浙江省丽江市青田二中2018 年秋九上数学期末复习汇编学案（B本,无答案）

2018 年秋九上数学
青
田
二
中
数
学
期
末
复
习
汇
编
（B）
班级：___________ 姓名：______________
【基础篇】
第二章 简单事件的概率
【知识回顾】
1.在一定条件下必然会发生的事件叫做__________；
2.在一定条件下必然不会发生的事件叫做__________；
3.在一定条件下_______________________叫做不确定事件（或随机事件）.
4.在数学上，事件发生的可能性大小也称为事件发生的______.必然事件发生的概率为_____.
不可能事件发生的概率为 _____.若用 P（A）表示不确定事件 A 发生的概率，则
_____5.如果事件发生的各种可能结果的可能性______，且互相排斥，结果总数为 n，其中事件 A
包含其中的结果数为 m（m6.可以通过大量重复试验，用一个事件发生的_____来估计这一事件发生的概率.
一、知识点 1 判断事件类型
1.（乌兰擦布中考）下列说法正确的是（ ）
A．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”这一事件发生的概率为 0.5
B．“对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”这一事件是必然事件
C．“钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形外部”这一事件是随机事件
D．“同位角相等”这一事件是不可能事件
2.已知实数 a<0，则下列事件中是必然事件的是（ ）
A．3a>0 B. a -3<0 C. a+3<0 D. a?>0
二、知识点 2 概率的计算
1.（2017·衢州）在一个箱子里放有一个白球和 2 个红球，他们除颜色外其余都相同。
从箱子里摸出一个球，则魔道红球的概率是________.
2.（2017·丽水）如图，由 6 个小正方形组成的 2x3 网格中，任取 5 个小正
方形是轴对称图形的概率是_______
3.（常州中考）甲、乙、丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和
季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序.
（1）求甲第一个出场的概率；
（2）求甲比乙先出场的概率.
三、知识点 3 用频率估计概率
（2018·武汉）下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况
移植总数 n 400 1500 3500 7000 9000 14000
成活数 m 325 1336 3203 6335 8073 12628
成活的频率（精确到 0.01） 0.813 0.891 0.915 0.905 0.897 0.902
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是________.
四、知识点 4 游戏公平性
（2017·青岛）小军和小华做摸球游戏：A 袋装有编号为 1,2,3 的三个小球，B 袋装有
编号为 4,5,6 的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同.从两个袋子中分别随机摸出一
个球，若 B 袋摸出小球的编号与 A 袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜，
这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
【作业】
一、选择题
1. 不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的 6个球，其中 4个黑球、2个白球，
从袋子中一次摸出 3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A. 摸出的是 3个白球 B. 摸出的是 3个黑球
C. 摸出的是 2个白球、1个黑球 D. 摸出的是 2个黑球、1个白球
2. 三张外观相同的卡片分别标有数字 1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的
数字恰好都小于 3的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 一个口袋中装有 3个绿球，2个黄球，每个球除颜色外其它都相同，搅均后随机地从中
摸出两个球都是绿球的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
5. 箱子里放有 2个黑球和 2个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个
球，恰好为 1个黑球和 1个红球的概率是______ ．
6. 小玲在一次班会中参加知识抢答活动，现有语文题 6道，数学题 5道，综合题 9道，她
从中随机抽取 1道，抽中数学题的概率是______．
7. 已知一次函数 y=kx+b，k从 1、-2中随机取一个值，b从-1、2、3中随机取一个值，则
该一次函数的图象经过一、二、三象限的概率为______．
三、计算题
8. 在一个不透明的盒子中，装有 3个分别写有数字 1，2，3的小球，他们的形状、大小、
质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取 1个小球，记下小球上的数字后放回
盒子，搅拌均匀后再随机取出 1个小球，再记下小球上的数字．
（1）用列表法或树状图法写出所有可能出现的结果；
（2）求两次取出的小球上的数字之和为奇数的概率 P．
9. 全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划．假定生男生女的概率相同：
