[1.1 二次函数]
一、选择题
1．下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )
A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝
C．y＝ D．y＝x2
2．若二次函数y＝4x2＋1的函数值为5，则自变量x的值应为( )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
3．下列函数关系中，是二次函数关系的是( )
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
B．当路程一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径R之间的关系
4．若y＝(m－2)xm2－m是关于x的二次函数，则常数m的值为( )
A．－1 B．2
C．－2 D．－1或－2
二、填空题
5．二次函数y＝x(x－1)＋4x－3中，二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________．
6．已知正方形的边长为3，若各边长增加x，面积增加y，则y与x之间的函数表达式是________．
7．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份的研发资金y(万元)关于x的函数表达式为y＝________.
8．2017·常德如图K－1－1，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上，若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y关于x的函数表达式为________．
图K－1－1
9．一辆汽车的行驶距离s(m)关于行驶时间t(s)的函数表达式是s＝9t＋t2，经过12 s汽车行驶了________m.
10．已知二次函数y＝x2＋bx－c，当x＝－1时，y＝0；当x＝3时，y＝0，则b＝________，c＝________.
11．当m是何值时，下列函数是二次函数？并写出此时的函数表达式．
(1)y＝mxm2－3m＋4，m＝________，y＝________；
(2)y＝(m－1)xm2＋m，m＝________，y＝________．
三、解答题
12．在二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
－2
－1
0
1
2
3
4
y
7
2
－1
－2
m
2
7
求m的值．
13．某商铺销售某种商品，经市场调查发现，该商品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/千克)有如下关系：w＝ax2＋bx－1600，当销售价为22元/千克时，每天的销售利润为72元；当销售价为26元/千克时，每天的销售利润为168元．求该商品每天的销售利润w(元)与销售价x(元/千克)之间的函数表达式.
14．心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数表达式y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y的值越大，表示接受能力越强．
(1)若用10分钟提出概念，则学生的接受能力y的值是多少？
(2)如果改用15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来说明．
15．某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图K－1－2所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗．他已备足可以修高为1.5 m、长为18 m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为x m，即AD＝EF＝BC＝x m．(不考虑墙的厚度)．
(1)若想让水池的总容积为36 m3，x应等于多少？
(2)求水池的总容积V关于x的函数表达式，并直接写出x的取值范围；
图K－1－2
16．如图K－1－3所示，△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，BC＝EF＝8，∠C＝∠F＝90°，且点C，E，B，F在同一条直线上，将△ABC沿CB方向平移，设AB与DE相交于点P，设CE＝x，△PBE的面积为S，求：
(1)S与x之间的函数表达式，并指出自变量的取值范围；
(2)当x＝3时，求△PBE的面积．
图K－1－3
探究应用某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元，设矩形的一边长为x米，面积为S平方米．
(1)求S与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)设计费能达到24000元吗？为什么？
(3)估计当x是多少时(x取整数)，设计费最多？最多是多少元？
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] D A项，a＝0时不是二次函数，故A错误；B项，不是二次函数，故B错误；C项，不是二次函数，故C错误；D项，是二次函数，故D正确．故选D.
2．[答案] C
3．[解析] D A选项，在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x成一次函数关系；B选项，设路程为s，则函数表达式为t＝，是反比例函数；C选项的函数表达式为C＝3a，是正比例函数；D选项的函数表达式为S＝πR2，符合二次函数的定义．
4．[全品导学号：63422185][解析] A 由y＝(m－2)xm2－m是关于x的二次函数，得解得m＝－1.故选A.
5．[答案] 1 3 －3
[解析] 先化为一般式：y＝x2＋3x－3.
6．[答案] y＝x2＋6x
7．[答案] 10(1＋x)2
8．[答案] y＝2x2－4x＋4
9．[答案] 180
新课标(ZJ)/ 数学 / 九年级上、下册合订
10．[答案] －2 3
11．[答案] (1)1或2 x2或2x2
(2)－2 －3x2
12．解：把x＝－1，y＝2；x＝0，y＝－1分别代入y＝x2＋bx＋c中，得
解得
所以二次函数的表达式为y＝x2－2x－1，
当x＝2时，y＝－1，即m＝－1.
13．解：将x＝22，w＝72；x＝26，w＝168分别代入w＝ax2＋bx－1600，列出关于a，b的方程组
解方程组得
故所求函数表达式为w＝－2x2＋120x－1600.
14．解：(1)当x＝10时，y＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1×102＋2.6×10＋43＝59.
(2)当x＝15时，y＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1×152＋2.6×15＋43＝59.5＞59，
∴与用10分钟相比，学生的接受能力增强了．
15．解：(1)根据题意，得1.5x(18－3x)＝36，解得x1＝2，x2＝4.故x应等于2或4.
(2)V＝1.5x(18－3x)＝－4.5x2＋27x.
