第4章 图形与坐标专题复习学案
◆考点四：坐标系中的图形平移和对称：
典例精讲：例4.如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格
点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）.（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：
A与A1，B与B1，C与C1相对应）；（2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积。
变式训练：
已知，△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，现将△ABC先向上平移3个单位，再向左平移2个单位．
（1）画出两次平移后△ABC的位置（用△ABC表示）；
（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标；
（3）求△AA1B1的面积．
在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，将△ABC向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度后得到△A′B′C′，
（1）请在图中作出平移后的△A′B′C′
（2）请写出A′、B′、C′三点的坐标；
（3）若△ABC内有一点P（a，b），直接写出平移后点P的对应点的P′的坐标．
3．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣2）三点在格点上．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）直接写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各点坐标；（3）求出△ABC的面积．
4．方格纸中小正方形的顶点叫格点．点A和点B是格点，位置如图．
（1）在图1中确定格点C使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC；
（2）在图2中确定格点D使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD；
（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有 个．
◆考点五：图形与坐标的综合应用：
典例精讲：例5.某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河同一侧的张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系(如图6－1－20)，两村的坐标分别为A(2,3)，B(12,7)．
(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使所用输水管最短？
(2)水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
变式训练：
如图，在平面直角坐标系中，点A的纵坐标为2，点B在x轴的负半轴上，AB=AO，∠ABO=30°，直线MN经过原点O，点A关于直线MN的对称点A1在x轴的正半轴上．
（1）求点B关于直线MN的对称点B1的横坐标；（2）求证：AB+BO=AB1．
典例精讲：例6.如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB=3，AD=5，矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A─B─C─D的路线做匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；
设P点运动时间为t（s）；①当t=5时，求出点P的坐标；②若△ODP的面积为S，②试求出S与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）
变式训练：
1．如图，在平面直角坐标系中，已知点a（0，2），B（4，0），C（4，3）三点．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点坐标．
2.已知点A（a，3），点B（b，6），点C（5，c），AC⊥x轴，CB⊥y轴，OB在第二象限的角平分线上：（1）写出A、B、C三点坐标；（2）求△ABC的面积；
（3）若点P为线段OB上动点，当△BCP面积大于12小于16时，求点P横坐标取值范围．
典例精讲：例7.（1）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为
（2）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是
变式训练：
1.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，3），∠AOB=90°，∠B=30°．将△AOB绕点O顺时针旋转一定角度后得到△A′OB′，并且点A′恰好好落到线段AB上，则点A′的坐标为 （ ）
A．（，） B．（，） C．（﹣，） D．（﹣，）
2.如图，点A的坐标为（1，0），点B在直线y=﹣x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（，﹣） C．（，﹣） D．（﹣，）
巩固提升
1.如图：（1）将△ABO向右平移4个单位，画出平移后的图形．（2）求△ABO的面积．
2．已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′，（1）在图中画出△A′B′C′；（2）写出点A′、B′、C′的坐标；
A′的坐标为 ；B′的坐标为 ；C′的坐标为 ；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△BCP与△ABC面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
3．已知如图，四边形ABCD坐标为A（9，0），B（5，1），C（5，4），D（2，4）．
（1）请在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，然后在平面直角坐标系中画出四边形ABCD．（2）求四边形ABCD的面积。
4．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，1）、B（5，1）、C（7，3）、D（2，5）．
（1）填空：四边形ABCD内（边界点除外）一共有 个整点（即横坐标和纵坐标都是整数的点）；（2）求四边形ABCD的面积．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足
（1）填空：a= ，b= ；
（2）如果在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；
（3）在（2）条件下，当时，在y轴上有一点P，使得△BMP的面积与△ABM的面积相等，请求出点P的坐标．
6．研究性学习：
在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的顶点A的坐标为（2，2）．
（1）若底边BC在x轴上，请写出1组满足条件的点B、点C的坐标： ；
设点B、点C的坐标分别为（m，0）、（n，0），你认为m、n应满足怎样的条件？答：
（2）若底边BC的两端点分别在x轴、y轴上，请写出1组满足条件的点B、点C的坐标： ；设点B、点C的坐标分别为（m，0）、（0，n），你认为m、n应满足怎样的条件是
（2）若底边BC的两端点分别在x轴、y轴上，则B，C一定关于直线y=x对称．
7.在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（，）．运用：（1）如图，矩形ONEF的对角线交于点M，ON、OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为______；
（2）在直角坐标系中，有A（-1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
第四章：图形与坐标专题复习学案答案
◆考点四：坐标系中的图形平移和对称：
典例精讲：例4.
