第5章 一次函数应用专题复习学案
◆考点三：一次函数的应用：
典例精讲：例5
如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝－x+n的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点
A（m，4）．（1）求m、n的值；
（2）设一次函数y＝－x+n的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积；
（3）直接写出使函数y＝－x+n的值小于函数y＝2x的值的自变量x的取值范围．
变式训练：
已知一次函数y1＝2x+m与y2＝－x+n的图象都经过点A（－2，3），且与x轴分别交于B，C
两点﹒（1）求出这两个一次函数的解析式；
（2）请在所给的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位）内建立平面直角坐标系，并画出符合题意的图象；（3）求△ABC的面积﹒
典例精讲：例6
某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准．该
市的用户每月应交水费y（元）是用水量x（立方米）的函数，其图象如图所示．
（1）若某月用水量为18立方米，则应交水费多少元？
（2）①求y关于x之间的函数关系式；②若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？
变式训练：
某农场急需铵肥8吨，在该农场南北方向分别有一家化肥公司A、B，A公司有铵肥3吨，每吨售价
750元；B公司有铵肥7吨，每吨售价700元，汽车每千米的运输费用b（单位：元/千米）与运输重
量a（单位：吨）的关系如图所示．
（1）根据图象求出b关于a的函数解析式（包括自变量的取值范围）；
（2）若农场到B公司的路程是农场到A公司路程的2倍，农场到A公司的路程为m千米，设农场从A公司购买x吨铵肥，购买8吨铵肥的总费用为y元（总费用＝购买铵肥费用＋运输费用），求出y关于x的函数解析式（m为常数），并向农场建议总费用最低的购买方案．
典例精讲：例7
如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b与x轴交于点B（6，0），与y轴交于点C，与直线
y2＝x交于点A（m，2）﹒（1）求m的值及直线AB的函数表达式；（2）当x取何值时，y1＞y2；
（3）若M是线段AC上一点，当△OMC的面积是△OAC面积的时，求点M的坐标﹒
变式训练：
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形，例如，
图中的一次函数的图象与x，y轴分别交于点A，B，则△OAB为此函数的坐标三角形。
（1）求函数y=－x+3的坐标三角形的三条边长；?
（2）若函数y=－x+b（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形面积。
典例精讲：例8
甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．（1）求出图中m，a的值；
（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；
（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km．
变式训练：
春天来了，小明骑自行车从家里出发到野外郊游，从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．
（1）直接写出小明开始骑车的0.5小时内所对应的函数解析式
（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？
（3）若妈妈比小明早12分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．
典例精讲：例9.
如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（6，4），E为AB的中点，过点D（8，0）和点E的直线分别与BC、y轴交于点F、G．
（1）求直线DE的函数关系式；
（2）函数y=mx﹣2的图象经过点F且与x轴交于点H，求出点F的坐标和m值；
（3）在（2）的条件下，求出四边形OHFG的面积．
变式训练：
如图，直线l1：y1=﹣x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P（m，3）为直线l1上一点，另一直线l2：y2=x+b过点P，与x轴交于点C．
（1）直接写出m和b的值及点A、点C的坐标；
（2）若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动．设点Q的运动时间为t秒．
①当点Q在运动过程中，请直接写出△APQ的面积S与t的函数关系式；
②求出当t为多少时，△APQ的面积等于3；
巩固提升：
1．某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示，
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若某用户二、三月份共用水40cm3（二月份用水量不超过25cm3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少m3？
2．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：信息读取：
（1）甲、乙两地之间的距离为 km；（2）请解释图中点B的实际意义；
图象理解：（3）求慢车和快车的速度；
（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
问题解决：（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？
3.甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地. 如图，线段OA表示货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：
（1）线段CD表示轿车在途中停留了 h；（2）货车的平均速度是 km/h；
（3）求线段DE对应的函数解析式.
