【期末复习】第二章 直线与圆的位置关系选择填空题精选

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期末复习第二章直线与圆的位置关系选择填空题精选
题号 一 二 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
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评卷人 得 分

一．选择题（共20小题）
1．已知⊙O的半径为5cm，点O到同一平面内直线l的距离为6cm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，过点O作OD⊥AC交⊙O于点D，连接CD，若∠A=30°，PC=3，则CD的长为（　　）

A． B． C．3 D．
3．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，AB=24，则小圆的半径是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF=2，AF=3，则△ABC的面积是（　　）

A．6 B．7 C．7 D．12
5．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F．已知∠B=50°，∠C=60°，连结DE、DF，那么∠EDF等于（　　）

A．40° B．55° C．65° D．70°
6．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC=3，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=4CE；④S阴影=．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，⊙O与正方形ABCD是两边AB、AD相切，DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为5，DE=3，则tan∠ODE为（　　）

A． B． C． D．
8．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D．连接BD，∠C=36°，则∠B的度数是（　　）

A．27° B．30° C．36° D．54°
9．如图，菱形ABCD，∠A=60°，AB=4，以点B为圆心的扇形与边CD相切于点E，扇形的圆心角为60°，点E是CD的中点，图中两块阴影部分的面积分别为S1，S2，则S2﹣S1的值为（　　）

A．2﹣π B．+ C．﹣π D．+π
10．如图，半⊙O的半径为2，点P是⊙O直径AB延长线上的一点，PT切⊙O于点T，M是OP的中点，射线TM与半⊙O交于点C．若∠P=20°，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．1+ B．1+
C．2sin20°+ D．
11．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1=60°，下列结论错误的是（　　）

A．MN=
B．若MN与⊙O相切，则AM=
C．l1和l2的距离为2
D．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切
12．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（　　）

A．3 B． C． D．4
13．如图，圆形铁片与直角三角尺，直尺紧靠在一起平放在桌面上，已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的11cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的15cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（　　）

A．圆形铁片的半径是4cm
B．四边形AOBC为正方形
C．弧AB的长度为4πcm
D．铁片阴影部分扇形的面积是4πcm2
14．如图，点A、B的坐标分别为（0，2）、（2，0），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1，若点D为⊙O上的一个动点，线段DB与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．2﹣ D．4﹣
15．如图，已知直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为（2，0），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是（　　）

A．4和8 B．与 C．与 D．6与8
16．如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？（　　）

A．1 B．2 C．2﹣2 D．4﹣2
17．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为2，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（　　）

A．﹣2≤x≤2 B．﹣2＜x＜2 C．0≤x≤2 D．﹣2≤x≤2
18．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
19．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：
①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（　　）

A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①②③④
20．如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．S1＞S2+S3 B．△AOM∽△DMN C．∠MBN=45° D．MN=AM+CN



第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分

二．填空题（共20小题）
21．如图，PA、PB、DE切分别切⊙O于点A、B、C，若∠P=50°，则∠DOE=　 　°．

22．如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最小值是　 　．

23．已知Rt△ABC，∠C=90°，AC、BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两根，则Rt△ABC的外接圆的半径为　 　，内切圆的半径为　 　．
24．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=25°，则∠P的度数为　 　．

25．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是内切圆，E，F，D分别为切点，则tan∠OBD的值为　 　．

26．有一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，上面有一个以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，如图（甲），将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图（乙），这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是　 　cm2．

27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=2，以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F，则的长为　 　．

28．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为　 　．

29．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　 　．

30．有一圆形饰品按图1方式摆放在酒柜上，⊙O与正方形ABCD的边AB相切，矩形EGFD的边EG所在直线与⊙O也相切，要使该饰品摆放更加美观，将⊙O向右平移，平移后⊙O经过点G，此时点B，O，D恰好在同一直线上，相关数据如图2所示（单位：cm），则点O到BC的距离是　 　．

31．如图，已知正方形ABCD的边长是⊙O半径的4倍，圆心O是正方形ABCD的中心，将纸片按图示方式折叠，使EA'恰好与⊙O相切于点A'，则tan∠A'FE的值为　 　．

32．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心的坐标为（﹣2，0），半径为2，点P为直线y=﹣x+6上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是　 　．

33．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE=9，则△ABC的面积为　 　．

34．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于E，F两点，若点E的坐标是（﹣3，﹣1），则点F的坐标是　 　．

35．如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：
①OD2=DE?CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD?OA；⑤∠DOC=90°，
其中正确的是　 　．（只需填上正确结论的序号）

36．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，过点B作⊙O的切线，C是切线上一点，且BC=2，P是线段OA中点，连接PC交⊙O于点D，过点P作PC的垂线，交切线BC于点E，交⊙O于点F，连接DF交AB于点G，则PE的长为　 　．

37．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，顶点为D，点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，则点P的坐标为　 　．

38．一张半径为R的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：2，则折痕长为　 　．

39．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，圆的半径为1，直线l的解析式为y=x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是　 　；若直线l与半圆有交点，则t的取值范围是　 　．

40．如图，等腰△ABC三个顶点在⊙O上，直径AB=12，P为弧BC上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，D是BQ上一点，满足2∠PAB+∠PDA=90°，下列结论：①若∠PAB=30°，则弧BP的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；③若PB=BD，则PD=6；④无论点P在弧BC上的位置如何变化，CP?CQ为定值．正确的是　 　．




参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．已知⊙O的半径为5cm，点O到同一平面内直线l的距离为6cm，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【分析】设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．
【解答】解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，
∵d=6，r=5，
∴d＞r，
∴直线l与圆相离．
故选：C．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，过点O作OD⊥AC交⊙O于点D，连接CD，若∠A=30°，PC=3，则CD的长为（　　）

