期末复习第1章三角形的初步知识解答题精选

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期末复习第1章三角形的初步知识解答题精选
题号
一
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得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
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评卷人
得 分


解答题（共40小题）
1．利用三角板也能画出一个角的平分线，画法如下：
①利用三角板在∠AOB的两边上分别取OM=ON；
②分别过点M、N画OM、ON的垂线，交点为P；
③画射线OP，所以射线OP为∠AOB的角平分线．
请你评判这种作法是否正确，并说明理由．
2．如图，点B，F，C，E在同一直线上，且∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E．求证：BF=CE．
3．如图，在△ABC中，∠C=65°，AD为BC边上的高．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若∠B=45°，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．
4．如图，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE．且E，F，C，D在同一直线上．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠B=30°，∠BAC=100°，点F是CE的中点，连结AF，求∠FAE的度数．
5．如图，AB=CD，AD=BC，E、F分别是AC上的点，且AE=CF
（1）求证：AB∥CD；
（2）求证：BE=DF．
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，点H是AD的中点，点G是BC的中点，连接FH、HE、EG、GF．
（1）求证：BC=AD；
（2）求证：△GFE≌△HEF．
7．已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b﹣5）2+=0，a为方程|a﹣3|=2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
8．已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC=EF，AD=BE，∠A=∠E，
（1）求证：△ABC≌△EDF；
（2）当∠CHD=120°，猜想△HDB的形状，并说明理由．
9．如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=10cm，点P从B点开始向C点运动速度是每秒1cm，设运动时间是t秒，
（1）用含t的代数式来表示三角形ACP的面积．
（2）当三角形ACP的面积是三角形ABC的面积的一半时，求t的值，并指出此时点P在BC上的什么位置？
10．如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°﹣∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
11．如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点E为AB中点，如果点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．设运动时间为t秒．
（1）当t=2时，求△EBP的面积；
（2）若点Q以与点P不同的速度运动，经过几秒△BPE与△CQP全等，此时点Q的速度是多少？
（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿长方形ABCD的四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在长方形ABCD的哪条边上相遇？
12．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF=BE+FD．
求证：∠EAF=∠BAD
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．
13．如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2m/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1m/s的速度运动；已知AC=6cm，设动点D，E的运动时间为t．
（1）当点D在射线AM上运动时满足S△ADB：S△BEC=2：1，试求点D，E的运动时间t的值；
（2）当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．求证：∠ABC=∠ACB=∠DEF．
15．如图所示，在△ABC中，已知线段AD平分∠BAC交BC于D，∠B=62°，∠C=58°．
（1）用尺规作出线段AD，并求∠ADB的度数；
（2）若DE⊥AC于点E，把图形补充完整并求∠ADE的度数．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
（1）求∠AOE的度数；
（2）试说明：AC=AE+CD．
17．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，AC=AE，BC=DE，连接CE交BD于点F．求证：BF=DF
小明经探究发现，过B点作∠CBG=∠EDF，交CF于点G（如图2），从而可证△DEF≌△BCG，使问题得到解决
（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程：
参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：
（2）如图3，在△ABC与△BDE中，∠ABC=∠BDE，BC=DE，AB=BD，CF、EG分别为AB、BD的中线，连结FG并延长交CE于点H，是否存在与CH相等的线段？若存在，请找出并证明；若不存在，说明理由．
18．如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP长为多少时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等．
19．求证：如果两个三角形全等，那么它们对应角的角平分线相等．请根据图形，写出已知、求证，并证明．
已知：
求证：
20．在△ABC中AB=AC，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，交AC、AB于点D、E．
（1）如图①，求证：BD=CE；
（2）如图②，BD、CE交于点F，作AG∥CE交BD延长线于点G，若AE=CE，请直接写出图中与BE相等的线段．
21．已知在△ABC中，BD、CE分别是AC，AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB．求证：AF⊥AQ．
22．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，求证：AD=DC+AB，
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，F是DC延长线上一点，连接AF，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，求证：AB=AF+CF．
23．如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1=∠2+5°，∠3=∠4，∠BAC=85°，求∠2的度数．
24．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分EBAC．
（1）若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度数．
（2）若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE=　 　．
（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）
25．△ABC中，若最大角∠A等于最小角∠C的两倍，最大角∠A又比∠B大20°，则△ABC的三个内角的度数分别是多少？
26．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：△ABC，
尺规作图：求作∠APC=∠ABC．
小明同学的主要作法如下：
如图甲：①作∠CAD=∠ACB，且点D与点B在AC的异侧；②在射线AD上截取AP=CB，连结CP．所以∠APC=∠ABC．
问题：小明的作法正确吗？请你用帮助小明写出证明过程．
27．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．
（1）猜想∠E的度数，并说明理由；
（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．
①依题意在图1中补全图形；
②直接写出∠AFC的度数=　 　；
（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，（a＞1）设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m的值为　 　，n的值为　 　（用a表示）．
28．如图，在∠ABC=90°，∠DBE=90°，BA=BC，BD=BE，连接AE、CD，AE所在直线交CD于点F，连接BF．
（1）连接AD，EC，求证：AD=EC；
（2）若BF⊥AF，求证：点F为CD的中点．
29．如图，在△ABC中，∠1=110°，∠C=80°，∠2=∠3，BE平分∠ABC，求∠4的度数．
30．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．
（1）若∠B=30°，∠C=70°，则∠CAE=　 　°，∠DAE=　 　°．
（2＞若∠B=40°，∠C=80°．则∠DAE=　 　°．
（3）通过探究，小明发现将（2）中的条件“∠B=40°，∠C=80°”改为“∠C﹣∠B=40°”，也求出了∠DAE的度数，请你写出小明的求解过程．
31．如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E
（1）填空：①如图1，若∠B=60°，则∠E=　 　；
