】（1）根据切线的判定定理证得∠ABP=90°后即可判定切线；
（2）连接PC，根据∠APB=90°﹣∠OBP=∠OBA，∠OBC=∠PBC，得到∠ADB=∠PBC+∠PBC=∠ABD，从而得到∠CPA=∠POB=90°，利用三角形的面积公式得到S=m2；
（3）作TJ⊥x轴，TK⊥y轴，连接ET、FT，得到△ETJ≌△FTK，从而得到NH=NR=OF和MG=，最后求得MG+NH=（OE+OF）=×4=2
【解答】解：（1）∵∠POB=90°，∠APB=60°，
∴PB=m，
∴PO=PB=m，OB=，
又∵PA=2m，
∴OA=，
在RT△OAB中，AB=
∴PA2+AB2=PA2
∴∠ABP=90°，
∵PB是⊙P的半径，
∴直线AB是⊙P的切线．
（2）连接PC，
∵∠APB=90°﹣∠OBP=∠OBA，∠OBC=∠PBC，
∴∠ADB=∠PBC+∠PBC=∠ABD
∴AD=AB=m，
又∵PB=PC=m，
∴PC∥OB
∴∠CPA=∠POB=90°，
∴S△ACD=AD×CP=×m×m=m2；
（3）作TJ⊥x轴，TK⊥y轴，连接ET、FT，
当m=2时，PO=m，由（2）知∠CPA=90°，
∴C点为 （1，﹣2），
∴T为（2，﹣2，）TJ=TK=2，
∴点T在∠EOF的平分线上，
∴
∴TE=TF，
∴△ETJ≌△FTK，
∴EF=FK，
∴OE+OF=OJ﹣EJ+OK+FK=OJ+OK=4
延长NH交⊙Q于R，连接QN，QR，∵∠EOF=90°，
∴EF为⊙Q的直径，∴=
∴
∴NR=OF
∴NH=NR=OF
同理MG=
∴MG+NH=（OE+OF）=×4=2
【点评】本题考查了圆的综合知识，难度较大，一般为中考题的压轴题．
29．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，M为AB上一点，过点M作DM⊥AB，交弦AC于点E，交⊙O于点F，且DC=DE．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）如果DM=15，CE=10，，求⊙O半径的长．
【分析】（1）连接OC，由OA=OC，DC=DE，利用等边对等角得到两对角相等，根据DM垂直于AC，得到一对角互余，等量代换得到∠OCD=90°，即可得到DC为圆O的切线；
（2）过D作DG垂直于AC，连接CB，利用三线合一得到G为CE中点，由CE长求出EG长，利用对顶角相等得到∠DEG=∠AEM，确定出cos∠DEG=cos∠AEM，在直角三角形DEG中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，再利用勾股定理求出DG的长，由DM﹣DE求出EM的长，由一对直角相等，一对对顶角相等得到三角形AEM与三角形DEG相似，由相似得比例求出AM与AE的长，AE+EC求出AC的长，由AB为圆的直径，得到三角形ABC为直角三角形，利用锐角三角函数定义表示出cosA，即可求出AB的长，进而确定出圆的半径．
【解答】（1）证明：如图，连结OC，
∵OA=OC，DC=DE，
∴∠A=∠OCA，∠DCE=∠DEC，
又∵DM⊥AB，
∴∠A+∠AEM=∠OCA+∠DEC=90°，
∴∠OCA+∠DCE=∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切线；
（2）如图所示，过D作DG⊥AC，连接CB，
∵DC=DE，CE=10，
∴EG=CE=5，
∵cos∠DEG=cos∠AEM==，
∴DE=13，
∴DG==12，
∵DM=5，
∴EM=DM﹣DE=2，
∵∠AME=∠DGE=90°，∠AEM=∠DEG，
∴△AEM∽△DEG，
∴==，即==，
∴AM=，AE=，
∴AC=AE+EC=，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴cosA==，
∴AB=，
则圆O的半径为AB=．
【点评】此题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
30．如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上任一点．
（1）若∠BAC=30°，过点C作半圆O的切线交直线AB于点P．求证：△PBC≌△AOC；
（2）若AB=6，过点C作AB的平行线交半圆O于点D．当以点A，O，C，D为顶点的四边形为菱形时，求的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，推出△OBC是等边三角形，根据等边三角形和外角的性质得到∠AOC=∠PBC=120°，根据切线的性质得到∠OCP=90°，根据全等三角形的判定即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到OA=AD=CD=OC，连接OD，得到△AOD与△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOD=∠COD=60°，求得∠BOC=60°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC=BC，∠OBC=∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠PBC=120°，
∵CP是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，
∴∠ACO=∠PCB，
在△PBC与△AOC中，，
∴△PBC≌△AOC（ASA）；
（2）如图1，连接OD，BD，CD，
∵四边形AOCD是菱形，
∴OA=AD=CD=OC，
则，OA=OD=OC，
∴△AOD与△COD是等边三角形，
∴∠AOD=∠COD=60°，
∴∠BOC=60°，
∴的长==π；
如图2，同理∠BOC=120°，
∴的长==2π，
综上所述，的长为π或2π．
【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定，菱形的性质，圆周角定理，弧长的计算，正确的作出图形是解题的关键．
31．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若tan∠ACB=，BC=4，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE，求出∠DCE=∠AEO=∠DAC，求出∠CEO=90°，根据切线的判定求出即可；