A． B． C．3 D．
【分析】在Rt△POC中，根据∠P=30°，PC=3，求出OC，进而得出△DCO是等边三角形后解答即可．
【解答】解：连接OC，∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，
∵PC是⊙O切线，
∴∠PCO=90°，∠P=30°，
∵PC=3，
∴OC=PC?tan30°=，
∵OD⊥AC，
∴∠AOD=60°，
∵∠COB=60°，
∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，
∴△DOC是等边三角形，
∴CD=OC=，
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，锐角三角函数等知识，解题的关键是利用切线的性质，在Rt△POC解三角形是突破口，属于中考常考题型．
3．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，若大圆的半径是13，AB=24，则小圆的半径是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】连接过切点的半径，根据切线的性质定理和垂径定理得半弦是12，再根据勾股定理得小圆的半径是5．
【解答】解：如图，连接OA，OB，OC，
∵AB切小⊙O于C，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴BC=AB，
∴BC=×24=12；
在Rt△OCB中，OB=13
∴OC==5．
故选：B．

【点评】本题考查了切线的性质，解答此题的关键是连接OA、OB、OC，构造出直角三角形，利用切线的性质及勾股定理解答．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF=2，AF=3，则△ABC的面积是（　　）

A．6 B．7 C．7 D．12
【分析】利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理得出答案．
【解答】解：连接DO，EO，

∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD=CE，BD=BF=3，AF=AE=4
又∵∠C=90°，
∴四边形OECD是矩形，
又∵EO=DO，
∴矩形OECD是正方形，
设EO=x，
则EC=CD=x，
在Rt△ABC中
BC2+AC2=AB2
故（x+2）2+（x+3）2=52，
解得：x=1，
∴BC=3，AC=4，
∴S△ABC=×3×4=6，
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形内切圆与内心，得出四边形OECF是正方形是解题关键．
5．如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F．已知∠B=50°，∠C=60°，连结DE、DF，那么∠EDF等于（　　）

A．40° B．55° C．65° D．70°
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠A，根据多边形的内角和定理求出∠EOF，根据圆周角定理求出∠EDF即可．
【解答】解：连接OE，OF．

∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=50°，∠C=60°，
∴∠A=70°，
∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
∴∠EOF=360°﹣∠A﹣∠OEA﹣∠OFA=110°，
∴∠EDF=∠EOF=55°．
故选：B．
【点评】本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能求出∠EOF的度数是解此题的关键．
6．如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作⊙O与AD相切于点P．若AB=6，BC=3，则下列结论：①F是CD的中点；②⊙O的半径是2；③AE=4CE；④S阴影=．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①易求得DF长度，即可判定；
②连接OP，易证OP∥CD，根据平行线性质即可判定；
③易证AE=2EF，EF=2EC即可判定；
④连接OG，作OH⊥FG，易证△OFG为等边△，即可求得S阴影即可解题；
【解答】解：①∵AF是AB翻折而来，∴AF=AB=6，
∵AD=BC=3，∴DF==3，
∴F是CD中点；∴①正确；
②连接OP，

∵⊙O与AD相切于点P，∴OP⊥AD，
∵AD⊥DC，∴OP∥CD，
∴=，
设OP=OF=x，则=，解得：x=2，∴②正确；
③∵Rt△ADF中，AF=6，DF=3，
∴∠DAF=30°，∠AFD=60°，
∴∠EAF=∠EAB=30°，
∴AE=2EF；
∵∠AFE=90°，
∴∠EFC=90°﹣∠AFD=30°，
∴EF=2EC，
∴AE=4CE，∴③正确；
④连接OG，作OH⊥FG，

∵∠AFD=60°，OF=OG，∴△OFG为等边△；同理△OPG为等边△；
∴∠POG=∠FOG=60°，OH=OG=，S扇形OPG=S扇形OGF，
∴S阴影=（S矩形OPDH﹣S扇形OPG﹣S△OGH）+（S扇形OGF﹣S△OFG）
=S矩形OPDH﹣S△OFG=2×﹣（×2×）=．∴④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形面积的计算，正三角形的性质，平行线平分线段的性质，勾股定理的运用，本题中熟练运用上述考点是解题的关键．
7．如图，⊙O与正方形ABCD是两边AB、AD相切，DE与⊙O相切于点E，若正方形ABCD的边长为5，DE=3，则tan∠ODE为（　　）

A． B． C． D．
【分析】设⊙O与AB、AD相切于点M、N．连接OM、ON，则四边形AMON是正方形．根据切线长定理，可得DE=DN=3，∠ODE=∠ODN，根据tan∠ODE=tan∠ODN计算即可；
【解答】解：设⊙O与AB、AD相切于点M、N．连接OM、ON，则四边形AMON是正方形．

∵DE、DA是⊙O的切线，
∴DE=DN=3，∠ODE=∠ODN，
∵AD=5，
∴AN=ON=2，
在Rt△OND中，tan∠ODE=tan∠ODN==．
故选：B．
【点评】本题考查切线的性质、切线长定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D．连接BD，∠C=36°，则∠B的度数是（　　）

A．27° B．30° C．36° D．54°
【分析】利用切线的性质求出∠AOC即可解决问题；
【解答】解：∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∵∠C=36°，
∴∠AOC=54°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵∠AOC=∠B+∠ODB，
∴∠B=×54°=27°，
故选：A．
【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．如图，菱形ABCD，∠A=60°，AB=4，以点B为圆心的扇形与边CD相切于点E，扇形的圆心角为60°，点E是CD的中点，图中两块阴影部分的面积分别为S1，S2，则S2﹣S1的值为（　　）