②如图2，若∠B=90°，则∠E=　 　；
（2）如图3，若∠B=α，求∠E的度数；
（3）如图4，仿照（2）中的方法，在（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．
32．如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：∠BDE=∠C；
（2）求证：△AEC≌△BED；
（3）若∠2=40°，则∠BDE=　 　°．
33．如图，点C在线段AE上，BC∥DE，AC=DE，BC=CE；延长AB分别交CD，ED于G，F．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠ACB=65°，∠DCE=75°，求∠FGC的度数．
34．问题情景 如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．
试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A=50°，则∠ABC+∠ACB=　 　度，∠PBC+∠PCB=　 　度，∠ABP+∠ACP=　 　度；
（2）类比探索：请探究∠ABP+∠ACP与∠A的关系．
（3）类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置；使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．
35．（1）问题解决：如图1，△ABC中，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，O为BO、CO交点，若∠A=62°，求∠BOC的度数；（写出求解过程）
（2）拓展与探究
①如图1，△ABC中，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是　 　；（请直接写出你的结论）
②如图2，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是　 　；（请直接写出你的结论）
③如图3，BO、CO分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是　 　．（请直接写出你的结论）
36．如图1，线段AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB=∠CED；
（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于点H，EH的反向延长线交AF于点G．
①求证EG⊥AF；
②求∠F的度数．【提示：三角形内角和等于180度】
37．用两种方法证明“三角形的外角和等于360°．
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角．
求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．
证法1：∵∠BAE+∠1=180°，∠CBF+∠2=180°，∠ACD+∠3═180°
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=　 　．
∵　 　，
∴　 　．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
38．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE=∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究廷伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD=∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
39．在锐角△ABC中，点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点．
（1）如图1，点E是△ABC外角∠MBC、∠NCB的三等分线的交点，且∠EBC=∠MBC，∠ECB=∠NCB，若∠BAC=60°，则∠BDC=　 　°，∠BEC=　 　°；
（2）如图2，锐角△ABC的外角∠ACG的平分线与BD的延长线交于点F，在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求出∠BAC的度数．
40．如图①，∠MON=80°，点A、B在∠MON的两条边上运动，∠OAB与∠OBA的平分线交于点C．
（1）点A、B在运动过程中，∠ACB的大小会变吗？如果不会，求出∠ACB的度数；如果会，请说明理由．
（2）如图②，AD是∠MAB的平分线，AD的反向延长线交BC的延长线于点E，点A、B在运动过程中，∠E的大小会变吗？如果不会，求出∠E的度数；如果会，请说明理由．
（3）若∠MON=n，请直接写出∠ACB=　 　；∠E=　 　．
参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．利用三角板也能画出一个角的平分线，画法如下：
①利用三角板在∠AOB的两边上分别取OM=ON；
②分别过点M、N画OM、ON的垂线，交点为P；
③画射线OP，所以射线OP为∠AOB的角平分线．
请你评判这种作法是否正确，并说明理由．
【分析】由作图得∠PMO=∠PNO=90°，则可根据“HL”可证明Rt△PMO≌Rt△PNO，所以∠POM=∠PON，从而可判断射线OP为∠AOB的角平分线．
【解答】解：这种作法的正确．理由如下：
由作图得∠PMO=∠PNO=90°，
在Rt△PMO和Rt△PNO中
∵，
∴Rt△PMO≌Rt△PNO（HL），
∴∠POM=∠PON，即射线OP为∠AOB的角平分线．
【点评】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定与性质，得出Rt△MOP≌Rt△NOP是解题关键．
2．如图，点B，F，C，E在同一直线上，且∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E．求证：BF=CE．
【分析】根据全等三角形的判定定理ASA证得△ABC≌△DEF，故该全等三角形的对应边相等（BC=EF），结合图形证得结论．
【解答】证明：∵∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴BC=EF，
∴BC﹣CF=EF﹣CF，
∴BF=CE．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有AAS，SAS，SSS，HL等．
3．如图，在△ABC中，∠C=65°，AD为BC边上的高．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若∠B=45°，AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．
【分析】（1）根据三角形的内角和解答即可；
（2）根据三角形的内角和和角平分线的定义解答即可．
【解答】解：（1）∵AD为BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=65°，
∴∠CAD=90°﹣65°=25°；
（2）∵在△ABC中，∠C=65°，∠B=45°，
∴∠BAC=180°﹣65°﹣45°=70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=35°，
∵AD为BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣45°=45°，
∴∠EAD=45°﹣35°=10°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
4．如图，∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE．且E，F，C，D在同一直线上．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠B=30°，∠BAC=100°，点F是CE的中点，连结AF，求∠FAE的度数．
【分析】（1）要证△ABC≌△ADE，由已知条件∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE，所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，所以可以由SAS判定两三角形全等；
（2）结合（1）中全等三角形的性质和等腰三角形“三线合一”的性质求得答案．
【解答】（1）证明：∵∠BAD=∠CAE（已知），
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）；
（2）∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ACB=180°﹣∠B﹣∠BAC=50°．
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ACB=∠AED=50°．
∵点F是CE的中点，
∴AF⊥CE．
∴∠FAE=90°﹣∠E=40°．
【点评】本题考查的三角形全等的判定及应用，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件，全等三角形的对应角相等．
5．如图，AB=CD，AD=BC，E、F分别是AC上的点，且AE=CF
（1）求证：AB∥CD；
（2）求证：BE=DF．
【分析】（1）由全等三角形的判定定理SSS证得△ABD≌△CDB，则该全等三角形的对应角相等，即∠ABD=∠CDB，故AB∥CD；
（2）欲证明BE=DF，只需推知△ABE≌△CDF即可．
【解答】证明：（1）在△ABD与△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ABD=∠CDB，
∴AB∥CD；
（2）由（1）知，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
又AB=CD，AE=CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE=DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题时注意，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
