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4.6 相似多边形
学习目标 1．了解相似多边形的概念和性质． 2．在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似． 3．会用相似多边形的性质解决简单的几何问题．
学习过程
合作学习如图：四边形A1B1C1D1是四边形ABCD经过相似变换所得的像，求出这两个四边形的对应边的长度，并分别量出这两个四边形各个内角的度数，议一议：这两个四边形的对应角之间有什么关系？对应边之间有什么关系？ 定义：
它们形状相同吗？对应角： 对应边：
它们相似吗？ 注意：
例1 下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对应边呢？ (1) 正三角形ABC与正三角形DEF； (2) 正方形ABCD与正方形EFGH．
例 矩形纸张的长与宽的比为，对开后所得的矩形纸张是否与原来的矩形纸相似？请说明理由．
判断对错并说明理由：(1)两个大小不等的矩形是相似的(2)一个正方形与一个平行四边形相似(3)所有的正六边形都相似(4)两个大小不等的菱形相似(5)各角对应相等菱形都是相似形(6)顺次连结矩形各边中点所得四边形与原四边形相似(7)顺次连结菱形各边中点所得四边形与原四边形相似
1、右面两个矩形相似，求它们对应边的比．
2、如图，两个正六边形的边长分别为a和b，它们相似吗？为什么？
3、一块长为，宽为的矩形材料如图所示，镶在其外围的木质边框，边框的内外边缘所成的矩形相似吗？
1、如图：四边形A1B1 C1D1与四边形ABCD相似，相似比是k，求这两个四边形的周长比． 2、(1)连结第一题图两个相似四边形的对角线BD，B1D1，所得的△CBD和△C1B1D1相似么？另外的一对三角形是否也相似呢？相似比是多少？(2)这两个四边形的面积之比与相似比有什么关系？
相似多边形的性质
作业题
1．在如图所示的相似四边形中，求未知的边长x和角度α的大小．
2．在比例尺为1：100 000的地图上，某开发区的图上面积为25cm2，那么该开发区的实际面积是_________________．
3．如图，在四边形ABCD中，B′，C′，D′分别是AB，AC，AD上的点，B′C′∥BC，C′D′∥CD．判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．
4．将下列各图形的变化与变化的名称用线连起来．
5．如图，矩形∽矩形，且．求的值．
6．如图，四边形∽四边形，点分别在上．当点满足什么条件时，四边形的面积是四边形的面积的？
7．把一个长方形划分成三个全等的长方形(如图)．若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形应满足什么条件？
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4.6 相似多边形
数学浙教版 九年级上
4.6 相似多边形
教学目标
1.了解相似多边形的概念和性质．
2.在简单情形下，能根据定义判断两个多边形相似．
3.会用相似多边形的性质解决简单的几何问题．
重点和难点
本节教学的重点是相似多边形的定义和性质．
要判断两个多边形是否相似，需要看他们的边是否对应成比例、角是否对应相等，情形要比三角形复杂，是本节教学的难点．
如图：四边形是四边形经过相似变换所得的像，
议一议：这两个四边形的对应角之间有什么关系？对应边之间有什么关系？
求出这两个四边形的对应边的长度，并分别量出这两个四边形各个内角的度数，
合作学习
各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
相似多边形对应边的比叫做相似比.
对应顶点的字母写在对应的位置上
定义
这两个六边形是相似六边形
认一认
它们形状相同吗？
对应角：∠与∠，∠与∠……
对应边：与，与……
认一认
议一议
正方形
菱形
它们相似吗？
正方形
矩形
它们呢？
注意：两个多边形相似必须同时具有两个条件．
例1 下列每组图形的形状相同，它们的对应角有怎样的关系?对应边呢？
(1) 正三角形与正三角形；
(2) 正方形与正方形．
解:(1)由于正三角形每个角等于，所以
,,.
由于正三角形三边相等，所以
(2)由于正方形的每个角都是直角，所以；；；
由于正方形的四边相等，所以
．
所有的正方形都是相似多边形
解:
两个矩形纸张相似．
理由如下:
设原来的纸张为矩形,则．
对折线把矩形分为两个全等的矩形.
在矩形中，．
∴．
∴两个矩形的对应角相等,对应边成比例．
∴矩形与矩形相似．
例 矩形纸张的长与宽的比为，对开后所得的矩形纸张是否与原来的矩形纸相似？请说明理由．
(1)两个大小不等的矩形是相似的
(×)
(2)一个正方形与一个平行四边形相似
(3)所有的正六边形都相似
(4)两个大小不等的菱形相似
(5)各角对应相等菱形都是相似形
(6)顺次连结矩形各边中点所得四边形
与原四边形相似
(7)顺次连结菱形各边中点所得四边形
与原四边形相似
(×)
(√)
(×)
(√)
(×)
(×)
判断对错并说明理由:
相似．理由是：各对应角相等，各对应边成比例．
2、如图，两个正六边形的边长分别为和，它们相似吗？为什么？
1、右面两个矩形相似，求它们对应边的比．
练一练
答：不相似．因为内部的矩形的长为,宽为；外部矩形的长为，宽为．
由于，
所以两矩形不相似．
3、一块长为，宽为的矩形材料如图所示，镶在其外围的木质边框,边框的内外边缘所成的矩形相似吗？
1、如图:四边形 与四边形ABCD相似,相似比是,求这两个四边形的周长比．
2、(1)连结第一题图两个相似四边形的对角线，，所得的和相似么？另外的一对三角形是否也相似呢？相似比是多少？
(2)这两个四边形
的面积之比与相似比有什么关系？
相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
相似多边形的性质
相似多边形的周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．
课堂小结
1．各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．
3．相似多边形对应边的比叫做相似比．
2．对应顶点的字母写在对应的位置上．
相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
4．相似多边形的性质
相似多边形的周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．
1.在如图所示的相似四边形中,求未知的边长x和角度α的大小.
x=2.5，α=60°
2.在比例尺为1:100 000的地图上,某开发区的图上面积为25cm2,那么该开发区的实际面积是_________________．
2.5×107 m2
3.如图,在四边形ABCD中,B′,C′,D′分别是AB,AC,AD上的点,B′C′∥BC,C′D′∥CD.判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似,并说明理由.
解：相似,理由如下：
由∥,得，可得，
，.
同理，
由∥，可得,可得,
，.
所以在四边形和四边形中
,
,
,
,
是公共角，
即对应边成比例，对应角相等，所以四边形与四边形′相似.
4.将下列各图形的变化与变化的名称用线连起来.
5.如图,矩形∽矩形,且.求的值.
解：设AB＝a,AD＝b,
根据这两个矩形相似
可得＝,即＝.
整理,得a2-ab-b2＝0,
解这个关于a的方程,
得a＝,
a＝(舍去),
所以＝.
6.如图,四边形∽四边形,点,分别在,上.当点,满足什么条件时,四边形的面积是四边形的面积的?
解：点,分别是,的中点时,四边形的面积是四边形面积的．
7.把一个长方形划分成三个全等的长方形(如图).若要使每一个小长方形与原长方形相似,则原长方形应满足什么条件?
解：设长方形长为a,宽为b,则小长方形长为b,宽为.
由题意,得.
则,
谢谢
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