（1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是男孩的概率是_________；
（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率．
四、解答题
10. 在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签的方式从 3篇不同的文章中抽取一篇
参加比赛，抽签规则是：在 3个相同的标签上分别标注字母 A、B、C，各代表 1篇文
章，一名学生随机抽取一个标签后放回，另一名学生再随机抽取．用画树状图或列表的
方法列出所有等可能的结果，并求甲、乙抽中同一篇文章的概率．
11. 小兰和小颖用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇
形，转动两个转盘各一次，若两次指针所指数字之和小于 4，则小兰胜，否则小颖胜（指
针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
12. 央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注我市某校就“中华文化我传承--地方
戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查．对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚
不完整的统计图．请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：
A表示“很喜欢”
B表示“喜欢”
C表示“一般”
D表示“不喜欢”．
（1）被调查的总人数是______人，扇形统计图中 C部分所对应的扇形圆心角的度数为
______；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生 1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中 A类有______
人；
（4）在抽取的 A类 5人中，刚好有 3个女生 2个男生，从中随机抽取两个同学担任两
角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．
13. 学校召集留守儿童过端午节，桌上摆有甲、乙两盘粽子，每盘中盛有白粽 2个，豆沙粽
1个，肉粽 1个（粽子外观完全一样）．
（1）小明从甲盘中任取一个粽子，取到豆沙粽的概率是______；
（2）小明在甲盘和乙盘中先后各取了一个粽子，请用树状图或列表法求小明恰好取到
两个白粽子的概率．
14. 甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶 10次，每次射靶的成绩如下：
甲：9，10，8，5，7，8，10，8，8，7
乙：5，7，8，7，8，9，7，9，10，10
丙：7，6，8，5，4，7，6，3，9，5
（1）根据以上数据完成下表：
平均数 中位数 方差
甲 8 8 ______
乙 8 8 2.2
丙 6 ______ 3
（2）根据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由；
（3）比赛时三人依次出场，顺序由抽签方式决定，求甲、乙相邻出场的概率．
第四章 相似三角形
【知识结构】
1. 比例的基本性质：
2. 一般地，如果三个数 cba ,, 满足比例式
c
b
b
a
? （或 cbba :: ? ），那么b就叫做 ca, 的
3. 若点 P 是线段 AB 的黄金分割点，则有
4.三角形相似的判定定理：
5. 相似三角形的性质：
①对应角 ，对应边
②两相似三角形对应角平分线、中线、高线之比等于
③两相似三角形周长之比等于 ，面积之比等于
6. 相似多边形的性质：
①对应角 ，对应边
②相似多边形周长之比等于 ，面积之比等于
A BP
【例题解析】
例题 1 已知
3
7
a
b
? ,则
a b
b
?
= .
练习 线段 AB=2,点 P 为线段 AB 的黄金分割点(PB＞PA),则 AP= ,BP= .
例题 2 已知:如图,DE∥BC,AF∶FB=AG∶GE。求证:ΔAFG∽ΔAED。
练习 已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:ΔAEF∽ΔACB.
例题 3 如图 13,在平行四边形 ABCD 中,点 E 为 CD 边的中点,AE 交 BD 于点 D, DOES△ =12cm
2
,
则 AOBS△ = cm
2
.
练习 如图，如图用一根铁丝分成两段可以分别围成两个相似的五边形，已知它们的面积比
是 1：4，其中小五边形的边长为(x?-4)cm，大五边形的边长为（x?+2x）cm（其中 x>0）．求
这这根铁丝的总长．
例题 4在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，
那么这根旗杆的高度为（ ）
A．10m B．12m C．15m D．40m
练习 如图 10,在 Rt△ABC 中,∠BAC=Rt∠,AB=AC= 2 ,点 D 在线段 BC 上运动,∠ADE=45°,
求线段 CE 的最值.
【作业】
1.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5cm，6cm 和 9cm，
另一个三角形的最短边长为 2.5cm，则它的最长边为（ ）
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
2.如图，四边形 ABCD为平行四边形，E、F 为CD边的两个三等分点，连接 AF 、BE交
于点G，则 :EFG ABGS S? ? ?（ ）
A．1:3 B．3:1 C.1:9 D．9 :1
3.由5 8a b? ,可得比例式 .
4.数 3,6 的比例中项是 ,线段 a =3cm, b =6cm,则线段 a , b 的比例中项
是 .