6．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，点H是AD的中点，点G是BC的中点，连接FH、HE、EG、GF．
（1）求证：BC=AD；
（2）求证：△GFE≌△HEF．
【分析】（1）依据SAS，即可判定△ABC≌△CDA，进而得出BC=AD；
（2）依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EG=FH，∠GCE=∠GEC，∠HAF=∠HFA，依据△ABC≌△CDA，可得∠HAF=∠GCE，进而得出∠GEC=∠HFA，即可得到△EFG≌△FEH．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
又∵AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
∴BC=AD；
（2）∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AFD=90°，∠CEB=90°，
又∵点H是AD的中点，点G是BC的中点，
∴Rt△ADF中，AH=FH=AD，
Rt△BCE中，CG=EG=BC，
∴EG=FH，∠GCE=∠GEC，∠HAF=∠HFA，
∵△ABC≌△CDA，
∴∠HAF=∠GCE，
∴∠GEC=∠HFA，
又∵EF=FE，
∴△EFG≌△FEH（SAS）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等的运用．
7．已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b﹣5）2+=0，a为方程|a﹣3|=2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
【分析】依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程|a﹣3|=2的解，即可得到a=5或1，依据三角形三边关系，即可得到a=5，进而得出△ABC的周长，以及△ABC的形状．
【解答】解：∵（b﹣5）2+=0，
∴，
解得，
∵a为方程|a﹣3|=2的解，
∴a=5或1，
当a=1，b=5，c=7时，1+5＜7，
不能组成三角形，故a=1不合题意；
∴a=5，
∴△ABC的周长=5+5+7=17，
∵a=b=5，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
8．已知，如图，点A、D、B、E在同一直线上，AC=EF，AD=BE，∠A=∠E，
（1）求证：△ABC≌△EDF；
（2）当∠CHD=120°，猜想△HDB的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据SAS即可证明：△ABC≌△EDF；
（2）由（1）可知∠HDB=∠HBD，再利用三角形的外角关系即可求出∠HBD，∠HDB的度数；
【解答】（1）证明：
∵AD=BE，
∴AB=ED，
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS）；
（2）∵△ABC≌△EDF，
∴∠HDB=∠HBD，
∵∠CHD=∠HDB+∠HBD=120°，
∴∠HBD=∠HDB=60°，
∴△DHB是等边三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=10cm，点P从B点开始向C点运动速度是每秒1cm，设运动时间是t秒，
（1）用含t的代数式来表示三角形ACP的面积．
（2）当三角形ACP的面积是三角形ABC的面积的一半时，求t的值，并指出此时点P在BC上的什么位置？
【分析】（1）用t表示出BP，根据三角形面积公式即可用t的代数式来表示△ABP的面积；
（2）根据等量关系：△ABP的面积是△ABC的面积的一半，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）点P运动t秒后，BP=t，则PC=10﹣t，
三角形ACP的面积为：×PC×AC=×（10﹣t）×6=30﹣3t；
（2）因为三角形ABC的面积为：×BC×AC=×10×6=30，
依题意得 30﹣3t=30×，
解得 t=5，
此时BP=5，点P在BC的中点上．
【点评】考查了一元一次方程的应用和三角形面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
10．如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求证：∠EFA=90°﹣∠B；
（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．
【分析】（1）由∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠BCA，推出∠FAC+∠FCA=×（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠B）=90°﹣∠B；
（2）过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于，构造全等三角形解决问题即可；
【解答】证明：（1）∵∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B，
又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠BCA，
∴∠FAC+∠FCA=×（180°﹣∠B）=90°﹣∠B，
∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，
∴∠EFA=90°﹣∠B．
（2）如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG=FH=FM，
∵∠EFH+∠DFH=120°，
∠DFG+∠DFH=360°﹣90°×2﹣60°=120°，
∴∠EFH=∠DFG，
在△EFH和△DFG中，
，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF=DF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点E为AB中点，如果点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．设运动时间为t秒．
（1）当t=2时，求△EBP的面积；
（2）若点Q以与点P不同的速度运动，经过几秒△BPE与△CQP全等，此时点Q的速度是多少？
（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿长方形ABCD的四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在长方形ABCD的哪条边上相遇？
【分析】（1）依据t=2，即可得到BP的长，即可运用三角形面积公式，即可得到△EBP的面积；
（2）设点Q的运动速度为vcm/s，先根据时间、速度表示路程：BP=2t，CP=6﹣2t，CQ=vt．根据点E为AB中点表示BE=2，根据△BPE与△CQP全等的不确定性，分两种情况：分别根据对应边相等，列方程可得结论；
（3）依据点P的运动路程，即可得到经过9秒点P与点Q第一次在AB边上相遇．．
【解答】解：（1）∵t=2，
∴BP=2t=4，
∵E是AB的中点，AB=4，
∴EB=2，
∴S△EBP=EB×BP=4cm2；
（2）设点Q的运动速度为x cm/s，则BP=2t，CP=6﹣2t，CQ=xt，
∵∠B=∠C=90°，
①当BP=CP，BE=CQ时，△BPE≌△CPQ，
∴，
解得：
②当BP=CQ，BE=CP时，△BPE≌△CQP，
∴，
解得：
又∵x≠2，
∴舍去该种情况，
综上所述，经过1.5秒，△BPE与△CQP全等，此时点Q的速度是 cm/s；
（3）依题意得：2t=t+6，
解得：t=9，
当t=9时，点P走了2×9=18cm，
∵18﹣BC﹣CD﹣AD=2，
∴经过9秒点P与点Q第一次在AB边上相遇．
【点评】此题是几何动点问题，本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、矩形的性质、一元一次方程的综合应用，根据题意列方程是解题的关键．
12．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若EF=BE+FD．
求证：∠EAF=∠BAD
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，证明你的结论．
【分析】（1）延长CB至M，使得BM=DF，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF．
【解答】证明：（1）延长CB至M，使得BM=DF，
∵∠B=∠D=90°，AB=AD，
在△ABM与△ADF中
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM=AF，∠DAF=∠BAM，
∵EF=BE+DF=BE+BM=ME，
在△AME与△AFE中
，
∴△AME≌△AFE（SSS），
∴∠MAE=∠EAF，
∴∠BAE+∠DAF=∠EAF，
即∠EAF=∠BAD；
（2）线段EF、BE、FD之间的数量关系是EF+DF=BE，
在BE上截取BM=DF，连接AM，
∵AB=AD，∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ABM=∠ADF，
在△ABM与△ADF中
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，∠EAF=∠BAD，
∴∠EAF=∠EAM，
在△AEM与△AEF中
，
∴△AEM≌△AEF（SAS），
∴EM=EF，
即BE﹣BM=EF，
即BE﹣DF=EF．
【点评】此题考查三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．
13．如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2m/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1m/s的速度运动；已知AC=6cm，设动点D，E的运动时间为t．
（1）当点D在射线AM上运动时满足S△ADB：S△BEC=2：1，试求点D，E的运动时间t的值；
（2）当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．