4．草莓是我市多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．
（1）求y与x的函数关系式；（2）求出自变量x的取值范围．
5.受地震的影响，某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表：
到超市的路程（千米）
运费（元/斤?千米）
甲养殖场
200
0.012
乙养殖场
140
0.015
（1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元，则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？
（2）设从甲养殖场调运鸡蛋x斤，总运费为W元，试写出W与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？
6.某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这样包装盒有两种方案可供选择：
方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费y1与包装盒数x满足如图1所示的函数关系．
方案二：租赁机器自己加工，所需费用y2（包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）与包装盒数x满足如图2所示的函数关系．根据图象回答下列问题：
（1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？
（2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？
（3）请分别求出y1、y2与x的函数关系式．
（4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
7.如图中的折线ABC表示某汽车的耗油量y（单位：L/km）与速度x（单位：km/h）之间的函数关系（30≤x≤120），已知线段BC表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1km/h，耗油量增加0.002L/km．
（1）当速度为50km/h、100km/h时，该汽车的耗油量分别为 L/km、 L/km．
（2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式．
（3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？
8.某周日上午8：00小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动．11：00时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12：00前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/小时的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家x（小时）后，到达离家y（千米）的地方，图中折线OABCD表示y与x之间的函数关系．
（1）活动中心与小宇家相距 千米，小宇在活动中心活动时间为 小时，他从活动中心返家时，步行用了 小时；
（2）求线段BC所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不必写出x所表示的范围）；
（3）根据上述情况（不考虑其他因素），请判断小宇是否能在12：00前回到家，并说明理由．
9.如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），与轴相交于C，动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．
（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
10．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．
（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；
（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值；
（3）在（2）的条件下，若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图象．
第5章 一次函数应用专题复习学案答案
◆考点三：一次函数的应用：
典例精讲：例5
解析：（1）正比例函数y＝2x的图象过点A（m，4）．
∴4＝2m，解得m＝2．
∴A（2，4），
又∵一次函数y＝－x+n的图象过点A（2，4）．
∴4＝－2+n，解得n＝6．
（2）由（1）知：一次函数的解析式为y＝－x+6
∵它的图象与x轴交于点B，
∴令y＝0，则－x+6＝0，解得x＝6
∴点B坐标为（6，0），∴OB＝6，
∴△AOB的面积＝×6×4＝12．
（3）∵A（2，4），
∴当x＞2时，y＝－x+6的图象在y＝2x的图象的下方，
故使函数y＝－x+6的值小于函数y＝2x的值的自变量x的取值范围是x＞2．
变式训练：
解析：（1）将A（－2，3）代入y1＝2x+m，得3＝－4+m，
解得m＝7，∴y1＝2x+7，
将A（－2，3）代入y2＝－x+n，得3＝2+n，
解得n＝1，∴y2＝－x+1，
（2）画图如图所示：
（3）令y1＝0，则2x+7＝0，解得x＝－，
∴B（－，0），则OB＝，
令y2＝0，则－x+1＝0，解得x＝1，
∴C（1，0），则OC＝1，∴BC＝OB+OC＝，
∵A（－2，3）
∴△ABC的边BC上的高为3，
∴△ABC的面积＝××3＝﹒
典例精讲：例6
解析：（1）由图象可以看出，某月用水量为18立方米，则应交水费45元；
（2）①当0≤x≤18时，设y与x之间的函数关系为y＝k1x，
将x＝18，y＝45代入，得18k1＝45，
解得k1＝2.5，
∴y＝2.5x，
当x＞18时，设y与x之间的函数关系为y＝k2x+b，
将（18，45）（28，75）代入，得
，解得 ，
∴y与x之间函数的关系式为y＝3x－9，
即y＝；
②由81元＞45元，得用水量超过18立方米，
∴当y＝81时，3x－9＝81，
解得x＝30，
答：这个月用水量为30立方米．
变式训练：
解析：（1）当0≤a≤4时，设b＝ka，把（4，12）代入得4k＝12，解得k＝3，
所以b＝3a；
当a＞4，设b＝ma＋n，把（4，12），（8，32）
代入得，解得，
所以b＝5a﹣8；
（2）∵1≤x≤3，
∴y＝750x＋3mx＋（8﹣x）×700＋[5（8﹣x）﹣8]?2m
＝（50﹣7m）x＋5600＋64m，
当时，到A公司买3吨，到B公司买5吨，费用最低，
当时，到A公司买1吨，到B公司买7吨，费用最低，
典例精讲：例7
解析：（1）将A（m，2）代入y＝x，得m＝2，
解得m＝4，
∴A（4，2），
将A（4，2），B（6，0）代入y＝kx+b，得
，解得，
∴直线AB的函数表达式为y＝－x+6；
（2）∵A（4，2），
∴当x＜4时，y1＞y2；
（3）对于直线y＝－x+6，令x＝0，则y＝6，
∴C（0，6），则OC＝6，
∴S△OAC＝×6×4＝12，则S△OMC＝3，
设点M的横坐标为a，则纵坐标为－a+6，
∵SOMC＝×6×a，
∴a＝1，则－a+6＝5，
∴点M的坐标为（1，5）﹒
变式训练：
解析：（1）∵直线y=－x+3与x轴的交点坐标为（4，0），
与y轴交点坐标为（0，3），∴函数y=－x+3的坐标三角形的三条边长分别为3，4，5；
（2）直线y=－x+b与x轴的交点坐标为（，0），与y轴交点坐标为（0，b），?
当b>0时，b＋＋＝16，得b=4，此时，坐标三角形面积为；?
