浙江省丽江市青田二中2018 年秋九上数学期末复习汇编学案（A本,无答案）
文档属性
| 名称 | 浙江省丽江市青田二中2018 年秋九上数学期末复习汇编学案（A本,无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-12-31 18:21:40 | ||
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文档简介
2018 年秋九上数学
青
田
二
中
数
学
期
末
复
习
汇
编
（A）
班级：___________ 姓名：______________
【基础篇】
第一章 二次函数
【知识结构】
1. 形如 y= （其中 a,b,c 是常数，a 0）的函数叫做二次函数，自变
量的取值范围是 .
2. 函数 y=a（x-m）2 +k（a≠0）的图象可由函数 y=ax2 的图象先向 （当 m>0）或向 （当
m<0）平移 个单位，再向 （当 k>0）或向 （当 k<0）平移 个单位得
到，顶点是 ，对称轴是 .
3. 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条 ，它的对称轴是直线 ，
顶点坐标是 ，当 a>0 时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线上的 ；
当 a<0 时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线上的 .
【例题解析】
例 1 已知 12)2( ???? xxmy m 是 y 关于 x 的二次函数，则 m 的值为 .
练习
已知函数
222 2)( ???? mmxmmy
(1)当此函数是二次函数时，m= ，此时的函数表达式为 .
(2)当此函数是一次函数时，m= ，此时的函数表达式为 .
例 2.如图，已知二次函数 y=x2+bx+c过点 A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点 P使△ABP的面积为 10，请直接写出点 P的坐标．
练习
1.已知抛物线 y=ax2+bx+c与 x轴交于点 A（1，0），B（3，0），且过点 C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点
落在直线 y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．
2.如图，抛物线与 x轴交于 A、B两点，与 y轴交 C点，点 A的坐标为（2，0），点 C的坐
标为（0，3）它的对称轴是直线 x=
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段 AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求 M
点的坐标．
例 3（2018?滨州）如图，若二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为 x=1，与 y轴交于
点 C，与 x轴交于点 A、点 B（﹣1，0），则 ①二次函数的最大值为 a+b+c；②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；④当 y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
练习
1.（2018?枣庄）如图是二次函数 y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点
A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线 x=1，下列结论正确的是
（ ）
A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0
2.（2018?恩施州）抛物线 y=ax2+bx+c的对称轴为直线 x=﹣1，部分图象如图所示，下列判
断中：
①abc＞0； ②b2﹣4ac＞0； ③9a﹣3b+c=0；
④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则 y1＞y2；
⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例 4 （2018?福建）如图，在足够大的空地上有一段长为 a米的旧墙 MN，某人利用旧墙和
木栏围成一个矩形菜园 ABCD，其中 AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了
100米木栏．
（1）若 a=20，所围成的矩形菜园的面积为 450平方米，求
所利用旧墙 AD的长；
（2）求矩形菜园 ABCD面积的最大值．
练习
1.（2018?淮安）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为 40元．经市场调研，当该纪
念品每件的销售价为 50元时，每天可销售 200件；当每件的销售价每增加 1元，每天的销
售数量将减少 10件．
（1）当每件的销售价为 52元时，该纪念品每天的销售数量为 件；
（2）当每件的销售价 x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润 y最大？并求出最大利润．
2．一列火车在 A城的正北 240 km 处，以 120 km/h的速度驶向 A城．同时，一辆汽车在 A
城的正东 120 km处，以 120 km/h 速度向正西方向行驶．假设
火车和汽车的行驶方向和速度都保持不变，问何时火车与汽
车之间的距离最近？当火车与汽车距离最近时，汽车是否已
过铁路与公路的交叉口？
作业：
1. 抛物线 2xy ? 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. 3)2( 2 ??? xy B. 3)2( 2 ??? xy C. 3)2( 2 ??? xy D. 3)2( 2 ??? xy
2. 若抛物线 cxxy ??? 22 的顶点在 x轴上，则 c的值为( )
A. 1 B. －1 C. 2 D. 4
3．已知二次函数 cbxaxy ??? 2 的图象过点 A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点 M（－
2，y1），N（（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数 cbxaxy ??? 2 的图象上，则下列结论
正确的是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
4.知二次函数 )0(2 ???? acbxaxy 的图象如图所示，则下列结
论：（1）4a+2b+c>0（2）方程 02 ??? cbxax 两根之和小于零 （3）
y随 x的增大而增大（4）一次函数 bcxy ?? 的图象一定不过第二
象限，其中正确的个数是 （ ）
A、 4 个 B、 3 个 C、2 个 D、1 个
5.抛物线 ? ? 91 22 ???? kxky 开口向下，且经过原点，则 k =
6.抛物线 5)2(4 2 ???? xy 的对称轴是_________，顶点坐标是____．
7.已知二次函数 cbxxy ??? 2 的图象经过点（－1，0），（0，2），当 y随 x的增大而增大时，
x的取值范围是 ______
8.（2018?乌鲁木齐）把拋物线 y=2x
2
﹣4x+3 向左平移 1 个单位长度，得到的抛物线的解析
式为 ．
9.（2018?宁波）已知抛物线 y=﹣ x2+bx+c经过点（1，0），（0， ）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线 y=﹣ x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平
移后的函数表达式．
2
O
x
y
10.（2018?黄冈）已知直线 l：y=kx+1与抛物线 y=x2﹣4x．
（1）求证：直线 l与该抛物线总有两个交点；
（2）设直线 l与该抛物线两交点为 A，B，O为原点，当 k=﹣2时，求△OAB的面积．
11.（2018?衢州）某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有
一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心 3 米处达到最高，高度为 5
米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平
方向为 x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高
1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状
不变的前提下，把水池的直径扩大到 32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心
保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
第三章 圆的基本性质
【知识结构】
1.如果 P 是圆所在平面内的一点，d 表示 P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，则 d圆______；d___r，则 p 在圆上；d>r，则 p 在圆____.
2.如图，用几何语言表示垂径定理及逆定理
3.如图，用几何语言表示圆心角定理及逆定理
4.如图，用几何语言表示圆周角定理
5.圆内接四边形的对角________.
6.弧长计算公式：___________________;扇形面积计算公式：________________________.
【例题解析】
例题 1 如图, AB是⊙O的直径,弦 CD⊥ AB于点
E , cmCDcmOC 8,5 ?? ,求 AE。
练习 如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径 OC 垂直于弦 AB 于 D，连接 BE，
若 AB=2 7 ，CD=1，则 BE 的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
例题 2 如图，四边形 ABCD 是菱形，⊙O经过点 A，C，D 与 BC 相交于
点 E，连接 AC，AE，若∠D＝78°，求∠EAC．[来源∶Z&xx&k．Com]
练习 如图，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OC 垂直 AB，点 D 是⊙O 上一点，
且点 D 与点 C 位于弦 AB 两侧，连接 AD、CD、OB，若∠BOC＝70°，求∠
ADC．
例题 3 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB=AC，∠BCA=65°，作 CD
∥AB，并与⊙O 相交于点 D，连接 BD，求∠DBC 的大小
练习 如图，点 A B C、 、 为 O? 上的三个点，
02 , 40BOC AOB BAC? ? ? ? ? ，则 ACB? ? ________度.
例题 4 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所
用的经验公式是：弧田面积=
1
2
(弦×矢+矢 2).弧田（如图阴影部
分），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，
“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 120°，
半径等于 4 米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为______
米 2.
练习 如图，⊙O是 ABC? 的外接圆， 2?BC ， 030??BAC ，求劣弧 BC的长.
【作业】
1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 AB＝8，AE＝1，则弦 CD 的长是( )
A． 7 B．2 7 C．6 D．8
2.如图，?ABC 内接于⊙O，∠A＝60°，BC＝6 3，则?BC的长为（ ）
A．2? B．4? C．8? D．12?
3.如图，BC 是⊙O 的直径，点 A 在圆上，连接 AO，AC，∠AOB＝64°，则∠ACB＝ 度.
4.如图，在圆内接四边形 ABCD 中，若∠A、∠B、∠C 的度数之比为 4∶3∶5，则∠D 的度数
是________ ?．
A
O
B
D
C
C
D
A
B
O
5.如图， ABC△ 内接于 O⊙ ，若 32OAB =∠ °，则 C =∠ ．
6.如图，点 A，B，C 均在 6×6 的正方形网格格点上，过 A ,B ,C 三点的外接圆除经过 A，B，
C 三点外还能经过的格点数为 ．
7.如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，点 D 是AC⌒的中点，点 E 是BC⌒上的一点，若∠
CED=40°，求∠ADC．
8.已知? O 的半径为 10cm，AB，CD是? O 的两条弦， / /AB CD，AB=16cm，CD=12cm，
求弦 AB和CD之间的距离．
9.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，点 P 在 CA 的延长线上，∠CAD=45°．
若 AB=4，求
︵
CD的长；
第五章 解直角三角形
【知识结构】
1. 锐角三角函数的定义
如图所示,在 Rt△ABC 中，⑴sInA= ⑵coSA=
⑶tanA= ,锐角 A 的正弦，余弦，正切统称为锐角 A 的三角函
数。
2. 特殊角的三角函数
锐角α
三角函数
30° 45° 60°
Sinα
Cosα
tanα
3. 解直角三角形
图形 已知条件 解法步骤
在 Rt△ABC中，
∠C＝90°
两
边
两直角边(如 a，b)
①由 tanA＝，
求∠A；
②∠B＝90°－∠A；
③c＝
斜边与一直
角边(如 c，a)
①由 sinA＝，
求∠A；
②∠B＝90°－∠A；
③b＝
一
边
一
角
一直
角边
和一
锐角
一锐角一邻
边(如∠A，b)
①∠B＝90°－∠A；
②a＝b·tanA；
③c＝
一锐角一对
边(如∠A，a)
①∠B＝90°－∠A；
②b＝；
③c＝
斜边和一
锐角(如 c，∠A)
①∠B＝90°－∠A；
②a＝c·sinA；
③b＝c·cosA
【例题解析】
例题 1 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则 tanA 的值是( )
A. 3/4 B. 4/3 C. 3/5 D. 4/5
练习 如图,在直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是(3,m),且 OP与 x轴正半轴的夹
角α的正切值是 43,则 sinα的值为( )
A. 4/5 B. 5/4 C. 3/5 D. 5/3
例题 2 在△ABC中，若 tanA=1，sinB=2√2，你认为最确切的判断是（ ）
A. △ABC是等腰三角形 B. △ABC是等腰直角三角形
C. △ABC是直角三角形 D. △ABC是一般锐角三角形．
练习 1. 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=2,BC=√3,则 sinA/2=___.
2.求下列各式的值：
(1)tan30°＋2cos60°； (2)sin30°＋sin245°－tan260°+cos245°.
(3)sin260°＋cos60°－tan45°；(4)sin60°－cos45°＋；
例题 3 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，已知 a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且 a＝2 ，
b＝6 ，解这个直角三角形
练习 在△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c.若∠A＝60°，c＝
12，求 a 和 b.
例题 4如图,港口 A在观测站 O的正东方向,OA=40海里,某船从港
口 A出发,沿北偏东 15°方向航行半小时后到达 B处,此时从观测站
O 处测得该船位于北偏东 60°的方向。求该船航行的速度___.
练习 如图,电线杆 CD 的高度为 h,两根拉线 AC 与 BC 相互垂
直,∠CAB=α,则拉线 BC 的长度为(A、D. B 在同一条直线上)( )
A. h/sinα B. h/cosα C. h/tanα D. h/?cosα
【作业】
1. 下列式子错误的是（ ）
A.cos40°=sin50° B.tan15°·tan75°=1
C.sin225°+cos225°=1 D.sin60°=2sin30°
2. 将一张矩形纸片 ABCD(如图)那样折起,使顶点 C落在 C′处,测量得 AB=4,DE=8. 则
sin∠C′ED为（ ）
A. 2 B. 1/ 2 C. √2/2 D. √3/2
3. 已知直线 l1∥l2∥l3∥l4,相邻的两条平行直线间的距离均为 h,矩形
ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上,放置方式如图所示,AB=4,BC=6,则
tanα的值等于（ ）
A. 3/2 B. 3/4 C. 4/3 D. 2/3.
4. 如图,一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 70°方向的 M 处,它以每小时 40
海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔 P的北偏东 40°的N处,
则 N 处与灯塔 P 的距离为( )
A. 40海里 B. 60海里 C. 70海里 D. 80 海里
5. 如图,在半径为 3 的⊙O 中,直径 AB 与弦 CD 相交于点 E,连接 AC,BD,若 AC=2,则 tanD 的值
是 。
6. 如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,E为 AB上一点且
AE:EB=4:1,EF⊥AC于 F,连接 FB,则 tan∠CFB的值等于
7.荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀
丽．现在塔底低于地面约 7 米，某校学生测得古塔的整体高度约为
40 米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面 A 处测得塔
顶的仰角为 30°，再向古塔方向行进 米后到达 处，在 处测得
塔顶的仰角为 45°（如图所示），那么 的值约为_________米（ ，结果精确到 0．1）．
8．如图,在△ABC 中,CD⊥AB,垂足为 D. 若
AB=12,CD=6,tanA=3/2，求 sinB+cosB 的值。
9. 如图,已知四边形 ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°，AB=6，CD=4，
BC的延长线与 AD的延长线交于点 E.