（2）解直角三角形求出AB=2，根据勾股定理求出AC，同理求出DE、CE，根据勾股定理得出关于R的方程，求出方程的解即可．
【解答】（1）直线CE与⊙O相切，
证明：连接OE，
∵OA=OE，
∴∠DAC=∠AEO，
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠AEO=∠ACB=∠DCE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠ACB=∠DAC，
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠DAC=∠DCE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠AEO+∠DEC=90°，
∴∠OEC=180°﹣90°=90°，
即OE⊥EC，
∵OE为半径，
∴直线CE与⊙O相切；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90°，
在Rt△ACB中，AB=BC×tan∠ACB=4×=2，
由勾股定理得：AC==2，
∵∠ACB=∠DCE，
∴tan∠DCE=tan∠ACB=，
在Rt△DCE中，CD=AB=2，
DE=DC×tan∠DCE=2×=1，
由勾股定理得：DE==，
设⊙O的半径为R，
在Rt△COE中，CO2=CE2+OE2，
（2﹣R）2=R2+（）2，
解得：R=，
即⊙O的半径是．
【点评】本题考查了矩形的性质、切线的判定、平行线的性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
32．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，且AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点P，点E在DC延长线上，连接BD、EB，满足∠EBC=∠CDB．
（1）求证：EB为⊙O的切线；
（2）若BC=2，OB=，求证：CD=CE；
（3）在（2）的条件下，求sin∠APD的值．
【分析】（1）只要证明BE⊥AB即可；
（2）连接OD，作CH⊥AB于H，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．易证四边形PECF是正方形，设边长为a．想办法求出CD，EC即可；
（3）在Rt△OPD中，根据sin∠APD=计算即可；
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵∠EBC=∠CDB，∠CDB=∠A，
∴∠EBC+∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AB⊥BE，
∴BE是为⊙O的切线；
（2）解：连接OD，作CH⊥AB于H，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．易证四边形PECF是正方形，设边长为a．
在Rt△ABC中，AC===4，
∴CH==，
∴BH==，
∵?4?a+?2?a=?2?，
∴a=，
∵=，
∴PA=2PB，
∴PB=，OP=，PC=，
∵CH∥BE，
∴=，
∴=
∴EC=2，
∵CD平分∠ACB，
∴=，
∴OD⊥AB，
∴PD==，
∴CD=PD+PC=3，
∴CD=CE；
（3）解：在Rt△OPD中，sin∠APD===．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形、勾股定理平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
33．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE=∠DFE，DE交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若tan∠CFO=3，BE=2，求AG的长
【分析】（1）连接OD，如图，先证明∠CFO=∠CDE，再证明∠C=∠ODC，然后利用∠CFO+∠C=90°，得到∠CDE+∠C=90°，则OD⊥DE，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）设OF=x，则OB=3x，则可表示出BF=2x，再利用∠CDE=∠DFE得到ED=EF=2x+2，然后在Rt△ODE中，根据勾股定理列方程，再解方程求出x即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠CDE=∠DFE，∠DFE=∠CFO，
∴∠CFO=∠CDE，（1分）
∵OC⊥AB，
∴∠CFO+∠C=90°，
∴∠CDE+∠C=90°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，（3分）
∴∠ODE=∠CDE+∠ODF=90°，即OD⊥DE，
∴GE是⊙O的切线；（4分）
（2）解：∵tan∠CFO==3，
∴设OF=x，则OB=OC=3x，BF=2x，
∵∠CDE=∠DFE，
∴ED=EF=2x+2，
在Rt△ODE中，（3x）2+（2x+2）2=（2+3x）2，x=1，（5分）
∴OD=3，DE=4，OE=5，AE=8，
∵AG是⊙O的切线，
∴∠GAE=∠ODE=90°，
∵∠E=∠E，
∴△AGE∽△DOE，（6分）
∴，即，
∴AG=6．（8分）
【点评】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．常见的辅助线有：判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； 有切点时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
34．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG=，AH=2，求EM的值．
【分析】（1）连接OE，如图，利用EG=FG得到∠GFE=∠GEF，则∠GEF=∠AFC，然后利用∠AFC+∠FAH=90°得到∠GEF+∠OEA=90°，然后根据切线的判定定理得到EG是⊙O的切线；
