第5章：一元一次方程概念专题复习学案
◆考点一：一元一次方程的概念：
典例精讲：例1.
(1)下列方程中，是一元一次方程的是( )
A．x2－4x＝3 B．x＋2y＝1 C．x－1＝0 D．
(2)关于x的方程(m－1)－3＝0是一元一次方程，则应满足的条件为（ ）
A. B. C. D.
（3）．已知x＝5是方程ax－8＝20＋a的解，则a的值是( )
A．2 B．3 C．7 D．8
（4）．下列方程中，解为的方程是( )
A．2x＋5＝1－x B．3－2(x－1)＝7－x C．x－2＝－2－x D．1－x＝x
变式训练：
1.若关于x的方程3x－5＝x－2的解是，则的值为( )
A．2 B. C． D．1
2.若x＝－2是关于x的方程2x＋3m＋5＝0的解，则m的值为_______
3.如果a＝b，那么下列式子不一定成立的是( )
A．a＋c＝b＋c B．c－a＝c－b C．ac＝bc D.
4.下列等式变形正确的是( )
A．若a＝b，则a－3＝3－b B．若x＝y，则
C．若a＝b，则ac＝bc D．若，则b＝d
◆考点二：一元一次方程的解：
典例精讲：例2.
（1）解方程时，把分母化为整数正确的是( )
A. B. C. D.
（2）．与方程2x﹣1=5的解相同的方程是（ ）
A．2（x+1）=5 B． C． D．3x﹣1=7
（3）．已知关于x的方程的解满足|x|=1，则m的值是（ ）
A．﹣6 B．﹣12 C．﹣6或﹣12 D．6或12
变式训练：
1．若关于x的方程kx﹣2x=14的解是正整数，则k的整数值有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.方程x﹣3m=1的解是0，则m=
3.已知a=2x﹣7，b=3（x+2），当a=b﹣2时，则x=
4.已知关于x的方程9x－3＝kx＋14有整数解，那么满足条件的所有整数k＝__________
◆考点三：一元一次方程的解的应用：
典例精讲：例3.
（1）．若2x+3与5x互为相反数，则x=
（2）．比某数的大2的数的相反数是4，则这个数为
（3）. 如果关于的方程与是同解方程，那么=_________
(4)已知关于的方程的解是，其中，且，则代数式
变式训练：
1.方程与方程的解相同，则m的值为_________
2.定义新运算符号“*”的运算过程为，则解方程.的解为________
3.当=_________时，关于的方程的解比关于的方程的解大2.
◆考点四：解一元一次方程：
典例精讲：例4.
（1）； （2）；
（3）； （4） .
变式训练：
解下列方程：
1. 2.
3. 4.
◆考点五：一元一次方程的简单应用：
典例精讲：例5.
()已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，
则
（2）当时，代数式的值与代数式的值的和等于5
（3）已知是方程的解，则代数式
变式训练：
1.用“☆”定义一种新运算：对于任意实数a，b，都有a☆b＝2a－3b＋1.例如：2☆1＝2×2－3×1＋1.若x☆(－3)＝2，则x＝________
2．如图，用黑白两种颜色的纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2020个白色纸片，则n的值为( )
A．671 B．672 C．673 D．674
3.已知是方程的解，则关于x的方程的解为_____
4.已知，．（1）若m1与m2互为相反数，则；
（2）若m1是m2的2倍，则；（3）若m2比m1小1，则
典例精讲：例6.
（1）．一个两位数，个位上的数字是x，十位上的数字比个位上的数字大2，且这个两位数与个位上的数字的差为50，由此列出方程为______________
（2）把2020个正整数1，2，3，4，…，2020按如图方式排列成一个表：
①用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是____________，______________，_________________；
②在①中能否框住这样的4个数，使它们的和等于244？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由．
（3）.设a，b，c，d为有理数，现规定一种新运算＝ad－bc，则满足等式＝1的x
的值为_______________
（4）.已知数列：，，，，，，，，，，，，，，，，…，记第1个数为a1，第2个数为a2，…，第n个数为an，若an是方程(1－x)＝(2x+1)的解，则n＝_____________
变式训练：
1．小明今年12岁，他爷爷60岁，经过（ ）年以后，爷爷的年龄是小明的4倍．
A．2 B．4 C．6 D．8
如图，已知正方形ABCD的边长为24厘米．甲、乙两动点同时从顶点A出发，甲以2厘米/秒的速度沿正方形的边按顺时针方向移动，乙以4厘米/秒的速度沿正方形的边按逆时针方向移动，每次相遇后甲乙的速度均增加1厘米/秒且都改变原方向移动，则第四次相遇时甲与最近顶点的距离是_____厘米．
3.有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则还有1人不能上车．有下列四个等式：
①；②；③；④．
其中正确的是（ ）
A.①② B.②④ C.②③ D.③④
4.小明在做作业时，不小心将一个方程中的一个常数污染至看不清楚，被污染后的方程是：，怎么办呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，于是很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
巩固提升：
1.下列方程中，不是一元一次方程的是( )
A．4x＝2－2x B．0.1y＝2 C．x＋3＝y－5 D．5x－2x＝6x
2．下列等式的变形，不正确的是( )
A．若，则x＋a＝y＋a B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．在解方程时，去分母正确的是( )
A．3(x－1)－2(2x＋3)＝6 B．3(x－1)－2(2x＋3)＝1
C．2(x－1)－2(2x＋3)＝6 D．3(x－1)－2(2x＋3)＝3
4．若关于x的方程2x－a＝x－2的解为x＝3，则字母a的值为( )
A．－5 B．5 C．－7 D．7
5．若关于x的方程3x－5＝x－2m的解是，则m的值为( )
A．2 B. C． D．1
6．若代数式的值是2，则x的值是( )
A．0.75 B．1.75 C．1.5 D. 3.5
7．若x=2是方程ax2+2x﹣8=0的一个解，则a=
8.关于x的方程是一元一次方程，则a＝________?