5.已知△ABC∽△DEF,且△ABC 与△DEF 的相似比为 ,则 = ,
= ,
ABC
DEF
C
C
△
△ = ,
ABC
DEF
S
S
△
△ = .
6.如图 14,CD∥AB,CE平分∠BCD,BE平分∠ABC,AD过点 E,且∠D=∠A=Rt∠.请写出三个比例
式 .
7.已知:如图 15,AD,BC 交于点 O,AO·DO=CO·BO.求证:△ABO∽△CDO.
8.如图 16,已知 AD 是△ABC 的角平分线,且 : 4 :3BD DC ? ,AC=15,求 AB 的长.
9.已知:如图,ΔABC中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC∽ΔEAD.
【提高篇】
第二章 简单事件的概率
【知识结构】
1.事件的类型：______________ _________________ ________________;
2.概率
（1）P（不可能事件）=________; (2)P(必然事件)=_____________;
(3) _______3.可能事件的概率公式 P=_____________
【例题解析】
例题 1 在四张背面完全相同的纸牌 A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形
（如图），小华将这 4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用 A、B、C、D表
示）；
（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．
练习：一只不透明的袋子中装有 2个白球和 1个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中
任意摸出 1个球（不放回），再从余下的 2个球中任意摸出 1个球．
（1）用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；
（2）求两次摸到的球的颜色不同的概率．
例题 2 为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分
市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：
其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计
图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了______ 名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是
______ °；
（2）请补全条形统计图；
（3）若甲、乙两人上班时从 A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰
好选择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解．
练习：小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间 t（单位：分），将获得的数据分
成四组，绘制了如下统计图（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，C：20＜t≤30，D：t＞30），根据
图中信息，解答下列问题：
（1）这项被调查的总人数是多少人？
（2）试求表示 A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；
（3）如果小明想从 D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，
请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．
例题 3 把八个完全相同的小球平分为
两组，每组中每个分别协商 1，2，3，4四个数字，然后分别装入不透明的口袋内搅匀，从
第一个口袋内取出一个数记下数字后作为点 P的横坐标 x，然后再从第二个口袋中取出一个
球记下数字后作为点 P的纵坐标，则点 落在直线 上的概率是
A. B. C. D.
练习：在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有 3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中
的小球上分别标有数字 0，1，2；乙袋中的小球上分别标有数字-1，-2，0．现从甲袋中任意
摸出一个小球，记其标有的数字为 x，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为 y，
以此确定点 M的坐标（x，y）．
（1）请你用画树状图或列表的方法，写出点 M所有可能的坐标；
（2）求点 M（x，y）在函数 的图象上的概率．
例题 4 如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑 3个小正方形所形成的图案．
（1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概率是多少？
（2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取 2个涂黑，得到新图案．请
用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率．
练习：如图，转盘 A的三个扇形面积相等，分别标有数字 1，2，3，转盘 B的四个扇形面积
相等，分别有数字 1，2，3，4．转动 A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇
形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．
【作业】
1. 不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的 6个球，其中 4个黑球、2个白球，从
袋子中一次摸出 3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A. 摸出的是 3个白球 B. 摸出的是 3个黑球
C. 摸出的是 2个白球、1个黑球 D. 摸出的是 2个黑球、1个白球
2. 三张外观相同的卡片分别标有数字 1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数
字恰好都小于 3的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知袋中有若干个球，其中只有 2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出
一个，摸到红球的概率是 ，则袋中球的总个数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. 一个不透明的布袋里装有 5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从
袋中任意摸出 1个球，是黄球的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 一个不透明的口袋中装有 4 个球，分别是红球和白球，这些球除颜色外都相同，将球搅
匀，先从中任意摸出一个球，恰好摸到红球的概率等于 ．
（1）求口袋中有几个红球？
（2）先从中任意摸出一个球，从余下的球中再摸出一个球，请用列表法或树状图法求两次
摸到的球中一个是红球和一个是白球的概率．
6. 小明学习电学知识后，用四个开关按键（每个开关按键闭合的可能性相等）、一个电源
和一个灯泡设计了一个电路图
（1）若小明设计的电路图如图 1（四个开关按键都处于打开状态）如图所示，求任意闭合
一个开关按键，灯泡能发光的概率；
（2）若小明设计的电路图如图 2（四个开关按键都处于打开状态）如图所示，求同日时闭
合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法）
7. 甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有 3个分别标有数字 1，2，3 的小球，乙口袋中
装有 2个分别标有数字 4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出
一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结
果；
（2）求出两个数字之和能被 3整除的概率．
第四章 相似三角形
【知识结构】
1、通过寻找或构造相似三角形，计算线段长度，比例线段的证明，角相等的证明等。
2、利用相似三角形的性质解决实际问题。
3、做平行线构造相似三角形是常用的辅助线。
3、几何变换中的函数问题，利用相似三角形构造线段的比或面积的比是常用的方法。
【例题精讲】
【例 1】 如图. 平面上有一幢建筑物 AB 与铁塔 CD 相距 60 米，另
一建筑物 EF 与铁塔相距 20 米.某人发现 AB 的顶端 A 与建筑物 EF
的顶端 E，铁塔的顶端 C 恰好在一条直线上.已知 AB 高为 15 米，EF
高为 25 米，求铁塔的高.