∵∴0
16．解：(1)∵CE＝x，BC＝8，∴EB＝8－x.
∵△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠DEF＝45°，
∴△PBE是等腰直角三角形，
∴PB＝PE＝EB＝(8－x)，
∴S＝PB·PE＝×(8－x)·(8－x)＝(8－x)2＝x2－4x＋16，
即S＝x2－4x＋16.
∵8－x>0，∴x<8.
又∵x>0，∴0(2)当x＝3时，
△PBE的面积＝×(8－3)2＝.
[素养提升]
解：(1)∵矩形的一边长为x米，周长为16米，
∴与其相邻的一边长为(8－x)米，
∴S＝x(8－x)＝－x2＋8x，其中，0(2)能．理由：∵设计费为每平方米2000元，
∴当设计费为24000元时，矩形的面积为24000÷2000＝12(米2)，即－x2＋8x＝12，解得x1＝2，x2＝6.
∴设计费能达到24000元．
(3)列表如下：
x,1,2,3,4,5,6,7
S,7,12,15,16,15,12,7
∴当x＝4时，S最大值＝16，
∴16×2000＝32000(元)，
∴当x是4时，矩形的最大面积为16平方米，此时设计费最多，最多是32000元．
1．1 二次函数
知识点一 二次函数的概念
我们把形如____________(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，称a为________，b为________，c为________．
1．下列是二次函数的有________(填写序号)．
(1)y＝x2；(2)y＝－；
(3)y＝2x2－x－1；(4)y＝x(1－x)；
(5)y＝(x－1)2－(x＋1)(x－1)．
2．写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．
二次函数
二次项系数
一次项系数
常数项
y＝x2－1
y＝3x2－7x－12
y＝2x(1－x)
知识点二 用待定系数法求二次函数的表达式
利用待定系数法求二次函数的表达式，关键是利用已知条件构造____________，求得二次函数的________，进而求得表达式．
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋3，当x＝2时，函数值为3；当x＝－1时，函数值为0.求这个二次函数的表达式．
类型一 根据二次函数的概念确定二次函数成立
的条件
例1 [教材补充例题] 已知y＝(m－4)xm2－3m－2＋2x－3是二次函数，则m的值为________．
【归纳总结】二次函数的三个特征
(1)含有自变量的代数式是整式；(2)化简后自变量的最高次数为2；(3)二次项系数不为0.
类型二 建立简单的二次函数模型，根据实际问
题确定自变量的取值范围
例2 [教材例1针对练] 如图1－1－1，用长20 m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花圃(墙的长度不限)，设垂直于墙的一边长为x m，矩形的面积为y m2.
(1)写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x＝3时，矩形的面积为多少？
图1－1－1
【归纳总结】根据实际背景建立二次函数模型的三个步骤
(1)明确题中的未知量(自变量、因变量)和已知量；
(2)根据题意建立未知量与已知量之间的等量关系式(即表达式)；
(3)根据实际情况确定自变量的取值范围．
类型三 用待定系数法求二次函数的表达式
例3 [教材例2变式] 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝－2；当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝4，求二次函数的表达式．
【归纳总结】用待定系数法求二次函数表达式
(1)设：设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)代：将已知的三对x，y的值代入表达式，得到关于a，b，c的方程组；
(3)解：解方程组，确定系数a，b，c；
(4)还原：将a，b，c的值代入y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，从而得到函数表达式．
【注意】有几个待定系数就需要几对x，y的值．
已知函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)，当a，b，c满足什么条件时：
(1)它是二次函数？
(2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？
详解详析
【学知识】
知识点一 y＝ax2＋bx＋c 二次项系数 一次项系数 常数项
1．[答案] (1)(3)(4)
2．解：填表如下：
二次函数
二次项系数
一次项系数
常数项
y＝x2－1
1
0
－1
y＝3x2－7x－12
3
－7
－12
y＝2x(1－x)
－2
2
0
知识点二 方程或方程组 系数
3．解：把x＝2，y＝3；x＝－1，y＝0分别代入y＝ax2＋bx＋3，得解得
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
【筑方法】
例1 [答案] －1
[解析] 因为自变量的最高次数为2，
故m2－3m－2＝2，
解得m＝－1或m＝4.
又因为二次项系数不为0，
所以m－4≠0，所以m≠4，
所以m＝－1.
例2 [解析] 三面篱笆总长为20 m，故平行于墙的一面篱笆长为(20－2x)m，由矩形面积公式即可写出y关于x的函数表达式．
解：(1)y＝x(20－2x)＝－2x2＋20x(0＜x＜10)．
(2)当x＝3时，y＝－2×32＋20×3＝42.
即当x＝3时，矩形的面积为42 m2.
例3 [解析] 用待定系数法，把已知条件代入函数表达式得到三元一次方程组，解方程组可得a，b，c的值．
解：把x＝0，y＝－2；x＝1，y＝0；x＝2，y＝4分别代入y＝ax2＋bx＋c，得解得∴二次函数的表达式为y＝x2＋x－2.
