1.3 二次根式的运算 同步练习

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浙教版八下同步练习第一章二次根式
1.3 二次根式的运算
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分

一．选择题（共8小题）
1．下列运算正确的是（　　）
A．+＝ B．＝2 C．?＝ D．÷＝2
2．下列计算﹣的结果是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
3．下列二次根式中能与2合并的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．3﹣2＝ B．?（÷）＝
C．（﹣）÷＝2 D．﹣3＝
5．下列计算：①（）2＝2；②＝2；③（﹣2）2＝12；④（）（）＝﹣1．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．估计的运算结果应在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
7．已知x＝，则代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是（　　）
A．0 B． C． D．2﹣
8．若的整数部分为x，小数部分为y，则（2x+）y的值是（　　）
A． B．3 C． D．﹣3



第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分

二．填空题（共6小题）
9．计算：3+＝　 　．
10．计算：（+2）2017（﹣2）2018＝　 　．
11．观察下列运算过程：

请运用上面的运算方法计算：＝　 　．
12．如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2和2，则图中阴影部分的面积是　 　．

13．观察下列各式：
＝1+，
＝1+，
＝1+，
……
请利用你所发现的规律，
计算+++…+，其结果为　 　．
14．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为　 　．

评卷人 得 分

三．解答题（共6小题）
15．计算
（1）（）2﹣（﹣）（）
（2）（）﹣（﹣）
16．计算：
（1）
（2）6÷+（1﹣）2
17．如果：①f（1）＝；②f（2）＝；③f（3）＝＝；④f（4）＝＝；…
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律求f（n）；
（2）计算：（2+2）[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）]．
18．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　＝（　 　+　 　 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
19．观察下列一组等式的化简然后解答后面的问题
＝＝
＝＝
＝＝2﹣
（1）在计算结果中找出规律＝　 　（n表示大于0的自然数）
（2）通过上述化简过程，可知　 　﹣（填“＞”、“＜“”或“＝”）
（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：
（+++…+）（）
20．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BC＝a，CA＝b，AB＝c，设AD＝x，CD＝h，p＝，△ABC的面积为S，求证：
（1）x＝
（2）h＝
（3）S＝．




参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列运算正确的是（　　）
A．+＝ B．＝2 C．?＝ D．÷＝2
【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝3，所以B选项错误；
C、原式＝＝，所以C选项错误；
D、原式＝＝2，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
2．下列计算﹣的结果是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
【分析】先化简，再合并同类项即可求解．
【解答】解：﹣
＝3﹣
＝2．
故选：C．
【点评】考查了二次根式的加减法，关键是熟练掌握二次根式的加减法法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
3．下列二次根式中能与2合并的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可．
【解答】解：A、，不能与2合并，错误；
B、能与2合并，正确；
C、不能与2合并，错误；
D、不能与2合并，错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
4．下列计算正确的是（　　）
A．3﹣2＝ B．?（÷）＝
C．（﹣）÷＝2 D．﹣3＝
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得．
【解答】解：A、3与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B、?（÷）＝?＝＝，此选项正确；
C、（﹣）÷＝（5﹣）÷＝5﹣，此选项错误；
D、﹣3＝﹣2＝﹣，此选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则．
5．下列计算：①（）2＝2；②＝2；③（﹣2）2＝12；④（）（）＝﹣1．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次根式的性质对①②③进行判断；根据平方差公式对④进行判断．
【解答】解：（）2＝2，所以①正确；
＝2，所以②正确；
（﹣2）2＝12，所以③正确；
（）（）＝2﹣3＝﹣1，所以④正确、
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
6．估计的运算结果应在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．
【解答】解：原式＝2×+÷＝2+＝2+2.236＝4.236，故选C．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．最后估计无理数的大小．
7．已知x＝，则代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是（　　）
A．0 B． C． D．2﹣
【分析】将x的值代入原式，再利用完全平方公式和平方差公式计算可得．
【解答】解：当x＝时，
原式＝（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）+
＝（7+4）（7﹣4）+4﹣3+
＝49﹣48+1+
＝2+，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式及二次根式的运算法则．
8．若的整数部分为x，小数部分为y，则（2x+）y的值是（　　）
A． B．3 C． D．﹣3
【分析】首先根据的整数部分，确定的整数部分x的值，则y即可确定，然后代入所求解析式计算即可求解．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴的整数部分x＝2，
则小数部分是：6﹣﹣2＝4﹣，
则（2x+）y＝（4+）（4﹣）
＝16﹣13＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的运算，正确确定6﹣的整数部分x与小数部分y的值是关键．
二．填空题（共6小题）
9．计算：3+＝　5　．
【分析】直接化简二次根式进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝3+2
＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
10．计算：（+2）2017（﹣2）2018＝　2　．
【分析】根据积的乘方和二次根式的乘法可以解答本题．
【解答】解：（+2）2017（﹣2）2018
＝[（+2）（﹣2）]2017?（）
＝（3﹣4）2017?（）
＝（﹣1）2017?（）
＝﹣（）
＝2﹣，
故答案为：2﹣．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
11．观察下列运算过程：

