1.2.2 二次根式的性质（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第1章二次根式1.2二次根式的性质
第2课时 二次根式的性质（2）
【知识清单】
一、二次根式的性质：?
1. (a≥0，b≥0)
2. (a≥0，b>0)
二、最简二次根式
像、、这样，(1)被开方数不含分母；(2) 被开方数中不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式称为最简二次根式.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式或有理式.
【经典例题】
例题1、化简下列各式：
(1)= ；(2)= ； (3)= .
【考点】二次根式的性质．?
【分析】利用二次根式的性质进行化简即可.
【解答】(1)= ；
(2)= ；
(3)= .
【点评】本题考查了二次根式的性质：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式或有理式．
例题2、在△ABC中，已知AB＝，AC＝4，BC＝，则△ABC的面积为( )
A． B． C．6 D.
【考点】二次根式的简单应用.
【分析】根据题意可得出BC2=AB2+AC2，再由勾股定理的逆定理可得出△ABC为Rt△，从而得出△ABC的面积．
【解答】∵AB＝，AC＝4，BC＝，
∴AB2=7，AC2=16，BC2=23，
∴BC2=AB2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴S△ABC=.
故答案为：选A.
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，已知三角形的三边满足a2+b2=c2，从而得出三角形为直角三角形．
【夯实基础】
1.计算的结果是（ ）
A. B. ± C. D. ±
2. 若有意义，则不等式axb>0的解集是
A. B. C. D.
3.化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
4. 成立的条件是（ ）
A. x≥3 B. x≤3 C. 3≤x≤3 D. x=3
5. 把下列根式化成最简二次根式
(1)= ； (2)= .
6. = .
7.先化简，再求出下面算式的近似值：
(1) (精确到千分位)； (2) (精确到0.01)

8.化简
(1) (2) (a≥0， b≥0) (3) (4)

【提优特训】
9.化简：①；②；③；
④；⑤，其中正确的是（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.若，则用含有x的代数式表示为（ ）
A. 10x B. C. D.
11.如图，P是等边三角形内一点，AB=，BP=2，CP=，则∠APB的度数是（ ）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
12.根据，请你化简：(1)= ；(2)= .

13.直线y=mx+n的图象如图所示，化简= .
14.设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不相等的实数，则= .
15.请你说出与的相同点和不同点？
16.已知x=，求多项式x44x34x4的值.
17.如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAD=90°，AB=，AC=，求BC的长.
18.阅读下列理解材料，再解决问题：
化简；
解：==.
根据你的理解，化简下列各题：
(1) ； (2) .
19、观察下列等式:
(1) =，(2) = 2，(3) = 3，(4) = 4，…，
根据你发现的规律填空：
(1)第10个等式是_______________________；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的代数式表示)，并证明其准确性.
【中考链接】
20．2018?河北计算：=　 　．
21．2018?山东滨州20．（5分）观察下列各式：
=1+，=1+，=1+，……
请利用你所发现的规律，
计算++…+其结果为　　．
22．2018?山东枣庄15．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为　　．
参考答案
1、A 2、B 3、A 4、C 5、(1) (2) 6、13 9、C 10、C 11、D 12、(1) (2) 13、2(nm) 14、
7.先化简，再求出下面算式的近似值：
(1) (精确到千分位)； (2) (精确到0.01)
解：(1)；
(2)= .
8.化简
(1) (2) (a≥0， b≥0) (3) (4)
解：(1) =；
(2) =；
(3) =；
(4) ==.
15.请你说出与的相同点和不同点？
解：（1）相同点：与都是非负数；
（2）不同点：①名称不同是a的算术平方根的平方；是a的平方的算术平方根；
②取值范围不同中的a的取值范围是a≥0；中的a的取值范围是全体实数.
③结果不同=a(a≥0)； .
16.已知x=，求多项式x44x34x4的值.
解：∵x=，
∴(x2)2=，
即x24x1=0.
x44x34x4
=x44x3x2x24x4
=x2(x24x1)(x24x)4
= 014=3
17.如图，在△ABC中，AD是BC边的中线，∠BAD=90°，AB=，AC=，求BC的长.
解：延长AD到E，使AD=ED，连接CE，
∵点是BC的中点，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
∵
∴△ABD≌△ECD(SAS)
∴AB=CE=
∴∠BAD=∠CED=90°
在Rt△AEC中，
∵AE2=AC2CE2.
∴AE=.
∴AD=.
在Rt△ABD中，
∵BD2=AB2+AD2.
∴AE=.
∴BC=2BD=.
18.阅读下列理解材料，再解决问题：
化简；
解：==.
根据你的理解，化简下列各题：
(1) ； (2) .
解：(1) =
=
=；
(2)


19、观察下列等式:
(1) =，(2) = 2，(3) = 3，(4) = 4，…，
根据你发现的规律填空:
(1)第10个等式是_______________________;
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的代数式表示)，并证明其准确性.
解：(1)=10；
(2) =n
证明：=.
【中考链接】
20．2018?河北计算：=　 　．
【考点】22：算术平方根．
【专题】11 ：计算题；511：实数．
【分析】先计算被开方数，再根据算术平方根的定义计算可得．
【解答】解：==2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义．
21．2018?山东滨州20．（5分）观察下列各式：
=1+，=1+，=1+，……
请利用你所发现的规律，
计算++…+其结果为　　．
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【解答】解：由题意可得：
…
=111…1
=（1…）
=
=．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．
22．2018?山东枣庄15．（4分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为　　．
【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：∵，
∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：
=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．