当b<0时，，得b=-4，此时，坐标三角形面积为，
综上，当函数y=－x+b的坐标三角形周长为16时，面积为。
典例精讲：例8
解析：（1）由题意得：m=1.5﹣0.5=1．
120÷（3.5﹣0.5）=40，∴a=40．
答：a=40，m=1；
当0≤x≤1时设y与x之间的函数关系式为y=k1x，
由题意得：40=k1，∴y=40x
当1＜x≤1.5时，y=40；
当1.5＜x≤7设y与x之间的函数关系式为y=k2x+b，
由题意得：， 解得：，
∴y=40x﹣20．
；
设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k3x+b3，
由题意得：，解得：，
∴y=80x﹣160．
当40x﹣20﹣50=80x﹣160时，解得：．
当40x﹣20+50=80x﹣160时，解得：．
．
答：乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km．
变式训练：
解析：（1）设小明开始骑车的0.5小时内所对应的函数解析式y=kx，
∴10=0.5k，∴k=20，
∴小明开始骑车的0.5小时内所对应的函数解析式为y=20x；
故答案为：y=20x；
（2）妈妈驾车速度：20×3=60（km/h）
设直线BC解析式为y=20x+b1，
把点B（1，10）代入得b1=﹣10
∴y=20x﹣10
设直线DE解析式为y=60x+b2，把点D（，0）
代入得b2=﹣80∴y=60x﹣80
∴， 解得
∴交点F（1.75，25）．
答：小明出发1.75小时被妈妈追上，此时离家25km．
（3）设从家到乙地的路程为m（km）
则点E（x1，m），点C（x2，m）分别代入y=60x﹣80，y=20x﹣10
得：
∵，
∴，∴m=30．
∴从家到乙地的路程为30（km）．
典例精讲：例9.
解析：（1）设直线DE的解析式为：y=kx+b，
∵顶点B的坐标为（6，4），E为AB的中点，
∴点E的坐标为：（6，2），
∵D（8，0），∴，解得：，
∴直线DE的函数关系式为：y=﹣x+8；
（2）∵点F的纵坐标为4，且点F在直线DE上，
∴﹣x+8=4，解得：x=4，∴点F的坐标为；（4，4）；
∵函数y=mx﹣2的图象经过点F，
∴4m﹣2=4，解得：；
（3）由（2）得：直线FH的解析式为：，
∵，解得：，
∴点H（，0），
∵G是直线DE与y轴的交点，
∴点G（0，8），
∴OH=，CF=4，OC=4，CG=OG﹣OC=4，
∴S四边形OHFG=S梯形OHFC+S△CFG=×（+4）×4+×4×4=．
变式训练：
解析：（1）∵点P在直线l1上，
∴3=﹣m+2，解得m=﹣1，∴P（﹣1，3），
∵y2=x+b过点P，
∴3=×（﹣1）+b，解得b=，
∴直线y2=x+，令y2=0可得0=x+，解得x=﹣7，
∴点C坐标为（﹣7，0），
在y1=﹣x+2中，令y1=0可得﹣x+2=0，解得x=2，
∴A点坐标为（2，0）；
（2）①由题意可知CQ=t，P到x轴的距离为3，
∵A（2，0），C（﹣7，0），
∴AC=2﹣（﹣7）=9，
当Q在A、C之间时，则AQ=AC﹣CQ=9﹣t，
∴S=×3×（9﹣t）=﹣t+；
当Q在A的右边时，则AQ=CQ﹣AC=t﹣9，
∴S=×3×（t﹣9）=t﹣；
②令S=3可得﹣t+=3或t﹣=3，解得t=6或t=11，
即当t的值为6秒或11秒时△APQ的面积等于3；
巩固提升：
1.解析：（1）当0≤x≤15时，设y与x的函数关系式为y=kx，
15k=27，得k=1.8，
即当0≤x≤15时，y与x的函数关系式为y=1.8x，
当x＞15时，设y与x的函数关系式为y=ax+b，
，得，
即当x＞15时，y与x的函数关系式为y=2.4x﹣9，
由上可得，y与x的函数关系式为；
（2）设二月份的用水量是xm3，
当15＜x≤25时，2.4x﹣9+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，
解得，x无解，
当0＜x≤15时，1.8x+2.4（40﹣x）﹣9=79.8，
解得，x=12，
∴40﹣x=28，
答：该用户二、三月份的用水量各是12m3、28m3．
2.解析：（1）900；
（2）图中点B的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇．
（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，
所以慢车的速度为=75（km/h）；
当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，
所以慢车和快车行驶的速度之和为=225（km/h），所以快车的速度为150（km/h）．
（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶=6（h）到达乙地，
此时两车之间的距离为6×75=450（km），
所以点C的坐标为（6，450）．
设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx+b，把（4，0），（6，450）代入
得：，解得，
所以，线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=225x﹣900．
自变量x的取值范围是4≤x≤6．
（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．
把x=4.5代入y=225x﹣900，得y=112.5．
此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，
所以两列快车出发的间隔时间是112.5÷150=0.75（h），
即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h．
3.解析：（1）0.5
（2）60
（3）设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b（2.5≤x≤4.5），
∵D点坐标为（2.5，80），E点坐标为（4.5，300），
∴代入y=kx+b，得： ，
解得：.