【练习】 （用另一类不同的方法完成上题）
【例 2】已知：如图，在 △ ABC中，∠BAC＝90°，正方形 DEFG的四个顶点在△ ABC
的边上，连结 AG，AF分别交 DE于 M，N两点.
若 AB＝AC＝1，求 MN的长；
【练习】已知：如图，在 △ ABC中，∠BAC＝90°，正方形 DEFG的四个顶点在△ ABC
的边上，连结 AG，AF分别交 DE于 M，N两点.
求证：MN2=DM·EN
【例 3】如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC、BD 交于点 O，BE∥CD 交 CA 延长线于
E. 求证：OC2＝OA·OE
【练习 1】如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于 D，AC=CE，AE交 CD于 F.
求证:CE?=AF?AE.
【练习 2】如图，菱形 ABCD中，AF⊥BC于 F，AF交 BD于 E.
求证：AD?=(1/2)DB?DE.
【例 4】如图， ABC△ 中，D E、 分别是边 BC AB、 的中点， AD CE、 相交于G．
求证：
1
3
GE GD
CE AD
? ? ．
【练习】D 是△ABC 中 BC 边上的中点，E 是 AB 上一点，且 AE＝6，BE＝4，连 ED 并延长交
AC 的延长线于 F，求 AF:CF 的值.
【例 5】如图， ABC? 是一块锐角三角形余料，边长 120BC ? 毫米，高 80AD ? 毫米，要把
它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别
在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
【练习】△ABC 中的内接矩形 EFGH，EF:FG＝5:9，高 AD＝16cm，BC＝48cm，求矩形 EFGH
的面积.
【例 6】如图,抛物线 y=ax2+bx+c(a<0)交 x轴于点Ａ(-1,0)、
B(3,0),交 y 轴于点C,顶点为D,以BD为直径的⊙M恰好过
点 C.
(1)求顶点Ｄ的坐标(用 a表示)；

K
D
H
G
CB
A
F
E
B CD
G
E
A

D
C
B A
F
E
(2)求抛物线的解析式；
(3)求四边形 BOCD的面积.
【练习】如图,已知抛物线的对称轴是直线 x=4,该抛物线
与 x轴交 于 A,B两点,与 y轴交于 C点,且 A、C点的坐
标分别是(2,0)、(0,3)
（1）求抛物线的解析式
（2）抛物线上有一点 P,满足∠PBC=90°,求点 P的坐
标.
（3）求四边形 BOCP的面积.