【勤反思】
[小结] 不为零 待定系数
[反思] (1)a≠0.(2)a＝0，b≠0.(3)b≠0，a＝c＝0.
1.2 二次函数的图象
第1课时 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象及特征
知识点 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象及特征
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条____________________________________________，
它的对称轴是________，图象的顶点坐标是________．当a>0时，抛物线开口________；当a<0时，抛物线开口________．
1．用描点法画二次函数图象的一般步骤：
(1)________；(2)________；(3)________．
2．(1)在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：
①y＝x2；②y＝－x2.
(2)根据(1)中所画的函数图象完成下列表格．
二次函数
图象的开口
方向
图象的对
称轴
图象的顶点
坐标
y＝x2
y＝－x2
类型 y＝ax2型二次函数图象的特征
例1 [教材例1针对练] 已知二次函数y＝ax2(a≠0)的图象经过点(1，－3)．
(1)求a的值，并写出这个二次函数的表达式；
(2)你能说出这条抛物线的哪些特征(至少三条)?
【归纳总结】二次函数y＝ax2(a≠0)的图象的特征
(1)图象是一条抛物线．
(2)对称轴是y轴，顶点是坐标原点．
(3)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．
[拓展] |a|越大，抛物线的开口越小；|a|相等时，抛物线的形状相同．
先填一填二次函数y＝ax2与y＝－ax2(a＞0)的图象间的对比表格，再说一说它们的图象有什么联系．
函数
(a＞0)
开口
方向
对称轴
最值
情况
顶点
坐标
关联
y＝ax2
有最
值
y＝－x2
有最
值
详解详析
【学知识】
知识点 抛物线 y轴 (0，0) 向上 向下
1．[答案] 列表 描点 连线
2．[解析] (1)按照画函数图象的步骤：列表、描点、连线便可正确画出图象，而二次函数y＝ax2(a≠0)中自变量x的取值范围是全体实数，且它的图象关于y轴对称，所以列表时为了计算与描点方便，可以“0”为中心选x的值，尽可能取整数且不宜太大．(2)根据(1)中所画的函数图象填表即可．
解：(1)①列表如下：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
3
0
3
…
②列表如下：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝－x2
…
－3
－
－
0
－
－
－3
…
描点、连线如图所示．
(2)填表如下：
二次函数
图象的开
口方向
图象的
对称轴
图象的顶
点坐标
y＝x2
上
y轴
(0，0)
y＝－x2
下
y轴
(0，0)
【筑方法】
例1 解：(1)把(1，－3)代入y＝ax2得a＝－3，所以这个二次函数的表达式为y＝－3x2.
(2)答案不唯一，如开口向下，对称轴是y轴，顶点为坐标原点等．
【勤反思】
[小结] y轴 (0，0) 开口向上 开口向下 越小
[反思]
函数
(a＞0)
开口
方向
对称轴
最值
情况
顶点
坐标
关联
y＝ax2
向上
y轴
有最
小__值
(0，0)
①关于x轴
对称；
②形状相同
y＝－ax2,向下,y轴,有最大值,(0，0)
第2课时 二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象及特征
知识点一 二次函数y＝a(x－m)2(a≠0)的图象及其特征
图象特征：函数y＝a(x－m)2(a≠0)的图象的顶点坐标是_____________，对称轴是直线________．图象的开口方向：当a>0时，开口________，当a<0时，开口________．
1．已知抛物线y＝(x－2)2，下列说法正确的是( )
A．顶点坐标是(0，2)
B．对称轴是直线x＝－2
C．开口向下
D．顶点坐标是(2，0)
知识点二 二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象及其特征
图象特征：抛物线y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的顶点
坐标为________，对称轴为直线________；抛物线y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的开口方向：当a>0时，开口________，当a<0时，开口_________．
2．抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是_____________．
3．把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的函数表达式为____________．
类型一 利用函数图象的平移规律解题
例1 [教材补充例题] 已知一条抛物线的开口方向及形状与抛物线y＝3x2相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2的顶点相同．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)求将这条抛物线向右平移4个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的函数表达式．
【归纳总结】y＝a(x－m)2＋k(a≠0)中，m是抛物线左右平移的标志，当m>0时，抛物线向右平移m个单位，当m<0时，抛物线向左平移|m|个单位；而k则是抛物线上下平移的标志，当k>0时，抛物线向上平移k个单位，当k<0时，抛物线向下平移|k|个单位．
类型二 y＝a(x－m)2＋k(a≠0)型二次函数
图象的特征
例2 [教材补充例题]
(1)二次函数y＝4－(x＋1)2的图象的开口方向是________，对称轴是________，顶点坐标是________．
(2)已知二次函数y＝a(x＋k)2＋k(a≠0)，无论k取何值，其图象的顶点都在( )
A．直线y＝x上 B．直线y＝－x上
C．x轴上 D．y轴上
类型三 应用y＝a(x－m)2＋k(a≠0)确定抛物
线的函数表达式
例3 [教材补充例题] 根据下列条件求y关于x的二次函数表达式．
(1)抛物线的顶点坐标为(－1，－2)，且过点(1，10)；
(2)抛物线过点(0，－2)，(1，2)，且对称轴为直线x＝.