请运用上面的运算方法计算：＝　　．
【分析】先分母有理化，然后合并即可．
【解答】解：原式＝（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）
＝（﹣1+﹣+…+﹣）
＝．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
12．如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2和2，则图中阴影部分的面积是　2　．

【分析】由正方形的面积公式和正三角形的面积公式求得图中大矩形的宽和长，然后求大矩形的面积，从而求得图中阴影部分的面积．
【解答】解：设正三角形的边长为a，则a2×＝2，
解得a＝2．
则图中阴影部分的面积＝2×﹣2＝2．
故答案是：2．

【点评】考查了二次根式的应用．解题的关键是根据图中正三角形和正方形的面积求得大矩形的长和宽．
13．观察下列各式：
＝1+，
＝1+，
＝1+，
……
请利用你所发现的规律，
计算+++…+，其结果为　9　．
【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【解答】解：由题意可得：
+++…+
＝1++1++1++…+1+
＝9+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝9+
＝9．
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．
14．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为　1　．

【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为1，2，的面积，从而可以解答本题．
【解答】解：∵S＝，
∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：
S＝＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．
三．解答题（共6小题）
15．计算
（1）（）2﹣（﹣）（）
（2）（）﹣（﹣）
【分析】（1）利用完全平方和平方差公式计算；
（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝2+4+6﹣（5﹣3）
＝2+4+6﹣2
＝4+6；
（2）原式＝2﹣﹣+3
＝5﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16．计算：
（1）
（2）6÷+（1﹣）2
【分析】（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后根据二次根式的除法法则和完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式＝2﹣5++6
＝+；
（2）原式＝12÷3+1﹣2+2
＝4+1﹣2+2
＝2+3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17．如果：①f（1）＝；②f（2）＝；③f（3）＝＝；④f（4）＝＝；…
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律求f（n）；
（2）计算：（2+2）[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）]．
【分析】（1）根据题意得出规律，求出f（n）；
（2）先根据二次根式的加减法法则计算f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017），再根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）f（n）＝；
（2）原式＝（2+2）（++…+）
＝（2+2）（﹣+﹣+…﹣）
＝（2+2）×
＝（+1）（﹣1）
＝2018﹣1
＝2017．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算、数字的变化规律，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
18．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　m2+3n2　，b＝　2mn　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　7　+　4　＝（　2　+　1　 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）先取m＝2，n＝1，则计算对应的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a＝m2+3n2，2mn＝6和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对应的a的值．
【解答】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
（2）m＝2，n＝1，则a＝7，b＝4，
∴7+4＝（2+）2，
（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，
∵a、m、n均为正整数，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
当m＝3，n＝1时，a＝9+3＝12，
当m＝1，n＝3时，a＝1+3×9＝28，
∴a的值为12或28．
故答案为m2+3n2，2mn；7，4，2，1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
19．观察下列一组等式的化简然后解答后面的问题
＝＝
＝＝
＝＝2﹣
（1）在计算结果中找出规律＝　﹣　（n表示大于0的自然数）
（2）通过上述化简过程，可知　＞　﹣（填“＞”、“＜“”或“＝”）
（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：
（+++…+）（）
【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案．
（2）利用（1）中的规律即可求出答案．
（3）根据（1）的规律以及平方差公式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝
（2）﹣＝，﹣＝
∵+＜+，
∴＞
（3）原式＝（﹣1+﹣+﹣+……+﹣）（+1）
＝（﹣1）（）
＝2018﹣1
＝2017
故答案为：（1）；（2）＞
【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
20．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BC＝a，CA＝b，AB＝c，设AD＝x，CD＝h，p＝，△ABC的面积为S，求证：
（1）x＝
（2）h＝
（3）S＝．

【分析】（1）由股定理可得CA2﹣AD2＝CD2＝BC2﹣DB2，即b2﹣x2＝a2﹣（c﹣x）2，据此可得；
（2）根据（1）及勾股定理得h2＝CD2＝CA2﹣AD2＝b2﹣x2＝，据此可得；
（3）利用平方差公式知（2bc）2﹣（b2+c2﹣a2）2＝（a+b+c）（b+c﹣a）（a+c﹣b）（a+b﹣c）＝16p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），根据（2）的结果知h＝，继而可得答案．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB于D，BC＝a，CA＝b，AB＝c，AD＝x，
∴在Rt△ADC和Rt△BDC中，
由勾股定理可得：CA2﹣AD2＝CD2＝BC2﹣DB2，
∴b2﹣x2＝a2﹣（c﹣x）2，
∴x＝；

（2）在Rt△ADC中，由（1）及勾股定理可得
h2＝CD2＝CA2﹣AD2＝b2﹣x2＝，
∴h＝；

（3）∵（2bc）2﹣（b2+c2﹣a2）2
＝[（b+c）2﹣a2][a2﹣（b+c）2]
＝（a+b+c）（b+c﹣a）（a+c﹣b）（a+b﹣c）
＝16p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），
由（2）可得h＝，
∴S＝hc＝．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理及二次根式的性质、三角形的面积公式等知识点．
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