A．2﹣π B．+ C．﹣π D．+π
【分析】如图，连接BE，根据切线的性质得BE⊥CD，再根据菱形的性质可判断△BDC为等边三角形，则CE=2，BE=2，∠DBC=60°，∠CBE=30°，再证明∠MBN=∠PBC得到∠MBN+∠EBP=30°，然后根据扇形面积公式，利用S2﹣S1=S△BEC﹣S扇形EBP﹣S1=S△BEC﹣S扇形EBP﹣S1进行计算．
【解答】解：如图，连接BE，
∵以点B为圆心的扇形与边CD相切于点E，
∴BE⊥CD，
∵菱形ABCD，∠A=60°，
∴△BDC为等边三角形，
∴CE=2，BE=2，∠DBC=60°，∠CBE=30°，
∵∠MBP=60°，
∴∠MBN=∠PBC，
∴∠MBN+∠EBP=30°，
∴S2﹣S1=S△BEC﹣S扇形EBP﹣S1=S△BEC﹣S扇形EBP﹣S1=×2×2﹣=2﹣π．
故选：A．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形的性质和扇形面积的计算．
10．如图，半⊙O的半径为2，点P是⊙O直径AB延长线上的一点，PT切⊙O于点T，M是OP的中点，射线TM与半⊙O交于点C．若∠P=20°，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．1+ B．1+
C．2sin20°+ D．
【分析】连接OT、OC，可求得∠COM=30°，作CH⊥AP，垂足为H，则CH=1，于是，S阴影=S△AOC+S扇形OCB，代入可得结论．
【解答】解：连接OT、OC，
∵PT切⊙O于点T，
∴∠OTP=90°，
∵∠P=20°，
∴∠POT=70°，
∵M是OP的中点，
∴TM=OM=PM，
∴∠MTO=∠POT=70°，
∵OT=OC，
∴∠MTO=∠OCT=70°，
∴∠OCT=180°﹣2×70°=40°，
∴∠COM=30°，
作CH⊥AP，垂足为H，则CH=OC=1，
S阴影=S△AOC+S扇形OCB=+=1+，
故选：A．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的判定与性质和含30度的直角三角形三边的关系．
11．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1=60°，下列结论错误的是（　　）

A．MN=
B．若MN与⊙O相切，则AM=
C．l1和l2的距离为2
D．若∠MON=90°，则MN与⊙O相切
【分析】连结OA、OB，根据切线的性质和l1∥l2得到AB为⊙O的直径，则l1和l2的距离为2；当MN与⊙O相切，连结OM，ON，当MN在AB左侧时，根据切线长定理得∠AMO=∠AMN=30°，在Rt△AMO中，利用正切的定义可计算出AM=，在Rt△OBN中，由于∠ONB=∠BNM=60°，可计算出BN=，当MN在AB右侧时，AM=，所以AM的长为或；当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，易证得Rt△OAF≌Rt△OBN，则OF=ON，于是可判断MO垂直平分NF，所以OM平分∠NMF，根据角平分线的性质得OE=OA，然后根据切线的判定定理得到MN为⊙O的切线．
【解答】解：连结OA、OB，如图1，
∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，
∴OA⊥l1，OB⊥l2，
∵l1∥l2，
∴点A、O、B共线，
∴AB为⊙O的直径，
∴l1和l2的距离为2；故C正确，
作NH⊥AM于H，如图1，
则MH=AB=2，
∵∠AMN=60°，
∴sin60°=，
∴MN==；故A正确，
当MN与⊙O相切，如图2，连结OM，ON，
当MN在AB左侧时，∠AMO=∠AMN=×60°=30°，
在Rt△AMO中，tan∠AMO=，即AM==，
在Rt△OBN中，∠ONB=∠BNM=60°，tan∠ONB=，即BN==，
当MN在AB右侧时，AM=，
∴AM的长为 或；故B错误，
当∠MON=90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，如图2，
∵OA=OB，
∴Rt△OAF≌Rt△OBN，
∴OF=ON，
∴MO垂直平分NF，
∴OM平分∠NMF，
∴OE=OA，
∴MN为⊙O的切线．故D正确．
故选：B．


【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．
12．如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C 的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（　　）

A．3 B． C． D．4
【分析】当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．设EF=x，由切割线定理表示出DE，可证明△CDE∽△AOE，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得△ABE面积．
【解答】解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
连接AC，
∵∠AOC=∠ADC=90°，AC=AC，OC=CD，
∴Rt△AOC≌Rt△ADC，
∴AD=AO=2，
连接CD，设EF=x，
∴DE2=EF?OE，
∵CF=1，
∴DE=，
∴△CDE∽△AOE，
∴=，
即=，
解得x=，
S△ABE===．
故选：B．

【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
13．如图，圆形铁片与直角三角尺，直尺紧靠在一起平放在桌面上，已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的11cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的15cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（　　）

A．圆形铁片的半径是4cm
B．四边形AOBC为正方形
C．弧AB的长度为4πcm
D．铁片阴影部分扇形的面积是4πcm2
【分析】由BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点，得到OA⊥CA，OB⊥BC，又∠C=90°，OA=OB，推出四边形AOBC是正方形，得到OA=AC=4，故A，B正确；根据扇形的弧长、面积的计算公式求出结果即可判断C、D的正误．
【解答】解：由题意得：BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点，
∴OA⊥CA，OB⊥BC，
又∵∠C=90°，OA=OB，
∴四边形AOBC是正方形，
∴OA=AC=15﹣11=4，故A，B说法正确；
∵四边形AOBC是正方形，
∴∠AOB=90°，
∴==2πcm，故C说法错误；
S扇形OAB=S圆=4πcm2，故D说法正确．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，扇形的弧长、面积的计算，熟记计算公式是解题的关键．
14．如图，点A、B的坐标分别为（0，2）、（2，0），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1，若点D为⊙O上的一个动点，线段DB与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．2﹣ D．4﹣
【分析】由于OA的长为定值，若△ABE的面积最小，则BE的长最短，此时AD与⊙O相切；可连接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的长，由△AEO∽△ACD，求出OE的长即可解决问题；
【解答】解：若△ABE的面积最小，则AD与⊙C相切，连接CD，则CD⊥AD；
Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；
由勾股定理，得：AD=2；
∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC，
∴△AOE∽△ADC，
∴=，
∴=，
OE=，
∴BE=2﹣，
∴△ABE的面积的最小值=?BE?AO=2﹣，
故选：C．