【分析】（1）作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．由BA平分∠MAN，推出BG=BH，由S△ADB：S△BEC=2：3，AD=t，AE=2t，可得?t?BG：?（6﹣2t）?BH=2：3，解方程即可解决问题．
（2）存在．由BA=BC，∠BAD=∠BCE=45°，可知当AD=EC时，△ADB≌△CEB，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图2中，
①当E在线段AC上时，作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．
∵BA平分∠MAN，
∴BG=BH，
∵S△ADB：S△BEC=2：3，AD=t，AE=2t，
∴?t?BG：?（6﹣2t）?BH=2：3，
∴t=s．
②当点E运动到AC延长线上，同法可得t=12时，也满足条件！
∴当t=s或12s时，满足S△ADB：S△BEC=2：3．
（2）存在．∵BA=BC，∠BAD=∠BCE=45°，
∴当AD=EC时，△ADB≌△CEB，
∴t=6﹣2t，
∴t=2s，
∴t=2s时，△ADB≌△CEB．
当D在MA延长线上时，2t﹣6=t，t=6s，
综上所述，满足条件的t的值为2s或6s．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
14．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．求证：∠ABC=∠ACB=∠DEF．
【分析】只要证明△DBE≌△CEF（SAS），可得∠BDE=∠CEF，由∠ABC+∠BDE+∠BED=∠BED+∠DEGF+∠CEF=180°，推出∠ABC=∠DEF即可解决问题；
【解答】证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△CEF中
，
∴△DBE≌△CEF（SAS），
∴∠BDE=∠CEF，
∵∠ABC+∠BDE+∠BED=∠BED+∠DEGF+∠CEF=180°，
∴∠ABC=∠DEF，
∴∠ABC=∠ACB=∠DEF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
15．如图所示，在△ABC中，已知线段AD平分∠BAC交BC于D，∠B=62°，∠C=58°．
（1）用尺规作出线段AD，并求∠ADB的度数；
（2）若DE⊥AC于点E，把图形补充完整并求∠ADE的度数．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的性质求出∠BAD的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B=62°，∠C=58°，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=30°
在△ABD中，∠B=62°，∠BAD=30°，
∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=88°．
（2）∵∠CAD=∠BAC=30°，又DE⊥AC，
∴在Rt△ADE中，∠EAD=30°，
∴∠ADE=90°﹣∠EAD=60°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
（1）求∠AOE的度数；
（2）试说明：AC=AE+CD．
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义解答；
（2）通过角之间的转化可得出△COF≌△COD，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∴∠ACB=30°，
∵AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，
∴∠CAO=∠BAC=45°，∠ACO=∠ACB=15°，
∴∠AOE=∠CAO+∠AOC=45°+15°=60°．
（2）如图，在AC上截取AF=AE，连接OF
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AOE和△AOF中
，
∴△AOE≌△AOF（SAS），
∴∠AOE=∠AOF=60°，
∴∠AOF=∠COD=60°=∠COF，
在△COF和△COD中，
，
∴△COF≌△COD（ASA）
∴CF=CD，
∴AC=AF+CF=AE+CD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，根据在AC上截取AF=AE得出△AOE≌△AOF是解题关键．
17．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，AC=AE，BC=DE，连接CE交BD于点F．求证：BF=DF
小明经探究发现，过B点作∠CBG=∠EDF，交CF于点G（如图2），从而可证△DEF≌△BCG，使问题得到解决
（1）请你按照小明的探究思路，完成他的证明过程：
参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：
（2）如图3，在△ABC与△BDE中，∠ABC=∠BDE，BC=DE，AB=BD，CF、EG分别为AB、BD的中线，连结FG并延长交CE于点H，是否存在与CH相等的线段？若存在，请找出并证明；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据余角的性质得到∠DEF=∠BCG，根据全等三角形的性质得到BG=DF，∠BGC=∠DFC，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）如图3，延长FH至L，使HL=FG，连接LE，于是得到LG=FH，根据直角三角形的性质得到CF=EG，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB=∠AED=90°，
∴∠DEF+∠AEC=∠ACE+∠BCG=90°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE，
∴∠DEF=∠BCG，
在△BCG与△DEF中，
∴△BCG≌△DEF，（ASA），
∴BG=DF，∠BGC=∠DFC，
∴∠BGF=∠BFG，
∴BF=BG，
∴BF=DF；
（2）解：CH=EH，
理由：如图3，延长FH至L，使HL=FG，连接LE，
则HL+HG=FG+HG，即LG=FH，
∵∠ACB=∠AED=90°，CF、EG分别为AB、BD的中线，
∴CF=EG，
∵∠ABC=∠BDE，∠CBF=∠CFB，∠D=∠DGE，
∴∠BFC=∠DGE，
∵AB=BD，
∴BF=BG，
∴∠BFG=∠BGF，
∵∠BGF=∠DGH，
∴∠CFH=∠EGL，
在△CFH与△EGL中，，
∴△CFH≌△EGL，（SAS），
∴CH=EL，∠ELH=∠CHF，
∴∠ELH=∠EHL，
∴EH=EL，
∴EH=CH．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，关键是巧妙作辅助线证明三角形全等．
18．如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP长为多少时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等．
【分析】当点P位于AC中点或C点时，△ABC和△PQA全等，分别利用HL定理进行判定即可．
【解答】解：AC中点或C点时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵∠C=90°，AQ⊥AC，
∴∠C=∠QAP=90°，
①当AP=3=BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中，
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL）
②当AP=6=AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：3或6
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
19．求证：如果两个三角形全等，那么它们对应角的角平分线相等．请根据图形，写出已知、求证，并证明．
已知：
求证：
【分析】根据全等三角形的性质得出AB=A'B'，∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'，根据“SAS”判断△ABD≌△A'B'D'，进而证明即可．
【解答】解：已知：△ABC≌△A'B'C'，AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'，
求证：AD=A'D'，
证明：∵△ABC≌△A'B'C'，
∴AB=A'B'，∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'，
∵AD平分∠BAC，A'D'平分∠B'A'C'，
∴∠BAD=∠B'A'D'，
，
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA），
∴AD=A'D'．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20．在△ABC中AB=AC，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，交AC、AB于点D、E．
（1）如图①，求证：BD=CE；
（2）如图②，BD、CE交于点F，作AG∥CE交BD延长线于点G，若AE=CE，请直接写出图中与BE相等的线段．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及角平分线的定义，判定△BCD≌△CBE（ASA），即可得出BD=CE；
（2）依据等腰三角形的判定以及全等三角形的性质，即可得出图中与BE相等的线段．
【解答】解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBC=∠ABC=∠ACB=∠ECB，
又∵BC=CB，
∴△BCD≌△CBE（ASA），
∴BD=CE；
（2）图中与BE相等的线段为BF，CF，CD，GD．
设∠BAC=α，
∵AE=CE，
∴∠ACE=∠BAC=α，
∵∠ABC=∠ACB，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABC=∠DBC=∠BCE=α，
∴∠BEF=2α=∠BFE，BF=CF，
∴BF=BE=CF，
由（1）可得，CD=BE，
∵AG∥CE，
∴∠G=∠DFC=2α=∠DCB，