【归纳总结】用顶点式求函数表达式的三种情况
(1)题中出现顶点坐标和另一点的坐标；
(2)已知对称轴和两个点的坐标；
(3)已知最值和两个点的坐标．
二次函数y＝a(x－m)2的图象与二次函数y＝a(x－m)2＋k的图象有何联系？
详解详析
【学知识】
知识点一 (m，0) x＝m 向上 向下
1．[答案] D
知识点二 (m，k) x＝m 向上 向下
2．[答案] (2，5)
[解析] 由于抛物线y＝a(x－m)2＋k的顶点坐标为(m，k)，可知此函数图象的顶点坐标为(2，5)．
3．[答案] y＝2(x＋1)2－2
[解析] 将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为y＝2(x＋1)2，将抛物线y＝2(x＋1)2向下平移2个单位，所得抛物线的函数表达式为y＝2(x＋1)2－2.
【筑方法】
例1 解：(1)设抛物线的函数表达式为y＝a(x－m)2＋k.
∵该抛物线与抛物线y＝3x2的开口方向及形状相同，
∴a＝3.
又该抛物线的顶点与抛物线y＝(x＋2)2的顶点相同，∴m＝－2，k＝0，
∴所求抛物线的函数表达式为y＝3(x＋2)2.
(2)将抛物线y＝3(x＋2)2向右平移4个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为y＝3(x＋2－4)2－3，即y＝3(x－2)2－3.
例2 [答案] (1)向下 直线x＝－1 (－1，4)
(2)[解析] B 二次函数y＝a(x＋k)2＋k的图象的顶点坐标为(－k，k)，当x＝－k时，y＝k＝－(－k)＝－x，所以图象的顶点在直线y＝－x上．故选B.
例3 解：(1)设函数表达式为y＝a(x＋1)2－2.
将x＝1，y＝10代入，得4a－2＝10，∴a＝3.
∴函数表达式为y＝3(x＋1)2－2.
(2)设函数表达式为y＝a(x－)2＋h.
把x＝0，y＝－2；x＝1，y＝2代入，得
解得
∴函数表达式为y＝－2(x－)2＋.
【勤反思】
[小结] x＝m (m，0) x＝m (m，k)
[反思] 它们的开口方向相同，对称轴都为直线x＝m；前者的顶点坐标为(m，0)，后者的顶点坐标为(m，k)，前者可由二次函数y＝ax2的图象向左(m<0)或向右(m>0)平移|m|个单位得到，后者可由二次函数y＝ax2的图象向左(m<0)或向右(m>0)平移|m|个单位、再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得到，即前者向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位可得到后者．
第3课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象及特征
知识点一 用配方法将二次函数y＝ax2＋bx＋c变成y＝a(x－m)2＋k的形式
二次函数y＝ax2＋bx＋c转化为顶点式为y＝____________．
1．用配方法将二次函数y＝－3x2＋6x＋2化成y＝a(x－m)2＋k的形式．
知识点二 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条________，它的对称轴是直线________，顶点坐标是________．
2．对二次函数y＝3x2－6x的图象及性质，下列说法不正确的是( )
A．开口向上
B．对称轴为直线x＝1
C．顶点坐标为(1，－3)
D．图象经过点(－1，－3)
3．若抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝－1，则b的值为________．
类型一 求抛物线y＝ax2＋bx＋c由抛物线y＝ax2
通过怎样的平移得到
例1 [教材例4针对练] 请说出抛物线y＝x2＋4x－3可由抛物线y＝x2经过怎样的平移得到．
【归纳总结】由函数的表达式判定图象的平移
(1)把一般式化为顶点式；
(2)平移前后，表达式中的a相同，比较平移后的函数表达式与原函数表达式的平方底数和括号后的数的大小，括号内的数变大表示向左平移，减小表示向右平移，括号后的数变大表示向上平移，减小表示向下平移，即上加下减，左加右减．
类型二 先确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达
式，再求它的对称轴和顶点坐标
例2 [教材补充例题] 已知抛物线y＝x2＋bx＋c过点(0，0)，(1，3)，求抛物线的函数表达式，并求出抛物线的顶点坐标和对称轴．
类型三 根据实际问题中的条件确定二次函数表
达式，并利用图象解决实际问题
例3 [教材补充例题] 有一个抛物线形的拱形立交桥，桥拱的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它放在如图1－2－1所示的直角坐标系里．若要在离跨度中心点M 5 m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶，则铁柱应取多长？
图1－2－1
【归纳总结】确定实际问题中的二次函数表达式的关键是把实际问题中的数据转化为抛物线上的点的坐标，然后用待定系数法求抛物线的函数表达式，得到两个变量之间的具体关系．
确定抛物线的平移情况，你觉得应抓住图象上的哪些关键点？
详解详析
【学知识】
知识点一 y＝a＋
1．解：y＝－3x2＋6x＋2＝－3(x2－2x)＋2＝－3[(x－1)2－1]＋2＝－3(x－1)2＋5.