【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出△BE面积最小时AD与⊙C的位置关系是解答此题的关键．
15．如图，已知直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为（2，0），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是（　　）

A．4和8 B．与 C．与 D．6与8
【分析】求出OA、OB值，根据已知得出求出BE的最大值和最小值即可，过A作⊙C的两条切线，连接OD′，OD，求出AC，根据切线性质设E′O=E′D′=x，根据sin∠CAD′=，代入求出x，即可求出BE的最大值和最小值，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：y=x+4，
∵当x=0时，y=4，当y=0时，x=﹣4，
∴OA=4，OB=4，
∵△ABE的边BE上的高是OA，
∴△ABE的边BE上的高是4，
∴要使△ABE的面积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，
过A作⊙C的两条切线，如图，
当在D点时，BE最小，即△ABE面积最小；
当在D′点时，BE最大，即△ABE面积最大；
∵x轴⊥y轴，OC为半径，
∴EE′是⊙C切线，
∵AD′是⊙C切线，
∴OE′=E′D′，
设E′O=E′D′=x，
∵AC=4+2=6，CD′=2，AD′是切线，
∴∠AD′C=90°，由勾股定理得：AD′=4，
∴sin∠CAD′==，
∴=，
解得：x=，
∴BE′=4+，BE=4﹣，
∴△ABE的最小值是×（4﹣）×4=8﹣2，
最大值是：×（4+）×4=8+2，
故选：B．

【点评】本题考查了切线的性质和判定，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识点，解此题的关键是找出符合条件的D的位置，题目比较好，有一定的难度．
16．如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？（　　）

A．1 B．2 C．2﹣2 D．4﹣2
【分析】先判断出PQ⊥CF，再求出AC=2，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG，然后计算出PQ即可．
【解答】解：如图，

连接PF，QF，PC，QC，
∵P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心，
∴PF是∠AFC的角平分线，FQ是∠CFE的角平分线，
∴∠PFC=∠AFC=30°，∠QFC=∠CFE=30°，
∴∠PFC=∠QFC=30°，
同理，∠PCF=∠QCF
∴PQ⊥CF，
∴△PQF是等边三角形，
∴PQ=2PG；
易得△ACF≌△ECF，且内角是30°，60°，90°的三角形，
∴AC=2，AF=2，CF=2AF=4，
∴S△ACF=AF×AC=×2×2=2，
过点P作PM⊥AF，PN⊥AC，PQ交CF于G，
∵点P是△ACF的内心，
∴PM=PN=PG，
∴S△ACF=S△PAF+S△PAC+S△PCF
=AF×PM+AC×PN+CF×PG
=×2×PG+×2×PG+×4×PG
=（1++2）PG
=（3+）PG
=2，
∴PG==﹣1
∴PQ=2PG
=2（﹣1）
=2﹣2．
故选：C．
【点评】此题是三角形的内切圆与内心，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心的意义．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为2，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（　　）

A．﹣2≤x≤2 B．﹣2＜x＜2 C．0≤x≤2 D．﹣2≤x≤2
【分析】将动直线AB向上或向下平移，因为直线AB与⊙O有公共点，可以有一个或两个，即直线与⊙O相交或相切；分别计算相切时所对应的x的值，写出x的取值范围即可．
【解答】解：如图所示，当AB与⊙O相切时，有一个公共点，设这个公共点为G，连接OG，则OG⊥CD，
这时OG=2，∠OCD=45°，
sin45°=，
OC==2，
即x=2，
如果直线AB在第二象限与圆相切，这时同理可求得x=﹣2，
∴x的取值范围是﹣2≤x≤2，
故选：D．

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，明确直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交；当直线AB与x轴正方向夹角为45°时，可以理解为所构成的三角形的关系，也可以理解为直线AB与直线y=x平行．
18．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】根据直线的解析式求得OB=4，进而求得OA=12，根据切线的性质求得PM⊥AB，根据∠OAB=30°，求得PM=PA，然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数．
【解答】解：∵直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，
∴B（0，4），
∴OB=4，
在RT△AOB中，∠OAB=30°，
∴OA=OB=×=12，
∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，
∴PM=PA，
设P（x，0），
∴PA=12﹣x，
∴⊙P的半径PM=PA=6﹣x，
∵x为整数，PM为整数，
∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，
∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．
故选：A．

【点评】本题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
19．已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：
①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于BG．则其中正确的是（　　）