（2）连接OC，设⊙O的半径为r，先证明∠G=∠ACH，则在Rt△ACH中利用正切定义可计算出CH=4，再在Rt△OCH中利用勾股定理得到（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，然后证明Rt△OEM∽Rt△CHA，从而利用相似比可计算出EM的长．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵EG=FG，
∴∠GFE=∠GEF，
而∠GFE=∠AFC，
∴∠GEF=∠AFC，
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠OAE，
∵AB⊥CD，
∴∠AFC+∠FAH=90°
∴∠GEF+∠OEA=90°，即∠GEO=90°，
∴OE⊥GE，
∴EG是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，设⊙O的半径为r，
∵GE∥AC，
∴∠G=∠ACH，
在Rt△ACH中，∵tan∠ACH==，
∴CH=2AH=2×2=4，
在Rt△OCH中，（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，
∵GE∥AC，
∴∠M=∠CAH，
∴Rt△OEM∽Rt△CHA，
∴=，即=，
∴EM=．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了解直角三角形．
35．如图，直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣1），点D在劣弧OA上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．
（1）请直接写出⊙M的直径，并求证BD平分∠ABO；
（2）在线段BD的延长线上寻找一点E，使得直线AE恰好与⊙M相切，求此时点E的坐标．
【分析】（1）根据勾股定理可得AB的长，即⊙M的直径，根据同弧所对的圆周角可得BD平分∠ABO；
（2）作辅助构建切线AE，根据特殊的三角函数值可得∠OAB=30°，分别计算EF和AF的长，可得点E的坐标．
【解答】解：∵点A（，0）与点B（0，﹣1），
∴OA=，OB=1，
∴AB==2，
∵AB是⊙M的直径，
∴⊙M的直径为2，
∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
即BD平分∠ABO；
（2）如图，过点A作AE⊥AB于E，交BD的延长线于点E，过E作EF⊥OA于F，即AE是切线，
∵在Rt△ACB中，tan∠OAB===，
∴∠OAB=30°，
∵∠ABO=90°，
∴∠OBA=60°，
∴∠ABC=∠OBC==30°，
∴OC=OB?tan30°=1×=，
∴AC=OA﹣OC=，
∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，
∴∠EAC=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=AC=，
∴AF=AE=，EF==1，
∴OF=OA﹣AF=，
∴点E的坐标为（，1）．
【点评】此题属于圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
36．已知：△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作EG⊥AB于H，交BC于F，延长GE交直线MC于D，且∠MCA=∠B，求证：
（1）MC是⊙O的切线；
（2）△DCF是等腰三角形．
【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠2+∠3=90°，再证明∠1=∠3得到∠1+∠2=90°，即∠OCM=90°，然后根据切线的判定定理可得到结论；
（2）利用EG⊥AB得到∠B+∠BFH=90°，利用对顶角相等得到∠4+∠B=90°，而根据切线的性质得到∠5+∠3=90°，从而得到∠4=∠5，然后根据等腰三角形的判定定理可得结论．
【解答】证明：（1）连接OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
即∠2+∠3=90°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠3，
而∠1=∠B，
∴∠1=∠3，
∴∠1+∠2=90°，
即∠OCM=90°，
∴OC⊥CM，
∴MC是⊙O的切线；
（2）∵EG⊥AB，
∴∠B+∠BFH=90°，
而∠BFH=∠4，
∴∠4+∠B=90°，
∵MD为切线，
∴OC⊥CD，
∴∠5+∠3=90°，
而∠3=∠B，
∴∠4=∠5，
∴△DCF是等腰三角形．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理．
37．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG，连接CE．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH=3，CH=4，求EM的值．
【分析】（1）连接OE，由FG=EG得∠GEF=∠GFE=∠AFH，由OA=OE知∠OAE=∠OEA，根据CD⊥AB得∠AFH+∠FAH=90°，从而得出∠GEF+∠AEO=90°，即可得证；
（2）连接OC，设OA=OC=r，再Rt△OHC中利用勾股定理求得r=，再证△AHC∽△MEO得=，据此求解可得．
【解答】解：（1）如图，连接OE，
∵FG=EG，
∴∠GEF=∠GFE=∠AFH，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵CD⊥AB，
∴∠AFH+∠FAH=90°，
∴∠GEF+∠AEO=90°，
∴∠GEO=90°，
∴GE⊥OE，
∴EG是⊙O的切线；
（2）连接OC，设⊙O的半径为r，
∵AH=3、CH=4，
∴OH=r﹣3，OC=r，
则（r﹣3）2+42=r2，
解得：r=，
∵GM∥AC，
∴∠CAH=∠M，
∵∠OEM=∠AHC，
∴△AHC∽△MEO，
∴=，即=，
解得：EM=．