知识点二 抛物线 x＝－
2．[解析] D ∵二次函数y＝3x2－6x的二次项系数为3＞0，∴其图象的开口向上，A选项正确；∵y＝3x2－6x＝3(x－1)2－3，∴其图象的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－3)，B，C选项正确；当x＝－1时，y＝9，D选项错误．
3．[答案] －4
[解析] 令－＝－1，解得b＝－4.
【筑方法】
例1 解：y＝x2＋4x－3＝(x＋4)2－11，
∴抛物线y＝x2＋4x－3可由抛物线y＝x2向左平移4个单位，再向下平移11个单位得到．
例2 解：分别将(0，0)，(1，3)代入函数表达式，得到二元一次方程组
解得
所以抛物线的函数表达式为y＝x2＋2x.
该二次函数的表达式y＝x2＋2x可化为y＝(x＋1)2－1，
所以该抛物线的顶点坐标为(－1，－1)，对称轴为直线x＝－1.
例3 解：由题意可知抛物线的顶点坐标为(20，16)，且抛物线经过坐标原点，
故设该抛物线的函数表达式为y＝a(x－20)2＋16.
把(0，0)代入，得400a＋16＝0，
解得a＝－0.04，
所以y＝－0.04(x－20)2＋16.
当x＝15时，y＝－0.04×(15－20)2＋16＝15.
答：铁柱应取15 m长．
【勤反思】
[小结] x＝－ (－，) 一半的平方 一次项系数一半的平方
[反思] 抛物线的平移主要找一个特殊点——顶点或对应点的平移情况．
1.3 二次函数的性质
知识点 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象的开
口方向
向________
向________
图象的对
称轴
直线________
直线________
图象的顶
点坐标
________
________
增减性
当x≤－时，y随x的增大而________；当x≥－时，y随x的增大而________
当x≤－时，y随x的增大而________；当x≥－时，y随x的增大而________
最值
当x＝－时，y最小值＝
________；无最大值
当x＝－时，y最大值＝
________；无最小值
1.已知二次函数y＝3x2－12x＋13，则函数值y的最小值是( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
2．已知二次函数y＝x2－2x＋1，当x________时，y随x的增大而增大，函数有最________(填“大”或“小”)值，为________．
类型一 运用二次函数的性质解题
例1 [教材补充例题] 已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是( )
A．y≥3 B．y≤3
C．y＞3 D．y＜3
【归纳总结】运用二次函数的性质确定变量的取值范围的步骤
(1)根据二次函数的表达式画出其大致图象；
(2)借助图象和二次函数的性质求出变量的取值范围．
例2 [教材补充例题] 若A，B(－1，y2)，C为二次函数y＝－x2－4x＋5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y2＜y1
C．y3＜y1＜y2
D．y2＜y1＜y3
【归纳总结】比较函数值大小的方法
方法一：代入法．将x值分别代入函数表达式，求出相应的y值，再比较大小；
方法二：图象性质法．先确定抛物线的开口方向，再求抛物线的对称轴和自变量x到对称轴的距离．当抛物线开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小，当抛物线开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大．
类型二 会用“五点法”画二次函数的大致图象
例3 [教材例题针对练] 已知二次函数y＝－2x2＋4x＋6.
(1)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴和最值；
(2)求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
(3)画出函数的大致图象；
(4)自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？何时y随x的增大而减小？
【归纳总结】画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)大致图象的一般步骤
(1)画出二次函数图象的顶点；
(2)当b2－4ac＞0时，画出二次函数图象与x轴的交点；
(3)画出二次函数图象与y轴的交点(0，c)及其关于对称轴的对称点.
类型三 探索二次函数的系数与图象的关系
例4 [教材补充例题] 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的图象如图1－3－1所示，有下列5个结论：①abc>0；②b0；④2c<3b；⑤a＋b>m(am＋b)(m≠1)．其中正确的结论有________(填序号)．
图1－3－1
【归纳总结】二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数与图象的关系
(1)系数a的符号由抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口方向决定：开口向上?a>0，开口向下?a<0；
(2)系数b的符号由抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴的位置及a的符号共同决定：对称轴在y轴左侧?a，b同号，对称轴在y轴右侧?a，b异号；
(3)系数c的符号由抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点的位置决定：与y轴正半轴相交?c>0，与y轴负半轴相交?c<0，与y轴交于原点?c＝0.