又∵∠ADG=∠BDC，AD=BD，
∴△ADG≌△BDC（AAS），
∴DG=DC，
∴BE=BF=CF=CD=GD．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．已知在△ABC中，BD、CE分别是AC，AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延长线上，CF=AB．求证：AF⊥AQ．
【分析】首先证明出∠ABD=∠ACE，再有条件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，进而得到∠F=∠BAQ，然后再根据∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，进而证出AF⊥AQ．
【解答】证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，
∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，
∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABQ和△ACF中，
，
∴△ABQ≌△ACF（SAS），
∴∠F=∠BAQ，
∵∠F+∠FAE=90°，
∴∠BAQ+∠FAE═90°，
∴AF⊥AQ．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质定理．
22．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，求证：AD=DC+AB，
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，F是DC延长线上一点，连接AF，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，求证：AB=AF+CF．
【分析】（1）如图①中，延长AE交DC的延长线于点F，只要证明△AEB≌△FEC（AAS）即可解决问题；
（2）如图②，延长AE交DF的延长线于点G，只要证明△AEB≌△GEC（AAS）即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图①中，延长AE交DC的延长线于点F，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠F，
在△AEB和△FEC中，
，
∴△AEB≌△FEC（AAS），
∴AB=FC，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠EAD，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠F，
∴∠EAD=∠F，
∴AD=DF，
∴AD=DF=DC+CF=DC+AB．
（2）如图②，延长AE交DF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠G，
在△AEB和△GEC中，
，
∴△AEB≌△GEC（AAS），
∴AB=GC，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG=∠FAG，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠G，
∴∠FAG=∠G，
∴FA=FG，
∴AB=CG=AF+CF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23．如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1=∠2+5°，∠3=∠4，∠BAC=85°，求∠2的度数．
【分析】设∠2=x°，则∠1=（x+5）°，∠3=∠4=（2x+5）°，在△ABC中，根据三角形内角和定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设∠2=x°，则∠1=∠2+5°=（x+5）°，
∠3=∠4=∠1+∠2=x°+（x+5）°=（2x+5）°，
∵，在△ABC中，∠BAC=85°，
∴∠2+∠4=180°﹣∠BAC，
即x+2x+5=180﹣85，
解得：x=30，
即∠2=30°
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质，能得出关于x的方程是解此题的关键．
24．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分EBAC．
（1）若∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度数．
（2）若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE=　15°　．
（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）
【分析】根据垂直定义由AD⊥BC得∠ADC=90°，再利用角平分线定义得∠EAC=∠BAC，然后根据三角形内角和定理得∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，∠DAC=90°﹣∠C，则∠DAE=（∠B﹣∠C），
（1）把∠B=70°，∠C=40°代入∠DAE=（∠B﹣∠B）中计算即可；
（2）把∠B﹣∠C=30°代入∠DAE=（∠B﹣∠C）中计算即可；
（3）把∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C）代入∠DAE=（∠B﹣∠C）中计算即可；
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADC=90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=∠BAC，
而∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠EAC=90°﹣∠B﹣∠C，
∵∠DAC=90°﹣∠C，
∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=90°﹣∠C﹣[90°﹣∠B﹣∠C]
=（∠B﹣∠C），
（1）若∠B=70°，∠C=40°，则∠DAE=（70°﹣40°）=15°；
（2）若∠B﹣∠C=30°，则∠DAE=×30°=15°；
（3）若∠B﹣∠C=α（∠B＞∠C），则∠DAE=α；
故答案为15°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
25．△ABC中，若最大角∠A等于最小角∠C的两倍，最大角∠A又比∠B大20°，则△ABC的三个内角的度数分别是多少？
【分析】根据题意，构建方程组即可解决问题；
【解答】解：由题意：，
解得，
∴△ABC的三个内角的度数分别是80°，60°，40°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，三元一次方程组等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
26．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：△ABC，
尺规作图：求作∠APC=∠ABC．
小明同学的主要作法如下：
如图甲：①作∠CAD=∠ACB，且点D与点B在AC的异侧；②在射线AD上截取AP=CB，连结CP．所以∠APC=∠ABC．
问题：小明的作法正确吗？请你用帮助小明写出证明过程．
【分析】根据“SAS”证△ABC≌△APC即可得．
【解答】解：正确，
证明：∵在△ABC和△APC中，
∵，
∴△ABC≌△APC（SAS），
∴∠APC=∠ABC．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及基本的尺规作图．
27．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E．
（1）猜想∠E的度数，并说明理由；
（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．
①依题意在图1中补全图形；
②直接写出∠AFC的度数=　67.5°　；
（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，（a＞1）设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m的值为　a﹣1　，n的值为　﹣a　（用a表示）．
【分析】（1）设∠CAF=x，∠ACE=y，根据直角三角形的两锐角互余得：∠ACB+∠BAC=90°，可得x﹣y=45，由外角的性质得：∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°；
（2）①分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F．②根据三角形的内角和定理和对顶角相等列等式，可得结论；
（3）先根据条件画图，设∠FAH=α，根据三角形的内角和定理列式：∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH，∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH，分别表示∠FCH和∠FPH，代入已知可得m，n的值．
【解答】解：（1）∠E=45°
理由如下：∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACB，
∴∠DAC=2∠2，∠ACB=2∠1，
∵∠DAC=∠B+∠ACB，∠B=90°，
∴2∠2=90°+2∠1，
∴∠2=45°+∠1，
又∵∠2=∠E+∠1
∴∠E=45°；
（2）①如图所示：
②如图2所示，∵CF平分∠ECB，
∴∠ECF=y，
∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF，
∴45°+∠EAF=∠F+y ①，
同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，
∴45°+2∠EAF=90°+y，
∴∠EAF=②，
把②代入①得：45°+=∠F+y，
∴∠AFC=67.5°；
故答案为：67.5°；
（3）如图3，设∠FAH=α，
∵AF平分∠EAB，
∴∠FAH=∠EAF=α，
∵∠AFM=∠AFC=×67.5°，
∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH，