【例 7】正方形 ABCD边长为 4，M 、N 分别是 BC、CD上的两个动点，当M 点在BC
上运动时，保持 AM 和MN垂直，
（1）证明：Rt RtABM MCN△ ∽ △ ；
（2）设 BM x? ，梯形 ABCN 的面积为 y，求 y与 x之间的函数关
系式；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt RtABM AMN△ ∽ △ ，求 x的
值．
Q
P
C
B
A
【练习 1】
如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，动点M，N从点 C同时出发，均
以每秒 1cm的速度分别沿 CA、CB向终点 A，B移动，同时动点 P从点 B出发，以每秒 2cm
的速度沿 BA向终点 A移动，连接 PM，PN，设移动时间为 t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当 t为何值时，以 A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻 t，使四边形 APNC的面积 S有最 小值？
若存在，求 S的最小值；若不存在，请说明理由．
【练习 2】如图，在△ABC 中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点 P 从 A 点出发，沿 AB 以每
秒 4cm 的速度向点 B 运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，
设运动的时间为 x。
（1）当 x 为何值时，PQ∥BC？
（2）当
3
1
?
?
?
ABC
BCQ
S
S
，求
ABC
BPQ
S
S
?
?
的值；
（3）△APQ 能否与△CQB 相似？若能，求出 AP 的长；若不能，请说明理由。
【练习 3】在直径为 AB的半圆内，划出一个三角形区域，使三角形的一边为 AB，顶点 C
在半圆周上，现要建造一个内接于△ABC 的矩形水池 DEFN，其中 DE 在 AB 上，如图，设计方
案是使 AC=8，BC=6.
（1）求△ABC 中 AB 边上的高 h；
（2）设 DN=x，NF=y，求 y 关于 x的函数关系式；
（3）当 x为何值时，水池 DEFN的面积最大，其最大面积是多少？
（4）实际施工时，发现在 AB上距 B点 1.85的 M处有一棵大树，
问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护
大树，请你设计另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲
建的最大水池能避开大树；如果不在,请说明理由.
专题：不等式的拓展
【知识结构】
1.不等式的性质
（1）a（2）a（3）ac
b
c
a ____
2.解一元一次不等式的 xx ??? 132 ）（
3.解一元二次不等式 012- 2 ??? xx
【例题解析】
例题 1 关于 x的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求 m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的 m的值，并求此时方程的根．
练习：已知关于 x的一元二次方程 x2+2x-（m-2）=0有实数根．
（1）求 m的取值范围；
（2）若方程有一个根为 x=1，求 m的值及另一个根．
例题 2 已知关于 yx, 的方程组
?
?
?
??
??
52
52
yx
ayx 的解满足 0,0 ?? yx
（1）求 a的取值范围；（2）化简
2
12 ??? aa
.
练习：已知方程组 是一个关于 x、y的二元一次方程组，其中 x与 y的和
是负数，
（1）求 m的取值范围 （2）化简： mm ??? 61
例题 3 根据下列要求，解答相关问题
（1）请补全以下求不等式-2x2-4x≥0的解集的过程
①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数 y=-2x2-4x；并在下面的坐标系中（见
图 1）画出二次函数 y=-2x2-4x的图象（只画出图象即可）
②求得界点，标示所需；当 y=0时，求得方程-2x2-4x=0的解为______ ；并用锯齿线标示出
函数 y=-2x2-4x图象中 y≥0的部分．
③借助图象，写出解集；由所标示图象，可得不等式-2x2-4x≥0的解集为______ ．
（2）利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式 x2-2x+1＜4的解集
①构造函数，画出图象 ②求得界点，标示所需 ③借助图象，写出解集
（3）参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于 x
的不等式 ax2+bx+c＞0（a＞0）的解集．
练习：对于三个数 a，b，c，M 表示 a，b，c这三个数的平均数，min 表示 a，b，
c这三个数中最小的数，如：
M ，min ＝－1；
M ，min ＝ ；
解决下列问题：
(1)填空：min ＝_______；
(2)若 min ＝2，求 x的取值范围；
(3)①若 M ＝min ，那么 x＝_______；
②根据①，你发现结论“若 M ＝min ，则_______”（填 a，b，c
的大小关系）；
③运用②解决问题：
若 M ＝min ，求 x＋y的值．
【作业】
1. 已知：关于 x的方程 3（x-2）=2x+m的解是非负数，求 m的取值范围．
2. 已知关于 x的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是正数，求 k的取值范围．
3. 已知：关于 x的一元二次方程
求证：方程有两个实数根；
当 k为何值时，此方程的两个实数根互为相反数；
我们定义：若一元二次方程 的两个正实数根 ，满足
，则称这个一元二次方程有两个 “梦想根 ” 如果关于 x 的一元二次方程
有两个“梦想根”，求 k的范围．
4. 关于 x的一元二次方程 .