若点A(x1，y1)和点B(x2，y2)均在抛物线y＝x2－8x＋9上，且x1y2，则点A与点B一定在对称轴的左侧(即x1
详解详析
【学知识】
知识点 上 下 x＝－ x＝－
减小 增大
增大 减小
1．[解析] C ∵二次函数y＝3x2－12x＋13可化为y＝3(x－2)2＋1，
∴当x＝2时，二次函数y＝3x2－12x＋13有最小值1.
2．[答案] ≥1 小 0
【筑方法】
例1 [解析] B 当x＝2时，可求得二次函数的值y＝－4＋4＋3＝3，又由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，可知抛物线的对称轴是直线x＝1，在对称轴的右侧，y的值随x的增大而减小，所以当x≥2时，y的取值范围是y≤3.
例2 [答案] C
例3 解：(1)抛物线的开口方向向下，顶点坐标为(1，8)，对称轴为直线x＝1，有最大值为8.
(2)令y＝0，则－2x2＋4x＋6＝0，解得x1＝3，x2＝－1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(3，0)，(－1，0)．
令x＝0，则y＝6，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，6)．
(3)略．
(4)当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小．
例4 [答案] ③④⑤
[解析] 由图象知抛物线开口向下，即a<0；抛物线与y轴的正半轴相交，即c>0；再由－>0及a<0得b>0，故①不正确；由图象得，当x＝－1时，y<0，即a－b＋c<0，也就是b>a＋c，故②不正确；当x＝2时，y>0，于是有4a＋2b＋c>0，故③正确；由－＝1，得b＝－2a，a＝－，代入b>a＋c，得b>－＋c，即2c<3b，故④正确；m(am＋b)＝am2＋bm＝a(m2＋m)＝a(m＋)2－<－＝－＝－a＝a＋b，故⑤正确．
【勤反思】
[小结] 2 1 无 小 大
[反思] 不一定．
理由：当点A，B在对称轴异侧，即x1<4x2－4(亦即x1＋x2<8)时，y1>y2仍成立．
1．4 二次函数的应用
第1课时 利用二次函数解决面积最值问题
知识点一 求二次函数的最大值或最小值
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x＝________时，函数有最值，最值为________．
1．[2016·嘉兴一模] 二次函数y＝x2－3x＋的最小值为( )
A．－2 B．－1
C．－ D．2
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(0≤x≤3)的图象如图1－4－1所示．关于该函数在所给自变量取值范围内的最值，下列说法正确的是( )
图1－4－1
A．有最小值0，有最大值3
B．有最小值－1，有最大值0
C．有最小值－1，有最大值3
D．有最小值－1，无最大值
知识点二 运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值
运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值的一般步骤：一是选定变量，建立函数关系求函数表达式；二是确定自变量的取值范围；三是求最值．
3．用长度为12 cm的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积是________ cm2.
类型一 运用二次函数求实际问题中的最值
例1 [教材例1针对练] 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图1－4－2所示)，设这个苗圃垂直于墙的一边的长为x米．
(1)若苗圃的面积为72平方米，求x的值．
(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
(3)当这个苗圃的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
图1－4－2
【归纳总结】利用二次函数求最值
(1)利用二次函数解决实际问题的步骤：
①理解问题；
②分析问题中的变量与常量以及它们之间的关系；
③用二次函数表示出变量之间的关系；
④确定最大值或最小值；
⑤检验解的合理性．
(2)当－不在自变量的取值范围内时，要结合函数的增减性及自变量的取值范围来确定最值．
类型二 运用二次函数求几何问题中的最值
例2 [教材补充例题] 如图1－4－3，在△ABC中，BC＝AC＝4，∠ACB＝120°，E是AC上一个动点(点E不与点A，C重合)，ED∥BC，求△CED面积的最大值．
图1－4－3
二次函数y＝(x－2)2－1有最值吗？当x<0时，函数还有最值吗？当－3≤x≤3时，函数是否存在最值？
详解详析
【学知识】
知识点一 －
1．[答案] C
2．[解析] C 由图可知，当0≤x≤3时，该二次函数在x＝1时有最小值－1，在x＝3时有最大值3.
3．[答案] 9
[解析] 设矩形的一边长为x cm(0＜x＜6)，则与其相邻的一边长为(6－x)cm，
则面积S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，所以当x＝3时，S有最大值，最大值为9 cm2.
【筑方法】
例1 解：(1)根据题意，得(30－2x)x＝72，解得x1＝3，x2＝12.∵30－2x≤18，∴x≥6，
∴x＝3不合题意，舍去，故x＝12.
(2)设苗圃的面积为y平方米，
则y＝x(30－2x)＝－2x2＋30x.
∵a＝－2＜0，∴苗圃的面积y有最大值．
∵y＝－2x2＋30x＝－2＋，
当x＝时，30－2x＝15＞8，
∴当x＝时，y最大＝112.5.