∴45+α=67.5+∠FCH，
∴∠FCH=α﹣22.5①，
∵∠AHN=∠AHC=（∠B+∠BCH）=（90°+2∠FCH），
∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH，
∴α+×67.5°=（90°+2∠FCH）+∠FPH，②
把①代入②得：∠FPH=，
∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，
α﹣22.5°=mα+n?，
解得：m=a﹣1，n=﹣a．
故答案为：a﹣1，﹣a．
【点评】本题考查了三角形内角和与外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．
28．如图，在∠ABC=90°，∠DBE=90°，BA=BC，BD=BE，连接AE、CD，AE所在直线交CD于点F，连接BF．
（1）连接AD，EC，求证：AD=EC；
（2）若BF⊥AF，求证：点F为CD的中点．
【分析】（1）由题意可证△ADB≌△BEC，可得AD=EC
（2）如图2中：作CP⊥BF交BF的延长线于P，作DN⊥BF于N．想办法证明DN=PC即可解决问题；
【解答】证明：（1）∵∠ABC=90°，∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠EBC，
又∵AB=BC，BD=BE，
∴△ABD≌△BEC，
∴AD=EC．
（2）如图2中：作CP⊥BF交BF的延长线于P，作DN⊥BF于N．
∵∠ABC=90°，BF⊥AE
∴∠ABF+∠A=90°，∠ABF+∠PBC=90°
∴∠A=∠PBC，且AB=BC，∠P=∠AFB=90°
∴△ABF≌△BPC
∴BF=CP
∵∠DBN+∠EBF=90°，∠DBN+∠BDN=90°，
∴∠BDN=∠EBF，
∵∠DNB=∠BFE=90°，BD=BE，
∴△DNB≌△BFE，
∴DN=BF=CP，
∵∠DNF=∠PFC，∠∠PFC，
∴△PFC≌△NFD，
∴DF=FC即点F是CD中点．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键思想好添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
29．如图，在△ABC中，∠1=110°，∠C=80°，∠2=∠3，BE平分∠ABC，求∠4的度数．
【分析】根据三角形的外角求出∠3，求出∠2，求出∠BAC，根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据角平分线定义求出∠ABE，根据三角形外角性质求出即可．
【解答】解：∵∠1=110°，∠C=80°，
∴∠3=∠1﹣∠C=30°，
∵∠2=∠3，
∴∠2=10°，
∴∠BAC=∠2+∠3=40，
∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣40°﹣80°=60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠BAC=30°，
∴∠4=∠ABE+∠2=30°+10°=40°．
【点评】本题考查了角平分线定义、三角形内角和定理和三角形外角性质，能求出∠ABE的度数是解此题的关键．
30．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．
（1）若∠B=30°，∠C=70°，则∠CAE=　40　°，∠DAE=　20　°．
（2＞若∠B=40°，∠C=80°．则∠DAE=　20　°．
（3）通过探究，小明发现将（2）中的条件“∠B=40°，∠C=80°”改为“∠C﹣∠B=40°”，也求出了∠DAE的度数，请你写出小明的求解过程．
【分析】（1）根据三角形的高求出∠ADC=90°，再根据三角形内角和定理求出求出∠BAC和∠DAC，根据角平分线定义求出∠CAE，即可求出答案；
（2）根据三角形的高求出∠ADC=90°，再根据三角形内角和定理求出求出∠BAC和∠DAC，根据角平分线定义求出∠CAE，即可求出答案；
（3）根据三角形的高求出∠ADC=90°，再根据三角形内角和定理求出求出∠BAC和∠DAC，根据角平分线定义求出∠CAE，最后代入求出即可．
【解答】解：（1）∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣（∠B+∠C）=80°，
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=BAC=40°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=70°，
∴∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=20°，
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=40°﹣20°=20°，
故答案为：40，20；
（2）∵∠B=40°，∠C=80°，
∴∠BAC=180°﹣（∠B+∠C）=60°，
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=BAC=30°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=80°，
∴∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=10°，
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=30°﹣10°=20°，
故答案为：20；
（3）∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°﹣（∠B+∠C），
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=BAC=[180°﹣（∠B+∠C）]=90°﹣∠B﹣C，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=90°﹣∠C，
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=90°﹣B﹣∠C﹣（90°﹣∠C）
=C﹣B
=（∠C﹣∠B）
=40°
=20°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和三角形的角平分线、三角形的高等知识点，能求出∠CAE和∠CAD的度数是解此题的关键，求解过程类似．
31．如图，在△ABC中，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的角平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E
（1）填空：①如图1，若∠B=60°，则∠E=　30°　；
②如图2，若∠B=90°，则∠E=　45°　；
（2）如图3，若∠B=α，求∠E的度数；
（3）如图4，仿照（2）中的方法，在（2）的条件下分别作∠EAB与∠ECB的角平分线，且两条角平分线交于点G，求∠G的度数．
【分析】（1）①根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°，再根据角平分线的定义可得∠FAC﹣∠ACE=30°，可求∠E的度数；
②根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB=∠B=90°，再根据角平分线的定义可得∠FAC﹣∠ACE=45°，可求∠E的度数；
（2）根据三角形的外角性质可得∠DAC﹣∠ACB=∠B=α，再根据角平分线的定义可得∠FAC﹣∠ACE=α，可求∠E的度数；
（3）根据角平分线的定和义可得三角形的外角性质可得∠G=∠HAC﹣∠ACG=∠FAC﹣∠ACE=（∠FAC﹣∠ACE），可求∠G的度数．
【解答】解：（1）①∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠FAC=∠DAC，∠ACE=∠ACB，
∴∠E=∠FAC﹣∠ACE=∠B=30°；
②∠DAC﹣∠ACB=∠B=60°，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠FAC=∠DAC，∠ACE=∠ACB，
∴∠E=∠FAC﹣∠ACE=∠B=45°；
（2）∠DAC﹣∠ACB=∠B=α，
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
∴∠FAC=∠DAC，∠ACE=∠ACB，
∴∠E=∠FAC﹣∠ACE=∠B=α；
（3）∵AG，CG分别是∠EAB与∠ECB的角平分线，
∴∠G=∠HAC﹣∠ACG=∠FAC﹣∠ACE=（∠FAC﹣∠ACE）=×∠B=α．
【点评】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用．
32．如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：∠BDE=∠C；
（2）求证：△AEC≌△BED；
（3）若∠2=40°，则∠BDE=　70　°．
【分析】（1）根据三角形内角和可以求得∠2和∠BEO的关系，从而可以求得∠BDE和∠C的关系；
（2）根据（1）中的结论和全等三角形的判定即可证明结论成立；
（3）根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质可以求得∠BDE的度数．
【解答】（1）证明：∵∠B=∠A，∠AOD=∠BOE，
∴∠2=∠BEO，
∵∠1=∠2，
∴∠BEO=∠1，
∴∠BED=∠AEC，
又∵∠B=∠A，
∴∠BDE=∠C；
（2）证明：由（1）知∠BDE=∠C，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（AAS）；
（3）由（2）知△AEC≌△BED，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠2=40°，∠1=∠2，
∴∠1=40°，
∴∠EDC=∠ECD=70°，
∴∠BDE=180°﹣∠2﹣∠EDC=180°﹣40°﹣70°=70°，
故答案为：70．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
33．如图，点C在线段AE上，BC∥DE，AC=DE，BC=CE；延长AB分别交CD，ED于G，F．
（1）求证：AB=CD；
（2）若∠ACB=65°，∠DCE=75°，求∠FGC的度数．
【分析】（1）根据SAS证明△ABC与△DCE全等，进而证明即可；