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于 1，求 k的取值范围.
5. 已知关于 、 的二元一次方程组
（1）若方程组的解都是正数，①求 的取值范围。 ②化简：
（2）若 、 的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为 5，求
的值。
6. 已知关于 的方程 ；
（1）当取 m何值时，方程有实数根？
（2）为 m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根.
7. 已知关于 x，y的方程组 的解满足 x＋y＞0，求 m的取值范围．
8. 已知方程组 的解满足 x、y均为非正数.
（1）求 m的取值范围.
（2）化简∣m+2∣-∣m-3∣.
（3）在 m的取值范围内，当 m为何整数时，不等式 2mx+x<2m+1的解集为 x>1.
专题：因式分解拓展
因式分解对于大部分孩子来说都是一个很大的难题。然而只要不断地思考、练习和总结，
你会慢慢发现它并没有想象中的那么可怕的~
分组分解法
例 1. 把多项式 4x2﹣2x﹣y2﹣y 用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（ ）
A.（4x2﹣y）﹣（2x+y2） B.（4x2﹣y2）﹣（2x+y）
C. 4x2﹣（2x+y2+y） D.（4x2﹣2x）﹣（y2+y）
练习：1.分解因式 4﹣x2+2x3﹣x4 ， 分组合理的是（ ）
A.（4﹣x2）+（2x3﹣x4） B.（4﹣x2﹣x4）+2x3
C.（4﹣x4）+（﹣x2+2x3） D.（4﹣x2+2x3）﹣x4
2.下列因式分解错误的是（ ）
A. x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B. x2+y2=（x+y）（x+y）
C. x2﹣xy+xz﹣yz=（x﹣y）（x+z） D. x2﹣3x﹣10=（x+2）（x﹣5）
例 2分解因式：
（1）ab﹣a﹣b+1=______ __． （2）a2﹣6a+9﹣b2=__ ______．
（3）x2+3x（x﹣3）﹣9=___ _____． （4）xy﹣x﹣y+1=____ ____．
（5）a2﹣b2﹣6a+6b=___ _____． （6）b2+c2﹣2bc﹣a2=____ ____．
练习 分解因式：
（1） （2）x2﹣y2﹣3x﹣3y
例 3.若|m﹣4|与 n2﹣8n+16 互为相反数，把多项式 a2+4b2﹣mab﹣n因式分解．
拆项添项法（核心思想：为了促成合适的分组分解，一般促成公式）
例 1.
练习：
例 2.因式分解：
练习：因式分解：
配方法
例 1.用配方法解一元二次方程：
例 2.已知 ,求 x,y 的值.
练习：1.已知 ，求 a,b的值.
2.已知 a,b,c是三角形的三边，且 ，判定三角形形状.
例 3.求下列代数式的最大值或最小值：
742)1( 2 ?? xx 1063)2( 2 ??? aa 22 )2(2)3( xx ??
例 4.把下列二次函数一般式化为顶点式：
待定系数法
思考：求①（x+4）(x-3) ②（x+y+2）（x+y-5）
上式①拆开后必定有 x
2
②式拆开后必定有 x
2
y
2
因此在因式分解时可以将 x
2
y
2
拆成 X乘 X 和 y乘 y然后写到两个因式里。
例 1 因式分解 x2+xy-6y2+x+13y-6
练习：因式分解
1.（1）
2 22 6 10 0m m n n? ? ? ? ?
（2）
2 21 4 2 0
2
x y xy y? ? ? ? ?
2.若二次三项式 ? ?2 32 35 0kx x k? ? ? 能被 2 7x? 整除，试求 k的值。
专题：韦达定理的应用
【知识结构】韦达定理：一元二次方程根与系数的关系，使用前提： .
若 x1，x2是方程 ax?+bx+c=0 的两个根，则 x1+x2= ,x1x2= .
练习：1.若 x1，x2是方程 x?-5x+4=0 的两个根，则 x1+x2= ,x1x2= .