9.当x=________时，3x+4与﹣4x+6互为相反数．
10.如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为________
11.关于x的方程的解是自然数，则整数k的值为______________________?
12.关于x的方程的解是整数，则整数________
13．如果与的值互为相反数，则
14.一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的3倍，它们的和是12，那么这个两位数是_______
15.已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为_____________
16.解下列方程：(1)4－2(x－3)＝x－5 (2)
(3） （4）－＝3﹒
已知x的值满足方程，求代数式的值
18.已知是方程的解，求代数式的值．
19.我们规定，若x的一元一次方程的解为，则称该方程的定解方程，例如：的解为，则该方程就是定解方程．
请根据以上规定解答下列问题：（1）若x的一元一次方程是定解方程，则
（2）若x的一元一次方程2x=ab+a是定解方程，它的解为a，求a，b的值．
（3）若x的一元一次方程和都是定解方程，求代数式
的值．
第5章： 一元一次方程概念专题复习学案答案
◆考点一：一元一次方程的概念：
典例精讲：例1.
（1）解析：根据一元一次方程的定义，方程中一个未知数，未知数指数为一次，等式两边都为整式，
于是排除了A、B、D，故选择C
（2）解析：∵方程(m－1)－3＝0是一元一次方程，
∴即，，即，故选择D
（3）解析：∵x＝5是方程ax－8＝20＋a的解，
∴，解得：，故选择C
（4）解析：把代入2x＋5＝1－x ，，故A选项错误；
把代入3－2(x－1)＝7－x ，，故B选项正确；
把代入x－2＝－2－x，，，故C选项错误；
把代入1－x＝x，，故D选项错误；
故选择B
变式训练：
1.解析：∵方程3x－5＝x－2的解是，
∴，解得：，故选择A
2.解析：∵x＝－2是关于x的方程2x＋3m＋5＝0的解，
∴，解得：，故答案为
3.解析：D选择项中，当时不成立，故选择D
4.解析：根据等式的性质C选项正确，故选择C
◆考点二：一元一次方程的解：
典例精讲：例2.
（1）解析：方程时，把分母化为整数为
，故选择B
（2）.解析：∵方程2x﹣1=5的解为，
A选择项，B选项，C选项，D选项
故选择C
（3）解析：∵方程的解为
又∵，∴或，解得：或
故选择C
变式训练：
1.解析：方程kx﹣2x=14的解为，
∵解是正整数，∴或或或
∴或或或共4个，故选D
2.解析：∵方程x﹣3m=1的解为
又∵解是0，∴
3.解析：∵a=2x﹣7，b=3（x+2），当a=b﹣2时
∴，解得
4.解析：∵方程9x－3＝kx＋14的解为：
又∵方程有整数解，∴或
解得：或或或
◆考点三：一元一次方程的解的应用：
典例精讲：例3.
（1）解析：∵2x+3与5x互为相反数，∴，解得：
（2）解析：设这个数为，则，解得：
（3）解析：∵方程与是同解方程，
∴，解得：
（4）解析：∵方程的解是
∴化简得：，∴
变式训练：
1.解析：∵方程与方程的解相同，
∴，解得：
2.解析：∵，∴方程转化为：
，解得：
3.解析：∵方程的解比关于的方程的解大2.
∴，解得：
◆考点四：解一元一次方程：
典例精讲：例4.
（1）解析：移项合并得：
方程两边同除以得：
（2）解析：去括号得：
移项合并得：，方程两边同除以2得：
（3）解析：去分母得：
去括号得：
移项合并得：，∴
（4）解析：原方程可化为：
去分母得：
去括号得：
移项合并得：
方程两边同除以38得：
变式训练：
解下列方程：
1. 2. 3. 4.
◆考点五：一元一次方程的简单应用：
典例精讲：例5.
(1)解析：∵方程的解与方程的解互为相反数
∴，解得：
（2）解析：∵的值与代数式的值的和等于5
∴，解得：
（3）解析：∵是方程的解
∴，解得：，
∴
变式训练：
1.解析： ∵x☆(－3)＝2，∴2x－3×(－3)＋1＝2，解得x＝－4.