【点评】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质．
38．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．
（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC=，求四边形OCDB的面积．
【分析】（1）连接DO并延长交PM于E，如图，利用折叠的性质得OC=DC，BO=BD，则可判断四边形OBDC为菱形，所以OD⊥BC，△OCD和△OBD都是等边三角形，从而计算出∠COP=∠EOP=60°，接着证明PM∥BC得到OE⊥PM，所以OE=OP，根据切线的性质得到OC⊥PC，则OC=OP，从而可判定PM是⊙O的切线；
（2）先在Rt△OPC中计算出OC=1，然后根据等边三角形的面积公式计算四边形OCDB的面积．
【解答】解：（1）PM与⊙O相切．
理由如下：
连接DO并延长交PM于E，如图，
∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，
∴OC=DC，BO=BD，
∴OC=DC=BO=BD，
∴四边形OBDC为菱形，
∴OD⊥BC，
∴△OCD和△OBD都是等边三角形，
∴∠COD=∠BOD=60°，
∴∠COP=∠EOP=60°，
∵∠MPB=∠ADC，
而∠ADC=∠ABC，
∴∠ABC=∠MPB，
∴PM∥BC，
∴OE⊥PM，
∴OE=OP，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴OC=OP，
∴OE=OC，
而OE⊥PM，
∴PM是⊙O的切线；
（2）在Rt△OPC中，OC=PC=×=1，
∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2××12=．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了直线与圆的关系、圆周角定理和折叠的性质．
39．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）已知BD=2，CF=2，求AE和BG的长．
【分析】（1）连接OD，AD，由圆周角定理可得AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD=CD，再根据OA=OB知OD∥AC，从而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得证；
（2）连接BE．BE∥GF，推出△AEB∽△AFG，可得=，由此构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）连接OD，AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
又∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵DG⊥AC，
∴OD⊥FG，
∴直线FG与⊙O相切；
（2）连接BE．∵BD=2，
∴，
∵CF=2，
∴DF==4，
∵AB是直径，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
∴BE⊥AC，∵DF⊥AC，
∴DF∥BE，
∴EF=FC，
∴BE=2DF=8，
∵cos∠C=cos∠ABC，
∴=，
∴=，
∴AB=10，
∴AE==6，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥GF，
∴△AEB∽△AFG，
∴=，
∴=，
∴BG=．
【点评】本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及中位线定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
40．如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．
（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；
（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围 ＜AP＜或AP=5 ．
【分析】（1）连接PF，则PF⊥CD，由AB⊥AC和四边形ABCD是平行四边形，得PF∥AC，可证明△DPF∽△DAC，列比例式可得AP的长；
（2）有两种情况：
①与边AD、CD分别有两个公共点；②⊙P过点A、C、D三点．
【解答】解：（1）如图2所示，连接PF，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，
设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，
∵⊙P与边CD相切于点F，
∴PF⊥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵AB⊥AC，
∴AC⊥CD，
∴AC∥PF，
∴△DPF∽△DAC，
∴，
∴，
∴x=，AP=；
（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，
S?ABCD==10PG，
PG=，
①当⊙P与边AD、CD分别有两个公共点时，＜AP＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
②⊙P过点A、C、D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
此时AP=5，
综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP=5．
故答案为：＜AP＜或AP=5．
【点评】本题是圆与平行四边形的综合题，考查了圆的切线的性质、勾股定理、平行四边形性质和面积公式，第2问注意利用分类讨论的思想，并利用数形结合解决问题．
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日期：2018/12/21 18:55:00；用户：zhrasce20；邮箱：zhrasce20@163.com；学号：6322261