(1)若∠A=60°，求 BC的长；(2)若 sinA=4/5，求 AD的长。
(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
.
10.如图,在一斜坡坡顶A处的同一水平线上有一古塔,为测量塔高
BC,数学老师带领同学在坡脚P处测得斜坡的坡角为α,且
tanα=7/24,塔顶C处的仰角为30°,他们沿着斜坡攀行了50米,到达
坡顶A处,在A处测得塔顶C的仰角为60°? .
(1)求斜坡的高度AD；
(2)求塔高BC.
【提高篇】
第一章 二次函数
【知识结构】
1. 二次函数的图象与系数 a,b,c 的关系.
2. 利用二次函数求实际问题中的最值.
3. 二次函数与几何综合问题，如线段的最值、面积的最值、存在性问题等.
【例题精讲】
【例 1】 （2018?白银）如图是二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，
c 是常数，a≠0）图象的一部分，与 x 轴的交点 A 在点（2，0）
和（3，0）之间，对称轴是 x=1．对于下列说法：
①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m 为
实数）；⑤当﹣1＜x＜3 时，y＞0，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【练习】
1.（2018?衡阳）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣1，0），
顶点坐标（1，n）与 y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含
端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣ ；③对于任意实数 m，a+b≥am2+bm 总
成立；④关于 x的方程 ax2+bx+c=n﹣1 有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2.（2018?荆门）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，
顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；
③若方程 a（x+5）（x﹣1）=﹣1 有两个根 x1和 x2，且 x1＜x2，则﹣5
＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1 有四个根，则这四个根的和为﹣
4．其中正确的结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【例 2】
（2018?天门）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如
图，线段 EF、折线 ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价 y1（元）、生产成本 y2（元）
与产量 x（kg）之间的函数关系．
（1）求该产品销售价 y1（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式；
（2）直接写出生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式；
（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
【练习】
1.（2018?扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为 30 元
/件，每天销售 y（件）与销售单价 x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于 240 件，当销售单价
为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出 150
元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于 3600 元，试
确定该漆器笔筒销售单价的范围．
2.（2018?温州）温州某企业安排 65 名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产 2 件甲或 1
件乙，甲产品每件可获利 15 元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于 5 件，
当每天生产 5 件时，每件可获利 120 元，每增加 1 件，当天平均每件利润减少 2 元．设每天
安排 x人生产乙产品．
（1）根据信息填表
产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润
（元）
甲 15
乙 x x
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多 550 元，求每件乙产品
可获得的利润．
（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相
等．已知每人每天可生产 1 件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利 30 元，
求每天生产三种产品可获得的总利润 W（元）的最大值及相应的 x 值．
【例 3】
（2017 四川内江，28，12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与
y 轴交于点 C（0，3），与 x 轴交于 A，B 两点，点 B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程
为 x＝1.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 M 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度
的速度向 B 点运动，同时点 N 从 B 点出发，在线段 BC 上以
每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，其中一个点到达终点
时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为 S，点 M 运
动时间为 t，试求 S 与 t 的函数关系，并求 S 的最大值；
（3）在点 M 运动过程中，是否存在某一时刻 t，使△MBN
为直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理
由．
【练习】
1.（2018.温州）如图，抛物线 2y ax bx? ? （ 0a ? ）交 x轴正半轴于点 A，直线 2y x? 经
过抛物线的顶点 M．已知该抛物线的对称轴为直线 2x ? ，交 x轴于点 B．
（1）求 a，b的值．
（2）P 是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连结 OP，BP．设点 P 的横坐标
为m，△OBP 的面积为 S，记 SK
m
? ，求K关于m的函
数表达式及K的范围．
2.（2018.绍兴）巳知,点M 为二次函数 14)( 2 ????? bbxy 图象的顶点,直线 5?? mxy
分别交 x轴, y 轴于点 BA,
（1）判断顶点M 是否在直线 14 ?? xy 上,并说明理由.
（2）如图 1.若二次函数图象也经过点 BA, .且 14)(5 2 ?????? bbxmx .根据图象,写出
x的取值范围.
（3）如图 2.点 A坐标为 )0,5( ,点M 在 BA0? 内,若点 ),
4
1( 1yC , ),4
3( 2yD 都在二次函数图
象上，试比较 1y 与 2y 的大小.
3.（2017 山东东营）
如图，直线 y＝－
3
3
x＋ 3分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点，点 A 在 x 轴上，∠ACB＝90°，
抛物线 y＝ax2＋bx＋ 3经过 A、B 两点．
（1）求 A、B 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点，过点
M 从作 MH⊥BC 于点 H，作轴 MD∥y 轴交 BC 于点
D，求△DMH 周长的最大值．
4.（2017 湖南岳阳）
如图，抛物线 2
2
3
y x bx c? ? ? 经过点 ? ?3,0B ， ? ?0, 2C ? ，直线 l： 2 2
3 3
y x? ? ? 交 y 轴于点 E，
且与抛物线交于 A，D 两点．P 为抛物线上一动点（不与 A，D 重合）．
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 当点 P 在直线 l 下方时，过点 P 作 PM x∥ 轴交 l 于点 M，PN y∥ 轴交 l 于点 N．求
PM PN? 的最大值；
（3） 设 F 为直线 l 上的点，以 E，C，P，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，
求出点 F 的坐标；若不能，请说明理由．
C
D
H
A B
M
O
y
x
第三章 圆的基本性质
1．半角模型：是指从角的顶点向角的内部引出两条直线，这两条直线形成的夹
角恰好等于原角的一半。
如图，正方形 ABCD 中，E,F分别是 BC,CD 上的点，连结 AE,AF 分别交对角线 BD
于 M,N,且∠EAF=45度，连结 MF,EN.请证明下述结论：
（1） BE+DF=EF;
(2)S⊿ABE+S⊿ADF=S⊿AEF; S⊿AMN=S 四边形MNFE;
(3)C⊿ECF=2AB; (4)BM2+DN2=MN2
(5)⊿AEN 和⊿AFM都是等腰直角三角形；
（6）⊿AMN∽⊿DNF∽⊿BEM∽⊿AEF∽⊿BNA∽⊿DAM
(7)A、M、F、D四点共圆，A、B、E、N也四点共圆，M、N、F、C、E五点
共圆；
（8）∠AEB=∠AEF,∠AFE=∠AFD
(9)设 BE=x,,则 EF=
1
12
?
?
x
x
还能继续发现新的结论吗?请写下来跟大家分享！
2. 四点共圆
四边形一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆。
同底同侧等角的三角形，各顶点共圆。
例题 如图，BE,CD 是⊿ABC 的高，连结 DE.
(1) 求证 AE.AC=AB.AD;
(2) 若∠BAC=120度，点M为 BC的中点，
求 DE：DM的值。
变式：如图 1，正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一动点（可与 B,C 重合），过 B 作 BG
⊥AE 于 G，延长 BG 至点 F,使∠CFB=45 度。
（1） 求证：AG=FG;
（2） 如图 2，延长 FC,AE 交于点 M，连结 DF,BM.若 C为 FM的中点，BM=10，
求 FD的长。
（3） 如图 3，当点 E 在 BC 上运动时，过点 C 作 CH⊥BF 于 H，若正方形边
长为 1，求 AG+CH+DF 的最大值和最小值。
3.托勒密定理
圆的内接凸四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积
请证明此定理。如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,
则 AC.BD=AB.CD+AD.BC;
变式：有逆定理请叙述并证明之。
4.圆与垂直弦：如图 1，在⊙O 中，
AB⊥CD,OH⊥BD,则 AC=2OH.
例 如图，已知半径为 52 的⊙O 内有互相垂
直的两条弦 AB,CD,相交于点 P.
（1） 求证：PA.PB=PC.PD
（2） 设 BC中点为 F,连结 FP并延长交 AD于 E,
求证：EF⊥AD;
（3） 若 AB=8，CD=6，求 OP 的长。
变式：如图，已知⊙O 的半径为 3，点 M为⊙O 内的一个定点，OM= 5 ,
AB,CD是⊙O 的两条互相垂直的弦，垂足为 M.
(1) 当 AB=4时，求四边形 ADBC 的面积；
(2) 当 AB 变化时，求四边形 ADBC 的面积的最大值。
5．“圆”领衔的综合题
例 如图，点 E是△ABC 的内心，AE 的延长线交 BC 于点 F，交△ABC 的外接圆⊙O 于点 D；
连接 BD，过点 D 作直线 DM，使∠BDM＝∠DAC．
（1）求证：直线 DM 是⊙O 的切线；
（2）求证：DE2＝DF·DA．
A
M D
B
O
E
F C
··
变式：如图，已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与直径 AB 相交于点 F．点 E 在⊙O 外，作直线
AE，且∠EAC＝∠D．
(1)求证：直线 AE 是⊙O 的切线．
(2)若∠BAC＝30°，BC＝4，cos∠BAD＝3
4
，CF＝10
3
，求 BF 的长．
练习：1.（2017 浙江丽水 22，10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝Rt∠，以 BC 为直径的⊙
O交 AB 于点 D，切线 DE 交 AC 于点 E.
（1）求证：∠A＝∠ADE；
（2）若 AD＝16，DE＝10，求 BC 的长.
2. （2017 山东枣庄 19，8 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点
D，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆恰好
经过点 D，分别交 AC，AB 于 E，F．
（1）试判断直线 BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 BD＝2 ，BF＝2，求阴影部分的面积（结果保
留π）．
3. （2017 浙江金华，22，10 分）如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，CD 是⊙O
的切线，AD⊥CD 于点 D．E 是 AB 延长线上的一点，CE 交⊙O 于点 F，连接 OC，AC．
(1)求证：AC 平分∠DAO．
(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°．
①求∠OCE 的度数．
②若⊙O 的半径为 2 2 ，求线段 EF 的长
4. （2017 山东聊城，10 分）如图， O? 是 ABC? 的外接圆，O点在 BC边上， BAC? 的
平分线交 O? 于点D，连接 ,BD CD，过点D作 BC的平行线，与 AB的延长线相交于点 P .
（1）求证： PD是 O? 的切线；
（2）求证： PBD DCA? ?∽ ；
（3）当 6, 8AB AC? ? 时，求线段PB的长.
第五章 解直角三角形
类型一 构造直角三角形的策略
例1 （2017丽水） 如图是某小区的一个健身器材,已知BC=0.15m,AB=2.70m,∠
BOD=70
?
,求端点A到地面CD的距离(精确到0.1m).(参考数据：sin70? ≈
0.94,cos70
?
≈0.34,tan70
?
≈2.75)
变式(重庆中考） 如图，已知点 C与某建筑物底端 B相聚 306米(点 C与点 B在同一水平
面上)，某同学从点 C出发，沿同一剖面的斜坡 CD行走 195米至坡顶 D处。斜坡 CD的坡
度(或坡比)i=1：2.4，在 D处测得该建筑物顶端 A的俯角为 20°，则建筑物 AB的高度约为(精
确到 0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)
A．29.1米 B．31.9米
C．45.9米 D．95.9米
类型二 等角转化的策略
例2 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ ）
A.sinB=AD/AB B.sinB=AC/BC
C.sinB=AD/AC D.sinB=CD/AC
变式 如图,15个形状大小完全相同的菱形组成网格,菱形的
顶点称为格点。已知菱形的一个角为60
?