解析：（1）如图， 是△ABC关于直线l的对称图形；
（2）由图得四边形BB1C1C是等腰梯形，，，高是4，
变式训练：
1.解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）A1（3，4），B1（2，2），C1（﹣1，2）；
（3）△AA1B1的面积为：3×3﹣×3×1﹣×2×3﹣×2×1=3.5．
2.解析：（1）如图所示；
（2）由图可知，A′（﹣2，0）、B′（1，1）、C′（0，﹣1）；
（3）∵点P（a，b），∴P′（a﹣2，b﹣3）．
3.解析：（1）如图所示：
（2）如图所示：A2（2，﹣3），B2（3，﹣1），C2（﹣2，2）．
（3）S△ABC=5×5﹣×3×5﹣×1×2﹣×5×4
=25﹣7.5﹣1﹣10=6.5．
4.解析：（1）（2）如图所示：
（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有4个．
◆考点五：图形与坐标的综合应用：
典例精讲：例5.
解析：(1)如图，作点B关于x轴的对称点E，连接AE，则点E为(12，－7)．
设直线AE的函数关系式为y＝kx＋b，则
，解得
∴直线AE的解析式为y＝－x＋5.
当y＝0时，x＝5.
所以当水泵站应建在距离大桥5千米的地方时，可使所用输水管道最短．
(2)如图作线段AB的垂直平分线GF，交AB 于点F，交x轴于点G，设点G的坐标为(x,0)．
在Rt△AGD中，AG2＝AD2＋DG2＝9＋(x－2)2.
在中，，
∵，∴，
解得：，
答：水泵建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村和李村的距离相等
变式训练：
1.解析：（1）如图，过A作AC⊥x轴于C，过B1作BD⊥x轴于D，
∵点A的纵坐标为2，∴AC=2，
∵AB=AO，∠ABO=30°，∴AO=2，OC=，BO=2=OB1，
∵∠B1DO=90°，∠DOB1=30°，
∴B1D=，OD=B1D=3，
∴点B关于直线MN的对称点B1的横坐标3；
（2）∵A关于直线MN的对称点A1在x轴的正半轴上，点B关于直线MN的对称点为B1，
∴线段AB1线段A1B关于直线MN对称，∴AB1=A1B，
而A1B=A1O+BO，A1O=AO，∴AB1=AO+BO．
典例精讲：例6
解析：（1）
（2）①
②
变式训练：
1.解析：（1）∵B（4，0），C（4，3），∴BC=3，
∴S△ABC=×3×4=6；
（2）∵A（0，2）（4，0），
∴OA=2，OB=4，
∴S四边形ABOP=S△AOB+S△AOP
=×4×2+×2（﹣m）=4﹣m，
又∵S四边形ABOP=2S△ABC=12，
∴4﹣m=12，解得：m=﹣8，∴P（﹣8，1）．
2.解析：（1）如图所示：
∵AC⊥x轴，CB⊥y轴，
∴A和C的横坐标相同，B和C的纵坐标相同，
∴A（5，3），C（5，6），
∵B在第二象限的角平分线上，
∴B（﹣6，6）；
（2）∵BC=5﹣（﹣6）=11，
∴△ABC的面积=×11×（6﹣3）=；
（3）设P的坐标为（a，﹣a），
则△BCP的面积=×11×（6+a），
∵△BCP面积大于12小于16，
∴12＜×11×（6+a）＜16，
解得：；
即点P横坐标取值范围为：．
典例精讲：例7.