∵6≤x≤11，∴当x＝11时，y最小＝88.
故这个苗圃的面积有最大值和最小值，最大值为112.5平方米，最小值为88平方米．
(3)由题意，得－2x2＋30x≥100，
解得5≤x≤10.
又∵30－2x≤18，∴x≥6.故6≤x≤10.
例2 [解析] 根据已知条件可证△ADE为等腰三角形，设AE＝DE＝x，则CE＝4－x，过点D作DF⊥AC于点F，由于可求得∠DEC＝60°，故DF＝x，从而可得S△CED＝x(4－x)，进而求△CED面积的最大值．
解：过点D作DF⊥AC于点F.
∵BC＝AC＝4，∠ACB＝120°，ED∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝∠A＝30°，∠DEC＝180°－∠ACB＝60°，
∴AE＝DE，∠EDF＝30°.
设AE＝DE＝x，则EF＝x，DF＝＝x，
∴S△CED＝×x(4－x)＝－x2＋x＝－(x－2)2＋(0∵x＝2在0∴△CED面积的最大值为.
【勤反思】
[反思] 当x＝2时，y的最小值为－1；当x<0时，函数既没有最大值，也没有最小值；若－3≤x≤3，当x＝2时，y的最小值为－1，当x＝－3时，y的最大值为24.
第2课时 利用二次函数解决距离、利润最值问题
知识点一 求含有根号的代数式的最值
1．代数式的最小值是________．
知识点二 利润问题的基本等量关系
利润问题的基本等量关系：总利润＝总售价－________；总利润＝__________×__________．
2．某商品的进价为8元/件，若销售价格定为10元/件时，则每天可卖出20件．已知销售单价每提高1元，则每天少卖出3件．设销售单价提高x元，则每天卖出________件，此时每天的销售收入为______________元，每天的销售利润为______________元．
类型一 用二次函数的最值解决有关“最近距
离”的问题
例1 [教材例2针对练] 如图1－4－4所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动；点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，设点P，Q同时出发，问：
(1)经过几秒钟，点P，Q的距离最短？
(2)经过几秒钟，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？
图1－4－4
【归纳总结】求y＝(a≠0)型函数的最值的方法
(1)利用勾股定理建立y＝型的函数表达式；
(2)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值；
(3)将(2)中求得的最值开根号，即得y＝型函数的最值．
类型二 用二次函数的最值解决有关“最大利
润”的问题
例2 [教材例3针对练] 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价多少元？
【归纳总结】利用二次函数求最大利润问题的步骤
(1)利用利润问题的等量关系建立利润与价格之间的二次函数表达式；
(2)利用配方法或公式法求出函数的最大值，即得最大利润．
类型三 掌握自变量的取值范围对最值的影响
例3 [教材补充例题] 某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的价格售出，每天可售出6台．假设这种品牌的彩电每台降价100x(x为正整数)元，每天可多售出3x台．(注：利润＝销售价－进价)
(1)设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数表达式；
(2)销售该品牌彩电每天获得的最大利润是多少？此时，每台彩电的销售价是多少时，彩电的销售量和营业额均较高？
【归纳总结】解答此类题时要注意审题(比如题中会说明x为正整数)，不能放过每一个细节．
用二次函数解决实际问题时，若抛物线顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，应如何解决？
详解详析
【学知识】
1．[答案]
[解析] ＝＝.∵(x＋2)2≥0，
∴(x＋2)2＋6≥6，
∴当x＋2＝0，即x＝－2时，有最小值，为.
知识点二 总成本 每件商品所获利润 销售数量
2．[答案] (20－3x) (10＋x)(20－3x)
(2＋x)(20－3x)
【筑方法】
例1 [解析] 设经过t s，则AP＝t，BQ＝2t，0≤t≤6.
(1)在Rt△PBQ中，利用勾股定理，得出PQ的长与t之间的函数表达式，求其最小值；
(2)先求△PBQ的面积与t之间的函数表达式，再求其最大值．
解：设运动时间为t s，则AP＝t cm，BQ＝2t cm，0≤t≤6.
(1)在Rt△PBQ中，PQ2＝PB2＋BQ2，
∴PQ＝＝
＝＝.
∵当t＝时，5(t－)2＋有最小值，
∴当t＝时，PQ的最小值为 cm.
答：经过 s，点P，Q的距离最短．
(2)设△PBQ的面积为S，则
S＝BP·BQ＝(6－t)·2t＝6t－t2＝－(t－3)2＋9.
∴当t＝3时，S有最大值，最大值为9.
答：经过3 s，△PBQ的面积最大，最大面积是9 cm2.
例2 解：设降价x元后每天获利y元．
由题意得y＝(135－100－x)(100＋4x)＝－4x2＋40x＋3500＝－4(x－5)2＋3600.