，A. B. C都在格点上，点D在过A. B. C三点的圆弧
上，若E也在格点上，且∠AED=∠ACD，则cos∠AEC=___.
类型三 等边或等比转化的策略
例3(深圳中考） 如图,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB
的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D测得
树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD的长度为20m,DE的长为10cm,则树
AB的高度是( )m.
A. 20√3 B. 30 C. 30√3 D. 40
变式 如图，AB是O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC
上。设∠PCB=α，∠POC=β.
求证：tanα? tanβ2=13.
作业】
1.Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作O交AC于D,作直径DE,连接BE,
若sin∠ACB=45,BC=6,则BE=( )
A. 6 B. 32/5 C. 24/5 D. 8
2.（抚顺中考）如图,某城市的电视塔AB坐落在湖边,数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB
的高度,在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°,沿射线MB方
向前进200米到达湖边点N处,测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯
角∠A′NB为45°,则电视塔AB的高度为___米(结果保留根号).
3.（邵阳中考） 如图所示,运载火箭从地面L处垂直向上发射,当火箭
到达A点时,从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km,仰角是30? ,n
秒后,火箭到达B点,此时仰角是45? ，则火箭在这n秒中上升的高度是
___km.
4.（绍兴中考) 如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼
的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°,教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之
间的距离AB=30m.
(1)求∠BCD的度数。
(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m,参考数据：
tan20°≈0.36,tan18°≈0.32)
5.(衢州中考） 在直角坐标系中,过
原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形
OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E
是线段AB上的动点，连结DE，作DF
⊥DE，交OA于点F，连结EF.已知点E
从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒。
(1)如图1，当t=3时，求DF的长。
(2)如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化?如果变化，请说明
理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值。
(3)连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1:2时，求相应的t的值。
【专题篇】
专题：绝对值与数轴
【数轴与实际问题】
例 1 5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如下，那么北京时间 2006年 6月 17日上午
9时应是（ ）
A、伦敦时间 2006年 6月 17日凌晨 1时
B、纽约时间 2006年 6月 17日晚上 22时
C、多伦多时间 2006年 6月 16日晚上 20时
D、首尔时间 2006年 6月 17日上午 8时
例 2 在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所。已知青少年宫在学校
东 300米处，商场在学校西 200米处，医院在学校东 500米处。将马路近似地看成一条直线，以学校为
原点，以正东方向为正方向，用 1个单位长度表示 100米。
① 在数轴上表示出四家公共场所的位置。
② 计算青少年宫与商场之间的距离。
练习
1、如图，数轴上的点 P、O、Q、R、S表示某城市一条大街上的五个公交车站点，有一辆公交车距 P站
点 3km，距 Q站点 0.7km，则这辆公交车的位置在（ ）
A、R站点与 S站点之间 B、P站点与 O站点之间
C、O站点与 Q站点之间 D、Q站点与 R站点之间
2、老师在黑板上画数轴，取了原点 O后，用一个铁丝做的圆环作为工具，以圆环的直径在数轴上画出单
位长 1，再将圆环拉直成一线段，在数轴的正方向上以此线段长自原点 O起截得 A点，则 A点表示的
数是_____________。
【数轴与比较有理数的大小】
例 3 已知 a、b、c 在数轴上的位置如图。则在
1
a
? ， a? ， c b? ， c a? 中，最大的一个是（ ）
A． a? B． c b? C． c a? D． 1
a
?
例 4 三个有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A．
1 1 1
c a c b a b
? ?
? ? ?
B．
1 1 1
b c c a b a
? ?
? ? ?
练习
1、己知 a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）。
A． a b? B． 0ab ?
C． 0b a? ? D． 0a b? ?
2、如图，数轴上 A、B 两点分别对应实数 a、b则下列结论正确的是（ ）
A． 0a b? ? B． b a?
C． 0a b? ? D． 0a b? ?
3、若两个非零的有理数 a、b，满足：|a|=a，|b|=-b，a+b＜0，则在数轴上表示数 a、b的点
正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
【寻找、判断数轴上的点】
例 5 如图，数轴上的 A、B、C三点所表示的数分别是 a、b、c，其中 AB=BC，如果|a|＞|b|＞|c|，
那么该数轴的原点 O的位置应该在（ ）
A、点 A的左边 B、点 A与点 B之间
C、点 B与点 C之间 D、点 B与点 C之间或点 C的右边
例 6 如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点 A、B、C、D 对应的数分别为整数
a、b、c、d，且 2 4d a? ? 。试问：数轴上的原点在哪一点上？
练习
1、在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”。设数轴的单位长度是 1厘米，若在这个数轴上随意画出一条
长 2008厘米的线段 AB， 则线段 AB 盖住的整点至少有_______个，至多有 个。
2、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1个单位，点 A、B、C、D 对应的整数 a、b、c、d，
且 2 9b a? ? ，那么数轴的原点对应点是（ ）。
A、A 点 B、B 点 C、C 点 D、D 点
3、如图所示，圆的周长为 4个单位长度，在圆的 4等分点处标上字母 A，B，C，D，先将圆周上的字母
A对应的点与数轴的数字 1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的－2010所对应的
点将与圆周上字母所对应的点（ ）重合．
A B C DM N
a b c d
【与数轴有关的计算】
例 7 如图所示，在数轴上有六个点，点 F 所表示的数是8， 4AF ? 且 AB BC CD DE EF? ? ? ? ，
则与点C 所表示的数最接近的整数是 。
例 8 上午 8点，某人驾驶一辆汽车从 A地出发，向东记为正，向西记为负。记录前 4次行驶过程如下：
-15公里，+25公里，-20公里，+30公里，若要汽车最后回到 A地，则最后一次如何行驶？已知汽车
行驶的速度为 55千米/小时，在这期间他办事花去 2小时，问他回到 A地的时间？
练习
1、 如图，数轴上有 6个点，且相邻两点间的距离都相等，
则与 D点所表示的数最接近的整数是______。
2、某一电子昆虫落在数轴上的某点 0k ，从 0k 点开始跳动，第 1次向左跳 1个单位长度到 1k ，第 2次由 1k
向右跳 2个单位长度到 2k ，第 3次由 2k 向左跳 3个单位长度到 3k ，第 4次由 3k 向右跳 4个单位长度到 4k ，
依此规律跳下去，当它跳第 100次落下时，电子昆虫在数轴上的落点 100k 表示的数恰好是 2010，则电子
昆虫的初始位置 0k 所表示的数是___________。
3、一青蛙要从 A点跳到 B点，以平均每分钟 2米的速度跳跃。它先前进 1米，再后退 2米，又前进 3米，
再后退 4米，…（每次跳跃都在 A、B两点所在的直线上）
（1）5分钟后它离 A点多远？
（2）若 A、B两点相距 100米，它可能到达 B点吗？如果能，它第一次到达 B点需要多长时间？如果不
能，请说明理由。
三、利用数轴，深入认识绝对值
例 9 观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与－2，3与 5，－2与－6，－4与 3。
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？____________
（2）| x |的几何意义是数轴上表示_______的点与________之间的距离；
按照（1）的理解，| x |_________| x－0|（>， ?， <）；
（3） 2 1? 的几何意义是数轴上表示 2的点与表示 1的点之间的距离；则 2 1? ? ____ ；
（4） 3x ? 的几何意义是数轴上表示 ___ 的点与表示 _____ 的点之间的距离，
若 3 1x ? ? ，则 x ? ________ ；
（5） 2x ? 的几何意义是数轴上表示 __ 的点与表示 _____ 的点之间的距离，
若 2 2x ? ? ，则 x ? ________ ；
例 10 m n? 的几何意义是数轴上表示m的点与表示 n的点之间的距离。
（1）当 1x ? ? 时，则 2 2x x? ? ? ? 。
（2）结合数轴求得 2 3x x? ? ? 的最小值为_____，取得最小值时 x的取值范围为___________。
（3）满足 341 ???? xx 的 x的取值范围为_________________。
练习
1、如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为 p ， q， r ， s。
若 10p r? ? ， 12p s? ? ， 9q s? ? ，则 q r? ? _______ 。
2、不相等的有理数 a，b， c在数轴上的对应点分别为 A，B，C，如果 a b b c a c? ? ? ? ? ，那
么点 A，B，C 在数轴上的位置关系是（ ）
A．点 A 在点 B，C 之间 B．点 B在点 A，C 之间
C．点C 在点 A，B 之间 D．以上三种情况均有可能
【2、利用数轴，绝对值化简】
例 11 知数 a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 a b a b b c? ? ? ? ? 的结果是（ ）。
A． 2 3a b c? ? B． 3b c?
C． b c? D． c b?
练习
1、 如图所示，根据数轴上给出的 a、b、c的条件，
试说明 a b b c a c? ? ? ? ? 的值与 c无关。
c0 ba
2、已知有理数 cba ,, 在数轴上的对应的位置如下图：则 bacac ?????1 化简后的结果是（ ）
A、 1?b B、 12 ?? ba C、 cba 221 ??? D、 bc ?? 21
3、已知 dcba ,,, 为有理数，在数轴上的位置如图所示：
且 ,64366 ???? dcba 求 cbabda ????? 22323 的值。
专题:数与式
知识精髓
对于代数式而言，求值与恒等变形的关系十分密切。一般情况下，代数式先化简后求值比较
方便。但是，有的代数式必须经过恒等变形以后，才能把代数式隐含的条件显现出来，进而
求出代数式的值。因此，求值中的方法技巧如下：
一、整体法：把问题或某些条件当成一个整体来处理
例 1 已知 0m
m
1
? 的值。
变式 1：若 m 为实数，且 3
1
??
m
m ，求
2
2 1
m
m ? 的值。
变式 2：设 a>b>0，a2+b2=4ab，求
ab
ba 22 ?
的值。
变式 3：已知 m 是方程 X2-2011x+1=0 的一个根，试求
1
2011
2010
2
2
?
??
m
mm 的值。
二、配方法：配成完全平方式，得到一元二次方程的根。
例 2 已知 a,b,c 是实数，求 12261412 ????????? cbacba
,求 a(c+b)+b(c+a)+c(a+b)的值。
变式 1：已知
2
1
1
??
???
ba
ba ，求以 a,b为边的等腰三角形的周长。
变式 2：已知实数 a,b，满足 a2+b2=ab+a+b-1,求 a+b 的值。
变式 3：已知实数满足 x2-2x+4y=5，试求 x+2y 的最大值。
三、换元法：把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它
例 3 计算:
??
?
?
??
?
?
?????
?
?
??
?
?
????????
?
?
??
?
?
??????
?
?
??
?
?
????
2010
1
...
3
1
2
1
2011
1
2010
1
...
3
1
2
1
1
2011
1
2010
1
...
3
1
2
1
2010
1
...
3
1
2
1
1
变式 1：解方程： 06
1
5
1
2
??
?
???
?
?
??
?
?
? x
x
x
x
变式 2：若实数 n 满足（n-44）2+（46-n）2=3，试求（n-44）（46-n）的值。
变式 3：已知关于 x的方程满足(x2+x)2-2(x2+x)-3=0，试求 x2+x 的值。
四、降次法：把含未知数的项的指数降低
例 4 已知 a 是 x2-3x+1=0 的根，试求
1
8252
2
2345
?
???
a
aaaa
的值.
变式 1：已知 x2-x-1=0，则代数式-x3+2x+2011 的值。
变式 2：a,b是一元二次方程 2x2-5x-3=0 的两根，求 2a2-4a+b 的值。
配套练习
1、已知 b 为正数，a 为 b 的小数部分，且 a2+b2=27,求 a+b 的值。
2、已知 4
4
??
a
b
b
a
，试求代数式
a
b
b
a
???
?
?
??
?
?
2
的值。
3、已知 A=a+2,B=a2-a+5,C=a2+5a-19，其中 a>2.
（1）判断 A 与 B 的大小关系；
（2）指出 A 与 C 哪个大？并说明理由。
4、已知 44
1
,
36
1
,
24
1
?
?
?
?
?