（2）利用全等三角形的性质和三角形的内角和以及三角形的外角性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵BC∥DE，
∴∠ACB=∠CED，
在△ABC与△DCE中
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∴AB=CD；
（2）∵△ABC≌△DCE，
∴∠A=∠D，∠ABC=∠DCE=75°，
∵∠ACB=65°，
∴∠A=∠D=180°﹣75°﹣65°=40°，
∴∠FBC=∠A+∠ACB=40°+65°=105°，
∵BC∥DE，
∴∠DFB=∠FBC=105°，
∴∠FGC=∠D+∠DFB=40°+105°=145°．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，找出△ABC与△DCE全等的条件是解题的关键．
34．问题情景 如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．
试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A=50°，则∠ABC+∠ACB=　130　度，∠PBC+∠PCB=　90　度，∠ABP+∠ACP=　40　度；
（2）类比探索：请探究∠ABP+∠ACP与∠A的关系．
（3）类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN的位置；使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．
【分析】（1）已知∠A=50°，根据三角形内角和定理易求∠ABC+∠ACB的度数．已知∠P=90°，根据三角形内角和定理易求∠PBC+∠PCB的度数，进而得到∠ABP+∠ACP的度数；
（2）由（1）中∠ABC+∠ACB的度数，∠PBC+∠PCB的度数，相减即可得到∠ABP+∠ACP与∠A的关系．
（3）由于在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，同理在△PBC中，∠PBC+∠PCB=90°，相减即可得到∠ACP﹣∠ABP=90°﹣∠A．
【解答】解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，
∵∠P=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠ABP+∠ACP=130°﹣90°=40°．
故答案为：130，90，40；
（2）结论：∠ABP+∠ACP=90°﹣∠A．
证明：∵90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A=180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A=90°，
∴∠ABP+∠ACP=90°﹣∠A．
（3）不成立； 存在∠ACP﹣∠ABP=90°﹣∠A．
理由：△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∵∠MPN=90°，
∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴（∠ABC+∠ACB）﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣∠A﹣90°，
即∠ABC+∠ACP+∠PCB﹣∠ABP﹣∠ABC﹣∠PCB=90°﹣∠A，
∴∠ACP﹣∠ABP=90°﹣∠A．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出∠ABC+∠ACB，∠PBC+∠PCB的度数．
35．（1）问题解决：如图1，△ABC中，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，O为BO、CO交点，若∠A=62°，求∠BOC的度数；（写出求解过程）
（2）拓展与探究
①如图1，△ABC中，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是　∠BOC=90°+∠A　；（请直接写出你的结论）
②如图2，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是　∠BOC=90°﹣∠A　；（请直接写出你的结论）
③如图3，BO、CO分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是　∠BOC=∠A　．（请直接写出你的结论）
【分析】（1）先求出∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，根据角平分线的定义得出∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）①先求出∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，根据角平分线的定义得出∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可；
②根据三角形外角性质和三角形内角和定理求出∠DBC+∠ECB=180°+∠A，根据角平分线定义得出∠OBC=∠DBC，∠OCB=∠ECB，求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形的内角和定理求出即可；
③根据三角形的外角性质得出∠ACE=∠A+∠ABC，∠OCE=∠BOC+∠OBC，根据角平分线定义得出∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠A=62°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=118°，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）==59°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣59°=121°；
（2）①∠BOC=90°+∠A，
理由是：∵在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（90°﹣∠A））=90°+，
故答案为：∠BOC=90°+∠A；
②∠BOC=90°﹣∠A，
理由是：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ABC+∠A+∠ACB=180°+∠A，
∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，
∴∠OBC=∠DBC，∠OCB=∠ECB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°+∠A）=90°+∠A，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（90°+∠A））=90°﹣，
故答案为：∠BOC=90°﹣A；
③∠BOC=∠A，
理由是：∵∠ACE=∠A+∠ABC，∠OCE=∠BOC+∠OBC，
∴2∠OCE=2∠BOC+2∠OBC，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，
∴∠A=2∠BOC，
即∠BOC=∠A，
故答案为：∠BOC=∠A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线定义、三角形外角性质等知识点，能灵活运用定理和定义进行推理是解此题的关键，求解过程类似．
36．如图1，线段AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB=∠CED；
（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，EH平分∠DEC交CD于点H，EH的反向延长线交AF于点G．
①求证EG⊥AF；
②求∠F的度数．【提示：三角形内角和等于180度】
【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明；
（2）①想办法证明∠EAG+∠AEG=90°即可解决问题；
②利用∠DFA=∠DFM+∠AFM=∠CDE+∠EAB=（∠CDE+∠EAB）即可解决问题；
【解答】解：（1）∵AB⊥BC，
∴∠EAB+∠AEB=90°，
∵AE⊥ED，
∴∠CED+∠AEB=90°，
∴∠EAB=∠CED．
（2）①∵AF平分∠BAE，
∴∠EAG=∠EAB，
∵EH平分∠BAE，
∴∠HED=∠CED，
∵∠EAB=∠CED，
∴∠HED=∠EAG，
∴∠HED+∠AEG=90°，
∴∠EAG+∠AEG=90°，
∴∠EGA=90°，
∴EG⊥AF．
②作FM∥CD．
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴AB∥CD，
∴FM∥AB，
∴∠DFM=∠CDF=∠CDE，∠AFM=∠FAB=∠EAB，
∵∠CDE+∠CED=90°，
∴∠CDE+∠EAB=90°，
∴∠DFA=∠DFM+∠AFM=∠CDE+∠EAB=（∠CDE+∠EAB）=45°．
【点评】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
37．用两种方法证明“三角形的外角和等于360°．
如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角．
求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．
证法1：∵∠BAE+∠1=180°，∠CBF+∠2=180°，∠ACD+∠3═180°
∴∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=180°×3=540°．
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=　540°﹣（∠1+∠2+∠3）　．
∵　∠1+∠2+∠3=180°　，
∴　∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°　．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
【分析】证法1：根据平角的定义得到∠BAE+∠1+∠CBF+∠2+∠ACD+∠3=540°，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可得到结论；