A．①②④ B．③④ C．①②③ D．①②③④
【分析】连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，求出∠ABC=∠ABD，求出弧AC=弧AD，根据垂径定理求出即可；求出∠P+∠PCD=90°和∠P=∠DCO即可求出PC是圆的切线；采用反证法求出∠B=30°，但已知没有给出此条件，即可判断③；求出CF=AG，推出CQ=OZ，证△OCQ≌△BOZ，推出OQ=BZ，即可判断④．
【解答】解：连接BD、OC、AG，过O作OQ⊥CF于Q，OZ⊥BG于Z，
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，
∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=2∠OBD，
∵∠AOD=2∠ABC，
∴∠ABC=∠ABD，
∴弧AC=弧AD，
∵AB是直径，
∴CD⊥AB，
∴①正确；
∵CD⊥AB，
∴∠P+∠PCD=90°，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC=∠P，
∴∠PCD+∠OCD=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是切线，∴②正确；
假设OD∥GF，则∠AOD=∠FEB=2∠ABC，
∴3∠ABC=90°，
∴∠ABC=30°，
已知没有给出∠B=30°，∴③错误；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵EF⊥BC，
∴AC∥EF，
∴弧CF=弧AG，
∴AG=CF，
∵OQ⊥CF，OZ⊥BG，
∴CQ=AG，OZ=AG，BZ=BG，
∴OZ=CQ，
∵OC=OB，∠OQC=∠OZB=90°，
∴△OCQ≌△BOZ，
∴OQ=BZ=BG，
∴④正确．
故选：A．

【点评】本题考查了切线的判定、全等三角形的性质和判定、圆周角定理、垂径定理等知识点的运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，但有一定的难度．
20．如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立的是（　　）

A．S1＞S2+S3 B．△AOM∽△DMN C．∠MBN=45° D．MN=AM+CN
【分析】（1）如图作MP∥AO交ON于点P，当AM=MD时，求得S1=S2+S3，
（2）利用MN是⊙O的切线，四边形ABCD为正方形，求得△AOM∽△DMN．
（3）作BP⊥MN于点P，利用Rt△MAB≌Rt△MPB和Rt△BPN≌Rt△BCN来证明C，D成立．
【解答】解：（1）如图，作MP∥AO交ON于点P，

∵点O是线段AE上的一个动点，当AM=MD时，
S梯形ONDA=（OA+DN）?AD
S△MNO=S△MOP+S△MPN=MP?AM+MP?MD=MP?AD，
∵（OA+DN）=MP，
∴S△MNO=S梯形ONDA，
∴S1=S2+S3，
∴不一定有S1＞S2+S3，
（2）∵MN是⊙O的切线，
∴OM⊥MN，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°，
∴∠AOM=∠DMN，
在△AMO和△DMN中，
，
∴△AOM∽△DMN．
故B成立；
（3）如图，作BP⊥MN于点P，

∵MN，BC是⊙O的切线，
∴∠PMB=∠MOB，∠CBM=∠MOB，
∵AD∥BC，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠AMB=∠PMB，
在Rt△MAB和Rt△MPB中，

∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）
∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC，
在Rt△BPN和Rt△BCN中，

∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）
∴PN=CN，∠PBN=∠CBN，
∴∠MBN=∠MBP+∠PBN，
MN=MP+PN=AM+CN．
故C，D成立，
综上所述，A不一定成立，
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质，关键是作出辅助线利用三角形全等证明．
二．填空题（共20小题）
21．如图，PA、PB、DE切分别切⊙O于点A、B、C，若∠P=50°，则∠DOE=　65　°．

【分析】连接OA、OC、0B，利用切线长定理即可得到∠O=∠AOB，根据四边形的内角和可得∠AOB+∠P=180°，进而求出∠O的度数．
【解答】解：连接OA、OC、0B，
∵OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，
∴∠DAO=∠EBO=90°，
∴∠P+∠AOB=180°，
∴∠AOB=180°﹣50°=130°
∵∠AOD=∠DOC，∠COE=∠BOE，
∴∠DOE=∠AOB=×130°=65°．
故答案为65．
【点评】此题主要考查切线的性质及切线长定理，根据切线长定理求得∠DOE=∠AOB是解题的关键，注意整体思想的应用．
22．如图，已知直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、PB．则△PAB面积的最小值是　5　．

【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，可得CM=4，可知圆C上点到直线y=x﹣3的最小距离是4﹣2=2，由此即可解决问题．
【解答】解：过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，

由题意：A（4，0），B（0，﹣3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，
则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，
∴5×CM=20，
∴CM=4，
∴圆C上点到直线y=x﹣3的最小距离是4﹣2=2，
∴△PAB面积的最小值是 ×5×2=5，
故答案为5．
【点评】本题考查一次函数的应用、三角形的面积，相似三角形的判定和性质、点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离以及最小结论，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．已知Rt△ABC，∠C=90°，AC、BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两根，则Rt△ABC的外接圆的半径为　5　，内切圆的半径为　2　．
【分析】先解一元二次方程可得AC和BC的长，根据勾股定理计算AB的长，进而解答即可．
【解答】解：∵AC、BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两根，
可得：x2﹣14x+48=0，
（x﹣6）（x﹣8）=0，
x=6或8，
∵AC＜BC，
∴AC=6，BC=8，
∵∠ACB=90°，
∴AB=10，
∴Rt△ABC的外接圆的半径为5，内切圆的半径为，
故答案为：5；2．
【点评】此题考查三角形的内切圆，关键是先解一元二次方程可得AC和BC的长．
24．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=25°，则∠P的度数为　40°　．

【分析】根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质定理得到∠PAO=90°，计算即可．
【解答】解：由圆周角定理得，∠AOP=2∠ABC=50°，
∵PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，
∴∠PAO=90°，
∴∠P=90°﹣∠AOP=40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
25．如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4，⊙O是内切圆，E，F，D分别为切点，则tan∠OBD的值为　　．