? ca
ac
cb
bc
ba
ab
，求 cabcab
abc
?? 的值。
5、若 m2-2m=1，求代数式 4m3-6m2-9m
m
1
? +2017 的值。
6、已知 a+b=4n+2,ab=1,若 19a2+155ab+19b2=2017，求 n 的值。
真题再现
1、已知 a-b-2=0，则 4ab-(a+b)2+7 的值= 。
2、若 a-x2=1,b-x2=2,c-x2=3，且 abc=2013.求
cbaab
c
ac
b
bc
a 111
????? 的值。
专题：判别式法解二次三项式
【知识结构】
判别式法，通过判别式解答问题，即对一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)判别式为? =b2-4ac,
当? >0 时，方程有两个不相等的实数根，当 ? =0 时，方程有两个相等的实数根；当? <0
时，方程没有实数根。判别式法在化简，构造求值，构造相关、证明题、综合应用等方面有
广泛应用。
【例题解析】
例题 1 已知关于 x 的方程 x2+2(m+1)x+m2+5=0 有两个不相等的实数根，化简：
441 2 ???? mmm
练习 若关于 x的方程（m-2）x2-2(m-1)x+m-3=0 有实数根，试讨论关于 x 的方程
（m-6）x2-2(m+1)x+m=0 的根的情况。
例题 2 已知 a，b，c 为△ABC 的三边，当 m>0 时，关于 x 的方程 c(x2+m)+b(x2-m)-2 m ax=0
有两个相等的实数根，试说明△ABC 的形状.
练习：如果一直角三角形的三边为 a， b， c，∠ B=90°，试判断关于 x 的方程
a(x2-1)-2cx+b(x2+1)=0 的根的情况。
例题 3 已知 x2-ax+3-b=0 有两个不相等的实数根，x2+(6-a)x+6-b=0 有两个相等的实数根，
x2+(4-a)x+5-b=0 无实数根，求 a，b 的取值范围；
练习：设两个方程 x2+4ax+4a2+a=0，x2+2 (a-1)x+a2=0 中至少有一个方程有实数根，求 a 的取
值范围。
例题 4 已知 x，y，z 为实数，且满足 0782 ???? xyzx 和 06622 ????? xyzzy ，求
证：1≤x≤9.
? ? 0)(
4
3)(22 ?????? caxcaxcb
练习 已知 x，y，z 为实数且满足 1??? zyx ，xy=z2-7z+14，在 z 为何值时， 22 yx ? 取
到最大值？最大值是多少？
【作业】
1. 若关于 a 的二次三项式 ka2+4a+1 是一个完全平方式,则 k 的值 ( )
A．1 B．2 C．4 D．
4
1
2．关于 x 的方程 02 ??? axx ，给出下列四个结论：
①存在实数 a，使得方程恰有 2 个不同的实根；
②存在实数 a，使得方程恰有 3 个不同的实根；
③存在实数 a，使得方程恰有 4 个不同的实根；
④存在实数 a，使得方程恰有 6 个不同的实根；
其中正确的结论个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 若 二 次 三 项 式 3x2-x+m 能 在 实 数 范 围 内 分 解 因 式 , 则 m 的 取 值 范 围
是： . .
4. 实数 x，y，z 满足 x+y +z=5,xy+yz+zx=3,则 z 的最大值是________.
5．已知 a，b，c为△ABC 的三边的长，方程
有两个相等的实数根，求证：△ABC 是等腰三角形。
6．若关于 x 的不等式组
?
?
?
??
??
23
2
ax
ax
有解，求函数
4
1)3( 2 ???? xxay 的图象与 x轴的交
点个数。
7.若 21 , xx 是关于 x 的方程 x2+bx+c=0 的两个实数根，且 kxx 221 ?? （k 是整数），则称方
程 x2+bx+c=0 为“偶系二次方程”，例如 x2-6x-27=0,x2-2x-8=0,x2+3x-
4
27
都是“偶系二次方程”；
（1）判断方程 x2+x-12=0 是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数 b，是否存在实数 c，使得关于 x 的方程 x2+bx+c=0 是“偶系二次方
程”，并说明理由。
8．已知实数 x，y，z 满足 x+y +z=0，xyz=2，求 zyx ?? 的最小值。
专题：不定方程
【知识结构】
不定方程（组）是指未知数的个数多于方程（组），其特点是它的解一般有多个，不能
唯一确定.
一、如何确定不定方程（组）的解？
不定方程（组）往往会给出限定条件，求的往往是不定方程（组）特殊解，如整数解、
正整数解、自然数解等等.
【例题解析】
例 1. 二元一次方程 2x+y=6 有 个解；有 个自然数解；有 个正整数解.
小结：求不定方程（组）的解，关键是看清题目要求，做到不漏不重.
练习 1.试试你的理解能力（求下例不定方程的正整数解）：
(1) x+y=5; (2) 2x+3y=11; (1) 5x+2y=24; (2) 4x+3y=50.
例 2.适当提高：求方程 x+y+xy=2008 的正整数解.
小结：利用因式分解将不定方程转化为二元一次方程组求解.
练习 1.求方程 x
2
-y
2
=105 的正整数解.
练习 2.求方程（x+1）
2
+(y-2)
2
=1 的整数解有 组.
二、不定方程（组）的应用
不定方程（组）应用广泛，解决问题的关键是——充分挖掘题目隐含的条件，进而确定方
案.
例题.数学趣题：
我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题，鸡翁一，值钱五；
鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？
【练习】
1. 假期到了，17 名女教师去外地培训，住宿时有 2 人间和 3 人间可供租住，若每个房间都
要住满，那么她们有几种租住方案（ ）
A.2 种 B.3 种 C.4 种 D.5 种
2. 地震期间为了紧急安置 60 名地震灾民，需要搭建可容纳 6 人或 4 人的帐篷，若所搭建
的帐篷恰好能容纳这 60 名灾民，则不同的搭建方案有（ ）
A.4 种 B.6 种 C.9 种 D.11 种
3.二中团委与社区联合举办“保护地球，人人有责”活动，选派 20 名学生分三组到 120 个
店铺发传单，若地一、二、三小组每人分别负责 8、6、5 个店铺，且每组店铺至少有两个
人，则学生分组方案有（ ）
A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种
4.现有球迷 150 人欲同时租用 A、B、C三种型号的客车去观看世界杯足球赛，其中 A、B、C
三种型号客车的载客量分别为 50 人、30 人、10 人，要求每辆车必须满载，其中 A型号客
车最多租两辆，则球迷们一次性达到赛场的租车方案有（ ）
A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种
5.小明决定买一些书包送给灾区的小朋友，超市中有 A、B、C 三种款式，其中 A 款每个 30
元，B款每个 40 元，C款每个 50 元，小明买了三款书包共 10 个，用了 400 元，问这三款
书包分别买了几个？
反思：若将题目中“小明买了三款书包共 10 个”改成“小明买了 10 个书包”，那么方案共
有哪几种？
6.某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机，已知该厂生产甲、乙、丙三种不同型号
的电视机，出厂价分别为每台 1500 元、2100 元、2500 元.
（1） 某商场同时购进其中两种不同型号的电视机共 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商
场的进货方案；
（2） 某商场销售一台甲，乙，丙型电视机分别可获利 150 元、200 元、250 元.在同时购
进两种不同型号电视机的方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？
（3） 若商场准备用9万元同时购进这三种不同型号的电视机共50台，请你设计进货方案.
7.某车间共有 20 位工人，生产甲、乙、丙三种型号的零件，因受金融风暴 影响，该车间每
天只需生产甲、乙、丙三种零件共 50 件.如果丙型零件至少生产 3 件， 每人每天生产的零
件数与每个零件产值的数据如下表：
型号 每人每天生产零件数（件） 每个零件产值（元）
甲型 3 400
乙型 2 500
丙型 1 600
（1）问生产甲、乙、丙三种型号零件的工人分别有多少人？
（2）若使车间每天生产的产值最高，则生产三种型号零件的工人各有多少人？
三．解方程（组）拓展
【例题解析】
例 1.
? ?
12
1 2 5 22
4
x y z
x y z
x y
? ? ??
? ? ? ??
? ??
? ?
4 2 0
2 2 3
2 2 4
x y z
x y z
x y z
? ? ??
? ? ? ??
? ? ? ? ??
? ?
: : 1: 2 : 7
3
2 3 21
x y z
x y z
??
? ? ? ??
例 2.在实数范围内解下列方程或方程组：
【练习】解方程或方程组：
? ?
2 21 11 2 0
1
x x y
x
? ? ?
? ? ?
?
? ? 2 22 3 3 3 0x xy y x y? ? ? ? ? ?
? ? 2
2
3
2 4
x y z
xy z
? ? ??
?
? ??
? ?1 1 2 2 1 1 3 0x x y? ? ? ? ? ? ? ? 2 22 5 6 2 14 8 10 0x xy y x y? ? ? ? ? ?
? ?4 2 1 3 2 5 0x y x y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 23 1 4 8x y xy? ? ?
专题：含绝对值的函数
【知识结构】
1. 将含字母系数的绝对值方程转化为求函数图象的交点问题进行解决。
2. 通过数形结合思想和分类讨论思想解决字母系数的绝对值方程。
【例题解析】
例题 1 已知函数 y=∣x-2∣+1,当自变量 x 满足-1≤x≤m时，函数值 y的取值范围是 1≤y
≤4，则实数 m 的取值范围是： .
练习 : 已知函数 y=∣x-3∣-∣x+2∣,求 y 的最大值与最小值.
例题 2 设直线 y=ax+2 与函数 y=∣x-1∣-∣x-2∣+2 的图象交于三个不同的点，求实数 a的取
值范围。
练习 ：方程 2x-1=a∣x-1∣有两个实数解，求实数 k 的取值范围。
例题 3 已知函数 f(x)= ∣8-2x-x2∣和一次函数 y=kx+k(k 为常数)，这两个函数图象有（ ）
个交点。
练习 ：若函数 y=b 的图象与函数 y= x2-3∣x-1∣-4x-3 的图象恰有三个交点，则 b 的可能值
为： 。
例题 4 已知函数 y=∣x2-2ax∣,其中 a 为常数
（1） 当 0≤x≤1 时，y 的最大值为 2，求 a的值；
（2） 若 a>0,当 0≤x≤2 时，y≤2,求 a 的取值范围；
（3） 当 a=-1 时，关于 x 的方程∣x2-2ax∣＝m∣x-1∣有四个不同的实数解，求 m 的取值
范围。
练习：已知关于 x 的多项式 x2+bx+c,其中 b,c 是常数；
（1）当 b=2,c=-3 时，求多项式 x2+bx+c 的最小值；
（2）当 c=5 时，函数 y=x2+b∣x∣+c,若 y≥1,求 b 的取值范围；
（3）当 c=b2时，令 y=x2+bx+c，当 b≤x≤b+3 时，函数值 y 的最小值为 21，求此时二次函
数的解析式。
【作业】
1. 已知函数 y=∣x-1∣+∣x-5∣+∣x+2∣的最小值是( )
A．5 B． 6 C．7 D．8
2.已知 x 是正实数，则 y=∣x-1∣+∣2x-1∣+∣3x-1∣+∣4x-1∣+∣5x-1∣的 y最大值是
A．2 B． 3 C．4 D．5
3. 若方程∣x2-4x+3∣+ k=0 有三个根，则 k 的值是： 。
4.t 为常数，函数 y=∣x2-2x-t∣在 0≤y≤3上的最大值为 2，则 t的值： 。
5.已知如图所示，函数 )62(
3
1 2 ??? xxy 对应的曲线依次交 x轴正负半轴于点 A,B；
（1）求直线 y=
3
4
与该曲线所有交点的坐标；
（2）过点作两条互相垂直的直线分别交该曲线于点 C,D 两点，且点 C 落在 A 点右侧，D 点
落在 A,B 之间，若 AD=AC,求△ADC 的面积。
6.已知：关于 x 的方程 x 2 ? ( m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 有两异号实数根 x1 , x2 ，且
x1> 2x ,若 x12 ? x22 ? 8 .
（1） 求 m 的值；
（2） 若函数 y ? x 2 ? bx ? c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标为 ? x1 ?1 ，
7. 已知关于 x 的多项式 x 2 -2|x－m|+1,其中 m 为常数.
（1）若 m=0,求方程 x
2
－2|x－m|＋1=0 的根；
（2）令 y= x
2
－2|x－m|＋1,当 0＜m≤1 时,求 y 的最小值(用含 m 的代数式表示）；
（3）若方程 x
2
－2|x－m|＋1=1.5 恰有三个实数根,求 m 的值.