∵a＝－4<0，
∴当x＝5时，y有最大值，最大值为3600.
答：每件降价5元，可使每天获得的利润最大．
例3 解：(1)销售每台彩电获利3900－3000－100x＝(－100x＋900)元，每天的销售量为(6＋3x)台，所以y＝(－100x＋900)(6＋3x)＝－300x2＋2100x＋5400.
(2)因为y＝－300x2＋2100x＋5400＝－300(x－)2＋9075，所以该函数图象的顶点坐标为(，9075)．又因为x为正整数，所以当x＝3或x＝4时，y取得最大值，为9000元．所以销售该品牌彩电每天获得的最大利润是9000元．
当x＝3时，销售价为每台3600元，销售量为每天15台，营业额为3600×15＝54000(元)；当x＝4时，销售价为每台3500元，销售量为每天18台，营业额为3500×18＝63000(元)．通过对比发现，当每台彩电的销售价为3500元时，彩电的销售量和营业额均较高．
【勤反思】
[小结] 每件商品利润 销售量
[反思] 利用二次函数解决实际问题时，若抛物线的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，这时，要结合二次函数的图象与性质，考虑自变量有意义的区域内的最值情况．
第3课时 二次函数与一元二次方程
知识点 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数的图象与x轴的交点坐标：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是关于x的一元二次方程________(a≠0)的两个根，因此可以用关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)来求抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点坐标．
1．写出二次函数y＝x2－3x＋2的图象与x轴的交点坐标：__________．
2．如图1－4－5，拱桥的形状是抛物线，其函数表达式为y＝－x2，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为________米．
图1－4－5
类型一 二次函数与一元二次方程的关系
例1 [教材例5针对练] 利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝0的近似解(精确到0.1)．
【归纳总结】函数图象与方程之间的关系
(1)二次函数图象与x轴的交点的横坐标为对应的一元二次方程的解；
(2)两函数图象的交点的横坐标是两函数表达式组成的方程组的解．
类型二 认识二次函数的交点式，会用交点式求
函数表达式
例2 [教材补充例题] 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)，且过点(－1，1)，求该抛物线的函数表达式．
【归纳总结】由交点式求二次函数的表达式
(1)条件：题中出现抛物线与x轴的交点坐标及另一点坐标；
(2)方法：当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)(x2，0)，求抛物线的函数表达式时，一般设抛物线的函数表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)，然后再代入抛物线上另外一个点的坐标，求出a的值，可得抛物线的函数表达式．
类型三 一元二次方程在二次函数中的应用
例3 [教材补充例题] 某种爆竹点燃后，其上升高度h(米)和时间t(秒)之间的关系符合表达式：h＝v0t－gt2(0(1)这种爆竹在地面点燃后，经过多长时间离地面15米？
(2)在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升还是下降，并说明理由．
在什么情况下用交点式求二次函数的表达式比较方便？
详解详析
【学知识】
知识点 ax2＋bx＋c＝0
1．[答案] (1，0)，(2，0)
2．[答案] 10
[解析] 根据题意，令y＝－，
得－＝－x2，
解得x＝±5.
所以水面的宽度为10米．
故答案为10.
【筑方法】
例1 [解析] 欲估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的解，必须先画出函数y＝x2＋2x－10的图象，确定解的大致范围，再进一步估算．
解：作函数y＝x2＋2x－10的图象，如图．由图象可知方程的一个根在－5与－4之间，另一个根在2与3之间．
我们先求－5与－4之间的解，利用计算器探索如下：
x
－4.1
－4.2
－4.3
－4.4
y
－1.39
－0.76
－0.11
0.56
∴一个解约为－4.3，即x1≈－4.3.
同理可求出另一个解的近似值为x2≈2.3.
例2 解：设该抛物线的函数表达式为y＝a(x＋3)(x－1)，把(－1，1)代入得
1＝(－1＋3)(－1－1)a，
解得a＝－.
∴该抛物线的函数表达式为y＝－(x＋3)(x－1)，
即y＝－x2－x＋.
例3 [解析] 对于(1)，爆竹离地15米，就是求h＝15时t的值；(2)利用二次函数的增减性判断．
解：(1)∵g＝10，v0＝20，
∴h＝20t－5t2.
当h＝15时，15＝20t－5t2，解得t＝1或t＝3.
又0即这种爆竹在地面点燃后，经过1秒，离地面15米．
(2)上升．
理由：∵h＝20t－5t2＝－5(t－2)2＋20，
∴当t＝2时，爆竹达到最高点，
即在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，爆竹处于上升阶段．
【勤反思】
[小结] 横坐标 x轴
[反思] (1)当条件中给出抛物线与x轴的交点坐标时用交点式比较方便，可减少计算量．(2)当条件中给出抛物线与x轴的一个交点和对称轴时，可以通过对称轴求出另一个交点坐标化成(1)．