【分析】由已知可得AB=5，⊙O是内切圆，有切线长定理得到BF=BD，AF=AE，CE=CD，由周长可求得BD，CD，再证明四边形OECD为矩形，得到OD，再由正切定义求tan∠OBD．
【解答】解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4
∴AB=5
∵⊙O是内切圆
∴由切线长定理设BF=BD=x，AF=AE=y，CE=CD=z
∴△ABC周长可以表示为3+4+5=2x+2y+2z
∴x+y+z=6
∴BD=6﹣（y+z）=6﹣（AE+EC）=2
DC=6﹣（AF+FB）=6﹣5=1
∵CA、CB与⊙O相切
∴∠ODC=∠OEC=90°
∵∠C=90°
∴四边形OECD为矩形
∵CD=DE
∴四边形OECD为正方形
∴OD=DC=1
Rt△BOD中
tan∠OBD=
故答案为：
【点评】本题为几何综合题，考查了圆的切线的性质和锐角三角函数定义和正方形证明．
26．有一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，上面有一个以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，如图（甲），将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图（乙），这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是　　cm2．

【分析】如图，露在外面部分的面积可用扇形ODK与△ODK的面积差来求得．在Rt△A′DC中，可根据AD即圆的直径和CD即圆的半径长，求出∠DA′C的度数，进而得出∠ODA′和∠ODK的度数，即可求得△ODK和扇形ODK的面积，由此可求得阴影部分的面积．
【解答】解：设A'D与半圆交于点K，半圆的圆心为O，连接OK，
∵以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，

∴AD=2CD，
∵∠C=90°，
由折叠得：AD=A'D=2CD，
∴∠DA′C=30°，
∴∠A′DC=60°，
∴∠DOK=120°，
∴扇形ODK的面积为 =πcm2，
作OH⊥DK于H，
∵∠ODK=∠OKD=30°，OD=4cm，
∴OH=2cm，DH=2cm；
∴△ODK的面积为： DK?OH==4cm2
∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（ ）cm2．
故答案为：（ ）．
【点评】此题考查了折叠问题，解题时要注意找到对应的等量关系；还考查了圆的切线的性质，直角三角形的性质和扇形面积及三角形面积公式，熟练掌握弓形面积的求法是关键．
27．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=2，以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F，则的长为　　．

【分析】连接AE，根据圆的切线的性质可得AE⊥BC，解Rt△AEB可求出∠ABE，进而得到∠DAB，然后运用弧长公式就可求出的长度．
【解答】解：连接AE，如图，
∵AD为半径的圆与BC相切于点E，
∴AE⊥BC，AE=AD=2．
在Rt△AEB中，
sin∠ABE===，
∴∠ABE=45°．
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABE=180°，
∴∠DAB=135°，
∴的长度为=；
故答案为：．

【点评】本题考查了切线的性质、平行线的性质和等腰直角三角形的判定、特殊三角函数值，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径和同圆的半径相等是关键．
28．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为　或　．

【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，
【解答】解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．

设PQ=PA′=r，
∵PQ∥CA′，
∴=，
∴=，
∴r=．

如图2中，当⊙P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，

∵△A′BT∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴A′T=，
∴r=A′T=．
综上所述，⊙P的半径为或．
【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
29．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　3或4　．

【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；
【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=x．

在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，
∴x2=42+（8﹣x）2，
∴x=5，
∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．
如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．

∴PM=PK=CD=2BM，
∴BM=4，PM=8，
在Rt△PBM中，PB==4．
综上所述，BP的长为3或4．
【点评】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
30．有一圆形饰品按图1方式摆放在酒柜上，⊙O与正方形ABCD的边AB相切，矩形EGFD的边EG所在直线与⊙O也相切，要使该饰品摆放更加美观，将⊙O向右平移，平移后⊙O经过点G，此时点B，O，D恰好在同一直线上，相关数据如图2所示（单位：cm），则点O到BC的距离是　21cm　．

【分析】如图1，延长EG交BC于F，作OM⊥AB于M，交EK于N，利用切线的性质得到MN为⊙O的直径，MN=AE=30，如图2，作OH⊥CD于H，交EK于P，设GP=x，利用点O在正方形ABCD的对角线上得到OH=DH=17+x，则OP=x﹣3，利用勾股定理得到（x﹣3）2+x2=152，解得x1=12，x2=﹣9（舍去），从而得到OH=29，然后根据正方形的性质计算OB的长．
【解答】解：如图1，延长EG交BC于F，作OM⊥AB于M，交EK于N，
∵AB∥EK，
∴ON⊥EK，
∵⊙O与正方形ABCD的边AB相切，矩形EGFD的边EG所在直线与⊙O也相切，
∴MN为⊙O的直径，MN=AE=30，
如图2，作OH⊥CD于H，交EK于P，设GP=x，
PH=DE=20，DF=50﹣33=17，
∵点B，O，D恰好在同一直线上，
即点O在正方形ABCD的对角线上，
∴OH=DH=17+x，
∴OP=17+x﹣20=x﹣3，
在Rt△OGP中，（x﹣3）2+x2=152，解得x1=12，x2=﹣9（舍去），
∴OH=29，
∴OD=29，
而BD=50，
∴OB=21（cm）．
故答案为21cm．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．也考查了正方形的性质．
31．如图，已知正方形ABCD的边长是⊙O半径的4倍，圆心O是正方形ABCD的中心，将纸片按图示方式折叠，使EA'恰好与⊙O相切于点A'，则tan∠A'FE的值为　　．

【分析】在Rt△FMO中利用勾股定理得出AF与r的关系，设r=6a，则x=7a，AM=MO=12a，FM=5a，AF=FA'=7a，利用A'N∥OM得到求出AN，NA'，再证明∠1=∠2即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AA'，EO，作OM⊥AB，A'N⊥AB，垂足分别为M、N．
设⊙O的半径为r，则AM=MO=2r，设AF=FA'=x，
在Rt△FMO中，∵FO2=FM2+MO2，
∴（r+x）2=（2r﹣x）2+（2r）2，
∴7r=6x，
设r=6a则x=7a，AM=MO=12a，FM=5a，AF=FA1=7a，
∵A'N∥OM，
∴，
∴，
∴A'N=a，FN=a，AN=a，
∵∠1+∠4=90°，∠4+∠3=90°，∠2=∠3，
∴∠1=∠3=∠2，
∴tan∠2=tan∠1=．
∴tan∠A'FE=
故答案为．
【点评】本题考查正方形的性质、圆的有关知识、勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，用设未知数列方程的数学思想是解决问题的关键．
32．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心的坐标为（﹣2，0），半径为2，点P为直线y=﹣x+6上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是　4　．