青
田
二
中
数
学
期
末
复
习
汇
编
（A）
班级：___________ 姓名：______________
【基础篇】
第一章 二次函数
【知识结构】
1. 形如 y= （其中 a,b,c 是常数，a 0）的函数叫做二次函数，自变
量的取值范围是 .
2. 函数 y=a（x-m）2 +k（a≠0）的图象可由函数 y=ax2 的图象先向 （当 m>0）或向 （当
m<0）平移 个单位，再向 （当 k>0）或向 （当 k<0）平移 个单位得
到，顶点是 ，对称轴是 .
3. 二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条 ，它的对称轴是直线 ，
顶点坐标是 ，当 a>0 时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线上的 ；
当 a<0 时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线上的 .
【例题解析】
例 1 已知 12)2( ???? xxmy m 是 y 关于 x 的二次函数，则 m 的值为 .
练习
已知函数
222 2)( ???? mmxmmy
(1)当此函数是二次函数时，m= ，此时的函数表达式为 .
(2)当此函数是一次函数时，m= ，此时的函数表达式为 .
例 2.如图，已知二次函数 y=x2+bx+c过点 A（1，0），C（0，﹣3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点 P使△ABP的面积为 10，请直接写出点 P的坐标．
练习
1.已知抛物线 y=ax2+bx+c与 x轴交于点 A（1，0），B（3，0），且过点 C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点
落在直线 y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．
2.如图，抛物线与 x轴交于 A、B两点，与 y轴交 C点，点 A的坐标为（2，0），点 C的坐
标为（0，3）它的对称轴是直线 x=
（1）求抛物线的解析式；
（2）M是线段 AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求 M
点的坐标．
例 3（2018?滨州）如图，若二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为 x=1，与 y轴交于
点 C，与 x轴交于点 A、点 B（﹣1，0），则 ①二次函数的最大值为 a+b+c；②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；④当 y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
练习
1.（2018?枣庄）如图是二次函数 y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点
A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线 x=1，下列结论正确的是
（ ）
A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b=0 D．a﹣b+c=0
2.（2018?恩施州）抛物线 y=ax2+bx+c的对称轴为直线 x=﹣1，部分图象如图所示，下列判
断中：
①abc＞0； ②b2﹣4ac＞0； ③9a﹣3b+c=0；
④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则 y1＞y2；
⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例 4 （2018?福建）如图，在足够大的空地上有一段长为 a米的旧墙 MN，某人利用旧墙和
木栏围成一个矩形菜园 ABCD，其中 AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了
100米木栏．
（1）若 a=20，所围成的矩形菜园的面积为 450平方米，求
所利用旧墙 AD的长；
（2）求矩形菜园 ABCD面积的最大值．
练习
1.（2018?淮安）某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为 40元．经市场调研，当该纪
念品每件的销售价为 50元时，每天可销售 200件；当每件的销售价每增加 1元，每天的销
售数量将减少 10件．
（1）当每件的销售价为 52元时，该纪念品每天的销售数量为 件；
（2）当每件的销售价 x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润 y最大？并求出最大利润．
2．一列火车在 A城的正北 240 km 处，以 120 km/h的速度驶向 A城．同时，一辆汽车在 A
城的正东 120 km处，以 120 km/h 速度向正西方向行驶．假设
火车和汽车的行驶方向和速度都保持不变，问何时火车与汽
车之间的距离最近？当火车与汽车距离最近时，汽车是否已
过铁路与公路的交叉口？
作业：
1. 抛物线 2xy ? 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. 3)2( 2 ??? xy B. 3)2( 2 ??? xy C. 3)2( 2 ??? xy D. 3)2( 2 ??? xy
2. 若抛物线 cxxy ??? 22 的顶点在 x轴上，则 c的值为( )
A. 1 B. －1 C. 2 D. 4
3．已知二次函数 cbxaxy ??? 2 的图象过点 A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点 M（－
2，y1），N（（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数 cbxaxy ??? 2 的图象上，则下列结论
正确的是( )
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
4.知二次函数 )0(2 ???? acbxaxy 的图象如图所示，则下列结
论：（1）4a+2b+c>0（2）方程 02 ??? cbxax 两根之和小于零 （3）
y随 x的增大而增大（4）一次函数 bcxy ?? 的图象一定不过第二
象限，其中正确的个数是 （ ）
A、 4 个 B、 3 个 C、2 个 D、1 个
5.抛物线 ? ? 91 22 ???? kxky 开口向下，且经过原点，则 k =
6.抛物线 5)2(4 2 ???? xy 的对称轴是_________，顶点坐标是____．
7.已知二次函数 cbxxy ??? 2 的图象经过点（－1，0），（0，2），当 y随 x的增大而增大时，
x的取值范围是 ______
8.（2018?乌鲁木齐）把拋物线 y=2x
2
﹣4x+3 向左平移 1 个单位长度，得到的抛物线的解析
式为 ．
9.（2018?宁波）已知抛物线 y=﹣ x2+bx+c经过点（1，0），（0， ）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线 y=﹣ x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平
移后的函数表达式．
2
O
x
y
10.（2018?黄冈）已知直线 l：y=kx+1与抛物线 y=x2﹣4x．
（1）求证：直线 l与该抛物线总有两个交点；
（2）设直线 l与该抛物线两交点为 A，B，O为原点，当 k=﹣2时，求△OAB的面积．
11.（2018?衢州）某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有
一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心 3 米处达到最高，高度为 5
米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平
方向为 x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高
1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状
不变的前提下，把水池的直径扩大到 32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心
保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
第三章 圆的基本性质
【知识结构】
1.如果 P 是圆所在平面内的一点，d 表示 P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，则 d
2.如图，用几何语言表示垂径定理及逆定理
3.如图，用几何语言表示圆心角定理及逆定理
4.如图，用几何语言表示圆周角定理
5.圆内接四边形的对角________.
6.弧长计算公式：___________________;扇形面积计算公式：________________________.
【例题解析】
例题 1 如图, AB是⊙O的直径,弦 CD⊥ AB于点
E , cmCDcmOC 8,5 ?? ,求 AE。
练习 如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径 OC 垂直于弦 AB 于 D，连接 BE，
若 AB=2 7 ，CD=1，则 BE 的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
例题 2 如图，四边形 ABCD 是菱形，⊙O经过点 A，C，D 与 BC 相交于
点 E，连接 AC，AE，若∠D＝78°，求∠EAC．[来源∶Z&xx&k．Com]
练习 如图，已知 AB 是⊙O 的弦，半径 OC 垂直 AB，点 D 是⊙O 上一点，
且点 D 与点 C 位于弦 AB 两侧，连接 AD、CD、OB，若∠BOC＝70°，求∠
ADC．
例题 3 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB=AC，∠BCA=65°，作 CD
∥AB，并与⊙O 相交于点 D，连接 BD，求∠DBC 的大小
练习 如图，点 A B C、 、 为 O? 上的三个点，
02 , 40BOC AOB BAC? ? ? ? ? ，则 ACB? ? ________度.
例题 4 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所
用的经验公式是：弧田面积=
1
2
(弦×矢+矢 2).弧田（如图阴影部
分），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，
“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 120°，
半径等于 4 米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为______
米 2.
练习 如图，⊙O是 ABC? 的外接圆， 2?BC ， 030??BAC ，求劣弧 BC的长.
【作业】
1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 AB＝8，AE＝1，则弦 CD 的长是( )
A． 7 B．2 7 C．6 D．8
2.如图，?ABC 内接于⊙O，∠A＝60°，BC＝6 3，则?BC的长为（ ）
A．2? B．4? C．8? D．12?
3.如图，BC 是⊙O 的直径，点 A 在圆上，连接 AO，AC，∠AOB＝64°，则∠ACB＝ 度.
4.如图，在圆内接四边形 ABCD 中，若∠A、∠B、∠C 的度数之比为 4∶3∶5，则∠D 的度数
是________ ?．
A
O
B
D
C
C
D
A
B
O
5.如图， ABC△ 内接于 O⊙ ，若 32OAB =∠ °，则 C =∠ ．
6.如图，点 A，B，C 均在 6×6 的正方形网格格点上，过 A ,B ,C 三点的外接圆除经过 A，B，
C 三点外还能经过的格点数为 ．
7.如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，点 D 是AC⌒的中点，点 E 是BC⌒上的一点，若∠
CED=40°，求∠ADC．
8.已知? O 的半径为 10cm，AB，CD是? O 的两条弦， / /AB CD，AB=16cm，CD=12cm，
求弦 AB和CD之间的距离．
9.如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是⊙O 的直径，点 P 在 CA 的延长线上，∠CAD=45°．
若 AB=4，求
︵
CD的长；
第五章 解直角三角形
【知识结构】
1. 锐角三角函数的定义
如图所示,在 Rt△ABC 中，⑴sInA= ⑵coSA=
⑶tanA= ,锐角 A 的正弦，余弦，正切统称为锐角 A 的三角函
数。
2. 特殊角的三角函数
锐角α
三角函数
30° 45° 60°
Sinα
Cosα
tanα
3. 解直角三角形
图形 已知条件 解法步骤
在 Rt△ABC中，
∠C＝90°
两
边
两直角边(如 a，b)
①由 tanA＝，
求∠A；
②∠B＝90°－∠A；
③c＝
斜边与一直
角边(如 c，a)
①由 sinA＝，
求∠A；
②∠B＝90°－∠A；
③b＝
一
边
一
角
一直
角边
和一
锐角
一锐角一邻
边(如∠A，b)
①∠B＝90°－∠A；
②a＝b·tanA；
③c＝
一锐角一对
边(如∠A，a)
①∠B＝90°－∠A；
②b＝；
③c＝
斜边和一
锐角(如 c，∠A)
①∠B＝90°－∠A；
②a＝c·sinA；
③b＝c·cosA
【例题解析】
例题 1 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则 tanA 的值是( )
A. 3/4 B. 4/3 C. 3/5 D. 4/5
练习 如图,在直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是(3,m),且 OP与 x轴正半轴的夹
角α的正切值是 43,则 sinα的值为( )
A. 4/5 B. 5/4 C. 3/5 D. 5/3
例题 2 在△ABC中，若 tanA=1，sinB=2√2，你认为最确切的判断是（ ）
A. △ABC是等腰三角形 B. △ABC是等腰直角三角形
C. △ABC是直角三角形 D. △ABC是一般锐角三角形．
练习 1. 在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=2,BC=√3,则 sinA/2=___.
2.求下列各式的值：
(1)tan30°＋2cos60°； (2)sin30°＋sin245°－tan260°+cos245°.
(3)sin260°＋cos60°－tan45°；(4)sin60°－cos45°＋；
例题 3 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，已知 a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且 a＝2 ，
b＝6 ，解这个直角三角形
练习 在△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c.若∠A＝60°，c＝
12，求 a 和 b.
例题 4如图,港口 A在观测站 O的正东方向,OA=40海里,某船从港
口 A出发,沿北偏东 15°方向航行半小时后到达 B处,此时从观测站
O 处测得该船位于北偏东 60°的方向。求该船航行的速度___.
练习 如图,电线杆 CD 的高度为 h,两根拉线 AC 与 BC 相互垂
直,∠CAB=α,则拉线 BC 的长度为(A、D. B 在同一条直线上)( )
A. h/sinα B. h/cosα C. h/tanα D. h/?cosα
【作业】
1. 下列式子错误的是（ ）
A.cos40°=sin50° B.tan15°·tan75°=1
C.sin225°+cos225°=1 D.sin60°=2sin30°
2. 将一张矩形纸片 ABCD(如图)那样折起,使顶点 C落在 C′处,测量得 AB=4,DE=8. 则
sin∠C′ED为（ ）
A. 2 B. 1/ 2 C. √2/2 D. √3/2
3. 已知直线 l1∥l2∥l3∥l4,相邻的两条平行直线间的距离均为 h,矩形
ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上,放置方式如图所示,AB=4,BC=6,则
tanα的值等于（ ）
A. 3/2 B. 3/4 C. 4/3 D. 2/3.
4. 如图,一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 70°方向的 M 处,它以每小时 40
海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔 P的北偏东 40°的N处,
则 N 处与灯塔 P 的距离为( )
A. 40海里 B. 60海里 C. 70海里 D. 80 海里
5. 如图,在半径为 3 的⊙O 中,直径 AB 与弦 CD 相交于点 E,连接 AC,BD,若 AC=2,则 tanD 的值
是 。
6. 如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,E为 AB上一点且
AE:EB=4:1,EF⊥AC于 F,连接 FB,则 tan∠CFB的值等于
7.荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀
丽．现在塔底低于地面约 7 米，某校学生测得古塔的整体高度约为
40 米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面 A 处测得塔
顶的仰角为 30°，再向古塔方向行进 米后到达 处，在 处测得
塔顶的仰角为 45°（如图所示），那么 的值约为_________米（ ，结果精确到 0．1）．
8．如图,在△ABC 中,CD⊥AB,垂足为 D. 若
AB=12,CD=6,tanA=3/2，求 sinB+cosB 的值。
9. 如图,已知四边形 ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°，AB=6，CD=4，
BC的延长线与 AD的延长线交于点 E.