（1）解析：由原图到图③，相当于向右平移了12个单位长度，象这样平移三次直角顶点是（36，0），再旋转一次到三角形⑩，直角顶点仍然是（36，0），则三角形⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．
故答案为：（36，0）．
（2）解析：当y=0时，，解得x=2，
当x=0时，y=3，
所以，点A（2，0），B（0，3），
所以，OA=2，OB=3，
根据旋转不变性可得△AOB≌△AO′B′，
∴AO′=OA=2，O′B′=OB=3，
①如果△AOB是逆时针旋转90°，则点B′（﹣1，﹣2），
②如果△AOB是顺时针旋转90°，则点B′（5，2），
综上，点B′的坐标是（﹣1，﹣2）或（5，2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）或（5，2）．
变式训练：
1.解析：∵点B的坐标为（0，3），
∴BO=3，
∵∠AOB=90°，∠B=30°，
∴AO=BO=3×=，∠BAO=90°﹣30°=60°，
∵△A′OB′是由△ABC旋转得到，点A′在AB上，
∴A′O=AO，
∴△AOA′是等边三角形，
∴∠AOA′=60°，
过点A′作A′C⊥AO于点C，
则，
∵点A′在第二象限，
∴点A′（﹣，）．故选D．
2.解：过A点作垂直于直线y=﹣x的垂线AB，
∵点B在直线y=﹣x上运动，
∴∠AOB=45°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
过B作BC垂直x轴垂足为C，
则点C为OA的中点，
则OC=BC=
作图可知B在x轴下方，y轴的右方．
∴横坐标为正，纵坐标为负．
所以当线段AB最短时，点B的坐标为（，﹣）
故选：B．
巩固提升
1.解析：（1）如图所示；
（2）S△ABO=4×4﹣×2×4﹣×2×2﹣×2×4=16﹣4﹣2﹣4=6．
2.解析：（1）如图；
（2）由图可知，A′（0，4）；B′（﹣1，1）；C′（3，1）；
故答案为：（0，4）；（﹣1，1）；（3，1）；
（3）设P（0，y），
∵△BCP与△ABC同底等高，
∴|y+2|=3，即y+2=3或y+2=﹣3，解得y1=1，y2=﹣5，
∴P（0，1）或（0，﹣5）．
3.解析：（1）右下边的图形即为所求．
（2）根据题意，可知：S=×3×4+×3×3=10.5．
4.解析：（1）填空：四边形ABCD内（边界点除外）一共有 13个整点．
（2）如下图所示：
∵S四边形ABCD=S△ADE+S△DFC+S四边形BEFG+S△BCG
S△ADE=×2×4=4， S△DFC=×2×5=5
S四边形BEFG=2×3=6， S△BCG=×2×2=2
∴S四边形ABCD=4+5+6+2=17
即：四边形ABCD的面积为17
5.解析：（1）∵|a+1|+（b﹣3）2=0，∴a+1=0且b﹣3=0，
解得：a=﹣1，b=3，故答案为：1，3；
（2）过点M作MN⊥x轴于点N，
∵A（﹣1，0）B（3，0）∴AB=1+3=4，
又∵点M（﹣2，m）在第三象限，∴MN=|m|=﹣m
∴S△ABM=AB?MN=×4×（﹣m）=﹣2m；
（3）当m=﹣时，M（﹣2，﹣）
∴S△ABM=﹣2×（﹣）=3，
点P有两种情况：①当点P在y轴正半轴上时，设点p（0，k）
S△BMP=5×﹣×2×（+k）﹣×5×﹣×3×k=﹣k+，
∵S△BMP=S△ABM，∴﹣k+=3，解得：k=0.3，
∴点P坐标为（0，0.3）；
②当点P在y轴负半轴上时，设点p（0，n），
S△BMP=5n﹣×2×（﹣n﹣）﹣×5×﹣×3×（﹣n）=﹣n﹣，
∵S△BMP=S△ABM，∴﹣n﹣=3，解得：n=﹣2.1
∴点P坐标为（0，﹣2.1），
故点P的坐标为（0，0.3）或（0，﹣2.1）．
6.解析：（1）若底边BC在x轴上，则点B、点C的坐标可以是：（0，0）（4，0）；
设点B、点C的坐标分别为（m，0）、（n，0），则B、C关于点（2，0）对称，
∴m+n=4．
（2）若底边BC的两端点分别在x轴、y轴上，点B、点C的坐标可以是：（2，0）（0，2）；
设点B、点C的坐标分别为（m，0）、（0，n），则点B、C关于直线y=x对称，
∴m=n．
故分别填：（0，0）（4，0），m+n=4，（2，0）（0，2），m=n（m、n≠4、0）．