【分析】连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP⊥直线y=﹣x+6时，PQ最小，根据全等三角形的性质得到AP=6，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，作AP⊥直线y=﹣x+6，垂足为P，作⊙A的切线PQ，切点为Q，此时切线长PQ最小，
∵A的坐标为（﹣2，0），
设直线与x轴，y轴分别交于B，C，
∴B（0，6），C（8，0），
∴OB=6，AC=，10，
∴BC==10，
∴AC=BC，
在△APC与△BOC中，
，
∴△APC≌△BOC，
∴AP=OB=6，
∴PQ==4．
故答案为4

【点评】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
33．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE=9，则△ABC的面积为　81　．

【分析】根据切线的性质得到AD=AM，CM=CN=r，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据勾股定理得到AB2=AC2+BC2，于是得到AD?DB=AC?BC，由射影定理得AD?DB=DE2=81，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：设⊙I切AC与M，切BC于N，半径为r，
则AD=AM，CM=CN=r，BD=BN，r=（AC+BC﹣AB），
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∴AD?DB=AM?BN=（AC﹣r）（BC﹣r）=[AC﹣（AC+BC﹣AB）][BC﹣（AC+BC﹣AB）]
=（AC﹣BC+AB）（AB+BC﹣AC）=（AB2﹣AC2﹣BC2+2AC?BC）=AC?BC，
由射影定理得AD?DB=DE2=81，
∴S△ABC=AC?BC=81，
故答案为：81．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，射影定理，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
34．如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于E，F两点，若点E的坐标是（﹣3，﹣1），则点F的坐标是　（﹣3，﹣9）　．

【分析】过点P作AP⊥EF交EF于点A，连接PE，设OP=x，由点E的坐标易求AP=OB=3，AE=AB﹣BE=x﹣1，在Rt△ABE中，由勾股定理可得32+（x﹣1）2=x2，解得x的值，即可求出BF的长，进而可求出点F的坐标．
【解答】解：过点P作AP⊥EF交EF于点A，连接PE，设OP=x，
∵⊙P与x轴相切于原点O，
∴OP⊥OE，
∵平行于y轴的直线交⊙P于E，F两点，
∴四边形APOB是矩形，
∴AB=OP=x，
∵点E的坐标是（﹣3，﹣1），
∴AP=OB=3，AE=AB﹣BE=x﹣1，
在Rt△ABE中，32+（x﹣1）2=x2，
解得x=5，
∴AE=4，
∵AF=AE，
∴EF=8，
∴BF=EF+BE=9，
∴点F的坐标是（﹣3，﹣9）．
故答案为（﹣3，﹣9）．

【点评】本题综合考查了圆形的性质和坐标的确定以及勾股定理的运用和矩形的判定及其性质，是综合性较强，难度中等的综合题，解题的关键是根据勾股定理求出⊙P的半径，从而得到F的坐标．
35．如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：
①OD2=DE?CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD?OA；⑤∠DOC=90°，
其中正确的是　①②⑤　．（只需填上正确结论的序号）

【分析】连接OE，利用切线长定理得到AD=ED，CE=CB，且OD、OC分别为角平分线，利用平角的定义及等式性质得到∠COD为直角，进而确定出三角形ODE与三角形COD相似，由相似得比例列出关系式，根据CD=DE+EC，等量代换得到AD+BC=CD，即可得到正确的选项．
【解答】解：连接OE，
∵DA、DE为圆O的切线，
∴AD=ED，∠AOD=∠EOD，
∵CE、CB为圆O的切线，
∴CE=CB，∠EOC=∠BOC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；
∵∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠BOC=180°，
∴∠DOE+∠EOC=90°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；
∵OE⊥CD，
∴∠OED=∠COD=90°，
∵∠EDO=∠ODC，
∴△DOE∽△CDE，
∴OD2=DE?CD，选项①正确；
故答案为：①②⑤．

【点评】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
36．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，过点B作⊙O的切线，C是切线上一点，且BC=2，P是线段OA中点，连接PC交⊙O于点D，过点P作PC的垂线，交切线BC于点E，交⊙O于点F，连接DF交AB于点G，则PE的长为　　．

【分析】由AB是⊙O的直径，AB=4，BC=2，P是线段OA中点，CE是⊙O的切线，可求得BP与PC的长，易证得△PBC∽△EBP，然后由相似三角形的对应边成比例，求得PE的长．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AB=4，
∴OA=OB=AB=2，
∵P是线段OA中点，
∴OP=OA=1，
∴BP=OB+OP=3，
∵CE是⊙O的切线，
∴AB⊥CE，
∵BC=2，
在Rt△BCP中，BP==，
∵CP⊥EP，
∴∠BCP+∠BPE=90°，
∵∠E+∠BPE=90°，
∴∠BCP=∠E，
∵∠PBC=∠EBP=90°，
∴△PBC∽△EBP，
∴BC：BP=PC：PE，
∴PE==．
故答案为：．
【点评】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
37．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，顶点为D，点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，则点P的坐标为　（1，2﹣4）或（1，﹣4﹣2）　．