(1)若∠A=60°，求 BC的长；(2)若 sinA=4/5，求 AD的长。
(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
.
10.如图,在一斜坡坡顶A处的同一水平线上有一古塔,为测量塔高
BC,数学老师带领同学在坡脚P处测得斜坡的坡角为α,且
tanα=7/24,塔顶C处的仰角为30°,他们沿着斜坡攀行了50米,到达
坡顶A处,在A处测得塔顶C的仰角为60°? .
(1)求斜坡的高度AD；
(2)求塔高BC.
【提高篇】
第一章 二次函数
【知识结构】
1. 二次函数的图象与系数 a,b,c 的关系.
2. 利用二次函数求实际问题中的最值.
3. 二次函数与几何综合问题，如线段的最值、面积的最值、存在性问题等.
【例题精讲】
【例 1】 （2018?白银）如图是二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，
c 是常数，a≠0）图象的一部分，与 x 轴的交点 A 在点（2，0）
和（3，0）之间，对称轴是 x=1．对于下列说法：
①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m 为
实数）；⑤当﹣1＜x＜3 时，y＞0，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【练习】
1.（2018?衡阳）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣1，0），
顶点坐标（1，n）与 y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含
端点），则下列结论：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣ ；③对于任意实数 m，a+b≥am2+bm 总
成立；④关于 x的方程 ax2+bx+c=n﹣1 有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2.（2018?荆门）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，
顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；
③若方程 a（x+5）（x﹣1）=﹣1 有两个根 x1和 x2，且 x1＜x2，则﹣5
＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1 有四个根，则这四个根的和为﹣
4．其中正确的结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【例 2】
（2018?天门）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如
图，线段 EF、折线 ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价 y1（元）、生产成本 y2（元）
与产量 x（kg）之间的函数关系．
（1）求该产品销售价 y1（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式；
（2）直接写出生产成本 y2（元）与产量 x（kg）之间的函数关系式；
（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
【练习】
1.（2018?扬州）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为 30 元
/件，每天销售 y（件）与销售单价 x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于 240 件，当销售单价
为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出 150
元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于 3600 元，试
确定该漆器笔筒销售单价的范围．
2.（2018?温州）温州某企业安排 65 名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产 2 件甲或 1
件乙，甲产品每件可获利 15 元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于 5 件，
当每天生产 5 件时，每件可获利 120 元，每增加 1 件，当天平均每件利润减少 2 元．设每天
安排 x人生产乙产品．
（1）根据信息填表
产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润
（元）
甲 15
乙 x x
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多 550 元，求每件乙产品
可获得的利润．
（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相
等．已知每人每天可生产 1 件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利 30 元，
求每天生产三种产品可获得的总利润 W（元）的最大值及相应的 x 值．
【例 3】
（2017 四川内江，28，12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与
y 轴交于点 C（0，3），与 x 轴交于 A，B 两点，点 B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程
为 x＝1.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 M 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度
的速度向 B 点运动，同时点 N 从 B 点出发，在线段 BC 上以
每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，其中一个点到达终点
时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为 S，点 M 运
动时间为 t，试求 S 与 t 的函数关系，并求 S 的最大值；
（3）在点 M 运动过程中，是否存在某一时刻 t，使△MBN
为直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理
由．
【练习】
1.（2018.温州）如图，抛物线 2y ax bx? ? （ 0a ? ）交 x轴正半轴于点 A，直线 2y x? 经
过抛物线的顶点 M．已知该抛物线的对称轴为直线 2x ? ，交 x轴于点 B．
（1）求 a，b的值．
（2）P 是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连结 OP，BP．设点 P 的横坐标
为m，△OBP 的面积为 S，记 SK
m
? ，求K关于m的函
数表达式及K的范围．
2.（2018.绍兴）巳知,点M 为二次函数 14)( 2 ????? bbxy 图象的顶点,直线 5?? mxy
分别交 x轴, y 轴于点 BA,
（1）判断顶点M 是否在直线 14 ?? xy 上,并说明理由.
（2）如图 1.若二次函数图象也经过点 BA, .且 14)(5 2 ?????? bbxmx .根据图象,写出
x的取值范围.
（3）如图 2.点 A坐标为 )0,5( ,点M 在 BA0? 内,若点 ),
4
1( 1yC , ),4
3( 2yD 都在二次函数图
象上，试比较 1y 与 2y 的大小.
3.（2017 山东东营）
如图，直线 y＝－
3
3
x＋ 3分别与 x 轴、y 轴交于 B、C 两点，点 A 在 x 轴上，∠ACB＝90°，
抛物线 y＝ax2＋bx＋ 3经过 A、B 两点．
（1）求 A、B 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点，过点
M 从作 MH⊥BC 于点 H，作轴 MD∥y 轴交 BC 于点
D，求△DMH 周长的最大值．
4.（2017 湖南岳阳）
如图，抛物线 2
2
3
y x bx c? ? ? 经过点 ? ?3,0B ， ? ?0, 2C ? ，直线 l： 2 2
3 3
y x? ? ? 交 y 轴于点 E，
且与抛物线交于 A，D 两点．P 为抛物线上一动点（不与 A，D 重合）．
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 当点 P 在直线 l 下方时，过点 P 作 PM x∥ 轴交 l 于点 M，PN y∥ 轴交 l 于点 N．求
PM PN? 的最大值；
（3） 设 F 为直线 l 上的点，以 E，C，P，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，
求出点 F 的坐标；若不能，请说明理由．
C
D
H
A B
M
O
y
x
第三章 圆的基本性质
1．半角模型：是指从角的顶点向角的内部引出两条直线，这两条直线形成的夹
角恰好等于原角的一半。
如图，正方形 ABCD 中，E,F分别是 BC,CD 上的点，连结 AE,AF 分别交对角线 BD
于 M,N,且∠EAF=45度，连结 MF,EN.请证明下述结论：
（1） BE+DF=EF;
(2)S⊿ABE+S⊿ADF=S⊿AEF; S⊿AMN=S 四边形MNFE;
(3)C⊿ECF=2AB; (4)BM2+DN2=MN2
(5)⊿AEN 和⊿AFM都是等腰直角三角形；
（6）⊿AMN∽⊿DNF∽⊿BEM∽⊿AEF∽⊿BNA∽⊿DAM
(7)A、M、F、D四点共圆，A、B、E、N也四点共圆，M、N、F、C、E五点
共圆；
（8）∠AEB=∠AEF,∠AFE=∠AFD
(9)设 BE=x,,则 EF=
1
12
?
?
x
x
还能继续发现新的结论吗?请写下来跟大家分享！
2. 四点共圆
四边形一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆。
同底同侧等角的三角形，各顶点共圆。
例题 如图，BE,CD 是⊿ABC 的高，连结 DE.
(1) 求证 AE.AC=AB.AD;
(2) 若∠BAC=120度，点M为 BC的中点，
求 DE：DM的值。
变式：如图 1，正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一动点（可与 B,C 重合），过 B 作 BG
⊥AE 于 G，延长 BG 至点 F,使∠CFB=45 度。
（1） 求证：AG=FG;
（2） 如图 2，延长 FC,AE 交于点 M，连结 DF,BM.若 C为 FM的中点，BM=10，
求 FD的长。
（3） 如图 3，当点 E 在 BC 上运动时，过点 C 作 CH⊥BF 于 H，若正方形边
长为 1，求 AG+CH+DF 的最大值和最小值。
3.托勒密定理
圆的内接凸四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积
请证明此定理。如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,
则 AC.BD=AB.CD+AD.BC;
变式：有逆定理请叙述并证明之。
4.圆与垂直弦：如图 1，在⊙O 中，
AB⊥CD,OH⊥BD,则 AC=2OH.
例 如图，已知半径为 52 的⊙O 内有互相垂
直的两条弦 AB,CD,相交于点 P.
（1） 求证：PA.PB=PC.PD
（2） 设 BC中点为 F,连结 FP并延长交 AD于 E,
求证：EF⊥AD;
（3） 若 AB=8，CD=6，求 OP 的长。
变式：如图，已知⊙O 的半径为 3，点 M为⊙O 内的一个定点，OM= 5 ,
AB,CD是⊙O 的两条互相垂直的弦，垂足为 M.
(1) 当 AB=4时，求四边形 ADBC 的面积；
(2) 当 AB 变化时，求四边形 ADBC 的面积的最大值。
5．“圆”领衔的综合题
例 如图，点 E是△ABC 的内心，AE 的延长线交 BC 于点 F，交△ABC 的外接圆⊙O 于点 D；
连接 BD，过点 D 作直线 DM，使∠BDM＝∠DAC．
（1）求证：直线 DM 是⊙O 的切线；
（2）求证：DE2＝DF·DA．
A
M D
B
O
E
F C
··
变式：如图，已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与直径 AB 相交于点 F．点 E 在⊙O 外，作直线
AE，且∠EAC＝∠D．
(1)求证：直线 AE 是⊙O 的切线．
(2)若∠BAC＝30°，BC＝4，cos∠BAD＝3
4
，CF＝10
3
，求 BF 的长．
练习：1.（2017 浙江丽水 22，10 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝Rt∠，以 BC 为直径的⊙
O交 AB 于点 D，切线 DE 交 AC 于点 E.
（1）求证：∠A＝∠ADE；
（2）若 AD＝16，DE＝10，求 BC 的长.
2. （2017 山东枣庄 19，8 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点
D，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆恰好
经过点 D，分别交 AC，AB 于 E，F．
（1）试判断直线 BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 BD＝2 ，BF＝2，求阴影部分的面积（结果保
留π）．
3. （2017 浙江金华，22，10 分）如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，CD 是⊙O
的切线，AD⊥CD 于点 D．E 是 AB 延长线上的一点，CE 交⊙O 于点 F，连接 OC，AC．
(1)求证：AC 平分∠DAO．
(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°．
①求∠OCE 的度数．
②若⊙O 的半径为 2 2 ，求线段 EF 的长
4. （2017 山东聊城，10 分）如图， O? 是 ABC? 的外接圆，O点在 BC边上， BAC? 的
平分线交 O? 于点D，连接 ,BD CD，过点D作 BC的平行线，与 AB的延长线相交于点 P .
（1）求证： PD是 O? 的切线；
（2）求证： PBD DCA? ?∽ ；
（3）当 6, 8AB AC? ? 时，求线段PB的长.
第五章 解直角三角形
类型一 构造直角三角形的策略
例1 （2017丽水） 如图是某小区的一个健身器材,已知BC=0.15m,AB=2.70m,∠
BOD=70
?
,求端点A到地面CD的距离(精确到0.1m).(参考数据：sin70? ≈
0.94,cos70
?
≈0.34,tan70
?
≈2.75)
变式(重庆中考） 如图，已知点 C与某建筑物底端 B相聚 306米(点 C与点 B在同一水平
面上)，某同学从点 C出发，沿同一剖面的斜坡 CD行走 195米至坡顶 D处。斜坡 CD的坡
度(或坡比)i=1：2.4，在 D处测得该建筑物顶端 A的俯角为 20°，则建筑物 AB的高度约为(精
确到 0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)
A．29.1米 B．31.9米
C．45.9米 D．95.9米
类型二 等角转化的策略
例2 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ ）
A.sinB=AD/AB B.sinB=AC/BC
C.sinB=AD/AC D.sinB=CD/AC
变式 如图,15个形状大小完全相同的菱形组成网格,菱形的
顶点称为格点。已知菱形的一个角为60
?
，A. B. C都在格点上，点D在过A. B. C三点的圆弧
上，若E也在格点上，且∠AED=∠ACD，则cos∠AEC=___.