∴线段DE对应的函数解析式为：y=110x－195（2.5≤x≤4.5）.
4.解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
∵函数图象经过点（20，300）和点（30，280），
∴，解得：，
∴y与x的函数关系式为y=﹣2x+340．
（2）∵试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，且草莓的成本为每千克20元，
∴自变量x的取值范围是20≤x≤40．
5.解析：（1）设从甲养殖场调运鸡蛋x斤，从乙养殖场调运鸡蛋y斤，
根据题意得：，解得：，
∵500＜800，700＜900，∴符合条件．
答：从甲、乙两养殖场各调运了500斤，700斤鸡蛋；
（2）从甲养殖场调运了x斤鸡蛋，从乙养殖场调运了斤鸡蛋，
根据题意得：总运费W=200×0.012x+140×0.015×=0.3x+2520，
（300≤x≤800）
∵W随x的增大而增大，
∴当x=300时，W最小=2610元，
∴每天从甲养殖场调运了300斤鸡蛋，从乙养殖场调运了900斤鸡蛋，每天的总运费最省．
6.解析：（1）500÷100=5（元/盒）．
答：方案一中每个包装盒的价格是5元．
（2）当x=0时，y=2000，
∵（3000﹣2000）÷4000=（元/盒），
∴方案二中租赁机器的费用是2000元，生产一个包装盒的费用是元．
（3）根据题意得：y1=5x，y2=x+2000．
（4）令y1＜y2，即5x＜x+2000，
解得：x＜，
∵x为正整数，∴0＜x≤421；
令y1＞y2，即5x＞x+2000，
解得：x＞，
∵x为正整数，∴x≥422．
综上所述：当0＜x≤421时选择方案一省钱；当x≥422时选择方案二省钱．
7.解析：（1）设AB的解析式为：y=kx+b，
把（30，0.15）和（60，0.12）代入y=kx+b中得：
解得
∴AB：y=﹣0.001x+0.18，
当x=50时，y=﹣0.001×50+0.18=0.13，
由线段BC上一点坐标（90，0.12）得：0.12+×0.002=0.14，
故答案为：0.13，0.14；
（2）由（1）得：线段AB的解析式为：y=﹣0.001x+0.18；
（3）设BC的解析式为：y=kx+b，
把（90，0.12）和代入y=kx+b中得：
解得，
∴BC：y=0.002x﹣0.06，
根据题意得 解得，
答：速度是80km/h时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1L/km．
8.解析：（1）∵点A的坐标为（1，22），点B的坐标为（3，22），
∴活动中心与小宇家相距22千米，小宇在活动中心活动时间为3﹣1=2小时．
（22﹣20）÷5=0.4（小时）．
故答案为：22；2；0.4．
（2）根据题意得：y=22﹣5（x﹣3）=﹣5x+37．
（3）小宇从活动中心返家所用时间为：0.4+0.4=0.8（小时），
∵0.8＜1，
∴所用小宇12：00前能到家．
9.解析：（1）设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：，解得：，
则直线的解析式是：y=﹣x+6；
（2）在y=﹣x+6中，令x=0，解得：y=6，
S△OAC=×6×4=12；
（3）设OA的解析式是y=mx，则4m=2，
解得：
则直线的解析式是：，
当点在线段OA上时，设
∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时，
∴，解得：，
当在射线AC上时，设
，解得：，或
综上所述：M的坐标是：或或
10.解析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b．
∵直线AB经过点（1.5，70），（2，0），
∴，解得．
∴直线AB的解析式为y=﹣140x+280（x≥0）．
∵当x=0时，y=280．
∴甲乙两地之间的距离为280千米．
（2）设快车的速度为m千米/时，慢车的速度为n千米/时．
由题意可得，解得．
∴快车的速度为80千米/时．
∴快车从甲地到达乙地所需时间为小时；
（3）∵快车的速度为80千米/时．慢车的速度为60千米/时．
∴当快车到达乙地，所用时间为：小时，
∵快车与慢车相遇时的时间为2小时，
∴y=（3.5﹣2）×（80+60）=210，
∴C点坐标为：（3.5，210），
此时慢车还没有到达甲地，若要到达甲地，这个过程慢车所用时间为：小时，
当慢车到达甲地，此时快车已经驶往甲地时间为：小时，
∴此时距甲地：千米，
∴D点坐标为：（，），
再一直行驶到甲地用时3.5×2=7小时．
∴E点坐标为：（7，0），
故图象如图所示：