【分析】根据已知条件得到抛物线的解析式，设抛物线的对称轴与x轴的交点为Q；假设存在符合条件的P点，且⊙P与直线DM的切点为E，连接PE；若⊙P同时经过A、B两点，根据圆和抛物线的对称性知圆心P必在抛物线的对称轴上；可设出⊙P的半径，易证得△DMQ是等腰直角三角形，则∠EDQ=45°，可据此表示出PD的长；在Rt△APQ中，根据勾股定理可表示出PQ的长，由于PQ+PD=DQ，可根据这个等量关系列出关于⊙P半径的方程，进而可求出P点的坐标．
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；
∴顶点D（1，4），对称轴为直线x=1；
∴直线CD的解析式为y=x+3，
∴直线CD与x轴的交点为M（﹣3，0）
设抛物线的对称轴x=1与x轴的交点为Q，⊙P与直线CD的切点为E，连接PE、PA；
设PE=PA=m；
∵在Rt△DMQ中，DQ=MQ=4，
∴△MDQ是等腰直角三角形，∠DMQ=45°；
在Rt△PDE中，PE=m，∠EDP=∠MDQ=45°，则PD=m；
在Rt△PAQ中，PA=m，AQ=AB=2，则PQ=；
由于DQ=DP+PQ=4，或DQ=PD﹣PQ，即：m+=4，m﹣=4
解得m=4﹣2；m=4+2
∴m=8﹣2，或m=8+2，4﹣m=2﹣4或4﹣m=﹣4﹣2；
即P（1，2﹣4）或（1，﹣4﹣2）．
【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、抛物线和圆的对称性、直线与圆的位置关系以及解直角三角形的应用等知识，能力要求较高，难度较大．
38．一张半径为R的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：2，则折痕长为　R　．

【分析】如图，作O点关于AB的对称点O′，则点O′为弧ADB所在圆的圆心，连结O′D，则O′D⊥EF，O′D=R，先利用ED：DF=3：2计算出DF=?2R=R，则OD=R，再在Rt△O′OD中利用勾股定理计算出O′=R，则OC=O′O=R，然后在Rt△AOC中根据勾股定理可计算出AC=R，再利用垂径定理可得AB=2AC=R．
【解答】解：如图，作O点关于AB的对称点O′，则点O′为弧ADB所在圆的圆心，
连结O′D，则O′D⊥EF，O′D=R，
∵ED：DF=3：2，
∴DF=?2R=R，
∴OD=R，
在Rt△O′OD中，OO′==R，
∴OC=O′O=R，
在Rt△AOC，AC==R，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∴AB=2AC=R．
即折痕长为R．
故答案为R．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理．
39．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，圆的半径为1，直线l的解析式为y=x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是　t=或﹣1≤t＜1　；若直线l与半圆有交点，则t的取值范围是　﹣1≤t≤　．

【分析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．
直线过点B．
当直线和半圆相切于点C时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的锐角是45°，从而求得DOC=45°，即可求出点C的坐标，进一步求得t的值；当直线过点B时，直接根据待定系数法求得t的值．
若直线L与半圆有交点，则直线从和半圆相切于点C开始到直线过点B结束（包括上述两种情况）．
【解答】
解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．
直线y=x+t与x轴所形成的锐角是45°．
当直线和半圆相切于点C时，则OC垂直于直线，∠COD=45°．
又OC=1，则CD=OD=，即点C（﹣，）．
把点C的坐标代入直线解析式，得
t=y﹣x=；
当直线过点B时，把点A（﹣1，0）代入直线解析式，得t=y﹣x=1．
当直线过点B时，把点B（1，0）代入直线解析式，得t=y﹣x=﹣1．
即t=或﹣1≤t＜1时，直线和圆只有一个公共点；
若直线和圆有公共点，则﹣1≤t≤．
【点评】此题综合考查了直线和圆的位置关系，及用待定系数法求解直线的解析式等方法．
40．如图，等腰△ABC三个顶点在⊙O上，直径AB=12，P为弧BC上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，D是BQ上一点，满足2∠PAB+∠PDA=90°，下列结论：①若∠PAB=30°，则弧BP的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；③若PB=BD，则PD=6；④无论点P在弧BC上的位置如何变化，CP?CQ为定值．正确的是　②③④　．

【分析】①根据∠POB=60°，OB=6，即可求得弧的长；②根据切线的性质以及垂径定理，即可得到=，据此可得AP平分∠CAB；③根据BP=BO=PO=6，可得△BOP是等边三角形，据此即可得出PD=6；④判定△ACP∽△QCA，即可得到=，即CP?CQ=CA2，据此可得CP?CQ为定值．
【解答】解：如图，连接OP，
∵AO=OP，∠PAB=30°，
∴∠POB=60°，
∵AB=12，
∴OB=6，
∴的长为=2π，故①错误；
∵∠PAB+∠PDA=90°，
又∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA，
∴∠POD=2∠PAD，
∴∠POD+∠PDA=90°，
∴∠OPD=90°，
∴OP⊥PD，
∴PD是⊙O的切线，
∴OP⊥PD，
∵PD∥BC，
∴OP⊥BC，
∴=，
∴∠PAC=∠PAB，
∴AP平分∠CAB，故②正确；
若PB=BD，则∠BPD=∠BDP，
∵OP⊥PD，
∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，
∴∠BOP=∠BPO，
∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等边三角形，
∴PD=OP=6，故③正确；
∵AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
又∵∠ABC=∠APC，
∴∠APC=∠BAC，
又∵∠ACP=∠QCA，
∴△ACP∽△QCA，
∴=，即CP?CQ=CA2（定值），故④正确；
故答案为：②③④．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，切线的性质以及弧长公式的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形，解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
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日期：2018/12/21 18:46:41；用户：zhrasce20；邮箱：zhrasce20@163.com；学号：6322261



















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