2.解析：第1个图案中白色纸片有4张，从第2个图案起，每一个图案都比前一个图案多3张白色纸片，所以第n个图案中白色纸片的张数＝4＋3(n－1)＝(3n＋1)张．根据题意，得3n＋1＝2020，解得n＝673.故选C.
3．解析：把y=3代入方程6+（m﹣y）=2y得：6+（m﹣3）=2×3，
解得：m=3；
把m=3代入2m（x﹣1）=（m+1）（3x﹣4）得：6（x﹣1）=4（3x﹣4），
解得：x=．
4．解析：（1）根据题意得+（﹣x+3）=0
去分母，得2x﹣1+5（﹣x+3）=0
去括号，得2x﹣1﹣5x+15=0
移项、合并同类项，得﹣3x=﹣14
系数化1，得x=．
（2）据题意得=2（﹣x+3）
去分母，得2x﹣1=10（﹣x+3）
去括号，得2x﹣1=﹣10x+30
移项、合并同类项，得12x=31
系数化1，得．
（3）据题意得﹣1=﹣x+3
去分母，得2x﹣1﹣5=﹣5x+15
移项、合并同类项，得7x=21
系数化1，得x=3．
典例精讲：例6.
（1）解析：则题意得：
(2)解析：①
②假设能框住这样的4个数，它们的和是244，由题意得x＋x＋8＋x＋16＋x＋24＝244，解得x＝49.因为49为最后一列上的数，所以假设不成立，框不出来这样的4个数
（3）解析：由题意，得×1－×2＝1，
去分母，得3x－4(x+1)＝6，
去括号，得3x－4x－4＝6，
移项，合并同类项，得－x＝10，
两边都除以－1，得x＝－10，
故答案为：－10﹒
（4）解析：解方程(1－x)＝(2x+1)，得x＝，
∵an是方程(1－x)＝(2x+1)的解，
∴，
观察数列，，，，，，，，，，，，，，，，…，可发现规律：为第1组，，，为第2组，每组的个数由2n－1，则第19组由2×19－1＝37，则第19组共有37个数，这组数的最后一个数为：38×9+19＝361，这组数的第一个数为：361－37+1＝325﹒
故答案为：325或361﹒
变式训练：
1.解析：设经过x年后，爷爷的年龄是小明的4倍．
根据题意得：60+x=4（12+x）．
解之得x=4．故选：B．
2.解析 ：设第1次相遇的时间为x秒，依题意有
（2+4）x=24×4，解得x=16；
设第2次相遇的时间为y秒，依题意有
（2+1+4+1）y=24×4，解得y=12；
设第3次相遇的时间为z秒，依题意有
（2+1+1+4+1+1）z=24×4，解得z=9.6；
设第4次相遇的时间为t秒，依题意有
（2+1+1+1+4+1+1+1）t=24×4，解得y=8；
2×16﹣（2+1）×12+（2+1+1）×9.6﹣（2+1+1+1）×8
=32﹣36+38.4﹣40=﹣5.6，
故第四次相遇时甲与最近顶点的距离是5.6厘米．
故答案为：5.6．
3.解析：由题意得：①，②，由①②得，
故④正确； 由①②变形得：，故③正确，故选择D
4.解析：设所缺的部分为，则，
把代入，可求得，故选C．
巩固提升：
1.解析：选择C
2.解析：选择B
3.解析：方程去分母得：，故选择A
4.解析：∵方程2x－a＝x－2的解为x＝3，∴，解得：，故选择B
5.解析：∵方程3x－5＝x－2m的解是，∴解得：，故选择A
6.解析：∵代数式的值是2，∴，解得：，故选择C
7.解析：∵x=2是方程ax2+2x﹣8=0的一个解，∴解得：
8.解析：∵方程是一元一次方程，∴即且，
∴
9.解析：∵3x+4与﹣4x+6互为相反数，∴，解得：
10.解析：∵方程的解为，将代入方程得：，
11.解析：∵方程的解是自然数，∴或或
12.解析：∵方程的解是整数，
∴，即或或或或或，
∴整数值为：或或或
13.解析：∵与的值互为相反数，∴，解得：
14.解析：设十位上的数字为，则个位为，由题意得：，解得：
故这个两位数为
15.解析：将看作整体，可知方程的解为，所以.
16.（1） （2） （3） （4）
17.解析：解方程+1＝x－，去分母，得2(x+1)+6＝6x－3(x－1)，
去括号，得2x+2+6＝6x－3x+3，
移项，合并同类项，得－x＝－5，
两边都除以－1，得x＝5，
∴(－4x2+2x－8)－(x－1)
＝－x2+x－2－x+1
＝－x2－1
＝－25－1＝－26﹒
18.解析：把代入方程，
得：， 解得，
∴原式=．
19.解析：（1）由题意可知x=m﹣2，由一元一次方程可知，
∴，解得
（2）由题意可知x=ab+a﹣2，由一元一次方程可知，
又∵方程的解为a，∴，ab+a﹣2=a，
解得a=2，b=1；
（3）且由题可知：mn+n=﹣，
两式相减得，
∴