类型三 等边或等比转化的策略
例3(深圳中考） 如图,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB
的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D测得
树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD的长度为20m,DE的长为10cm,则树
AB的高度是( )m.
A. 20√3 B. 30 C. 30√3 D. 40
变式 如图，AB是O的直径，延长AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足为点B，点D在PC
上。设∠PCB=α，∠POC=β.
求证：tanα? tanβ2=13.
作业】
1.Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作O交AC于D,作直径DE,连接BE,
若sin∠ACB=45,BC=6,则BE=( )
A. 6 B. 32/5 C. 24/5 D. 8
2.（抚顺中考）如图,某城市的电视塔AB坐落在湖边,数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB
的高度,在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°,沿射线MB方
向前进200米到达湖边点N处,测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯
角∠A′NB为45°,则电视塔AB的高度为___米(结果保留根号).
3.（邵阳中考） 如图所示,运载火箭从地面L处垂直向上发射,当火箭
到达A点时,从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40km,仰角是30? ,n
秒后,火箭到达B点,此时仰角是45? ，则火箭在这n秒中上升的高度是
___km.
4.（绍兴中考) 如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼
的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°,教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之
间的距离AB=30m.
(1)求∠BCD的度数。
(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m,参考数据：
tan20°≈0.36,tan18°≈0.32)
5.(衢州中考） 在直角坐标系中,过
原点O及点A(8,0),C(0,6)作矩形
OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E
是线段AB上的动点，连结DE，作DF
⊥DE，交OA于点F，连结EF.已知点E
从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒。
(1)如图1，当t=3时，求DF的长。
(2)如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化?如果变化，请说明
理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值。
(3)连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1:2时，求相应的t的值。
【专题篇】
专题：绝对值与数轴
【数轴与实际问题】
例 1 5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如下，那么北京时间 2006年 6月 17日上午
9时应是（ ）
A、伦敦时间 2006年 6月 17日凌晨 1时
B、纽约时间 2006年 6月 17日晚上 22时
C、多伦多时间 2006年 6月 16日晚上 20时
D、首尔时间 2006年 6月 17日上午 8时
例 2 在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所。已知青少年宫在学校
东 300米处，商场在学校西 200米处，医院在学校东 500米处。将马路近似地看成一条直线，以学校为
原点，以正东方向为正方向，用 1个单位长度表示 100米。
① 在数轴上表示出四家公共场所的位置。
② 计算青少年宫与商场之间的距离。
练习
1、如图，数轴上的点 P、O、Q、R、S表示某城市一条大街上的五个公交车站点，有一辆公交车距 P站
点 3km，距 Q站点 0.7km，则这辆公交车的位置在（ ）
A、R站点与 S站点之间 B、P站点与 O站点之间
C、O站点与 Q站点之间 D、Q站点与 R站点之间
2、老师在黑板上画数轴，取了原点 O后，用一个铁丝做的圆环作为工具，以圆环的直径在数轴上画出单
位长 1，再将圆环拉直成一线段，在数轴的正方向上以此线段长自原点 O起截得 A点，则 A点表示的
数是_____________。
【数轴与比较有理数的大小】
例 3 已知 a、b、c 在数轴上的位置如图。则在
1
a
? ， a? ， c b? ， c a? 中，最大的一个是（ ）
A． a? B． c b? C． c a? D． 1
a
?
例 4 三个有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A．
1 1 1
c a c b a b
? ?
? ? ?
B．
1 1 1
b c c a b a
? ?
? ? ?
练习
1、己知 a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）。
A． a b? B． 0ab ?
C． 0b a? ? D． 0a b? ?
2、如图，数轴上 A、B 两点分别对应实数 a、b则下列结论正确的是（ ）
A． 0a b? ? B． b a?
C． 0a b? ? D． 0a b? ?
3、若两个非零的有理数 a、b，满足：|a|=a，|b|=-b，a+b＜0，则在数轴上表示数 a、b的点
正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
【寻找、判断数轴上的点】
例 5 如图，数轴上的 A、B、C三点所表示的数分别是 a、b、c，其中 AB=BC，如果|a|＞|b|＞|c|，
那么该数轴的原点 O的位置应该在（ ）
A、点 A的左边 B、点 A与点 B之间
C、点 B与点 C之间 D、点 B与点 C之间或点 C的右边
例 6 如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点 A、B、C、D 对应的数分别为整数
a、b、c、d，且 2 4d a? ? 。试问：数轴上的原点在哪一点上？
练习
1、在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”。设数轴的单位长度是 1厘米，若在这个数轴上随意画出一条
长 2008厘米的线段 AB， 则线段 AB 盖住的整点至少有_______个，至多有 个。
2、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距 1个单位，点 A、B、C、D 对应的整数 a、b、c、d，
且 2 9b a? ? ，那么数轴的原点对应点是（ ）。
A、A 点 B、B 点 C、C 点 D、D 点
3、如图所示，圆的周长为 4个单位长度，在圆的 4等分点处标上字母 A，B，C，D，先将圆周上的字母
A对应的点与数轴的数字 1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的－2010所对应的
点将与圆周上字母所对应的点（ ）重合．
A B C DM N
a b c d
【与数轴有关的计算】
例 7 如图所示，在数轴上有六个点，点 F 所表示的数是8， 4AF ? 且 AB BC CD DE EF? ? ? ? ，
则与点C 所表示的数最接近的整数是 。
例 8 上午 8点，某人驾驶一辆汽车从 A地出发，向东记为正，向西记为负。记录前 4次行驶过程如下：
-15公里，+25公里，-20公里，+30公里，若要汽车最后回到 A地，则最后一次如何行驶？已知汽车
行驶的速度为 55千米/小时，在这期间他办事花去 2小时，问他回到 A地的时间？
练习
1、 如图，数轴上有 6个点，且相邻两点间的距离都相等，
则与 D点所表示的数最接近的整数是______。
2、某一电子昆虫落在数轴上的某点 0k ，从 0k 点开始跳动，第 1次向左跳 1个单位长度到 1k ，第 2次由 1k
向右跳 2个单位长度到 2k ，第 3次由 2k 向左跳 3个单位长度到 3k ，第 4次由 3k 向右跳 4个单位长度到 4k ，
依此规律跳下去，当它跳第 100次落下时，电子昆虫在数轴上的落点 100k 表示的数恰好是 2010，则电子
昆虫的初始位置 0k 所表示的数是___________。
3、一青蛙要从 A点跳到 B点，以平均每分钟 2米的速度跳跃。它先前进 1米，再后退 2米，又前进 3米，
再后退 4米，…（每次跳跃都在 A、B两点所在的直线上）
（1）5分钟后它离 A点多远？
（2）若 A、B两点相距 100米，它可能到达 B点吗？如果能，它第一次到达 B点需要多长时间？如果不
能，请说明理由。
三、利用数轴，深入认识绝对值
例 9 观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与－2，3与 5，－2与－6，－4与 3。
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？____________
（2）| x |的几何意义是数轴上表示_______的点与________之间的距离；
按照（1）的理解，| x |_________| x－0|（>， ?， <）；
（3） 2 1? 的几何意义是数轴上表示 2的点与表示 1的点之间的距离；则 2 1? ? ____ ；
（4） 3x ? 的几何意义是数轴上表示 ___ 的点与表示 _____ 的点之间的距离，
若 3 1x ? ? ，则 x ? ________ ；
（5） 2x ? 的几何意义是数轴上表示 __ 的点与表示 _____ 的点之间的距离，
若 2 2x ? ? ，则 x ? ________ ；
例 10 m n? 的几何意义是数轴上表示m的点与表示 n的点之间的距离。
（1）当 1x ? ? 时，则 2 2x x? ? ? ? 。
（2）结合数轴求得 2 3x x? ? ? 的最小值为_____，取得最小值时 x的取值范围为___________。
（3）满足 341 ???? xx 的 x的取值范围为_________________。
练习
1、如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为 p ， q， r ， s。
若 10p r? ? ， 12p s? ? ， 9q s? ? ，则 q r? ? _______ 。
2、不相等的有理数 a，b， c在数轴上的对应点分别为 A，B，C，如果 a b b c a c? ? ? ? ? ，那
么点 A，B，C 在数轴上的位置关系是（ ）
A．点 A 在点 B，C 之间 B．点 B在点 A，C 之间
C．点C 在点 A，B 之间 D．以上三种情况均有可能
【2、利用数轴，绝对值化简】
例 11 知数 a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 a b a b b c? ? ? ? ? 的结果是（ ）。
A． 2 3a b c? ? B． 3b c?
C． b c? D． c b?
练习
1、 如图所示，根据数轴上给出的 a、b、c的条件，
试说明 a b b c a c? ? ? ? ? 的值与 c无关。
c0 ba
2、已知有理数 cba ,, 在数轴上的对应的位置如下图：则 bacac ?????1 化简后的结果是（ ）
A、 1?b B、 12 ?? ba C、 cba 221 ??? D、 bc ?? 21
3、已知 dcba ,,, 为有理数，在数轴上的位置如图所示：
且 ,64366 ???? dcba 求 cbabda ????? 22323 的值。
专题:数与式
知识精髓
对于代数式而言，求值与恒等变形的关系十分密切。一般情况下，代数式先化简后求值比较
方便。但是，有的代数式必须经过恒等变形以后，才能把代数式隐含的条件显现出来，进而
求出代数式的值。因此，求值中的方法技巧如下：
一、整体法：把问题或某些条件当成一个整体来处理
例 1 已知 0
m
1
? 的值。
变式 1：若 m 为实数，且 3
1
??
m
m ，求
2
2 1
m
m ? 的值。
变式 2：设 a>b>0，a2+b2=4ab，求
ab
ba 22 ?
的值。
变式 3：已知 m 是方程 X2-2011x+1=0 的一个根，试求
1
2011
2010
2
2
?
??
m
mm 的值。
二、配方法：配成完全平方式，得到一元二次方程的根。
例 2 已知 a,b,c 是实数，求 12261412 ????????? cbacba
,求 a(c+b)+b(c+a)+c(a+b)的值。
变式 1：已知
2
1
1
??
???
ba
ba ，求以 a,b为边的等腰三角形的周长。
变式 2：已知实数 a,b，满足 a2+b2=ab+a+b-1,求 a+b 的值。
变式 3：已知实数满足 x2-2x+4y=5，试求 x+2y 的最大值。
三、换元法：把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它
例 3 计算:
??
?
?
??
?
?
?????
?
?
??
?
?
????????
?
?
??
?
?
??????
?
?
??
?
?
????
2010
1
...
3
1
2
1
2011
1
2010
1
...
3
1
2
1
1
2011
1
2010
1
...
3
1
2
1
2010
1
...
3
1
2
1
1
变式 1：解方程： 06
1
5
1
2
??
?
???
?
?
??
?
?
? x
x
x
x
变式 2：若实数 n 满足（n-44）2+（46-n）2=3，试求（n-44）（46-n）的值。
变式 3：已知关于 x的方程满足(x2+x)2-2(x2+x)-3=0，试求 x2+x 的值。
四、降次法：把含未知数的项的指数降低
例 4 已知 a 是 x2-3x+1=0 的根，试求
1
8252
2
2345
?
???
a
aaaa
的值.
变式 1：已知 x2-x-1=0，则代数式-x3+2x+2011 的值。
变式 2：a,b是一元二次方程 2x2-5x-3=0 的两根，求 2a2-4a+b 的值。
配套练习
1、已知 b 为正数，a 为 b 的小数部分，且 a2+b2=27,求 a+b 的值。
2、已知 4
4
??
a
b
b
a
，试求代数式
a
b
b
a
???
?
?
??
?
?
2
的值。
3、已知 A=a+2,B=a2-a+5,C=a2+5a-19，其中 a>2.
（1）判断 A 与 B 的大小关系；
（2）指出 A 与 C 哪个大？并说明理由。
4、已知 44
1
,
36
1
,
24
1
?
?
?
?
?
