4.6 图形的位似
数学浙教版 九年级上
4.6 图形的位似
教学目标
1.了解位似图形的概念.
2.了解位似图形的性质和以坐标原点为位似中心的图形位似的性质.
3.能利用位似将一个图形放大或缩小.
重点与难点
本节教学的重点是位似图形的性质和应用.
位似图形的概念不容易被理解，是本节教学的难点.
看一看，想一想
下列图案有什么共同特点？
如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心.
1．两图形相似．
同时满足下面两个条件的两个图形才叫做位似图形．两条件缺一不可．
显然，位似图形是相似图形的特殊情形，其相似比又叫做它们的位似比.
2．每组对应点所在直线都经过同一点．
定义辨析
B
A
A’
E
D
C
E’
D’
C’
B’
1.判断下列各对图形是不是位似图形.
(1)五边形ABCDE与五边形A’B’C’D’E’;
( 是 )
(2)正方形ABCD与正方形A’B’C’D’;
( 是 )
C
A
B
D’
C’
B’
A’
D
(3)等边三角形ABC与等边三角形A’B’C’.
C’
C
B’
B
A’
A
( 是 )
做一做
2、判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
（1）五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′；
（2）在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO．
（3）△ABC与△ADE
①DE∥BC
②∠AED＝∠B
2、判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
3、如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比.
四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形.
位似中心是: 点A
位似比是: .
一般地，位似图形有以下性质：
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
探索性质
从上面练习的位似图形中，
我们可以看到,
即．
从第3题的图中同样可以看到
．
例1.如图，请以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大3倍.
分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心O和的各顶点，并把线段延长（或反向延长）到原来的2倍，就得到所求作图形的各个顶点
-14
10
-12
18
8
6
X
16
14
4
12
2
10
8
6
4
2
o
-10
-8
-14
-6
-12
-4
-10
-8
-2
-6
-4
-2
14
12
-18
-16
G’
y
D
C
B
A
如图,以坐标原点O为位似中心,作□ ABCD的位似图形,并把□ ABCD的边长放大3倍.
G
F
E
C’
F’
E’
作法:
1.连结OA,OB,OC,OD并延长至E,C,F,G,
使得．
2.依次连结
EC,CF,FG,GE.
四边形ECFG就是所求的四边形.
若反向延长OA, OB,OC,OD也可以得到所求的四边形E’C’F’G’.
以坐标原点为位似中心的位似变换有一下性质： 若原图形上点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（―kx，―ky）.
1．四边形GCEF与四边形G′C′E′F′具有怎样的对称性？
2．怎样运用像与原像对应点的坐标关系，画出以原点为位似中心的位似图形？
关于原点中心对称
想一想
1、下列说法正确的是（ ）
A、将图形A平移后得到图形B，则它们是位似图形
B、将图形A绕某点旋转180°后得到图形B，则它们是位似图形
C、两个关于某直线成轴对称的图形一定是位似图形
D、全等的两个图形一定是位似图形
做一做
B
2．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的一半.
做一做
C‘
A’
B‘
0
-1
3
2
1
-2
-1
2
1
y
x
C
B
A
3、 如图在直角坐标系中, △ABC的各个顶点坐标如图所示.现在要以坐标原点O为位似中心, 位似比为1.5,作△ABC的位似图形△A’B’C’,则顶点A’, B’, C’的坐标各是什么.
做一做
归纳小结
定义
如果两个图形不仅形状相同,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做_______________,这个点叫做________________.
B
A
A’
E
D
C
E’
D’
C’
B’
位似图形
位似中心
性质
1. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
2.以坐标原点为位似中心的位似变换,若原图形上的坐标为(x,y),像与原图象的位似比为k,则像上的对应点坐标为(kx.ky)或(-kx,-ky).
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4.7 图形的位似
学习目标1．了解位似图形的概念．2．了解位似图形的性质和以坐标原点为位似中心的图形位似的性质．3．能利用位似将一个图形放大或缩小．
学习过程
概念
定义辨析
做一做：1．判断下列各对图形是不是位似图形．
2、判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是． (1)五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′； (2)在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO． (3)△ABC与△ADE ①DE∥BC ②∠AED＝∠B
3、如图P，E，F分别是AC，AB，AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比．
探索性质例1．如图，请以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大2倍．
想一想 1．四边形GCEF与四边形G′C′E′F′具有怎样的对称性？ 2．怎样运用像与原像对应点的坐标关系，画出以原点为位似中心的位似图形？
做一做 1、下列说法正确的是（ ） A．将图形A平移后得到图形B，则它们是位似图形 B．将图形A绕某点旋转180°后得到图形B，则它们是位似图形 C．两个关于某直线成轴对称的图形一定是位似图形 D．全等的两个图形一定是位似图形
2．如图，已知△ABC和点O．以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的一半．
3、 如图在直角坐标系中， △ABC的各个顶点坐标如图所示．现在要以坐标原点O为位似中心， 位似比为1.5，作△ABC的位似图形△A?B?C?，则顶点A?，B?，C?的坐标各是什么．
作业题
1．下列各组图形的各边都对应平行，判断它们是不是位似图形．(1)矩形ABCD与矩形A?B?C?D?．(2)△ABC与△A?B?C?．(3)图形F与图形．(4)梯形ABCD与梯形A1B1C1D1．
2．如图，O是AB的中点．以O为位似中心，作与四边形ABCD位似的图形，并使边长缩小到原来的．
3．如图，四边形AEFH与四边形ABCD是位似图形，位似比为，且四边形ABCD的周长为140cm，面积为900cm2，求四边形AEFH的周长和面积．
4．如图．(1)写出四边形ABCD的各个顶点的坐标．(2)以坐标－点O为位似中心，作与四边形ABCD的位似比为3的位似四边形．画出四边形，并写出四边形各顶点的坐标．
5．如图，已知图形F．选取适当的一点为位似中心，适当的比为位似比，作图形F的位似图形F?，使图形F?与图形F组成一幅轴对称的图形．
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1．下列各组图形的各边都对应平行，判断它们是不是位似图形．
(1)矩形ABCD与矩形A?B?C?D?．
(2)△ABC与△A?B?C?．
(3)图形F与图形．
(4)梯形ABCD与梯形A1B1C1D1．
答案：
(1)是．
(2)不是．
(3)是．
(4)是．
2．如图，O是AB的中点．以O为位似中心，作与四边形ABCD位似的图形，并使边长缩小到原来的．
答案：略
3．如图，四边形AEFH与四边形ABCD是位似图形，位似比为，且四边形ABCD的周长为140cm，面积为900cm2，求四边形AEFH的周长和面积．
答案：四边形AEFH的周长为cm，面积为400cm2．
4．如图．
(1)写出四边形ABCD的各个顶点的坐标．
(2)以坐标－点O为位似中心，作与四边形ABCD的位似比为3的位似四边形．画出四边形，并写出四边形各顶点的坐标．
答案：
(1)A(2，0)，B(4，3)，C(2，4)，D(－2，4)．
(2)四边形A?B?C?D?的各顶点坐标为
A'(6，0)，B'(12，9)，
C'(6，12)，D'(－6，12)
或A'(－6，0)，B'(－12，－9)，
C'(－6，－12)，D'(6，－12)，
只需写出一组．画图略．
5．如图，已知图形F．选取适当的一点为位似中心，适当的比为位似比，作图形F的位似图形F?，使图形F?与图形F组成一幅轴对称的图形．
答案：略
