1.3二次根式的运算第2课时二次根式的运算（2）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第1章二次根式1.3二次根式的运算
第2课时 二次根式的运算（2）
【知识清单】
一、同类二次根式：
1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.
2.注意：一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式. 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数或因式，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断.
3.同类二次根式合并法则：“同类二次根式相加减，根式不变，系数相加减”.
二、二次根式的运算法则：
实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序相同，而且有理数的运算法则、运算律以及运算公式在实数范围内仍然适用.
【经典例题】
例题1、如图所示，第1个正方形的边是第1个等腰直角三角形的斜边，第1个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边……依此不断连接下去.设第1个正方形的边长为2，求：
（1）第2个正方形的边长a2= ；
（2）通过观察研究，写出第2019个正方形的边长a2019.
【考点】勾股定理、等腰三角形的性质、二次根式的运算法则.
【分析】设第1个正方形的边长a1=2，然后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍依次求出第2、3、4个正方形的边长，然后根据变化规律写出第2019个正方形的边长即可．
解答：设第1个正方形的边长a1=2，
根据题意得，第2个正方形的边长为a2=a1，
第3个正方形的边长为a3=a2=(a1)=()2a1，
第4个正方形的边长为a4=a3=()2a1=()3a1，
…，
第2019个正方形的边长a2019=()2018a1，
∵a1=2，
∴a2019=2()2018．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的直角边与斜边的关系，根据变化规律求出指数与正方形的序数的关系是解题的关键．
例题2、已知，则= ，= .
【考点】分母有理化以及二次根式的运算法则.
【分析】先进行分母有理化，再合并同类二次根式，问题即可得到解决．
【解答】=
=
=；
=
=
=
=.
【点评】本题主要考查了分母有理化以及同类二次根式的运算；需要注意的是：“同类二次根式相加减，根式不变，系数相加减”.
【夯实基础】
1.下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知一个三角形的三边长为，，，则三角形的周长和面积（ ）
A. 10和24 B. 和12 C. 和12 D. 和24
5. 化简…= .
6. 若与是同类二次根式，则a的值为 .
7.计算：
(1) +20+15+；
(2) ；
(3) .
8. 已知二次根式有意义，化简，并求它的值.
【提优特训】
9.设，则a、b、c的大小关系是（ ）
A. a>b>c B. a>c>b C. c>b>a D.b>c>a
10.若，则 （ ）
A. B. 2 C. -2 D. ±2
11.已知，则（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
12.已知正整数a，b满足 ，则b的最大值为（ ）
A. 244 B. 122 C. 62 D. 60
13.化简= .
14.若125x220=0，则x= .
15.已知，，求（1）a2+b2ab；（2）.
16. 已知，求的值.
17.对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算如下：ab=(a>b>0)，
如43==1，试求下列各式的值：
(1) 135；
(2)654×83.
18. 已知abc8=++，求abc的平方根.
【中考链接】
19、2018?湖北十堰8.如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
A． B．
C． D．
20、2018?黑龙江哈尔滨15．（3.00分）计算的结果是 ．
21、2018?黑龙江龙东地区10．（3.00分）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则Sn=　 　．
22、2018?湖北咸宁17．（8.00分）计算：.

参考答案
1、B 2、A 3、C 4、B 5、 6、3 9、A 10、D 11、C 12、B
13、 14、 19、B 20、 21、
7.计算：
(1) +20+15+；
(2) ；
(3) .
解: (1)原式=
=
=2；
(2) 原式=
=
=；
(3) 原式=
=
=
=.
8. 已知二次根式有意义，化简，并求它的值.
解:∵二次根式有意义，
∴(5x)(x5)≥0，
∴①或②
由不等式①得5≤x≤5，∴x=5.
不等式②无解.
=
=
=
当x=5时，原式==.
15.已知，，求（1）a2+b2ab；（2）.
解：，，
a+b=，ab=.
（1）a2+b2ab= a2+2ab+b23ab
=(a+b)23ab
=()23×1
=17；
（2）


.
16. 已知，求的值.
解：设A=42x2，B=26+x2，
则A+B=68.

=36
,
=
17.对于任意不相等的两个实数a，b，定义运算如下：ab=(a>b>0)，
如43==1，试求下列各式的值：
(1) 135；
(2)654×83.
解：(1) 135=
；
(2)65-4×83=
=
=
=.
18. 已知abc8=++，求abc的平方根.
解：∵abc8=++，
∴，
∴，
∴，
∴=0，=0，=0.
∴a=2，b=6，c=12.
∴abc=2×6×12=144.
∴abc的平方根为±12.
19、2018?湖北十堰8.如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（ ）
A． B．
C． D．
20、2018?黑龙江哈尔滨15．（3.00分）计算的结果是 ．
21、2018?黑龙江龙东地区10．（3.00分）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则Sn=　 　．
【分析】由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出第一个等边三角形AB1C1的面积，同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积，依此类推，得到第n个等边三角形ABnCn的面积．
【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，
∴BB1=1，AB=2，
根据勾股定理得：AB1=，
∴第一个等边三角形AB1C1的面积为；
∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，
∴B1B2=，AB1=，
根据勾股定理得：AB2=，
∴第二个等边三角形AB2C2的面积为；
依此类推，第n个等边三角形ABnCn的面积为．
故答案为：．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．
22、2018?湖北咸宁17．（8.00分）计算：.
【分析】（1）先化简二次根式、计算立方根、去绝对值符号，再计算加减可得；
【解答】解：（1）原式==.