? ca
ac
cb
bc
ba
ab
，求 cabcab
abc
?? 的值。
5、若 m2-2m=1，求代数式 4m3-6m2-9m
m
1
? +2017 的值。
6、已知 a+b=4n+2,ab=1,若 19a2+155ab+19b2=2017，求 n 的值。
真题再现
1、已知 a-b-2=0，则 4ab-(a+b)2+7 的值= 。
2、若 a-x2=1,b-x2=2,c-x2=3，且 abc=2013.求
cbaab
c
ac
b
bc
a 111
????? 的值。
专题：判别式法解二次三项式
【知识结构】
判别式法，通过判别式解答问题，即对一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)判别式为? =b2-4ac,
当? >0 时，方程有两个不相等的实数根，当 ? =0 时，方程有两个相等的实数根；当? <0
时，方程没有实数根。判别式法在化简，构造求值，构造相关、证明题、综合应用等方面有
广泛应用。
【例题解析】
例题 1 已知关于 x 的方程 x2+2(m+1)x+m2+5=0 有两个不相等的实数根，化简：
441 2 ???? mmm
练习 若关于 x的方程（m-2）x2-2(m-1)x+m-3=0 有实数根，试讨论关于 x 的方程
（m-6）x2-2(m+1)x+m=0 的根的情况。
例题 2 已知 a，b，c 为△ABC 的三边，当 m>0 时，关于 x 的方程 c(x2+m)+b(x2-m)-2 m ax=0
有两个相等的实数根，试说明△ABC 的形状.
练习：如果一直角三角形的三边为 a， b， c，∠ B=90°，试判断关于 x 的方程
a(x2-1)-2cx+b(x2+1)=0 的根的情况。
例题 3 已知 x2-ax+3-b=0 有两个不相等的实数根，x2+(6-a)x+6-b=0 有两个相等的实数根，
x2+(4-a)x+5-b=0 无实数根，求 a，b 的取值范围；
练习：设两个方程 x2+4ax+4a2+a=0，x2+2 (a-1)x+a2=0 中至少有一个方程有实数根，求 a 的取
值范围。
例题 4 已知 x，y，z 为实数，且满足 0782 ???? xyzx 和 06622 ????? xyzzy ，求
证：1≤x≤9.
? ? 0)(
4
3)(22 ?????? caxcaxcb
练习 已知 x，y，z 为实数且满足 1??? zyx ，xy=z2-7z+14，在 z 为何值时， 22 yx ? 取
到最大值？最大值是多少？
【作业】
1. 若关于 a 的二次三项式 ka2+4a+1 是一个完全平方式,则 k 的值 ( )
A．1 B．2 C．4 D．
4
1
2．关于 x 的方程 02 ??? axx ，给出下列四个结论：
①存在实数 a，使得方程恰有 2 个不同的实根；
②存在实数 a，使得方程恰有 3 个不同的实根；
③存在实数 a，使得方程恰有 4 个不同的实根；
④存在实数 a，使得方程恰有 6 个不同的实根；
其中正确的结论个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 若 二 次 三 项 式 3x2-x+m 能 在 实 数 范 围 内 分 解 因 式 , 则 m 的 取 值 范 围
是： . .
4. 实数 x，y，z 满足 x+y +z=5,xy+yz+zx=3,则 z 的最大值是________.
5．已知 a，b，c为△ABC 的三边的长，方程
有两个相等的实数根，求证：△ABC 是等腰三角形。
6．若关于 x 的不等式组
?
?
?
??
??
23
2
ax
ax
有解，求函数
4
1)3( 2 ???? xxay 的图象与 x轴的交
点个数。
7.若 21 , xx 是关于 x 的方程 x2+bx+c=0 的两个实数根，且 kxx 221 ?? （k 是整数），则称方
程 x2+bx+c=0 为“偶系二次方程”，例如 x2-6x-27=0,x2-2x-8=0,x2+3x-
4
27
都是“偶系二次方程”；
（1）判断方程 x2+x-12=0 是否是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数 b，是否存在实数 c，使得关于 x 的方程 x2+bx+c=0 是“偶系二次方
程”，并说明理由。
8．已知实数 x，y，z 满足 x+y +z=0，xyz=2，求 zyx ?? 的最小值。
专题：不定方程
【知识结构】
不定方程（组）是指未知数的个数多于方程（组），其特点是它的解一般有多个，不能
唯一确定.
一、如何确定不定方程（组）的解？
不定方程（组）往往会给出限定条件，求的往往是不定方程（组）特殊解，如整数解、
正整数解、自然数解等等.
【例题解析】
例 1. 二元一次方程 2x+y=6 有 个解；有 个自然数解；有 个正整数解.
小结：求不定方程（组）的解，关键是看清题目要求，做到不漏不重.
练习 1.试试你的理解能力（求下例不定方程的正整数解）：
(1) x+y=5; (2) 2x+3y=11; (1) 5x+2y=24; (2) 4x+3y=50.
例 2.适当提高：求方程 x+y+xy=2008 的正整数解.
小结：利用因式分解将不定方程转化为二元一次方程组求解.
练习 1.求方程 x
2
-y
2
=105 的正整数解.
练习 2.求方程（x+1）
2
+(y-2)
2
=1 的整数解有 组.
二、不定方程（组）的应用
不定方程（组）应用广泛，解决问题的关键是——充分挖掘题目隐含的条件，进而确定方
案.
例题.数学趣题：
我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题，鸡翁一，值钱五；
鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？
【练习】
1. 假期到了，17 名女教师去外地培训，住宿时有 2 人间和 3 人间可供租住，若每个房间都
要住满，那么她们有几种租住方案（ ）
A.2 种 B.3 种 C.4 种 D.5 种
2. 地震期间为了紧急安置 60 名地震灾民，需要搭建可容纳 6 人或 4 人的帐篷，若所搭建
的帐篷恰好能容纳这 60 名灾民，则不同的搭建方案有（ ）
A.4 种 B.6 种 C.9 种 D.11 种
3.二中团委与社区联合举办“保护地球，人人有责”活动，选派 20 名学生分三组到 120 个
店铺发传单，若地一、二、三小组每人分别负责 8、6、5 个店铺，且每组店铺至少有两个
人，则学生分组方案有（ ）
A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种
4.现有球迷 150 人欲同时租用 A、B、C三种型号的客车去观看世界杯足球赛，其中 A、B、C
三种型号客车的载客量分别为 50 人、30 人、10 人，要求每辆车必须满载，其中 A型号客
车最多租两辆，则球迷们一次性达到赛场的租车方案有（ ）
A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种
5.小明决定买一些书包送给灾区的小朋友，超市中有 A、B、C 三种款式，其中 A 款每个 30
元，B款每个 40 元，C款每个 50 元，小明买了三款书包共 10 个，用了 400 元，问这三款
书包分别买了几个？
反思：若将题目中“小明买了三款书包共 10 个”改成“小明买了 10 个书包”，那么方案共
有哪几种？
6.某商场计划拨款 9 万元从厂家购进 50 台电视机，已知该厂生产甲、乙、丙三种不同型号
的电视机，出厂价分别为每台 1500 元、2100 元、2500 元.
（1） 某商场同时购进其中两种不同型号的电视机共 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商
场的进货方案；
（2） 某商场销售一台甲，乙，丙型电视机分别可获利 150 元、200 元、250 元.在同时购
进两种不同型号电视机的方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？
（3） 若商场准备用9万元同时购进这三种不同型号的电视机共50台，请你设计进货方案.
7.某车间共有 20 位工人，生产甲、乙、丙三种型号的零件，因受金融风暴 影响，该车间每
天只需生产甲、乙、丙三种零件共 50 件.如果丙型零件至少生产 3 件， 每人每天生产的零
件数与每个零件产值的数据如下表：
型号 每人每天生产零件数（件） 每个零件产值（元）
甲型 3 400
乙型 2 500
丙型 1 600
（1）问生产甲、乙、丙三种型号零件的工人分别有多少人？
（2）若使车间每天生产的产值最高，则生产三种型号零件的工人各有多少人？
三．解方程（组）拓展
【例题解析】
例 1.
? ?
12
1 2 5 22
4
x y z
x y z
x y
? ? ??
? ? ? ??
? ??
? ?
4 2 0
2 2 3
2 2 4
x y z
x y z
x y z
? ? ??
? ? ? ??
? ? ? ? ??
? ?
: : 1: 2 : 7
3
2 3 21
x y z
x y z
??
? ? ? ??
例 2.在实数范围内解下列方程或方程组：
【练习】解方程或方程组：
? ?
2 21 11 2 0
1
x x y
x
? ? ?
? ? ?
?
? ? 2 22 3 3 3 0x xy y x y? ? ? ? ? ?
? ? 2
2
3
2 4
x y z
xy z
? ? ??
?
? ??
? ?1 1 2 2 1 1 3 0x x y? ? ? ? ? ? ? ? 2 22 5 6 2 14 8 10 0x xy y x y? ? ? ? ? ?
? ?4 2 1 3 2 5 0x y x y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 23 1 4 8x y xy? ? ?
专题：含绝对值的函数
【知识结构】
1. 将含字母系数的绝对值方程转化为求函数图象的交点问题进行解决。
2. 通过数形结合思想和分类讨论思想解决字母系数的绝对值方程。
【例题解析】
例题 1 已知函数 y=∣x-2∣+1,当自变量 x 满足-1≤x≤m时，函数值 y的取值范围是 1≤y
≤4，则实数 m 的取值范围是： .
练习 : 已知函数 y=∣x-3∣-∣x+2∣,求 y 的最大值与最小值.
例题 2 设直线 y=ax+2 与函数 y=∣x-1∣-∣x-2∣+2 的图象交于三个不同的点，求实数 a的取
值范围。
练习 ：方程 2x-1=a∣x-1∣有两个实数解，求实数 k 的取值范围。
例题 3 已知函数 f(x)= ∣8-2x-x2∣和一次函数 y=kx+k(k 为常数)，这两个函数图象有（ ）
个交点。
练习 ：若函数 y=b 的图象与函数 y= x2-3∣x-1∣-4x-3 的图象恰有三个交点，则 b 的可能值
为： 。
例题 4 已知函数 y=∣x2-2ax∣,其中 a 为常数
（1） 当 0≤x≤1 时，y 的最大值为 2，求 a的值；
（2） 若 a>0,当 0≤x≤2 时，y≤2,求 a 的取值范围；
（3） 当 a=-1 时，关于 x 的方程∣x2-2ax∣＝m∣x-1∣有四个不同的实数解，求 m 的取值
范围。
练习：已知关于 x 的多项式 x2+bx+c,其中 b,c 是常数；
（1）当 b=2,c=-3 时，求多项式 x2+bx+c 的最小值；
（2）当 c=5 时，函数 y=x2+b∣x∣+c,若 y≥1,求 b 的取值范围；
（3）当 c=b2时，令 y=x2+bx+c，当 b≤x≤b+3 时，函数值 y 的最小值为 21，求此时二次函
数的解析式。
【作业】
1. 已知函数 y=∣x-1∣+∣x-5∣+∣x+2∣的最小值是( )
A．5 B． 6 C．7 D．8
2.已知 x 是正实数，则 y=∣x-1∣+∣2x-1∣+∣3x-1∣+∣4x-1∣+∣5x-1∣的 y最大值是
A．2 B． 3 C．4 D．5
3. 若方程∣x2-4x+3∣+ k=0 有三个根，则 k 的值是： 。
4.t 为常数，函数 y=∣x2-2x-t∣在 0≤y≤3上的最大值为 2，则 t的值： 。
5.已知如图所示，函数 )62(
3
1 2 ??? xxy 对应的曲线依次交 x轴正负半轴于点 A,B；
（1）求直线 y=
3
4
与该曲线所有交点的坐标；
（2）过点作两条互相垂直的直线分别交该曲线于点 C,D 两点，且点 C 落在 A 点右侧，D 点
落在 A,B 之间，若 AD=AC,求△ADC 的面积。
6.已知：关于 x 的方程 x 2 ? ( m ? 1) x ? m ? 2 ? 0 有两异号实数根 x1 , x2 ，且
x1> 2x ,若 x12 ? x22 ? 8 .
（1） 求 m 的值；
（2） 若函数 y ? x 2 ? bx ? c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标为 ? x1 ?1 ，
7. 已知关于 x 的多项式 x 2 -2|x－m|+1,其中 m 为常数.
（1）若 m=0,求方程 x
2
－2|x－m|＋1=0 的根；
（2）令 y= x
2
－2|x－m|＋1,当 0＜m≤1 时,求 y 的最小值(用含 m 的代数式表示）；
（3）若方程 x
2
－2|x－m|＋1=1.5 恰有三个实数根,求 m 的值.
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