2.若 x1，x2是方程 2x?+4x-3=0 的两个根，则 x1+x2= ,x1x2= .
【例题解析】
例 1. 关于 x 的一元二次方程 x?-x-5=0 的两个实数根为 x1,x2. 求下列各式的值：
例 2.关于 x的一元二次方程 x?-2x+ m =0 的一个根是 1, 求另一个根和 m 的值.
例 3.若方程 2x?-5x+k=0 的两根之比为 2:3，求 k 的值.
例 4.已知一个一元二次方程的二次项系数是 3，它的两根分别是 2,4.请写出这个方程.
例 5.若方程 3x?-4x+k=0 的两根均为正数，则 k的取值范围是 .
例 6.关于x的一元二次方程x?-mx-5=0. 当 m 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？
例 7.已知关于 x的一元二次方程 x2＋3x＋m－1＝0有两个实数根分别为 x1，x2.
(1)求 m的取值范围；
(2)若 2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求 m的值．
? ? ? ?
? ?
1 2
1 2
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 +
2
(3)
1 1(4)
(5) 1 1
6
x x
x x
x x
x x
x x
x x
?
?
?
? ?
?
（）
（ ）
【练习】
1.a,b 是方程 x?+3x+2=0 的两个实数根， 求下列各式的值：
2.关于 x的一元二次方程 x?-2x+ m =0 的一个根是 1 3,? 求另一个根和 m的值.
3.若方程 x?-5x+k=0 的两根之比为 2:3，则 k 的值为 .
4.（1）已知一个一元二次方程的二次项系数是 2，它的两根分别是-1,3.则这个方程
为 .
（2）已知一个一元二次方程的二次项系数是 2，常数项是-14，它的一个根是-7.则这个方
程为 .
5.k 为何整数时，方程 3x?+6x+k=0 有两个负实根？
知识整理：求取值范围的题，一定要考虑根的判别式要大于等于 0！即： .
6.已知关于 x 的方程 3x?+6x+k=0 的两根互为倒数，求 k 的值.
7.已知关于 x 的方程 ( ) 011221 2 =+ --- xkxk 有实数根，试求 k的取值范围.
? ?? ?? ?
? ?
2 2
2 2
1 +
2
(3)
1 1(4)
5 1 1
6
a b
b
a b
a b
a b
a b ab
?
?
? ?
?
（）
（ ）a
专题：含绝对值的一元一次方程
【知识结构】
解绝对值方程的关键是去掉绝对值符号，要去掉绝对值符号，首先要确定方程中所有绝
对值式子的零点，然后运用零点分段法加以解决
【例题解析】
例 1 解方程|x+1|=3x-2|x-1|
提示：方程中有两个含有未知数的绝对值式子：|x+1|和|x-1|，为了去掉绝对值符号，
先要根据两个绝对值式子的零值点划分区间，分别令|x+1|=0 和|x-1|=0 得两个零点-1 和 1，
这两个零点将全体有理数分为三个区间 x＜-1，-1≤x≤1，x＞1，在这三个区间内，分别将
原方程转化为不含绝对值的方程，再去解
例 1. 解方程|2x-1|+|x-2|=|x+1|
小结：含有多个绝对值符号的处理方法是“找零点，划区间”，有时也可以利用绝对值
的几何意义
例 2. 方程||x-2|-1|=a 有三个整数解，求 a 的取值范围
例 4 .2x+|4-5x|+|1-3x|+4 的值恒为常数，求 x 应满足的条件及此常数的值.
例 5.求 a 的取值范围，使方程|x|=ax+1 有一个负根，而且没有正根.
【练习】
1.解下列方程：
(1).|x-|3x+1||=4 (2).解方程|x-5|+|x+1|=6
(3).|x-1|+|x-5|=4 (4）.解方程|x+2|+|x-2006|=2008
(5).解方程|x+3|-|x-1|=x+1 (6).方程|x+5|-|3x-7|=1 的解有
个
2.已知关于 x 的方程|a|x=|a+1|-x 的解是 1，求 a 的取值范围.
3.讨论关于 x 的方程|2x-2|+|2x-5|=a 的解的个数.