证法2：要求证∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°，根据三角形外角性质得到∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，则∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3），然后根据三角形内角和定理即可得到结论．
【解答】解：证法1补充如下：
540°﹣（∠1+∠2+∠3）
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°；
证法2：∵∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=∠2+∠3+∠1+∠3+∠1+∠2，
即∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°，
或证法2：过点A作射线AP∥BD，
∵AP∥BD，
∴∠CBF=∠BAP，∠ACD=∠EAP，
∵∠BAE+∠BAP+∠EAP=360°，
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°．
故答案为：540°﹣（∠1+∠2+∠3）；∠1+∠2+∠3=180°；∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°﹣180°=360°；
【点评】本题考查了三角形内角和定理、外角和定理、三角形的外角的性质、邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
38．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE=∠CEF；
【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究廷伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD=∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
【分析】【习题回顾】根据三角形的外角的性质证明；
【变式思考】根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答；
【探究廷伸】同（1）、（2）的方法相同．
【解答】【习题回顾】证明：∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF=∠DAF，
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD∠CEF=∠DAF+∠B，
∴∠CEF=∠CFE；
【变式思考】∠CEF=∠CFE
证明：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF=∠DAF，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADF=∠ACE=90°，又∵∠CAE=∠GAF，
∴∠CEF=∠CFE；
【探究思考】∠M+∠CFE=90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN=90°，又∵∠GAN=∠CAM，
∴∠M+∠CEF=90°，
∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，
∴∠M+∠CFE=90°．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
39．在锐角△ABC中，点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点．
（1）如图1，点E是△ABC外角∠MBC、∠NCB的三等分线的交点，且∠EBC=∠MBC，∠ECB=∠NCB，若∠BAC=60°，则∠BDC=　120　°，∠BEC=　100　°；
（2）如图2，锐角△ABC的外角∠ACG的平分线与BD的延长线交于点F，在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求出∠BAC的度数．
【分析】（1）依据点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，可得∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，根据△BCD中，∠D=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）进行计算即可；依据∠EBC=∠MBC，∠ECB=∠NCB，可得∠EBC+∠ECB=（∠MBC+∠NCB）=80°，依据△BCE中，∠E=180°﹣（∠EBC+∠ECB）进行计算即可；
（2）根据已知条件求得∠FDC=90°﹣∠A，∠F=∠FCG﹣∠FBC=∠A，∠DCF=90°，再根据在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，分数轴情况进行讨论：①当∠FDC=4∠F时；②当∠F=4∠FDC时；③当∠DCF=4∠FDC时；④当∠DCF=4∠F时；分别求得∠BAC的度数为36°或144°或135°或45°．
【解答】解：（1）∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
又∵点D是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∴△BCD中，∠D=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣60°=120°；
∵∠EBC=∠MBC，∠ECB=∠NCB，
∴∠EBC+∠ECB=（∠MBC+∠NCB）=（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）=（360°﹣120°）=80°，
∴△BCE中，∠E=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣80°=100°；
故答案为：120，100；
（2）由（1）可得，∠BDC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A，
∴∠FDC=180°﹣（90°+∠A）=90°﹣∠A，
∵∠FCG是△BCF的外角，∠ACG是△ABC的外角，
∴∠F=∠FCG﹣∠FBC，∠A=∠ACG﹣∠ABC，
又∵BF平分∠ABC，FC平分∠ACG，
∴∠FBC=∠ABC，∠FCG=∠ACG，
∴∠F=∠FCG﹣∠FBC=∠ACG﹣∠ABC=（∠ACG﹣∠ABC）=∠A，
∵DC平分∠ACB，FC平分∠ACG，
∴∠DCF=∠ACD+∠ACF=∠BCG=90°，
在△DCF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则
①当∠FDC=4∠F时，90°﹣∠A=4×∠A，
解得∠A=36°；
②当∠F=4∠FDC时，∠A=4×（90°﹣∠A），
解得∠A=144°；
③当∠DCF=4∠FDC时，90°=4×（90°﹣∠A），
解得∠A=135°；
④当∠DCF=4∠F时，90°=4×∠A，
解得∠A=45°；
综上所述，锐角△ABC中∠BAC的度数为36°或45°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
40．如图①，∠MON=80°，点A、B在∠MON的两条边上运动，∠OAB与∠OBA的平分线交于点C．
（1）点A、B在运动过程中，∠ACB的大小会变吗？如果不会，求出∠ACB的度数；如果会，请说明理由．
（2）如图②，AD是∠MAB的平分线，AD的反向延长线交BC的延长线于点E，点A、B在运动过程中，∠E的大小会变吗？如果不会，求出∠E的度数；如果会，请说明理由．
（3）若∠MON=n，请直接写出∠ACB=　90°+　；∠E=　　．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠CAB+∠CBA的度数，再根据三角形内角和是180°即可求解；
（2）根据AD是∠MAB的平分线，AC平分∠OAB．可知∠CAD=90°，∠CAE=90°，再根据三角形内角和是180°即可求解
（3）仿照（1）（2）中的计算方法即可得到∠ACB=90°+，∠E=．
【解答】解：（1）∠ACB的大小不变．
在△AOB中，由∠AOB=80°，得∠OAB+∠OBA=100°，
因为AC、BC分别平分∠OAB和∠OBA，
所以∠CAB=∠OAB，∠CBA=∠OBA，
所以∠CAB+∠CBA=（∠OAB+∠OBA）=×100°=50°，
所以∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣50°=130°；
（3）∠E的大小不变．
证明：因为AC、AD分别平分∠OAB和∠BAM，
所以∠CAB=∠OAB，∠DAB=∠BAM，
所以∠CAB+∠DAB=（∠OAB+∠BAM）=×180°=90°，
即∠CAD=90°，
所以∠CAE=90°，
又由（1）可知∠ACB=130°，
所以∠ACE=50°，
在△AEC中，由∠CAE=90°，∠ACE=50°，得
∠E=180°﹣90°﹣50°=40°；
（3）∠ACB=90°+，∠E=．
理由：因为AC、BC分别平分∠OAB和∠OBA，
所以∠CAB=∠OAB，∠CBA=∠OBA，
所以∠CAB+∠CBA=（∠OAB+∠OBA），
所以∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣（∠OAB+∠OBA）=180°﹣（180°﹣∠AOB）=90°+∠AOB=90°+；
因为BC、AD分别平分∠OBA和∠BAM，
所以∠ABE=∠OBA，∠DAB=∠BAM，
因为∠BAM是△ABO的外角，
所以∠O=∠BAM﹣∠ABO，
∵∠DAB是△ABE的外角，
∴∠E=∠DAB﹣∠ABE=∠BAM﹣∠OBA=（∠BAM﹣∠ABO）=∠O=n．
故答案为：90°+，．
【点评】本题考查的是三角形的内角和定理及三角形外角的性质的运用，解答此题的关键是熟知以下知识：①三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和；②三角形的内角和是180°．
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日期：2018/12/21 19:30:31；用户：zhrasce20；邮箱：zhrasce20@163.com；学号：6322261